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Zeroes of polynomial

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1 1.बहुपद के शून्यक (Zeroes of polynomial),कक्षा 9 में बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial Class 9):

1.बहुपद के शून्यक (Zeroes of polynomial),कक्षा 9 में बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial Class 9):

बहुपद के शून्यक (Zeroes of polynomial):सर्वप्रथम हमें ज्ञात होना चाहिए कि चर राशि को एक संकेत यथा x,y,z,……के रूप में व्यक्त किया जाता है।इसी प्रकार जब किसी अचर और चर को चारों मूलभूत संक्रियाओं के साथ व्यक्त किया जाता है तो उसे बीजीय व्यंजक कहते हैं।3x,5x आदि बीजीय व्यंजक हैं।बीजीय व्यंजक का सामान्य रूप ax है जिसमें a अचर और x चर है।सभी व्यंजकों में चर x के घातांक पूर्ण संख्या में हैं।इस प्रकार के व्यंजकों को एक चर वाला बहुपद (Polynomials in one variable) कहते हैं।उपर्युक्त उदाहरणों में x चर है।बहुपद को हम p(x),q(x),g(x) आदि से प्रकट करते हैं।उदाहरणार्थ: p(x)=3 x^{2}+4 x-5, g(x)=x^{3}+1, q(y)=y^{3}+2 y-1, s(t)=3-t-2 t^{2}+5 t^{3}
बहुपद में परिमित संख्या में कितने भी पद हो सकते हैं।

p(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{2} x^{n}+a_{1} x+a_{0}
जहाँ a_{n}, a_{n-1 ;} \cdots, a_{2}, a_{1}, a_{0} अचर a_{n} \neq 0 | बहुपद x^{2}+3x में x^{2}
तथा 3x बहुपद के पद(Term) है। बहुपद में प्रत्येक पद का एक गुणांक (Coefficients) होता है।
बहुपद 5 x^{3}-2 x^{2}+x+3 में
x^{3} का गुणांक=5
x^{2} का गुणांक=-2
x^{1} का गुणांक=1
x^{0} का गुणांक=3

क्या 3 एक बहुपद हैं ?
3,-7,9 आदि अचर बहुपद (Constant Polynomials) कहलाते हैं।0 को शून्य बहुपद कहते हैं।
एक पद वाले बहुपद को एकपदी (monomials) कहते हैं।जैसे:
3 x, 5 x^{2},-3 x^{3}, 2, t^{2}, y आदि।
दो पद वाले बहुपद को द्विपद (Binomials)कहते हैं।जैसे:
x+2, x^{2}-2 x, y^{n}+2, t^{30}-t^{3} आदि
इसी प्रकार तीन पदों वाले बहुपद को त्रिपद (Trinomials) कहते हैं।
जैसे: P(x)=x^{2}+x+1, \quad g(x)=x-x^{2}+\sqrt{3}, t(y)=y^{3}+y+3
किसी बहुपद में स्थित चर की अधिकतम घात वाले पद के घातांक को उस बहुपद की घात (Degree of the Polynomials) कहते हैं।
बहुपद p(x)=4 x^{3}-2 x^{2}+8 x-21 में अधिकतम घातांक वाले पद 4 x^{3} की घात=3
बहुपद q(y)=3 y^{7}-4 y^{6}+y+9 मेंअधिकतम घातांक वाले पद 3 y^{7} की घात=7
अतः बहुपद p(x) और q(x) की घात (degree) क्रमशः 3 और 7 है।
अचर बहुपद g(x)=2 में अधिकतम घातांक वाले पद 2= x^{0} की घात=0
अतः बहुपद g(x) की घात (degree) शून्य है।
एक घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) कहते हैं।
रैखिक बहुपद को सामान्य रूप से p(x)=ax+b, a \neq 0 द्वारा व्यक्त किया जाता है।एक रैखिक बहुपद में अधिकतम दो पद हो सकते हैं।अर्थात् रैखिक बहुपद एक पदी या द्विपदी हो सकता है।

