1.समुच्चय सिद्धान्त उदाहरण कक्षा 11 का परिचय (Introduction to Set Theory Examples Class 11),दो समुच्चयों के सम्मिलन पर आधारित प्रश्न (Problems on Union and Intersection of Two Sets):

Set Theory Examples Class 11

समुच्चय सिद्धान्त उदाहरण कक्षा 11 (Set Theory Examples Class 11) के इस आर्टिकल से पहले के आर्टिकल्स में समुच्चय सिद्धान्त से सम्बन्धित थ्योरी और व्यावहारिक उदाहरणों का अध्ययन कर चुके हैं।इस आर्टिकल में कुछ ओर उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।समुच्चय सिद्धान्त के सूत्रों का प्रयोग प्रायिकता, बीजगणित, ज्यामिति, विश्लेषण (Analysis) तथा अनुप्रयोगिक गणित (Applied Mathematics) में इत्यादि में होता है।इस प्रकार आधुनिक गणित में समुच्चय सिद्धान्त की महत्त्वपूर्ण भूमिका है।
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2.समुच्चय सिद्धान्त उदाहरण कक्षा 11 (Set Theory Examples Class 11):

Example:1.निम्नलिखित में से कौन किसका उपसमुच्चय है, इसका निर्णय कीजिए: A=\{x: x \in R  \text{ तथा } x^{2}-8 x+12=0\},B=\{2,4,6\},C=\{2,4,6,8 ,\ldots \},D=\{6\}
तथा को सन्तुष्ट करनेवाली सभी वास्तविक संख्याएँ, B={2,4,6}, C={2,4,6,8,…},D={6}
Solution: x^{2}-8 x+12=0 \\ \Rightarrow x^{2}-6 x-2 x+12=0 \\ \Rightarrow x(x-6)-2(x-6)=0 \\ \Rightarrow(x-2)(x-6)=0 \\ \Rightarrow x=2,6 \\ A=\{2,6\},B=\{2,4,6\},C=\{2,4,6,8 ,\ldots\},D=\{6\}
अतः A \subset B,A \subset C,B \subset C,D \subset A,D \subset B,D \subset C
Example:2 ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य है।यदि सत्य है तो उसे सिद्ध कीजिए।यदि असत्य है तो एक उदाहरण दीजिए।
(i)यदि x \in A तथा A \in B तो x \in B
Solution:असत्य है।
समुच्चयों को आपस में उपसमुच्चय,अधिसमुच्चय या तुल्य समुच्चय द्वारा दर्शाया जाता है।समुच्चय A,B का अवयव नहीं हो सकता है।जैसे
A={2,4,6},B={2,4,6,8}
तो A \subset B
(ii)यदि A \subset B तथा B \in C तो A \subset C
Solution:असत्य है।
B समुच्चय C के अवयव नहीं हो सकते हैं।
(iii)यदि A \subset B तथा B \subset C तो A \subset C
Solution:सत्य है।

x \in A \Rightarrow x \in B \quad[\because A \subset B]
तथा x \in B \Rightarrow x \in C \quad[\because B \subset C] \\ \therefore A \subset C
(iv)यदि A \not \subset B तथा B \not \subset C तो A \not \subset C
Solution:असत्य है
उदाहरणार्थ A={2,4,6}, B={x,y,z}, C={2,4,6,8}
अतः A \not \subset B तथा B \not \subset C
परन्तु A \subset C
अतः A ,C का उपसमुच्चय हो भी सकता है और नहीं भी।
(v)यदि x \in A तथा A \not \subset B तो x \in B
Solution:असत्य है।
जैसे A={4,6,8}, B={a,b,c}
A \not \subset B अतः A का B का अवयव नहीं हो सकता है।
(vi)यदि A \subset C तथा x \notin B तो x \notin A
Solution:सत्य है।

x \notin B \Rightarrow x \notin A[\because A \subset B]
Example:3.मान लीजिए A,B और C ऐसे समुच्चय है कि A \cup B=A \cup C तथा A \cap B=A \cap C तो दर्शाइए कि B=C.
Solution: A \cup B=A \cup C \\ \Rightarrow (A \cup B) \cap C=(A \cup C) \cap C \\ \Rightarrow(A \cap C) \cup(B \cap C)=C \left [ \because (A \cup C) \cap C=C \right ] \\ \Rightarrow(A \cap B) \cup(B \cap C)=C \cdots(1)  \left [ \because A \cap C=A \cap B \right ]

