1.संयुक्त फलनों के अवकलज (Differentials of Composite Functions),अवकलनीयता (Differentiability):

Differentials of Composite Functions

संयुक्त फलनों के अवकलज (Differentials of Composite Functions) में परिभाषा से सीधे अवकल गुणांक ज्ञात करने की विधि को प्रथम सिद्धान्त से अवकलन कहते हैं।इस आर्टिकल में फलनों के बीजीय योगफल (या अन्तर) का अवकलज (The derivative of algebraic sum (or difference) of function),फलनों के गुणनफल का अवकलज (Derivative of the product of two functions),या लेबनीज नियम (Leibnitz Rule) तथा फलनों के भागफल का अवकलज (Derivative of the quotient of two functions) के आधार पर अवकलज ज्ञात करना सीखेंगे।
(1.)अवकलनीयता (Differentiability):
मान लीजिए कि f एक वास्तविक फलन है तथा c इसके प्रान्त में स्थित एक बिन्दु है।c पर f का अवकलज निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}
यदि इस सीमा का अस्तित्व हो तो c पर f के अवकलज को f'(c) या \frac{d}{d x}(f(x)) |_{c} द्वारा प्रकट करते हैं।

f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
द्वारा परिभाषित फलन जब भी इस सीमा का अस्तित्व हो f के अवकलज को परिभाषित करता है।f के अवकलज को f'(x) या \frac{d}{d x}(f(x)) द्वारा प्रकट करते हैं और यदि y=f(x) हो इसे \frac{dy}{dx} या y’ द्वारा प्रकट करते हैं।किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया को अवकलन (differentiation) कहते हैं।हम वाक्यांश “x के सापेक्ष f(x) का अवकलन कीजिए (differentiate)” का भी प्रयोग करते हैं जिसका अर्थ होता है कि f'(x) ज्ञात कीजिए।
(i)कोई फलन f(x) बिन्दु x=a पर अवकलनीय होगा यदि x=a पर इसके दायें एवं बायें अवकलज परिमित रूप से विद्यमान हों और समान हों।अर्थात्
R f^{\prime}(a)=L f^{\prime}(a) \\ \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h}
परिमित तथा समान हैं।फलन अन्तराल [a,b] में अवकलनीय कहलाता है, यदि वह अन्तराल [a,b] के प्रत्येक बिन्दु पर अवकलनीय है।
(ii)किसी फलन का अवकलनीय न होना:

R f^{\prime}(a) \neq L f^{\prime}(a)
Rf'(a) एवं Lf'(a) में से कोई एक या दोनों अपरिमित हों।
Rf'(a) एवं Lf'(a) में से कोई एक या दोनों विद्यमान न हों।
(2.)प्रमेय (Theorem):1.यदि फलन किसी बिन्दु c पर अवकलनीय है तो उस बिन्दु पर वह संतत भी है।
उपपत्ति (Proof):चूँकि बिन्दु c पर अवकलनीय है अतः

\lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f^{\prime}(c)
किन्तु x \neq c के लिए:

f(x)-f(c)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \cdot(x-c)
इसलिए \lim _{x \rightarrow c}[f(x)-f(c)]=\lim _{x \rightarrow c}\left[\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \cdot(x-c)\right]
या \lim _{x \rightarrow c}[f(x)]-\lim _{x \rightarrow c} [f(c)]= \lim_{x \rightarrow c} \left[\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right] \\ =f^{\prime}(c) \cdot 0 \\=0
या \lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c)
इस प्रकार x=c पर फलन f संतत है।
(3.)प्रमेय (Theorem):2.(श्रृंखला नियम) (Chain Rule) मान लीजिए कि f एक वास्तविक मानीय फलन है जो u तथा v दो फलनों का संयोजन है;अर्थात् f=vou, मान लीजिए कि t=u(x) और यदि \frac{dt}{dx} तथा \frac{dv}{dt} दोनों का अस्तित्व है तो:

\frac{d f}{d x}=\frac{d v}{d t} \cdot \frac{dt}{dx}
श्रृंखला नियम का विस्तार निम्नलिखित प्रकार से किया जा सकता है।मान लीजिए कि f एक वास्तविक मानीय फलन है जो तीन फलनों u,v और w का संयोजन है अर्थात्
f(wou)ov है यदि t=u(x) तथा s=v(t) है तो

