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Probability Distribution of a Random Variable

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1 यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of a Random Variable),रैंडम वेरिएबल का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of Random Variable):
1.2 3.यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन समस्याएं (Probability Distribution of a Random Variable Problems):

यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of a Random Variable),रैंडम वेरिएबल का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of Random Variable):

यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of a Random Variable) को जानने के लिए इसमें प्रयुक्त होनेवाले पद यादृच्छिक चर व प्रायिकता बंटन को समझना आवश्यक है।
यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन (Random Variables and its Probability Distribution):
प्रतिदर्श समष्टि किसी यादृच्छिक परीक्षण के सभी संभव परिणामों का समुच्चय होता है।किसी यादृच्छिक परीक्षण के परिणामों का प्रकार संख्यात्मक अथवा असंख्यात्मक हो सकता है।
उदाहरण के लिए सिक्के को उछालने के परीक्षण में परिणाम असंख्यात्मक (चित या पट) प्राप्त होता है जबकि पासे को फेंकने के परीक्षण में परिणाम संख्यात्मक (1 अथवा 2 अथवा 3 अथवा 4 अथवा 5 अथवा 6) प्राप्त होता है।
इन यादृच्छिक परीक्षणों में से कई परीक्षणों में हम कई बार किसी विशेष परिणाम के इच्छुक नहीं होते बल्कि हमारी रूचि इन परिणामों से सम्बन्धित किसी संख्या में होती है।जैसे:
(i)चार सिक्कों को उछालने के परीक्षण में हमारी रूचि केवल चितों की संख्या में हो सकती है न कि सिक्कों के चित और पट आने के अनुक्रम में
(ii)दो पासों के एक युग्म को फेंकने के परीक्षण में हम केवल दोनों पासों पर प्रकट संख्याओं के योग में इच्छुक हो सकते हैं।उपर्युक्त परीक्षणों में से प्रत्येक परीक्षण में हमारे पास एक नियम है जिसके अन्तर्गत प्रत्येक परिणाम एक वास्तविक संख्या से सम्बद्ध होता है।यह वास्तविक संख्या यादृच्छिक परीक्षण के प्रत्येक परिणाम के लिए भिन्न-भिन्न भी हो सकती है तथा इसका मान परीक्षण के परिणामों पर निर्भर करता है अतः इसे यादृच्छिक चर कहते हैं।
परिभाषा (Definition):एक यादृच्छिक चर वह फलन होता है जिसका प्रान्त किसी यादृच्छिक परीक्षण के परिणामों का समुच्चय (या प्रतिदर्श समष्टि) होता है तथा सहप्रान्त वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है क्योंकि एक यादृच्छिक चर कोई भी मान ग्रहण कर सकता है।
एक विमीय यादृच्छिक चरों को सामान्यतया X,Y,Z आदि से निरूपित किया जाता है।
उदाहरण के लिए एक सिक्के को तीन बार अनुक्रम में उछाले जाने के परीक्षण पर विचार करते हैं जिसका प्रतिदर्श समष्टि निम्न है:
S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTT}
यदि X प्राप्त चितों की संख्या को व्यक्त करता हो तब X एक यादृच्छिक चर है तथा प्रत्येक परिणाम के लिए X का मान निम्न प्रकार से दिया जाता है:
X(HHH)=3,X(HHT)=2=X(HTH)=X(TTH),X(HTT)=1=X(THT)=X(TTH),X(TTT)=0
टिप्पणी:एक ही प्रतिदर्श समष्टि पर एक से अधिक यादृच्छिक चर परिभाषित किए जा सकते हैं।
यादृच्छिक चर दो प्रकार के होते हैं:
(i)विविक्त यादृच्छिक चर
(ii)संतत यादृच्छिक चर
(i)विविक्त यादृच्छिक चर:यदि कोई यादृच्छिक चर या तो परिमित या गणनीय अनन्त मान ग्रहण करता है तो वह चर विविक्त यादृच्छिक चर कहलाता है।जैसे:
(a)किसी कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या
(b)किसी पुस्तक के प्रत्येक पृष्ठ में मुद्रण त्रुटियों की संख्या
(c)किसी कार्यालय में प्राप्त शिकायतों की संख्या
(d)5 लाल व 4 नीली गेंदों से भरे थैले में से निकाली गई लाल गेंदों की संख्या आदि।
(ii)संतत यादृच्छिक चर:यदि कोई यादृच्छिक चर किसी निश्चित अन्तराल में सभी मानों को ग्रहण करता है तो वह संतत यादृच्छिक चर कहलाता है।जैसे:
(a)किसी व्यक्ति की ऊँचाई
(b)x=\{x \in R: 0<x<1\} आदि
टिप्पणी:इस आर्टिकल में यादृच्छिक चर से तात्पर्य विविक्त यादृच्छिक चर से ही लिया जाएगा।
(2.)यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of a Random Variable):
किसी यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन उस चर द्वारा ग्रहण किए गए सभी संभव मानों तथा इन मानों के संगत प्रायिकताओं का विवरण होता है।यदि एक यादृच्छिक चर विभिन्न मानों x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n} को संगत प्रायिकताओं p_{1},p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{n} के साथ ग्रहण करता है तब प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार होगा:

\begin{Bmatrix}X=x: & x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n} \\ P(X): & p_{1} & p_{2} & p_{3} & \cdots & p_{n}\end{Bmatrix}
जहाँ p_{i}>0 तथा \sum_{i=1}^{n} p_{i}=1 ; \quad i=1,2,3, \ldots, n
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2.यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन के उदाहरण (Probability Distribution of a Random Variable Examples):

ज्ञात कीजिए निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौनसा यादृच्छिक चर X के लिए संभव है।
Example:1.

X012
P(X)0.40.40.2

Solution:प्रायिकताओं का योग \sum P(x)=0.4+0.4+0.2=1
अतः दिया गया बंटन प्रायिकता बंटन है।
Example:2.

X012
P(X)0.60.10.2

Solution:प्रायिकताओं का योग \sum P(x)=0.6+0.1+0.2=0.9<1
अतः दिया गया बंटन प्रायिकता बंटन नहीं है।

Example:3.

X01234
P(X)0.10.50.2-0.10.3

Solution:यहाँ पर p(3)=-0.1 ऋणात्मक है।
अतः दिया गया बंटन प्रायिकता बंटन नहीं है।
Example:4.दो सिक्कों के युगपत उछाल में चितो की संख्या की संख्या को यादृच्छिक चर X मानते हुए प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Solution:दो सिक्कों के युगपत उछाल में प्रतिदर्श समष्टि
S={HH,HT,TH,TT}
X एक यादृच्छिक चर है जो चितो की संख्या को प्रकट करता है।अतः चितो की संख्या 0,1,2 है।
P(X=0)=P(चित नहीं)

=\frac{1}{4} (TT)
P(X=1)=P(एक चित)

=\frac{2}{4} [(HT),(TH)]

=\frac{1}{2}
P(X=2)=P(दो चित)

=\frac{1}{4} [(HH)]
अतः X का प्रायिकता बंटन निम्न है:

X012
P(X)\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{4}

Example:5.चार खराब संतरे,16 अच्छे संतरों में मिला दिए गए हैं।दो संतरों के निकालने में खराब सन्तरों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Solution:X एक यादृच्छिक चर है जो दो खराब संतरों के निकाले जाने की संख्या को व्यक्त करता है।अतः खराब संतरों की संख्या 0,1,2 है।
P(X=0)=P(दोनों संतरे खराब नहीं)

=\frac{16}{20} \times \frac{15}{19} \\ \Rightarrow P(X=0)=\frac{12}{19}
P(X=1)=P(पहला संतरा खराब व दूसरा संतरा खराब नहीं अथवा पहला संतरा खराब नहीं व दूसरा संतरा खराब)
=P(पहला संतरा खराब व दूसरा संतरा खराब नहीं)+P(पहला संतरा खराब नहीं व दूसरा संतरा खराब)
=P(पहला संतरा खराब) P(दूसरा संतरा खराब नहीं)+P(पहला संतरा खराब नहीं) P(दूसरा संतरा खराब)