P(x)=2 x^{2}-3 x+15, \quad g(x)=5 x^{2}+3 तथा g(y)=y^{2}+2 y
इन घात वाले बहुपद को द्विघाती बहुपद (Quadratic Polynomial) कहते हैं।द्विघाती बहुपद को सामान्य रूप से p(x)=ax^{2}+bx+c,a \neq 0 द्वारा व्यक्त किया जाता है।एक द्विघाती बहुपद में अधिकतम तीन पद हो सकते हैं।अर्थात् द्विघाती बहुपद एक पदी, द्विपदी, त्रिपदी हो सकता है।
इसी प्रकार तीन घात वाले बहुपद को त्रिघाती बहुपद (Cubic Polynomial) कहते हैं।त्रिघाती बहुपद को सामान्य रूप से p(x)=ax^{3}+bx^{3}+cx+d,a \neq 0 द्वारा व्यक्त किया जाता है।त्रिघाती बहुपद में अधिकतम चार पद हो सकते हैं।
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2.बहुपद के शून्यक के उदाहरण (Zeroes of polynomial Examples):

Example:1. निम्न व्यंजकों में कौनसे बहुपद हैं?बहुपदों के चरों की संख्या ज्ञात कीजिए.

(i) 3 x^{2}-5 x+13 \\ (ii) y^{2}+2 \sqrt{3} \\ \text{(iii)} y+\frac{3}{y} \\ \text{(iv)} 3 \\ \text { (v) } 2 \sqrt{x}+\sqrt{3} x \\ \text { (vi) } x^{12}+y^{3}+t^{20}
Solution:(i)बहुपद है।चरों की संख्या=एक
Solution:(ii)बहुपद है।चरों की संख्या=एक
Solution:(iii)बहुपद नहीं है क्योंकि घातांक पूर्ण संख्या नहीं है।
Solution:(iv)अचर बहुपद है।चरों की संख्या=0
Solution:(v)बहुपद नहीं है क्योंकि घातांक पूर्ण संख्या नहीं है।
Solution:(vi)बहुपद है।चरों की संख्या=तीन
Example:2.निम्न व्यंजकों में प्रत्येक में x^{2}  का गुणांक लिखिए:
(i) 12+3 x+5 x^{2} 
Solution:x^{2} का गुणांक=5
(ii)7-11 x+x^{3}
Solution:x^{2} का गुणांक=0
(iii)\sqrt{3} x-7
Solution:x^{2} का गुणांक=0
(iv)\frac{\pi}{2} x^{2}+x
Solution:x^{2} का गुणांक=\frac{\pi}{2}
Example:3.45 घात के एक द्विपद का उदाहरण दीजिए।
Solution:7 x^{45}+25 (अन्य बहुपद भी संभव है।)
Example:4.120 घात के एकपदी का उदाहरण लिखिए।
Solution:5 x^{120}(अन्य बहुपद भी संभव हैं।)
Example:5.8 घात के एक त्रिपदी का उदाहरण दीजिए।
Solution:3 x^{8}+4 x^{5}+2 x^{2} (अन्य बहुपद भी संभव हैं।)

Example:6.निम्न बहुपद में प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए।
(i)12-3 x+2 x^{3}
Solution:12-3 x+2 x^{3}
बहुपद में अधिकतम घात वाले पद 2 x^{3} की घात=3
अतः बहुपद की घात (degree) 3 है।
(ii)5 y-\sqrt{2}
Solution:5 y-\sqrt{2}
बहुपद में अधिकतम घात वाले पद 5y की घात=1
अतः बहुपद की घात (degree) 1 है।
(iii)9
Solution:9
बहुपद में अधिकतम घात वाले पद 9 x^{0} की घात=0
अतः बहुपद की घात (degree) 0 है।
(iv)3+4 t^{2}
Solution:3+4 t^{2}

बहुपद में अधिकतम घात वाले पद 4 t^{2} की घात=2
अतः बहुपद की घात (degree) 2 है।
Example:7.बहुपद 2 x^{3}-13 x^{2}+17 x+12 के मान x के निम्नलिखित मानों पर ज्ञात कीजिए।
(i)x=2
(ii)x=-3
(iii)x=0
(iv)x=-1

