1.उपसारणिक और सहखण्ड कक्षा 12 (Minor and Co-factor Class 12),कक्षा 12 में उपसारणिक और सहखण्ड (Minor and Co-factor in Class 12):

Minor and Co-factor Class 12

उपसारणिक और सहखण्ड कक्षा 12 (Minor and Co-factor Class 12) के इस आर्टिकल में उपसारणिकों और सहखंडों का प्रयोग करके सारणिकों के प्रसरण का विस्तृत रूप लिखना सीखेंगे।
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2.उपसारणिक और सहखण्ड कक्षा 12 के उदाहरण (Minor and Co-factor Class 12 Examples):

Example:1.निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।
Example:1(i). \left|\begin{array}{rr} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{array}\right|
Solution: \left|\begin{array}{rr} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{array}\right|
M_{11}= अवयव a_{11} का उपसारणिक=3
M_{12}=अवयव a_{12} का उपसारणिक=0
M_{21}=अवयव a_{21} का उपसारणिक=-4
M_{22}=अवयव a_{22} का उपसारणिक=2
अब a_{i j} का सहखंड A_{i j} है।इसलिए
A_{11}=a_{11} का सहखण्ड=(-1)^{1+1} M_{11}=(-1)^2=3
A_{12}=a_{12} का सहखण्ड=(-1)^{1+2} M_{12}=(-1)^3 0=0
A_{21}=a_{21} का सहखण्ड=(-1)^{2+1} M_{21}=(-1)^3 (-4)=4
A_{22}=a_{22} का सहखण्ड=(-1)^{2+2} M_{22}=(-1)^4 \cdot 2=2
Example:1(ii).\left|\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right|

