Formula of Heron
1.हीरोन का सूत्र (Formula of Heron),हीरो का सूत्र (Formula of Hero):
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron) त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में प्रयोग किया जाता है।यह सूत्र उस स्थिति में सहायक होता है जब त्रिभुज की ऊँचाई सरलता से ज्ञात न हो सकती हो।
हीरोन का जन्म संभवतः मिस्र में अलेक्जेंड्रिया नामक स्थान पर हुआ।उन्होंने अनुप्रायोगिक गणित (Applied Mathematics) पर कार्य किया।
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron):
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
जहाँ a,b और c त्रिभुज की भुजाएँ हैं तथा
s=त्रिभुज का अर्ध परिमाप (semi-perimeter)=\frac{a+b+c}{2}
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2.हीरोन का सूत्र के उदाहरण (Formula of Heron Examples):
Example:1.एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है।हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 सेमी है तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
Solution:समबाहु त्रिभुज का परिमाप 2s=180 \Rightarrow s=\frac{180}{2}=90
समबाहु त्रिभुज की भुजा a=b=c=\frac{180}{3}=60
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{90(90-60)(90-60)(90-60)} \\ =\sqrt{90 \times 30 \times 30 \times 30} \\ =\sqrt{3 \times 30 \times 30 \times 30 \times 30} \\ =30 \times 30 \sqrt{3} {cm}^{2} \\ =900 \sqrt{3} {cm}^{2}
a=b=c \\ 3 a=2 s \Rightarrow s=\frac{3a}{2}
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{\frac{3 a}{2}\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)} \\ =\sqrt{\frac{3 a}{2} \times\left(\frac{3 a-2a}{2}\right)\left(\frac{3 a-2a}{2}\right)\left(\frac{3a-2a}{2}\right)} \\ =\sqrt{\frac{3a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}} \\ =\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
Example:2.किसी फ्लाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार की विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है।दीवार की भुजाओं की लम्बाईयाँ 122m,22m और 120m है (देखिए आकृति)।इस विज्ञापन से प्रतिवर्ष 5000 रु. प्रति वर्गमीटर की प्राप्ति होती है।एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया।उसने कुल कितना किराया दिया?
Solution: a=122m,b=22m,c=120m
s=\frac{a+b+c}{2} \\ \Rightarrow s=\frac{122+22+120}{2} \\ \Rightarrow s=\frac{264}{2} \\ \Rightarrow s=132
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{132(132-122)(132-22)(132-120)} \\ =\sqrt{132 \times 10 \times 110 \times 12} \\ =\sqrt{11 \times 12 \times 10 \times 11 \times 10 \times 12} \\ =10 \times 11 \times 12=1320 {m}^{2}
कम्पनी द्वारा तीन महीने का किराया दिया=5000 \times 1320 \times \frac{3}{12} \\ =\frac{6600000}{4} \\ =16,50000 Rs
प्रश्न:3.किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (Slide) बनी हुई है।इसकी पार्श्वीय दीवारों (Side Walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है (देखिए आकृति)।यदि इस दीवार की विमाएँ 15m,11m और 6m है तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना a=15m,b=11m,c=6m
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron):s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+11+6}{2} \\ \Rightarrow s=\frac{32}{2}=16
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ =\sqrt{16(16-15)(16-11)(16-6)} \\ =\sqrt{16 \times 1 \times 5 \times 10} \\=\sqrt{4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 2} \\= 4 \times 5 \sqrt{2} \\= 20 \sqrt{2} {m}^{2}
Example:4.उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18cm और 10cm हैं तथा उसका परिमाप 42cm है।
Solution:माना a=18cm,b=10cm,c=42-(18+10)
c=42-28=14
s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{18+10+14}{2} \\ \Rightarrow s=\frac{42}{2}=21
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron):
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{21(21-18)(21-10)(21-14)} \\ =\sqrt{21 \times 3 \times 11 \times 7} \\=\sqrt{3 \times 7 \times 3 \times 11 \times 7} \\ =\sqrt{3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 11} \\ = 3 \times 7 \sqrt{11} \\= 21 \sqrt{11} m^{2}
Example:5.एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात=12:17:15
Solution: माना त्रिभुज की भुजाएँ a=12x,b=17x,c=25x
s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{12 x+17 x+25 x}{2} \\ \Rightarrow s=\frac{54 x}{2}=\frac{540}{2} \\ \Rightarrow 54 x=540 \\ \Rightarrow x=10
a=12x=12×10=120cm
b=17x=17×10=170
c=25x=25×10=250
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron):
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{270(270-120)(270-170)(270-250)} \\ =\sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20} \\ =\sqrt{9 \times 3 \times 10 \times 5 \times 3 \times 10 \times 5 \times 2 \times 10 \times 2 \times 10} \\ =\sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10} \\ =2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 10 \times 10 \\ =9000 {cm}^{2}