 Solution: P(x)=2 x^{3}-13 x^{2}+17 x+12 \\ \text { (i) } x=2 \\ \Rightarrow P(2) =2(2)^{3}- 13(2)^{2} +17 \times 2+12 \\ =2 \times 8-13 \times 4+34+12 \\ =16-52+34+12 \\ P(2) =10 \\ \text { (ii) } x=-3 \\ \Rightarrow P(-3) =2(-3)^{3}-13(-3)^{2}+17(-3)+12 \\ =2 \times -27-13 \times 9-51+12 \\ =-54-117-51+12 \\ \Rightarrow P\left(3\right) =-210 \\ \text { (iii) } x=0 \\ \Rightarrow P(0) =2(0)^{3}- 13(0)^{2}+17 \times 6+12 \\ =0-0+0+12 \\ \Rightarrow P(0)=12 \\ \text { (iv) } x=-1 \\ \Rightarrow P(-1) =2(-1)^{3}- 13(-1)^{2}+17 x-1+12 \\ =2 x-1-13 x-17+12 \\ =-2-13-17+12 \\ \Rightarrow P(-1) =-20
Example:8.निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(2),p(1) और p(0) का मान ज्ञात कीजिए।

\text { (i) } P(x)=x^{2}-x+1 \\ \text { (ii) } P(y)=(y+1)(y-1) \\ \text { (iii) } P(x)=x^{3} \\ \text { (iv) } P(t)=2+t+t^{2}-t^{3}
Solution: \text { (i) } P(x)=x^{2}-x+1 \\ \Rightarrow P(2)=2^{2}-2+1=4-2+1=3 \\ \Rightarrow P(1)=1^{2}-2+1=1-2+1=2-2=0 \\ \Rightarrow P(0)=0^{2}-0 +1=0 \\ \text { (ii) } P(y)=(y+1)(y-1)\\ \Rightarrow P(2)=(2+1)(2-1)=3 \times 1=3\\ \Rightarrow P(1)=(1+1)(1-1) =(2)(0)=0\\ \Rightarrow P(0)=(0+1)(0-1) =(1)(-1)=-1\\ \text { (iii) } P(x)=x^{3}\\ \Rightarrow P(2)=2^{3}=8\\ \Rightarrow P(1)=1^{3}=1\\ \Rightarrow P(0)=0^{3}=0 \\ \text { (iv) } P(t) =2+t+t^{2}-t^{3} \\ P(2) =2+2+ 2^{2}-2^{3} =2+2+4-8 =8-8=0 \\ \Rightarrow P(1) =2+1+1^{2}-1^{3} =3+1-1 \\ P(1) =3 \\ \Rightarrow P(0) =2+0+0^{2}-0^{3} =2
Example:9.निम्नलिखित बहुपदों के सम्मुख अंकित मान बहुपद के शून्यक हैं,सत्यापित कीजिए:

(i) p(x) x^{2}-1 ; x=1,1 \\ (ii) P(x)=2 x+1 ; x=-\frac{1}{2} \\ (iii) p(x)=4 x+5 ; x=\frac{-5}{4} \\ (iv) p(x)=3 x^{2} ; x=0 \\ (v) p(x)=(x-3)(x+5) ; x=3,-5 \\ (vi) p(x)=a x+b ; x=-\frac{b}{a} \\ (vii) p(x)=3 x^{2}-1 ; x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \\ (viii) p(x)=3 x+2 ; x=-\frac{2}{3}
Solution:(i) p(x)=x^{2}-1 ; x=1,-1 \\ P(1)=(1)^{2}-1=0
x=1 शून्यक है।