=\frac{4}{20} \times \frac{16}{19}+\frac{16}{20} \times \frac{4}{19} \\ \frac{16}{95}+\frac{16}{95} \\ \Rightarrow P(X=1)=\frac{32}{95}
P(X=2)=P(दोनों संतरें खराब)

=P(पहला संतरा खराब) P(दूसरा संतरा खराब)

=\frac{4}{20} \times \frac{3}{19} \\ \Rightarrow P(X=2)=\frac{3}{95}
अतः X का प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार है:

X012
P(X)\frac{12}{19}\frac{32}{95}\frac{3}{95}

Example:6.एक कलश में 4 सफेद तथा 3 लाल गेंदें हैं।तीन गेंदों के यादृच्छया निकाल में लाल गेंदों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Solution:X एक यादृच्छिक चर है जो तीन लाल गेंदों के यादृच्छया निकाले जाने की संख्या को व्यक्त करता है।अतः लाल गेंदों के निकाले जाने की संख्या 0,1,2,3 है।
P(X=0)=P(तीन गेंदें लाल नहीं)

\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \\ \Rightarrow P(X=0)=\frac{4}{35}
P(X=1)=P(पहली लाल व दूसरी व तीसरी सफेद गेंद अथवा पहली सफेद तथा दूसरी लाल व तीसरी सफेद गेंद अथवा पहली सफेद व दूसरी सफेद तथा तीसरी लाल गेंद)
=P(RWW)+R(WRW)+P(WWR)
=P(R) P(W) P(W)+P(W) P(R) P(W)+P(W) P(W) P(R)

=\frac{3}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{5}+\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5}+\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} \\ =\frac{6}{35}+\frac{6}{35}+\frac{6}{35} \\ P(X=1)=\frac{18}{35}
P(X=2)=P(पहली व दूसरी लाल तथा तीसरी सफेद गेंद अथवा पहली लाल व दूसरी सफेद तथा तीसरी लाल गेंद अथवा पहली सफेद व दूसरी लाल तथा तीसरी लाल गेंद)
P(RRW)+R(RWR)+P(WRR)
=P(R) P(R) P(W)+P(R) P(W) P(R)+P(W) P(R) P(R)

=\frac{3}{7} \times \frac{2}{6} \times \frac{4}{5}+\frac{3}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{5}+\frac{4}{8} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \\ =\frac{4}{35}+\frac{4}{35}+\frac{4}{35}=\frac{12}{35} \\ \Rightarrow P(X=2)=\frac{12}{35}
P(X=3)=P(तीनों गेंद लाल)

=\frac{3}{7} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \\ \Rightarrow P(X=3)= \frac{1}{35}
अतः X का प्रायिकता बंटन निम्न है:

X0123
P(X)\frac{4}{35}\frac{18}{35}\frac{12}{35}\frac{1}{35}

Example:7.10 वस्तुओं के ढेर में 3 वस्तुएँ त्रुटिपूर्ण हैं।इस ढेर में से 4 वस्तुओं का एक प्रतिदर्श यादृच्छया निकाला जाता है।माना प्रतिदर्श में त्रुटिपूर्ण वस्तुओं को यादृच्छिक चर X द्वारा निरूपित किया जाता है।ज्ञात कीजिए:
(i)X का प्रायिकता बंटन
(ii)P\left( X \leq 1 \right)
(iii)P(x<1)
(iv)P(0<X<2)
Solution:X एक यादृच्छिक चर है जो त्रुटिपूर्ण वस्तुओं की संख्या को प्रकट करता है।अतः त्रुटिपूर्ण वस्तुओं के निकाले जाने की संख्या 0,1,2,3 है।
P(X=0)=P(कोई त्रुटिपूर्ण वस्तु नहीं)

\Rightarrow P(X=0)=\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7}=\frac{1}{6}
P(X=1)=P(पहली त्रुटिपूर्ण तथा अन्य तीन वस्तुएं त्रुटिपूर्ण नहीं अथवा पहली त्रुटिपूर्ण नहीं व दूसरी त्रुटिपूर्ण तथा तीसरी व चौथी त्रुटिपूर्ण वस्तुएँ नहीं अथवा पहली व दूसरी वस्तुएँ त्रुटिपूर्ण नहीं व तीसरी त्रुटिपूर्ण तथा चौथी वस्तु त्रुटिपूर्ण नहीं अथवा प्रथम तीन वस्तुएं त्रुटिपूर्ण नहीं व चौथी वस्तु त्रुटिपूर्ण)