Example:6.एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12cm लम्बाई की है।इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना a=b=12cm
परिमाप 2s=30cm
s=15cm
c=30-(12+12)
\Rightarrow c=30-24=6
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron):
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ =\sqrt{15(15-12)(15-12)(15-6)}\\ =\sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 9}\\ =3 \times 3 \times \sqrt{15}=9 \sqrt{15}{cm}^{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा हीरोन का सूत्र (Formula of Heron),हीरो का सूत्र (Formula of Hero) को समझ सकते हैं।
3.हीरोन का सूत्र की समस्याएं (Formula of Heron Problems):
(1.)एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 8cm और 11cm हैं जिसका परिमाप 32cm है।
(2.)एक त्रिभुजाकार पार्क ABC की भुजाएँ 120m,80m और 50m हैं (देखिए आकृति)।एक मालिन धनिया को इसके चारों ओर एक बाड़ लगानी है और इसके अन्दर घास उगानी है।उसे कितने क्षेत्रफल में घास उगानी है?एक ओर 3m चौड़े एक फाटक के लिए स्थान छोड़ते हुए इसके चारों ओर 20रु. प्रतिमीटर की दर से काँटेदार बाड़ लगाने का व्यय भी ज्ञात कीजिए।
(3.)एक त्रिभुजाकार भूखण्ड (plot) की भुजाओं का अनुपात 3:5:7 है और उसका परिमाप 300m है।इस भूखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1)8 \sqrt{30} {cm}^{2} (2.)375 \sqrt{15} {m}^{2},बाड़ लगाने का व्यय=4940रु. (3.)1500 \sqrt{3} {m}^{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर हीरोन का सूत्र (Formula of Heron),हीरो का सूत्र (Formula of Hero) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.हीरोन का सूत्र (Formula of Heron) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.हीरोन कौन था? (Who was Heron?):
उत्तर:हीरोन एक गणितज्ञ था।हीरोन का जन्म सम्भवतः मिस्र में अलेक्जेंड्रिया नामक स्थान पर हुआ।हीरोन का समय 10 ईसा पूर्व से 75 ईसा पूर्व समझा जाता है।
प्रश्न:2.हीरोन का गणित में योगदान क्या था? (What was Heron’s contribution to mathematics?):
उत्तर:हीरोन ने अनुप्रायोगिक गणित (applied mathematics) पर कार्य किया।उनका गणितीय और भौतिकी विषयों पर कार्य इतना अधिक और विभिन्न प्रकार का था कि उन्हें इन क्षेत्रों का एक विश्वकोण सम्बन्धी (encyclopedic) लेखक समझा जाता था।उनका ज्यामितीय कार्य मुख्यतः मेन्सुरेशन (क्षेत्रमिति) की समस्याओं से सम्बन्धित था।यह कार्य तीन पुस्तकों में लिखा गया है।पुस्तक एक में वर्गों,आयतों,त्रिभुजों,समलम्बों,अनेक प्रकार के विशिष्ट चतुर्भुजों,सम बहुभुजों,वृत्तों के क्षेत्रफलों, बेलनों,शंकुओं,गोलों इत्यादि के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का वर्णन है।इसी पुस्तक में हीरोन ने त्रिभुज की तीनों भुजाओं के पदों में उसके क्षेत्रफल का प्रसिद्ध (सुपरिचित) सूत्र प्रतिपादित किया है।
प्रश्न:3.हीरोन का सूत्र कब प्रयोग किया जाता है? (When is the formula of heron used?):
उत्तर:हीरोन का सूत्र उस स्थिति में प्रयोग किया जाता है जब त्रिभुज की ऊँचाई सरलता से ज्ञात न हो सकती हो।
प्रश्न:4.हीरोन का सूत्र लिखो। (Write the formula of heron.)
उत्तर:हीरोन के सूत्र को हीरो का सूत्र (Formula of Hero) भी कहा जाता है।यह सूत्र निम्नलिखित है:
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
जहाँ a,b और c त्रिभुज की भुजाएँ हैं तथा
s=त्रिभुज का अर्ध परिमाप (Semi-perimeter)=\frac{a+b+c}{2}
प्रश्न:5.समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है? (What is the formula for the area of right angled triangle?):
उत्तर:समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र निम्न है:=\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times { ऊँचाई }
प्रश्न:6.समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है? (What is the formula for the area of equilateral triangle?):
उत्तर:समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र निम्न है: \frac{\sqrt{3}}{4} \text{भुजा}^{2}
प्रश्न:7.समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है? (What is the formula for the area of isosceles triangle?):
उत्तर:माना समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ a हैं तथा असमान भुजा b है।तब
पाइथागोरस प्रमेय से ऊँचाई=\sqrt{(a)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{{4 a^{2}-b^{2}}}}{2}
अतः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ ऊँचाई } \\=\frac{1}{2} \times b \times \frac{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}{2} \\ =\frac{1}{4} b \sqrt{4 a^{2}-b^{2}}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा हीरोन का सूत्र (Formula of Heron),हीरो का सूत्र (Formula of Hero) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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हीरोन का सूत्र (Formula of Heron)
Formula of Heron
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron) त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में प्रयोग किया जाता है।
यह सूत्र उस स्थिति में सहायक होता है जब त्रिभुज की ऊँचाई सरलता से ज्ञात न हो सकती हो।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