p(-1)=(-1)^{2}-1=1-1=0
x=-1 शून्यक है।
Solution:(ii) p(x)=2 x+1, x=-\frac{1}{2}\\ p\left(-\frac{1}{2}\right)=2\left(-\frac{1}{2}\right)+1\\ P\left(-\frac{1}{2}\right)=-1+1\\ x=-\frac{1}{2} शून्यक है।
Solution:(iii)p(x)=4 x+5 ; x=\frac{-5}{4}\\ P\left(-\frac{5}{4}\right)=4 \times \frac{5}{4}+5=-5+5=0 \\ x=-\frac{5}{4}  शून्यक है।
Solution:(iv)P(x)=3 x^{2} ; x=0\\ P(0)=3(0)^{2}=0
x=0 शून्यक है।
Solution:(v)p(x)=(x-3)(x+5) ; x=3,-5\\ P(3)=(3-3)(3+5)\\ =0(8) \\ \Rightarrow P(3)=0
x=3 शून्यक है।
p(-5)=(-5-3)(-5+5)
=(-8)(0)
p(-5)=0
x=-5 शून्यक है।
Solution:(vi)P(x)=a x+b ; x=-\frac{b}{a}\\ p\left(-\frac{b}{a}\right)=a\left(-\frac{b}{a}\right)+b\\ =-b+b\\ \Rightarrow P(-\frac{b}{a})=0\\ x=-\frac{b}{a}  शून्यक है।
Solution:(vii)P(x)=3 x^{2}-1 ; x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\\ p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}-1\\ =3 \times \frac{1}{3}-1\\ =1-1\\ =0 \\ x=-\frac{1}{\sqrt{3}} शून्यक है।
P\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}-1\\ =3 \times \frac{1}{3}-1\\ =1-1\\ \Rightarrow P\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0\\ x=\frac{1}{\sqrt{3}} शून्यक है।
Solution:(viii)P(x)=3 x+2 ; x=-\frac{2}{3}\\ P\left(-\frac{2}{3}\right)=3\left(-\frac{2}{3}\right)+2 \\ P\left(-\frac{2}{3}\right)=-2+2\\ \Rightarrow P\left(-\frac{2}{3}\right)=0\\ x=-\frac{2}{3} शून्यक है।
Example:10.निम्नलिखित बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए।
(i) P(x)=x-4 \\ (ii) p(x)=4 x \\ (iii) P(c)=b x, b \neq 0 \\ (iv) P(x)=x+3 \\ (v) p(x)=2 x-1 \\ (vi) p(x)=3 x+7 \\ (vii) p(x)=cx+d, c \neq 0 ; c,d वास्तविक संख्याएं हैं।
Solution:(i)p(x)=x-4
p(x) का शून्यक हम समीकरण p(x)=0 को हल करके ज्ञात कर सकते हैं।
p(x)=x-4=0 \\ \Rightarrow x=4
अतः बहुपद x-4 का शून्यक 4 है।
Solution:(ii)p(x)=4x
p(x) का शून्यक हम समीकरण p(x)=0 को हल करके ज्ञात कर सकते हैं।
p(x)=4x=0 \\ \Rightarrow x=0
अतः बहुपद 4x का शून्यक 0 है।
Solution:(iii)p(x)=bx,b \neq 0
p(x) का शून्यक हम समीकरण p(x)=0 को हल करके ज्ञात कर सकते हैं।
p(x)=bx=0 \\ \Rightarrow x=0
अतः बहुपद bx का शून्यक 0 है।
Solution:(iv)p(x)=x+3
p(x) का शून्यक हम समीकरण p(x)=0 को हल करके ज्ञात कर सकते हैं।
p(x)=x+3=0 \\ \Rightarrow x=-3
अतः बहुपद x+3 का शून्यक -3 है।
Solution:(v)p(x)=2x+1
p(x) का शून्यक हम समीकरण p(x)=0 को हल करके ज्ञात कर सकते हैं।
p(x)=2 x+1=0 \\ \Rightarrow 2 x=-1 \\ \Rightarrow x=-\frac{1}{2}
अतः बहुपद 2x+1 का शून्यक -\frac{1}{2} है।
Solution:(vi)P(x)=3 x+7=0
p(x) का शून्यक हम समीकरण p(x)=0 को हल करके ज्ञात कर सकते हैं।
P(x)=3 x+7=0 \\ \Rightarrow x=-\frac{7}{3}
अतः बहुपद 3x+7 का शून्यक -\frac{7}{3} है।
Solution:(vii)p(x)=cx+d; c \neq 0 ; c,d वास्तविक संख्याएं हैं।
p(x) का शून्यक हम समीकरण p(x)=0 को हल करके ज्ञात कर सकते हैं।
p(x)=c x+d=0 \\ \Rightarrow x=-\frac{d}{c}
अतः बहुपद cx+d का शून्यक -\frac{d}{c} है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बहुपद के शून्यक (Zeroes of polynomial),कक्षा 9 में बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial Class 9) को समझ सकते हैं।

3.बहुपद के शून्यक की समस्याएं (Zeroes of polynomial Problems):

