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Area Formula For Quadrilateral

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1 1.चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र (Area Formula For Quadrilateral),चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of ​​Quadrilateral):
1.2 3.चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र की समस्याएं (Area Formula For Quadrilateral Problems):

1.चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र (Area Formula For Quadrilateral),चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of ​​Quadrilateral):

चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र (Area Formula For Quadrilateral):
(1.)चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of ​​Cyclic Quadrilateral):ऐसा चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित हों चक्रीय चतुर्भुज कहलाता है।चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं।
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज जिसकी भुजाएं क्रमशःa,b,c एवं d हैं।अतः अर्द्ध परिमाप s=\frac{a+b+c+d}{2} है।
अतः चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
(2.)समचतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of ​​Rhombus):ऐसा समान्तर चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएं समान हो एवं जिसके विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित होते हों समचतुर्भुज कहलाता है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{(विकर्णों का गुणनफल)}
(3.)समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of ​​Trapezium):ऐसा चतुर्भुज जिसकी केवल दो भुजाएं समान्तर हो समलम्ब चतुर्भुज कहलाता है।
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{ समान्तर भुजाओं का योग} \times \text{ समान्तर भुजाओं के बीच दूरी }
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2.चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र के उदाहरण (Area Formula For Quadrilateral Examples):

Example:1.एक समचतुर्भुज का परिमाप 40 मीटर हो तथा उसके विकर्ण की लम्बाई 12 मीटर हो तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:समचतुर्भुज की भुजा=\frac{ परिमाप }{4} \\ \frac{40}{4}=10 मीटर
समचतुर्भुज का विकर्ण d_{1}=12 मीटर
समचतुर्भुज का विकर्ण \frac{d_{2}}{2} =\sqrt{\text{ भुजा }^{2}-\left ( \frac{d_{1}}{2} \right )^{2}} \\ =\sqrt{(10)^{2}-(6)^{2}} \\ =\sqrt{100-36} \\ \frac{d_{2}}{2} =\sqrt{64}=8 \\ \Rightarrow d_{2} =16 मीटर
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{(विकर्णों का गुणनफल)} \\ =\frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2} \\=\frac{1}{2} \times 12 \times 16 =96 वर्गमीटर
Example:2.एक समलम्बाकार खेत जिसकी समान्तर भुजाएँ 42 मीटर एवं 30 मीटर है तथा अन्य भुजाएँ 18 मीटर एवं 18 मीटर है।उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना DL=x,AL=6