\frac{d f}{d x}=\frac{d}{d t}(\text { wou }) \cdot \frac{d t}{d x}=\frac{d w}{d s} \cdot \frac{d s}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}
(4.)फलनों के बीजीय योगफल (या अन्तर) का अवकलज इन फलनों के अवकलज के बीजीय योग (या अन्तर) के बराबर होता है
(The derivative of algebraic sum (or difference) of function is the sum (or difference) of their derivatives):
माना कि u,v,w,… सभी x के फलन हैं।
माना कि y=u+v+w+…
माना कि x में वृद्धि \delta x के संगत y,u,v,w,… में वृद्धियां क्रमशः \delta y, \delta u, \delta v, \delta w,....... हैं।

y+\delta y=(u+\delta u)+(v+\delta v)+(w+\delta w)+\cdots \\ \delta y=\delta u+\delta v+\delta w+\cdots
या \frac{\delta y}{\delta x}=\frac{\delta u}{\delta x}+\frac{\delta v}{\delta x}+\frac{\delta w}{\delta x}+\cdots
या \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta y}{\delta x}=\lim _{\delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\delta u}{\delta u}+\frac{\delta v}{\delta x}+\frac{\delta w}{\delta x}+\cdots\right) \\ \Rightarrow \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta y}{\delta x}=\lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta u}{\delta x} +\lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta x}+ \lim _{\delta x+0} \frac{\delta w}{\delta x}+\cdots \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}+\frac{d w}{d x}+\cdots \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}(u+v+w+\ldots)=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}+\frac{d w}{d x}+\cdots
अतः व्यापकीकरण:

\frac{d}{d x}(u \pm v \pm w \pm \ldots)=\frac{d u}{d x} \pm \frac{d v}{d x} \pm \frac{d w}{d x} \pm \cdots
(5.)दो फलनों के गुणनफल का अवकलज (Derivative of the product of two functions):
माना कि u तथा v,x के फलन हैं
माना कि y=u.v
माना कि x में वृद्धि \delta x  के संगत y,u,v में वृद्धियाँ क्रमशः \delta y, \delta u, \delta v,...... हैं।
तब y+\delta y=(u+\delta u)(v+\delta v) \\ \delta y=(u+\delta u)(v+\delta v)-u.v \\ \Rightarrow \delta y=u \cdot \delta v+v \cdot \delta u+\delta u \cdot \delta v \\ \Rightarrow \frac{\delta y}{\delta x}=u \frac{\delta v}{\delta x}+v \frac{\delta u}{\delta x}+\frac{\delta u \cdot \delta u}{\delta x} \\ \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta y}{\delta u}=\lim _{\delta x \rightarrow 0}\left[u \frac{\delta v}{\delta x}+v \frac{\delta u}{\partial u}+\frac{\delta u \cdot \delta v}{\delta x}\right] \\ \frac{d y}{d x}=u \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta x}+v \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta u}{\delta u}+\lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta u}{\delta u} \cdot \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta u} \cdot \delta x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=u \frac{d v}{d u}+v \frac{d u}{d u}+\frac{d u}{d x} \cdot \frac{d v}{d x} \cdot 0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=u \frac{d v}{d u}+v \frac{d u}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}(u \cdot v)=u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d u}
व्यापकीकरण: \frac{d}{d x}(u v w \ldots)=(v w \ldots) \frac{d u}{d x} +(uw \ldots) \frac{d v}{d x}+(u v \ldots) \frac{d w}{d x}+\ldots
(6.)दो फलनों के भागफल का अवकलज (Derivative of the quotient of two functions):

माना कि u v,x

माना कि y=\frac{u}{v}
माना कि x में वृद्धि \delta x के संगत y,u,v में वृद्धियाँ क्रमशः \delta y, \delta u,\delta v हैं।
तब y+\delta y=\frac{u+\delta u}{v+\delta v} \\ \delta y=\frac{u+\delta u}{v+\delta v}-\frac{u}{v}\\ \delta y=\frac{(u+\delta u) v-u(v+\delta v)}{(v+\delta v) v}\\ \frac{\delta y}{\delta x}=\left[\frac{v \frac{\delta u}{\delta x}-u \frac{\delta v}{\delta x}}{(v+\delta v)v}\right]\\ \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta y}{\delta x}=\lim _{\delta x \rightarrow 0}\left[\frac{v \frac{\delta u}{\delta x}-u \frac{\delta v}{\delta x}}{(v+\delta v)v}\right] \\ =\frac{v \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta u}{\delta x}-u \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta x}}{\left(v+ \lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta u} \lim _{\delta x \rightarrow 0} \delta x\right) v}\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{v \frac{d u}{d x}-u \frac{d v}{d x}}{v^{2}} \\ \frac{d}{d x}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \frac{d u}{d x}-u \frac{d v}{d x}}{v^{2}}
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2.संयुक्त फलनों के अवकलज के साधित उदाहरण (Differentials of Composite Functions Solved Examples):