=\frac{3}{10} \times \frac{7}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{5}{7}+\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{5}{7} +\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{5}{7}+\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} \\ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \\ =\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\ P(X=1) =\frac{1}{2}
P(X=2)=P(पहली व दूसरी त्रुटिपूर्ण तथा अन्तिम दो वस्तुएं त्रुटिपूर्ण नहीं अथवा पहली त्रुटिपूर्ण वस्तु व दूसरी त्रुटिपूर्ण नहीं तथा तीसरी त्रुटिपूर्ण व चौथी त्रुटिपूर्ण वस्तुएँ नहीं अथवा पहली त्रुटिपूर्ण वस्तु व दूसरी वस्तुएँ त्रुटिपूर्ण नहीं व तीसरी त्रुटिपूर्ण नहीं तथा चौथी वस्तु त्रुटिपूर्ण अथवा प्रथम त्रुटिपूर्ण वस्तु नहीं व द्वितीय त्रुटिपूर्ण व तृतीय त्रुटिपूर्ण नहीं व चौथी वस्तु त्रुटिपूर्ण अथवा प्रथम त्रुटिपूर्ण वस्तु नहीं व द्वितीय त्रुटिपूर्ण नहीं व तृतीय त्रुटिपूर्ण व चौथी वस्तु त्रुटिपूर्ण अथवा प्रथम त्रुटिपूर्ण वस्तु नहीं व द्वितीय त्रुटिपूर्ण व तृतीय त्रुटिपूर्ण व चौथी वस्तु त्रुटिपूर्ण वस्तु नहीं)

=\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \times \frac{7}{8} \times \frac{6}{7}+\frac{3}{10} \times \frac{7}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{6}{7}+\frac{3}{10} \times \frac{7}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{2}{7}+\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{2}{7}+\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7}+\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{6}{7} \\ =\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20} \\ =\frac{6}{20} \\ P(X=2) =\frac{3}{10}
P(X=3)=P(प्रथम, द्वितीय व तृतीय त्रुटिपूर्ण व चतुर्थ त्रुटिपूर्ण वस्तु नहीं अथवा प्रथम, द्वितीय त्रुटिपूर्ण व तृतीय त्रुटिपूर्ण नहीं तथा चतुर्थ त्रुटिपूर्ण वस्तु अथवा प्रथम त्रुटिपूर्ण,द्वितीय त्रुटिपूर्ण नहीं व तृतीय तथा चतुर्थ त्रुटिपूर्ण वस्तु अथवा प्रथम त्रुटिपूर्ण वस्तु नहीं व द्वितीय,तृतीय तथा चतुर्थ त्रुटिपूर्ण वस्तु)

=\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{7}{7}+\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \times \frac{7}{8} \times \frac{1}{7}+\frac{3}{10} \times \frac{7}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{1}{7}+\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} \\ =\frac{1}{120}+\frac{1}{120}+\frac{1}{120}+\frac{1}{120} \\ =\frac{4}{120} \\ \Rightarrow P(X=3) =\frac{1}{30}

(ii)P(X \leq 1) =P(0)+P(1) \\=\frac{1}{6}+\frac{1}{2} \\=\frac{1+3}{6} \\=\frac{4}{6} \\ P(X \leq 1) =\frac{2}{3}

(iii)P(X<1) =P(0) \\ \Rightarrow P(X<1) =\frac{1}{6}

(iv)P(0<X<2)=P(1) \\ \Rightarrow P(0<X<2)=\frac{1}{2}
अतः X का प्रायिकता बंटन निम्न है:

X0123
P(X)\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{3}{10}\frac{1}{30}