समकोण \triangle ALD में लम्ब (DL)=\sqrt{\text{ विकर्ण }^{2}-\text{ आधार }^{2}} \\ DL=\sqrt{(18)^{2}-(6)^{2}} \\ =\sqrt{324-36} \\=\sqrt{288} \\ \Rightarrow D L =\sqrt{144 \times 2} \\ \Rightarrow D L =12 \sqrt{2}
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{ समान्तर भुजाओं का योग} \times \text{ समान्तर भुजाओं के बीच दूरी } \\ =\frac{1}{2} \times 12 \sqrt{2}(42+30) \\ =6 \sqrt{2 } \times 72 \\ =432 \sqrt{2} \\ =432 \times 1.414 \\ =610.848 \\ =610.9 \text { वर्गमीटर (लगभग) }
Example:3.यदि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 350 वर्गसेमी हो एवं उसकी समान्तर भुजाओं की लम्बाई 26 सेमी एवं 44 सेमी हो तो समान्तर भुजाओं के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution:माना समान्तर भुजाओं के मध्य दूरी=x
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{ समान्तर भुजाओं का योग} \times \text{ समान्तर भुजाओं के बीच दूरी } \\ \Rightarrow 350=\frac{1}{2} \times x \times(26+44) \\ \Rightarrow 350=\frac{1}{2} \times x \times 70 \\ \Rightarrow x= \frac{350 \times 2}{70} \\ \Rightarrow x=10 सेमी
Example:4.एक मेज समलम्ब चतुर्भुजाकार है।मेज की समान्तर भुजाएँ 8 मीटर तथा 16 मीटर है मेज का क्षेत्रफल 108 वर्गमीटर हो तो मेज की चौड़ाई (समान्तर भुजाओं के मध्य दूरी) ज्ञात कीजिए।
Solution:माना मेज की चौड़ाई (समान्तर भुजाओं के मध्य दूरी)=x
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{ समान्तर भुजाओं का योग} \times \text{ समान्तर भुजाओं के बीच दूरी } \\ \Rightarrow 108=\frac{1}{2} \times x \times(8+16) \\ \Rightarrow 108=\frac{1}{2} \times x \times 24 \\ \Rightarrow x=\frac{108 \times 2}{24} \\ \Rightarrow x=9 मीटर
Example:5.एक समचतुर्भुज का परिमाप 146 सेमी तथा एक विकर्ण की लम्बाई 55 सेमी हो तो समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:समचतुर्भुज की भुजा=\frac{ परिमाप }{4} \\ \frac{146}{4}=36.5 सेमी
विकर्ण d_{1}=55 सेमी
विकर्ण \frac{d_{2}}{2} =\sqrt{\text{ भुजा }^{2}-\left ( \frac{d_{1}}{2} \right )^{2}} \\ =\sqrt{(36.5)^{2}-(27.5)^{2}} \\ =\sqrt{1332.25-756.25} \\ =\sqrt{576} \\ \Rightarrow \frac{d_{2}}{2} =24 \text { सेमी } \\ d_{1}=48 \text { सेमी }
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{(विकर्णों का गुणनफल)} \\ =\frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2} \\ =\frac{1}{2} \times 55 \times 48 \\ =1320 \text { वर्गसेमी }
Example:6.एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के खाने के लिए घास है।यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 मीटर हो और बड़ा विकर्ण 48 मीटर है तो प्रत्येक गाय के खाने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?
Solution:समचतुर्भुज की भुजा=30 मीटर
समचतुर्भुज का विकर्ण (d_{1})=48 मीटर
समचतुर्भुज का विकर्ण \frac{d_{2}}{2} =\sqrt{\text{ भुजा }^{2}-\left ( \frac{d_{1}}{2} \right )^{2}} \\=\sqrt{(30)^{2}-(24)^{2}} \\ =\sqrt{900-576} \\ =\sqrt{324} \\\Rightarrow \frac{d_{2}}{2} =18 \Rightarrow d_{2}=36 मीटर
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{(विकर्णों का गुणनफल)} \\ =\frac{1}{2} \times 48 \times 36 \\=864 वर्ग मीटर
एक गाय को खाने के लिए घास के खेत का क्षेत्रफल प्राप्त होगा=\frac{864}{18} \\ =48 वर्गमीटर