Solution:-\left|\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right|
M_{11}=अवयव a_{11} का उपसारणिक=d
M_{12}=अवयव a_{12} का उपसारणिक=b
M_{21}=अवयव a_{21} का उपसारणिक=c
M_{22}=अवयव a_{22} का उपसारणिक=a
A_{11}=a_{11} का सहखण्ड=(-1)^{1+1} M_{11}=(-1)^2 d=d
A_{12}=a_{12} का सहखण्ड=(-1)^{1+2} M_{12}=(-1)^3 b=-b
A_{21}=a_{21} का सहखण्ड=(-1)^{2+1} M_{21}=(-1)^3 c=-c
A_{22}=a_{22} का सहखण्ड=(-1)^{2+2} M_{22}=(-1)^4 a=a
Example:2(i). \left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right|
Solution: \left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right| \\ M_{11}= \text{अवयव } a_{11} \text{ का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right|=1 \\ M_{12}=\text{अवयव } a_{12} \text{ का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 1\end{array}\right| =0 \\ M_{13}=\text{अवयव } a_{13} \text{ का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\0 & 0\end{array} \right| =0 \\ M_{21}=\text{अवयव } a_{21} \text{ का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll} 0 & 0 \\0 & 1 \end{array} \right|= 0 \\ M_{22}=\text{अवयव } a_{22} \text{ का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right|=1 \\ M_{23}=\text{अवयव } a_{23} \text{ का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right|=0 \\ M_{31}=\text{अवयव } a_{31} \text{ का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll} 0 & 0 \\1 & 0\end{array}\right|=0 \\ M_{32}=\text{अवयव } a_{32} \text{ का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\0 & 0\end{array}\right|=0 \\ M_{33}=\text{अवयव } a_{33} \text{ का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right|=1 \\ A_{11}=a_{11} \text { का सहखण्ड } =(-1)^{1+1} M_{11}=(-1)^2 1=1 \\ A_{12}= a_{12} \text { का सहखण्ड } =(-1)^{1+2} M_{12}=(-1)^3 0=0 \\A_{13}=a_{13} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{+3} M_{13}=(-1)^4 0=0 \\ A_{21}=a_{21} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{2+1} M_{21}=(-1)^3 0=0 \\ A_{22}=a_{22} \text { का सहखण्ड } =(-1)^{24^2} M_{22}=(-1)^4=1 \\ A_{23}=a_{23} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{43} M_{23}=(-1)_0^5=0 \\ A_{31}=a_{31} \text { का सहखण्ड } =(-1)^{3+1} M_{31}=(-1)^4=0 \\ A_{32}=a_{32} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{3+2} M_{32}=(-1)^5 0=0 \\ A_{33}=a_{33} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{3+3} M_{33}=(-1)^6 1=1
Example:2(ii). \left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right|
Solution: \left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right| \\ M_{11}=\text{ अवयव } a_{11} \text { का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{rr} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{array}\right| \\ \Rightarrow M_{11}=10-(1)(-1)=10+1=11 \\ M_{12}= \text{ अवयव } a_{12} \text { का उपसारणिक } =\left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right| \\ \Rightarrow M_{11}=3 \times 2-0 \times-1=6 \\ M_{13}=\text{ अवयव } a_{13} \text { का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{array}\right| \\ \Rightarrow M_{13}=3 \times 1-5 \times 0=3 \\ M_{21}=\text{ अवयव } a_{21} \text { का उपसारणिक }= \left|\begin{array}{ll} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}\right| \\ \Rightarrow M_{21}=0 \times 2-1 \times 4=-4 \\ M_{22}=\text{ अवयव } a_{22} \text { का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{array}\right| \\ \Rightarrow M_{22}=1 \times 2-0 \times 4=2 \\ M_{23}=\text{ अवयव } a_{23} \text { का उपसारणिक }= \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right| \\ \Rightarrow M_{23}=1 \times 1-0 \times 0=1 \\ M_{31}=\text{ अवयव }a_{31} \text { का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{cc}0 & 4 \\5 & -1\end{array}\right| \\ \Rightarrow M_{31}=0 \times-1-4 \times 5=-20 \\ M_{32}=\text{ अवयव } a_{32} \text { का उपसारणिक }= \left|\begin{array}{cc}1 & 4 \\3 & -1\end{array}\right| \\ \Rightarrow M_{32}=1 \times-1-4 \times 3=-1-12=-13 \\ M_{33}=\text{ अवयव } a_{33} \text { का उपसारणिक }=\left|\begin{array}{ll}9 & 0 \\3 & 5 \end{array}\right| \\ \Rightarrow M_{33}=1 \times 5-0 \times 3=5 \\ A_{11}=a_{11} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{1+1} M_{11} \\ \Rightarrow A_{11}=(-1)^2 11=11 \\ A_{12}=a_{12} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{1+2} M_{12} \\ \Rightarrow A_{12}=(-1)^3 6=-6 \\ A_{13}=a_{13} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{+3} M_{13} \\ \Rightarrow A_{13}=(-1)^4=3 \\ A_{21}=a_{21} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{2+1} M_{21} \\ \Rightarrow A_{21}=(-1)^3(-4)=4 \\ A_{22}=a_{22} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{2+2} M_{22} \\ \Rightarrow A_{22}=(-1)^4=2 \\ \Rightarrow A_{22}=(-1)^4 2=2 \\ A_{23}=a_{23} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{2+3} M_{23} \\ \Rightarrow A_{23}=(-1)^5(1)=-1 \\ A_{31}=a_{31} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{3+1} M_{31} \\ \Rightarrow A_{31}=(-1)^4(-20)=-20 \\ A_{32}=a_{32} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{3+2} M_{32} \\ \Rightarrow A_{32}=(-1)^5(-13)=13 \\ A_{33}=a_{33} \text { का सहखण्ड }=(-1)^{3+3} M_{33} \\ \Rightarrow A_{33}=(-1)^6 (5)=5