Example:1. \sin \left(x^{2}+5\right)
Solution:माना y=\sin \left(x^{2}+5\right)
माना x^{2}+5=u तब

y =\sin u \quad, u=x^{2}+5 \\ \frac{d y}{d u} =\cos u, \frac{d u}{d x}=2 x \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ =\cos u \cdot 2 x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =2 x \cos \left(x^{2}+5\right)
Example:2. \cos (\sin x)
Solution:माना y=\cos (\sin x)
माना \sin x=u \\ y=\cos u, u=\sin x \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=-\sin u, \frac{d y}{d x}=\cos x \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ =(-\sin u)(\cos x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\cos x \sin (\sin x)
Example:3. \sin (a x+b)
Solution:माना y=\sin (a x+b)
माना ax+b=u \\ y =\sin u, u=ax+b \\ \frac{d y}{d u}=\cos u, \frac{d u}{d x}=a \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ \quad=\cos u \cdot a \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=a \cos (a x+b)
Example:4. \sec (\tan \sqrt{x})
Solution:माना y=\sec (\tan \sqrt{x})
माना \tan \sqrt{x}=u, \sqrt{x}=V \\ y =\sec u, u=\tan v, v=\sqrt{x} \\ \frac{d y}{d u} =\sec u \tan u, \frac{d u}{d v}=\sec ^{2} v ,\frac{d v}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\=\sec u \tan u \cdot \sec ^{2} v \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ =\sec (\tan \sqrt{x}) \cdot \tan \left(\tan \sqrt{x}\right) \cdot \frac{\sec^{2}( \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \frac{dy}{d x} =\frac{1}{2 \sqrt{x}} \sec (\tan \sqrt{x}) \cdot \tan (\tan \sqrt{x}) \cdot \sec ^{2}(\sqrt{x})
Example:5. \frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}
Solution:माना y=\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)} \\ \frac{d y}{d x} \\ =\frac{\cos (cx+d) \frac{d}{d x} \sin (a x+b)-\sin (a x+b) \frac{d}{d x} \cos (cx+d)}{\cos ^{2}(c x+d)} \\ =\frac{\cos (c x+d) \cdot \cos (a x+b) \cdot a-\sin (a x+b)\{-\sin (cx+d) \cdot c\}}{\cos ^{2}(c x+d)} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{a \cos (c x+d) \cos (a x+b)+c \sin(ax+b) \sin(cx+d)}{ \cos ^{2}(c x+d) }