(1.)बहुपद p(x)=2 x^{3}-13 x^{2}+17 x+12 का x=-\frac{1}{2} पर मान ज्ञात कीजिए।
(2.)बहुपद p(x)= x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 का x=1 पर मान ज्ञात कीजिए।
(3.)3 अथवा -3 बहुपद के शून्यक होने की जाँच कीजिए।
(4.)बहुपद p(x)=3x+2 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
(5.)सत्यापित कीजिए कि 3 और 0 बहुपद x^{2}-3x के शून्यक हैं।
उत्तर (Answers):(1)p(-\frac{1}{2})=0
(2.)p(1)=0
(3.)-3 बहुपद का शून्यक है जबकि 3 नहीं है।

(4)x=-\frac{2}{3}
(5.)3 और 0 दोनों ही बहुपद के शून्यक हैं।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बहुपद के शून्यक (Zeroes of polynomial),कक्षा 9 में बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बहुपद के शून्यक (Zeroes of polynomial),कक्षा 9 में बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial Class 9) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.कक्षा 10 बहुपद का शून्यक क्या होता है? (What is zero of a polynomial class 10?):

उत्तर:एक बहुपद के शून्यक को x के उन मानों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जब बहुपद में प्रतिस्थापित किया जाता है, जिससे यह शून्य के बराबर हो जाता है।दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि शून्यक बहुपद के मूल हैं।हम बहुपद P(x) के शून्यकों को 0 के बराबर करके प्राप्त कर सकते हैं।

प्रश्न:2.बहुपद का सूत्र क्या होता है? (What is the formula of polynomials?):

उत्तर:एक बहुपद समीकरण जिसमें केवल एक चर पद होता है,एकपदी समीकरण कहलाता है।इसे रैखिक समीकरण भी कहते हैं।एक रैखिक समीकरण का बीजीय रूप इस रूप का होता है: ax + b=0, जहाँ a गुणांक है, b स्थिरांक है और बहुपद की घात 1 है।

प्रश्न:3.शून्यक बहुपद का उदाहरण क्या है? (What is the example of zero polynomial?):

उत्तर:अचर बहुपद 0 या f(x)=0 शून्य बहुपद कहलाता है।जिस बहुपद की घात सबसे अधिक होती है,उसे रैखिक बहुपद कहते हैं।उदाहरण के लिए f(x) = x-12,g(x) = 12 x,h(x) = -7x + 8 रैखिक बहुपद हैं।सामान्य तौर पर g(x)=ax+b,a≠0 एक रैखिक बहुपद है।

प्रश्न:4.बहुपद कितने प्रकार के होते हैं? (What are types of polynomial?):

उत्तर:एक बहुपद में पदों की संख्या के आधार पर बहुपद के 3 प्रकार होते हैं।वे एकपदी,द्विपद और त्रिपद हैं।बहुपद की डिग्री के आधार पर,उन्हें शून्य या अचर बहुपद,रैखिक बहुपद,द्विघात बहुपद और त्रिघात बहुपद के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

प्रश्न:5.घात n वाले बहुपद में कितने शून्य हो सकते हैं? (How many zeros can a polynomial of degree n have?):

उत्तर:n डिग्री वाले बहुपद में n शून्य हो सकते हैं।  उदाहरण के लिए,एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 में 2 शून्य हो सकते हैं, क्योंकि x की उच्चतम घात 2 है या डिग्री 2 है।ax³ + bx² + cx + d = 0,एक त्रिघात समीकरण में 3 शून्य हो सकते हैं।जैसा कि x की उच्चतम घात 3 है या डिग्री 3 है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा बहुपद के शून्यक (Zeroes of polynomial),कक्षा 9 में बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial Class 9) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Zeroes of polynomial

बहुपद के शून्यक
(Zeroes of polynomial)

Zeroes of polynomial

बहुपद के शून्यक (Zeroes of polynomial):सर्वप्रथम हमें ज्ञात होना चाहिए कि चर राशि को एक संकेत यथा
x,y,z,……के रूप में व्यक्त किया जाता है।इसी प्रकार जब किसी अचर और चर को चारों मूलभूत संक्रियाओं के
साथ व्यक्त किया जाता है तो उसे बीजीय व्यंजक कहते हैं।

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