पुनः A \cup B=A \cup C \\ (A \cup B) \cap B=(A \cup C) \cap B \\ \Rightarrow B=(A \cap B) \cup( C \cap B) \\ \left [ \because (A \cup B) \cap B=B \right ] \\ \Rightarrow B=(A \cap B) \cup(B \cap C) \cdots(2)
(1) व (2) से:

B=C
Example:4.दिखाइए कि निम्न चार प्रतिबन्ध तुल्य हैं:

(i)A \subset B (ii) A-B=\phi (iii)A \cup B=B (iv)A \cap B=A
Solution:माना A \subset B
तथा x \in A \Rightarrow x \in B \\ \Rightarrow x \in A \wedge x \in B \left [ \because A \subset B \right] \\ \Rightarrow x \in A \cap B \\ \therefore A \subset A \cap B \cdots(1)
माना x \in A \cap B
तब x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \wedge x \in B \\ \Rightarrow x \in A \\ \therefore A \cap B \subset A \cdots(2)
(1) व  (2) से:

A \cap B=A
माना A \cap B=A \\ x \in A \Rightarrow x \in A \cap B \left [ A=A \cap B \right ] \\ \Rightarrow x \in A \wedge x \in B \\ \Rightarrow x \in B \\ A \subset B \\  A \subset B \Leftrightarrow A \cap B=A
पुनः x \in A-B \Rightarrow x \in A \wedge x \notin B \\ \Rightarrow x \in B \wedge x \notin B\left [ \because x \in A \Rightarrow x \in B \text { क्योंकि } A \subset B \right] \\ \Rightarrow x \in \phi \\ \therefore A-B=\phi \cdots(3) \\ \phi \subset A-B
[ \because \phi प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है]……(4)

(3) व (4) से:
\therefore A-B=\phi

इस प्रकार A \subset B \Rightarrow A-B=\phi \cdots(5) \\ A-B=\phi \Rightarrow A-B में कोई अवयव नहीं है
अर्थात् A में ऐसा अवयव नहीं है जो B में न हो
\Rightarrow A का प्रत्येक अवयव B में है।

(5) व (6) से:
A \subset B \Leftrightarrow A-B=\phi
माना A \subset B तब

x \in A \cup B \Rightarrow x \in A \vee x \in B \\ \Rightarrow x \in B\left [ \because A \subset B \right] \\ \therefore A \cup B \subset B \cdots(7)
माना x \in A तब
x \in A \Rightarrow x \in A \cup B [परिभाषा से]

\therefore A \subset A \cup B \cdots(8)
(7) व (8) से:

A \cup B=B
पुनः A \cup B=B तब

x \in A \Rightarrow x \in A \cup B \left [\because A \subset A \cup B \right ] \\ \Rightarrow x \in B\left [ \because A \cup B=B \right ] \\ \therefore A \subset B
इस प्रकार A \subset B \Leftrightarrow A \cup B=B
Example:5.दिखाइए कि यदि A \subset B तो C-B \subset C-A
Solution:यदि A \subset B \\ C-B=\{x : x \in C \wedge x \notin B\} \\ =\{x: x \in C \wedge x \notin A\} \left [ \because A \subset B \right ]\\ =\{x: x \in(C-A)\}\\ \Rightarrow C-B \subset C-A\\ \Rightarrow A \subset B \Rightarrow C-B \subset C-A
Example:6.मान लीजिए कि P(A)=P(B), सिद्ध कीजिए कि A=B
Solution:माना कि x \in A  तब एक उपसमुच्चय X ऐसा माना कि x \in A 
अतः x \in A \Rightarrow X \in P(A) \\ \Rightarrow X \in P(B)[\because P(A)=P(B)] \\ \Rightarrow \therefore x \in B \\ \Rightarrow A \subset B \ldots(1)
पुनः माना कि y \in B
\Rightarrow तब B  का कोई उपसमुच्चय ऐसा है कि 