Differentials of Composite Functions

Example:6. \cos x^{3} \cdot \sin ^{2}\left(x^{5}\right)
Solution:माना y=\cos x^{3} \cdot \sin^{2} \left(x^{5}\right) \\ \frac{d y}{d x}=\cos x^{3} \frac{d}{d x} \sin^{2} \left(x^{5}\right)+\sin^{2} x^{5} \frac{d}{d x} \cos x^{3} \\ =\cos x^{3} \cdot 2 \sin x^{5} \cos x^{5} \frac{d}{dx} \left(x^{5} \right) +\sin ^{2}\left(x^{5}\right)\left(-\sin x^{3}\right) \frac{d}{dx}\left(x^{3}\right) \\ = 2 \cos x^{2} \sin x^{5} \cos x^{5} \cdot 5 x^{4}+\sin { }^{2}\left(x^{5}\right) \sin x^{2} \cdot 3 x^{2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}= 10 x^{4} \cos x^{3} \sin x^{5} \cos x^{5}-3 x^{2} \sin ^{2}\left(x^{5}\right) \sin x^{3}
Example:7. 2 \sqrt{\cot \left(x^{2}\right)}
Solution:माना y=2 \sqrt{\cot \left(x^{2}\right)} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{2}{2 \sqrt{\cot \left(x^{2} \right)}} \cdot \frac{d}{d x} \cot \left(x^{2}\right) \\ =\frac{1}{\sqrt{\cot \left(x^{2}\right)}} \cdot \left ( -\operatorname{cosec}^{2} x^{2}\right ) \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right) \\ =-\frac{\operatorname{cosec}^{2} x^{2}}{\sqrt{\cot \left(x^{2}\right)}} \cdot 2 x \\ =-\frac{2 x \operatorname{cosec}^{2} x^{2}}{\sqrt{\cot \left(x^{2}\right)}} \\ =-\frac{2 x}{\sin ^{2} x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{\cos x^{2}}{\sin x^{2}}}}\\ =\frac{-2 x}{\sin ^{2} x^{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{2 \cos x^{2} \sin x^{2}}{\sin ^{2} x^{2}}}}\\ =\frac{-2 \sqrt{2} x}{\frac{\sin^{2} x^{2}}{\sin x^{2}} \sqrt{\sin \left(2 x^{2}\right)}}\\ =-\frac{2 \sqrt{2} x}{\sin x^{2} \sqrt{\sin \left(2 x^{2}\right)}}
Example:8. \cos (\sqrt{x})
Solution:माना y=\cos \sqrt{x} \\ \frac{d y}{d x}=-\sin \sqrt{x} \frac{d}{d x} \left ( \sqrt{x} \right ) \\ =-\sin \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\sin \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}
Example:9.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=|x-1| , x \in R , x=1 पर अवकलित नहीं है।
Solution: f(x)=|x-1| \\ L f^{\prime}(1)=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|1-h-1|-|1-1|}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|-h|-0}{-h} \\=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{h}{-h} \\ \Rightarrow L f^{\prime}(1)=-1 \\ R f^{\prime}(1)=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(1+h)-f(1)}{+h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|1+h-1|-|1-1|}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h|-0}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{h}{h} \\ \Rightarrow R f'(1)=1 \\ L f^{\prime}(1) \neq R f^{\prime}(1)
अतः अवकलनीय नहीं है।
Example:10.सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन f(x)=[x],0<x<3 ,x=1 तथा x=2 पर अवकलित नहीं है।
Solution:f(x)=[x] \\ L f^{\prime}(1)=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h}\\ =\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{[1-h]-[1]}{-h}\\=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{1-1}{-h}\\ =\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{0}{-h}\\ L f^{\prime}(1)=0 \\ R f^{\prime}(1)=\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\ =\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{[1+h]-[1]}{h}\\ =\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2-1}{h}\\ =\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{h}\\ \Rightarrow R f^{\prime}(1)=\infty\\ L f^{\prime}(1) \neq R f^{\prime}(1) 
अतः फलन x=1 पर अवकलनीय नहीं है।

L f^{\prime}(2) =\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(2-h)-f(2)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{[2-h]-[2]}{-h} \\=\lim _{h \rightarrow 0^{-}}-\frac{2-2}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{0}{-h} \\ \Rightarrow L f^{\prime}(2) =0 \\ R f^{\prime}(2) =\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0+} \frac{[2+h]-[2]}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{3-2}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{h} \\ \Rightarrow R f^{\prime}(2) =\infty \\ L f^{\prime}(2) \neq R f^{\prime}(2)
अतः फलन x=2 पर अवकलनीय नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संयुक्त फलनों के अवकलज (Differentials of Composite Functions),अवकलनीयता (Differentiability) को समझ सकते हैं।

3.संयुक्त फलनों के अवकलज पर आधारित सवाल (Questions Based on Differentials of Composite Functions):

Differentials of Composite Functions

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए:

(1.) 4^{x}+x^{4}+4^{4} \\ (2.) e^{n \log _{e} x}+e^{x \log e^{n}}+ e^{n \log _{e} n} \\ (3.) \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} \\ (4) x^{5}-3 \cos x
उत्तर (Answers):(1.) 4^{x} \log _{e} 4+4 x^{3} \\ (2) n x^{n-1}+n^{x} \log e^{n} \\ (3.) 1-\frac{1}{x^{2}} \\ (4.) 5 x^{4}+3 \sin x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संयुक्त फलनों के अवकलज (Differentials of Composite Functions),अवकलनीयता (Differentiability) को ठीक से समझ सकते हैंं।

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4.संयुक्त फलनों के अवकलज (Differentials of Composite Functions),अवकलनीयता (Differentiability) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

संयुक्त फलनों के अवकलज (Differentials of Composite Functions) में परिभाषा से सीधे
अवकल गुणांक ज्ञात करने की विधि को प्रथम सिद्धान्त से अवकलन कहते हैं।इस आर्टिकल में
फलनों के बीजीय योगफल (या अन्तर) का अवकलज