Minor and Co-factor Class 12

Example:3.दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके \Delta=\left|\begin{array}{lll}5 & 3 & 8 \\2 & 0 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right| का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \Delta=\left|\begin{array}{lll}5 & 3 & 8 \\2 & 0 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right| \\ A_{21}=(-1)^{2+1} M_{21}=(-1)^3\left|\begin{array}{ll}3 & 8 \\2 & 3\end{array}\right| \\ \Rightarrow A_{21}=(-1)[3 \times 3-2 \times 8]=-(9-16)=7 \\ A_{22}=(-1)^{2+2} M_{22} =(-1)^4\left|\begin{array}{ll}5 & 8 \\1 & 3\end{array}\right| \\ =-1[5 \times 3-8 \times 1] \\ \Rightarrow A_{22}=-(15-8)=-7 \\ A_{23}=(-1)^{2+3} M_{23} \\ =(-1)^5\left|\begin{array}{ll}5 & 3 \\1 & 2\end{array}\right|=-1(5 \times 2-3 \times 1) \\ \Rightarrow A_{23}=-1(10-3)=-7 \\ \Rightarrow a_{21} A_{21}+a_{22} A_{22}+a_{23} A_{23}=2 \times 7+0 \times 7+1 \times-7=14-7 =7
Example:4.तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके \left|\begin{array}{lll}1 & x & y z \\1 & y & z x \\1 & z & x y\end{array}\right| का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \left|\begin{array}{lll}1 & x & y z \\1 & y & z x \\1 & z & x y\end{array}\right| \\ \\ A_{13}=(-1)^{1+3} M_{13}=(-1)^4 \left|\begin{array}{ll}1 & y \\1 & z\end{array}\right|=(z-y) \\ A_{23}=(-1)^{2+3} M_{23}=(-1)^5 \left|\begin{array}{ll}1 & x \\1 & z \end{array}\right| \\ \Rightarrow A_{23}=(-1) \times (z-x)=(x-z) \\ A_{33}=(-1)^{3+3} M_{33}=(-1)^6 \left|\begin{array}{ll}1 & x \\1 & y \end{array}\right| \\ \Rightarrow A_{33}=(y-x) \\ \Delta=a_{13} A_{13}+a_{23} A_{23}+a_{33} A_{33}\\ =yz(z-y)+zx(x-z)+xy(y-x) \\=yz^2-y^2 z+zx^2-z^2 x+xy^2-x^2 y  \\ =(x-y)\left(z x+z y-z^2-x y\right) \\ =x^2 z-z y^2-z^2 x+z^2y+xy^2-x^2y \\ =(x-y)[-z(z-x)+y(z-x)] \\ \Rightarrow \Delta =(x-y)(y-z)(z-x)
Example:5.यदि \Delta=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]  और a_{i j} का सहखण्ड A_{i j} हो तो \Delta का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

(A) a_{11} A_{31}+a_{12} A_{32}+a_{13} A_{33} (B) a_{11} A_{11}+a_{12} A_{21}+a_{13} A_{31}
(C) a_{21} A_{11}+a_{22} A_{12}+a_{23} A_{13} (D) a_{11} A_{11}+a_{21} A_{21}+a_{31} A_{31}
Solution:सारणिक का किसी पंक्ति (या स्तम्भ) के अवयवों तथा उनके संगत सहखण्डों के गुणनफल का योग होता है।
अतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा उपसारणिक और सहखण्ड कक्षा 12 (Minor and Co-factor Class 12),कक्षा 12 में उपसारणिक और सहखण्ड (Minor and Co-factor in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.उपसारणिक और सहखण्ड कक्षा 12 की समस्याएँ (Minor and Co-factor Class 12 Problems):

Minor and Co-factor Class 12

निम्नलिखित सारणिकों में प्रथम स्तम्भ के अवयवों की उपसारणिक एवं सहखण्ड लिखकर उसका भी मान ज्ञात कीजिए।

(1.) \left|\begin{array}{ccc}1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 2\end{array}\right|
(2) \left|\begin{array}{lll}a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c\end{array}\right|
उत्तर (Answers):(1.) M_{11}=-12, M_{21}=-16, M_{31}=-4 \\ A_{11} =-12, A_{21}=16, A_{31}=-4,40
(2.) M_{11}=b c-f^2, M_{21}=h c-f g, M_{31}=h f-b g,A_{11}=b c-g^2, A_{21}=f g-h c, A_{31}=h f-b g,a b c+2 f g h-a f^2-b g^2-c h^2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर उपसारणिक और सहखण्ड कक्षा 12 (Minor and Co-factor Class 12),कक्षा 12 में उपसारणिक और सहखण्ड (Minor and Co-factor in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.उपसारणिक और सहखण्ड कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Minor and Co-factor Class 12),कक्षा 12 में उपसारणिक और सहखण्ड (Minor and Co-factor in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

उपसारणिक और सहखण्ड कक्षा 12 (Minor and Co-factor Class 12) के इस आर्टिकल में
उपसारणिकों और सहखंडों का प्रयोग करके सारणिकों के प्रसरण का विस्तृत रूप लिखना सीखेंगे।