Example:7.एक समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाओं का अनुपात 16:5 है।जिसे एक आयत जिसकी भुजाएं 63 मीटर एवं 5 मीटर में से काटा गया है यदि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल का \frac{4}{15} भाग हो तो समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाओं को ज्ञात कीजिए।
Solution:माना समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ=16x,5x
आयत का क्षेत्रफल=लम्बाई × चौड़ाई
=63 × 5 वर्गमीटर
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{4}{15} \times \text{ आयत का क्षेत्रफल } \\ \frac{1}{2} \times \text{ समान्तर भुजाओं का योग} \times \text{ समान्तर भुजाओं के बीच दूरी } \\ \frac{4}{15} \times 63 \times 5 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \times 5 \times(16 x+5 x)=\frac{4}{15} \times 63 \times 5 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \times 5 \times 21 x=\frac{4}{15} \times 63 \times 5 \\ \Rightarrow x=\frac{4}{15} \times \frac{63 \times 5 \times 2}{5 \times 21} \\ \Rightarrow x=\frac{8}{5}=1.6
समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ=16x=16 × 1.6=25.6 मीटर
5x=5 × 1.6=8 मीटर
Example:8.एक समलम्ब चतुर्भुजाकार दूब के मैदान का क्षेत्रफल 940 वर्गसेमी है।इसकी समान्तर भुजाओं में से एक की लम्बाई 35.2 सेमी हो तो दूसरी भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।जबकि समान्तर भुजाओं के बीच दूरी 25 सेमी हो।
Solution:माना समलम्ब चतुर्भुज की दूसरी भुजा की लम्बाई=x
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{ समान्तर भुजाओं का योग} \times \text{ समान्तर भुजाओं के बीच दूरी } \\ 940=\frac{1}{2} \times 25 \times(35.2+x) \\ \Rightarrow \frac{940 x^{2}}{25}=35.2+ x \\ \Rightarrow 75 \cdot 2=35.2+ x \\ \Rightarrow x=40 \text { सेमी }
Example:9.एक समान्तर चतुर्भुज और एक आयत क्षेत्रफल में समान हैं।यदि आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 8 सेमी और 4.5 सेमी हो और समान्तर चतुर्भुज का आधार 10 सेमी हो तो समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई=x
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल=आयत का क्षेत्रफल
आधार × ऊँचाई=लम्बाई × चौड़ाई
\Rightarrow 10 \times x=8 \times 4.5 \\ \Rightarrow x=\frac{8 \times 4.5}{10} \\ \Rightarrow x=3.6 सेमी
Example:10.चतुर्भुज का क्षेत्रफल लिखिए जिसका विकर्ण 6 सेमी एवं अन्त: लम्बों का योग 12 सेमी है।
Solution:चतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times  \text { विकर्ण } \times \text{ अन्तर्लम्बों का योग } \\ =\frac{1}{2} \times 6 \times 12 \\=36 वर्गसेमी
Example:11.किसी त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 25:12:17 है तथा परिमाप 540 मीटर है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना त्रिभुज की भुजाएँ 25x,17x,12x हैं।
परिमाप=25x+17x+12x=540 \\ \Rightarrow 54x=540 \\ \Rightarrow x=10
अतः भुजाएं a=25x=25×10=250
b=17x=17×10=170
c=12x=12×10=120
अर्द्ध परिमाप s=\frac{a+b+c}{2} \\ \frac{540}{2}=270
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{270(270-250)(270-170)(270-120)} \\ =\sqrt{270 \times 20 \times 100 \times 150} \\ =\sqrt{81000000} \\ =9000 वर्गमीटर
Example:12.एक चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी भुजाएँ क्रमशः 36 सेमी,77 सेमी एवं 40 सेमी है।
Solution:माना a=36 सेमी,b=77 सेमी,c=75 सेमी,d=40 सेमी
अतः चक्रीय चतुर्भुज का अर्द्ध परिमाप s=\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{36+77+75+40}{2}=\frac{228}{2}=114
चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ \sqrt{(114-36)(114-77)(114-75)(114-40)} \text { वर्गसेमी } \\ \sqrt{78 \times 37 \times 39 \times 34} =2886\text{ वर्गसेमी }
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र (Area Formula For Quadrilateral),चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of ​​Quadrilateral) को समझ सकते हैं।

3.चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र की समस्याएं (Area Formula For Quadrilateral Problems):

(1.)किसी चतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाई क्रमशः 20 सेमी एवं 30 सेमी है तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(2.)समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी समान्तर भुजाएँ क्रमशः 65 सेमी एवं 50 सेमी है तथा असमान्तर भुजाएँ क्रमशः 20 सेमी एवं 25 सेमी है।
(3.)एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी समान्तर भुजाएँ क्रमशः 32 सेमी एवं 37 सेमी है तथा समान्तर भुजाओं के मध्य दूरी 20 सेमी हो।
उत्तर (Answers):(1.)300 वर्गसेमी (2.)1150 वर्गसेमी (3.)690 वर्गसेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र (Area Formula For Quadrilateral),चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of ​​Quadrilateral) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.मुख्य बातें (Highlights):

(1.)किसी भी बहुभुजाकार प्रदेश (Region) (क्षेत्र) के परिमाण का माप बहुभुज का क्षेत्रफल कहलाता है।
(2.) क्षेत्र(Region) के परिमाण के मापन के लिए इकाई वर्ग प्रदेश(Region) (क्षेत्र) को मानक मानते हैं,जितने इकाई वर्ग प्रदेश (क्षेत्र) उस प्रदेश में होते हैं उतना ही वर्ग इकाई उसका क्षेत्रफल होता है।
(3.)एक यूनानी गणितज्ञ हीरो ने त्रिभुज का क्षेत्रफल इसकी भुजाओं के पदों में ज्ञात करने के सूत्र का निगमन किया था।
(4.)शीर्ष बिन्दुओं से विकर्ण पर डाले गए लम्ब अन्तर्लम्ब कहलाते हैं।
(5.)छोटे क्षेत्रों का क्षेत्रफल वर्गमीटर,वर्गसेमी इत्यादि में ज्ञात किया जाता है तथा बड़े क्षेत्रों का माप हेक्टार (Hectare) में प्रकट किया जाता है।
100 वर्ग डेसीमीटर=1 वर्ग मीटर
100 वर्ग मीटर=1वर्ग डेकामीटर
100 वर्ग डेकामीटर=1 वर्ग हेक्टामीटर
100 वर्ग हेक्टामीटर=1 वर्ग किलोमीटर
1 वर्ग मीटर=1 सेन्टीआर
10 सेन्टीआर=1 डेसीआर (10 वर्ग मीटर)
10 डेसीआर=1 आर (100 वर्ग मीटर)
10 आर=1 डेकाआर (1000 वर्गमीटर)
10 डेकाआर=1 हेक्टार (10000 वर्ग मीटर)