Example:8.एक पासे को दो बार उछाला जाता है तब दोनों उछालों में पूर्ण वर्गों को यादृच्छिक चर X मानते हुए प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Solution:X एक यादृच्छिक चर X है जो पासे पर पूर्ण वर्ग संख्या को प्रकट करता है।अतः पासे पर पूर्ण वर्ग आने की संख्या 0,1,2 है।
P(X=0)=P(पासे की दोनों उछालों में पूर्ण वर्ग का न आना) P({2,2),(2,3),(2,5),(2,6),(3,2),(3,3),(3,5),(3,6),(5,2),(5,3),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,5),(6,6)})

=\frac{16}{36} =\frac{4}{9} \\ \Rightarrow P(X=0) =\frac{4}{9}
P(X=1)=P(एक उछाल में पूर्ण वर्ग आना)
=P({(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(4,2),(2,4),(4,3),(3,4),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4)})

=\frac{16}{36}=\frac{4}{9} \\ \Rightarrow P(X=1)=\frac{4}{9}
P(X=2)=P(पासे की दोनों उछालों में पूर्ण वर्ग आना)
=P({(1,4),(4,1),(1,1),(4,4)})

\Rightarrow P(X=2)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}
अतः X का प्रायिकता बंटन निम्न है:

X012
P(X)\frac{4}{9}\frac{4}{9}\frac{1}{9}

Example:9.एक कलश में 4 सफेद तथा 6 लाल गेंदें हैं।इस कलश में से चार गेंदें यादृच्छया निकाली जाती हैं।सफेद गेंदों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिये।
Solution:X एक यादृच्छिक चर है जो कलश में से सफेद गेंदों के निकालने की संख्या को प्रकट करता है।अतः सफेद गेंद निकालने के सम्भव मान 0,1,2,3,4 है।
P(X=0)=P(एक भी सफेद गेंद का न निकलना)
=P(RRRR)
=P(R) P(R) P(R) P(R)

=\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{3}{7} \\ \Rightarrow P(X=0) =\frac{1}{14}
P(X=1)=P(एक सफेद तथा तीन लाल गेंद का निकलना)
=P(WRRR)+P(RWRR)+P(RRWR)+P(RRRW)
=P(W) P(R) P(R) P(R)+P(R) P(W) P(R) P(R)+P(R) P(R) P(W) P(R)+P(R) P(R) P(R) P(W)

=\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7}+\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} +\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{4}{7}+\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} \\ =\frac{2}{21}+\frac{2}{21}+\frac{2}{21}+\frac{2}{21}=\frac{8}{21} \\ \Rightarrow P(X=1)=\frac{8}{21}
P(X=2)=P(दो सफेद तथा दो लाल गेंद का निकलना)
=P(WWRR)+P(WRWR)+P(WRRW)+P(RWRW)+P(RRWW)+P(RWWR)
=P(W) P(W) P(R) P(R)+P(W) P(R) P(W) P(R)+P(W) P(R) P(R) P(W)+P(R) P(W) P(R) P(W)+P(R) P(R) P(W) P(W)+P(R) P(W) P(W) P(R)

=\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{5}{10}+\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{5}{7}+\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{5}{10} +\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7}+\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{3}{7}+\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} \\= \frac{1}{14}+\frac{1}{14}+\frac{1}{14}+\frac{1}{14}+\frac{1}{14}+\frac{1}{14}=\frac{6}{14} \\ \Rightarrow P(X=2)=\frac{6}{14}
P(X=3)=P(तीन सफेद व एक लाल गेंद का निकलना)
=P(WWWR)+P(WWRW)+P(WRWW)+P(RWWW)
=P(W) P(W) P(W) P(R)+P(W) P(W) P(R) P(W)+P(W) P(R) P(W) P(W)+P(R) P(W) P(W) P(W)

=\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{6}{7}+\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{2}{7} +\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7}+\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} \\ =\frac{1}{35}+\frac{1}{35}+\frac{1}{35}+\frac{1}{35}=\frac{4}{35} \\ \Rightarrow P(X=3)=\frac{4}{35}
P(X=4)=P(चारों सफेद गेंद का निकलना)
=P(WWWW)
=P(W) P(W) P(W) P(W)

=\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} \\ =\frac{1}{210} \\ \Rightarrow P(X=4)=\frac{1}{210}
अतः X प्रायिकता बंटन है:

X01234
P(X)\frac{1}{14}\frac{8}{21}\frac{6}{14}\frac{4}{35}\frac{1}{210}

Example:10.पासों के एक जोड़े को तीन बार उछालने पर द्विको (Doublets) की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Solution:X एक यादृच्छिक चर है जो पासों पर द्विकों की संख्या को प्रकट करता है।अतः द्विकों की संख्या के सम्भव मान 0,1,2,3 हैं।
एक उछाल में द्विक प्रकट होना={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
एक उछाल में द्विकों का प्रकट न होना
P(X=0)=P(दोनों पासों की तीनों उछाल में द्विकों का प्रकट न होना)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\\ P(X=0)=\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{125}{216} \\ \Rightarrow P(X=0)=\frac{125}{216}
P(X=1)=P(दो पासों की तीन उछाल में से एक बार द्विक प्रकट होना)

=\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}+\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}+\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \\=\frac{25}{216}+\frac{25}{216}+\frac{25}{216} \\ =\frac{75}{216} \\ \Rightarrow P(X=1)=\frac{75}{216}
P(X=2)=P(दो पासों की तीन उछाल में से दो बार द्विक प्रकट होना)

=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}+\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}+\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ =\frac{5}{216}+\frac{5}{216}+\frac{5}{216} \\ =\frac{15}{216} \\ \Rightarrow P(X=2)=\frac{15}{216}
P(X=3)=P(दो पासों की तीनों उछाल में द्विक प्रकट होना)

=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\=\frac{1}{216} \\ \Rightarrow P(X=3) =\frac{1}{216}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of a Random Variable),रैंडम वेरिएबल का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of Random Variable) को समझ सकते हैं।

3.यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन समस्याएं (Probability Distribution of a Random Variable Problems):

(1.)एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है:

XP(X)
00
1K
22K
32K
43K
5K^{2}
62K^{2}
77K^{2}+K

ज्ञात कीजिए:
(i)k (ii)P(X<6) (iii) P(X \geq 6) (iv)P(0<X<5)
(2.)ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से तीन पत्ते निकाले गए हैं।इक्कों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):\text { (1.) (i) } K=\frac{1}{10} \text { (ii) } P(x<6)=\frac{81}{100} \text { (iii) } P(x \geq 6)=\frac{19}{100}(\text { iv }) P(0<x<5)=\frac{4}{5}

(2)

X0123
P(X)\frac{4324}{5525}\frac{1128}{5525}\frac{72}{5525}\frac{1}{5525}

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of a Random Variable),रैंडम वेरिएबल का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of Random Variable) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Bayes Theorem

4.यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of a Random Variable),रैंडम वेरिएबल का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of Random Variable) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.दो घटनाएँ A तथा B परस्पर स्वतन्त्र कहलाती है यदि:

उत्तर:P(\bar{A} \bar{B})=[1-P(A)][1-P(B)]

प्रश्न:2.पासों के एक जोड़े को उछालने पर प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य अंक प्राप्त करने की प्रायिकता निम्नलिखित में से क्या है?

उत्तर:\frac{1}{36}

प्रश्न:3.यदि A और B ऐसी घटनाएँ है कि A \subset B तथा P(B) \neq 0 तब निम्न में से कौनसा कथन सत्य है:

(क) P\left(\frac{A}{B}\right)<P(A) (ख) P\left(\frac{A}{B}\right) \geq P(A) (ग)P\left(\frac{A}{B}\right)=P \frac{(B)}{(A)} (घ) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:(ख) P\left(\frac{A}{B}\right) \geq P(A)

प्रश्न:4.ताश के 52 पत्तों की एक भलीभांति फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते यादृच्छया निकाले जाते है।माना यादृच्छिक चर X,इक्कों की संख्या को निरूपित करता है तब X का माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:\frac{2}{13}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of a Random Variable),रैंडम वेरिएबल का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of Random Variable) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Probability Distribution of a Random Variable

यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन
(Probability Distribution of a Random Variable)

Probability Distribution of a Random Variable

यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन (Probability Distribution of a Random Variable) को जानने
के लिए इसमें प्रयुक्त होनेवाले पद यादृच्छिक चर व प्रायिकता बंटन को समझना आवश्यक है।

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