Y \in P(B)\\ \therefore y \in B \Rightarrow Y \in P(B)\\ \Rightarrow Y \in P(A)[\because P(A)=P(B)]\\ \Rightarrow y \in A \\ \Rightarrow y \in B तब y \in A \\ \Rightarrow B \subset A \ldots(2)
(1) व (2) से:
A=B

Set Theory Examples Class 11

Example:7.किन्हीं भी समुच्चयों A तथा B के लिए क्या यह सत्य है कि P(A) \cup P(B)=P(A \cup B) ?अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
Solution:यदि A={x}, B={y} तथा A \cup B=\{x, y\} \\ P(A)=\{\phi,\{x\}\} \\ P(B)=\{\phi,\{y\}\} \\ P(A) \cup P(B)=\{\phi,\{x\},\{y\}\} \ldots(1) \\ A \cup B=\{x, y\} \\ \therefore P(A \cup B)=\{\phi,\{x\},\{y\},\{x, y\}\} \ldots(2) 
(1) व (2) से:

P(A) \cup P(B) \neq P(A \cup B)
अतः दिया हुआ कथन असत्य है।
Example:8.किन्हीं दो समुच्चयों A और B के लिए सिद्ध कीजिए
A=(A \cap B) \cup(A-B) और A \cup(B-A)=(A \cup B)
Solution: माना ( A \cap B ) \cup(A-B) \\ x \in(A \cap B) \cup(A-B) \\ \Rightarrow x(A \cap B) \vee (x \in A-B) \\ \Rightarrow(x \in A \wedge x \in B) \vee(x \in A \wedge x \notin B) \\ \Rightarrow x \in A \\ \Rightarrow(A \cap B) \cup(A-B) \subset A \cdots(1)
\Rightarrow माना x \in A \\ x \in(x \in A \wedge x \in B) \vee (x \in A \wedge x \notin B) \\ x \in (A \cap B)\vee x \in (A-B) \\ \Rightarrow x \in(A \cap B) \cup (A-B) \\ \therefore A \subset (A \cap B) \cup(A-B) \cdots(2)
(1) व (2) से: A=(A \cap B) \cup(A-B)
माना A \cup(B-A) \\ x \in A \cup(B-A) \Rightarrow x \in A \vee x \subset (B-A) \\ \Rightarrow x \in A \vee (x \in B \wedge x \notin A) \\ \Rightarrow x \in A \cup B (परिभाषा से)

(3) व (4) से
A \cup(B-A)=(A \cup B)
Example:9.समुच्चयों के गुणधर्मों का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि
(i) A \cup(A \cap B)=A (ii) A \cap (A \cup B)=A
Solution:

(i) A \cup(A \cap B)=A \\ (A \cup A) \cap(A \cup B)
(बंटन नियम से)

\Rightarrow A \cap (A \cup B) \\ \Rightarrow A \\ \therefore A \cup(A \cap B) \subset A \ldots(1) \\ A \Rightarrow A \cap(A \cup B)\\ \Rightarrow(A \cup A) \cap(A \cup B) \\ \Rightarrow A \cup(A \cap B) (बंटन नियम से)

\Rightarrow A \cup(A \cap B) \\ \therefore A \subset A \cup(A \cap B) \cdots(2)
(1) व (2) से:

A=A \cup(A \cap B)
(ii)A \cap(A \cup B)=A
Solution: A \cap(A \cup B)=A \\ A \cap(A \cup B) \\ (A \cap A) \cup(A \cap B) \\ \Rightarrow A \cup(A \cap B) \\ \Rightarrow A \\ \therefore A \cap ( A \cup B) \subset A \cdots(3) \\ A \\ \Rightarrow A \cup(A \cap B) \\ \Rightarrow (A \cap A) \cup(A \cap B) \\ A \subset A \cap(A \cup B) \cdots(4)
(3) व (4) से:

A \cap(A \cup B)=A
Example10.दिखलाइए कि A \cap B=A \cap C का तात्पर्य B=C आवश्यक रूप से नहीं होता है।
Solution:माना कि A=\{x,y\},B =\{x, z\}, C=\{x, a\}\\ A \cap B =\{x , y\} \cap\{x, z\} =\{x\}

तथा A \cap C =\{x, y\} \cap\{x, a\} \\ =\{x\} \\ \Rightarrow A \cap B =A \cap C
परन्तु B \neq C
अतः यदि A \cap B=A \cap C तो आवश्यक नहीं है कि B=C
Example:11.मान लीजिए कि A और B समुच्चय हैं।यदि किसी समुच्चय X के लिए A \cap X=B \cap X=\phi तथा A \cup X=B \cup X तो सिद्ध कीजिए कि A=B
Solution:A \cup X=B \cup X \\ (A \cup X) \cap A=(B \cup X) \cap A \\ A=(B \cup X) \cap A \\ \left [ \because \left ( A \cup X \right ) \cap A=A \right]\\ A=(B \cap A) \cup(A \cap X) (बंटन नियम से)
=(A \cap B) \cup \phi \left [ A \cap X=\phi \right ] \\ A =A \cap B \cdots(1) \\ (A \cup X)=(B \cup X) \\ (A \cup X) \cap B=(B \cup X) \cap B \\ \Rightarrow(A \cup X) \cap B=B \\ \left [ \because(B \cup X) \cap B=B \right ]\\ =(A \cap B) \cup(B \cap X)=B(बंटन नियम से)

\Rightarrow (A \cap B) \cup \phi=B \left [ \because B \cap X=\phi \right ] \\ \Rightarrow A \cup B=B \cdots(2)
(1) व (2) से:
A=B
Example:12.ऐसे समुच्चय A,B और C ज्ञात कीजिए कि A \cap B, B \cap C तथा A \cap C अरिक्त समुच्चय हो और A \cap B \cap C=\phi
Solution: A=\{1,2\},B=\{1,3\} ,C=\{2,3\} \\ A \cap B=\{1,2\} \cap \{1,3\} =\{1\} \\ B \cap C=\{1,3\} \cap \{2, 3\} \\ B \cap C=\{3\} \\ A \cap C=\{1,2\} \cap\{2,3\} \\ A \cap C=\{2\} \\ A \cap B \cap C=\phi
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा समुच्चय सिद्धान्त उदाहरण कक्षा 11 (Set Theory Examples Class 11),दो समुच्चयों के सम्मिलन पर आधारित प्रश्न (Problems on Union and Intersection of Two Sets) को समझ सकते हैं।

3.समुच्चय सिद्धान्त उदाहरण कक्षा 11 की समस्याएँ (Set Theory Examples Class 11 Problems):

Set Theory Examples Class 11

(1.)सिद्ध कीजिए कि

A \cap A^{\prime}=\phi, A-B=A \cap B^{\prime}
(2.)सिद्ध करो कि

A-B=A \cap B^{\prime} A=B^{\prime}-A^{\prime}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समुच्चय सिद्धान्त उदाहरण कक्षा 11 (Set Theory Examples Class 11),दो समुच्चयों के सम्मिलन पर आधारित प्रश्न (Problems on Union and Intersection of Two Sets) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समुच्चय सिद्धान्त उदाहरण कक्षा 11 (Set Theory Examples Class 11),दो समुच्चयों के सम्मिलन पर आधारित प्रश्न (Problems on Union and Intersection of Two Sets) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समुच्चय सिद्धान्त उदाहरण कक्षा 11 (Set Theory Examples Class 11) के इस आर्टिकल से
पहले के आर्टिकल्स में समुच्चय सिद्धान्त से सम्बन्धित थ्योरी और व्यावहारिक उदाहरणों का
अध्ययन कर चुके हैं।