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4.चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र (Area Formula For Quadrilateral),चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of ​​Quadrilateral) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या होता है? (What is the formula for area of a quadrilateral?):

उत्तर:यदि विकर्ण और शीर्षों से लंबों की लंबाई दी गई है, तो चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (½) × विकर्ण लंबाई × शेष दो शीर्षों से खींचे गए लंबों की लंबाई का योग।

प्रश्न:2.आप 4 अलग-अलग भुजाओं वाली आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the area of a shape with 4 different sides?):

उत्तर:निम्नलिखित समीकरण का प्रयोग करें:
क्षेत्रफल = भुजा × भुजा या A = side ×side
उदाहरण: यदि किसी वर्ग की एक भुजा की लंबाई 4 फीट (t = 4) है,तो इस वर्ग का क्षेत्रफल केवल t^2 या 4 x 4 = 16 वर्ग फुट है।

प्रश्न:3.अनियमित चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? (How do you find the area of a irregular quadrilateral?):

उत्तर:ऐसे अनियमित चतुर्भुजों (irregular quadrilaterals) का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,तीन चरणों वाली रणनीति का पालन करें:
चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करके एक विकर्ण की रचना करें जो ज्ञात आंतरिक कोण (interior angle) को विचलित न करे।
सूत्रों का उपयोग करके प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें।
दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़ें।

प्रश्न:4.अनियमित क्षेत्रफल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें? (How to use irregular area calculator?):

उत्तर:चरण 1:क्षेत्रफल के सभी भुजाओं (sides) को एक इकाई (फीट (Feet),मीटर (Meter),इंच (Inches) या कोई अन्य) में मापें।
चरण 2:क्षैतिज भुजाओं की लंबाई 1 और लंबाई 2 में दर्ज करें। और ऊर्ध्वाधर भुजाओं की चौड़ाई चौड़ाई 1 और चौड़ाई 2 में दर्ज करें।
चरण 3: गणना बटन दबाएं।
हमारा सूत्र: क्षेत्रफल = b × h।

प्रश्न:5.आप एक अनियमित चार भुजाओं वाली आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the area of an irregular four sided shape?):

उत्तर:किसी भी अनियमित चतुर्भुज (irregular quadrilateral) के क्षेत्रफल की गणना त्रिभुजों में विभाजित करके की जा सकती है।उदाहरण:एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ क्रमशः 9 मीटर, 40 मीटर, 28 मीटर और 15 मीटर हैं और पहली दो भुजाओं के बीच का कोण समकोण है।चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल =(180+126)=306 वर्ग मीटर।

प्रश्न:6.क्या एक अनियमित चतुर्भुज में समकोण हो सकता है? (Can an irregular quadrilateral have a right angle?):

उत्तर:कुछ लोग इसे चतुर्भुज भी कहते हैं।एक चतुर्भुज,परिभाषा के अनुसार,चार सीधी रेखा खंडों से बंधी एक बंद आकृति है।समकोण के बिना चतुर्भुज के बारे में कुछ खास नहीं है।वास्तव में ऐसे चतुर्भुजों की तुलना में असीमित (infinitely) रूप से अधिक ऐसे चतुर्भुज हैं जिनके समकोण हैं।

प्रश्न:7.2 समकोण वाली 4 भुजाओं वाली आकृति क्या है? (What is a 4 sided shape with 2 right angles?):

उत्तर:एक समांतर चतुर्भुज (parallelogram) एक चतुर्भुज होता है जिसमें 2 जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।आयत एक विशेष समांतर चतुर्भुज होता है जिसमें 4 समकोण होते हैं।
एक वर्ग (square) में समानांतर भुजाओं के दो जोड़े, चार समकोण होते हैं और चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।यह एक आयत (rectangle) और एक समांतर चतुर्भुज (parallelogram) भी है।एक समचतुर्भुज (rhombus) को चार बराबर भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया गया है।नहीं,क्योंकि समचतुर्भुज में 4 समकोण नहीं होते हैं।

प्रश्न:8.क्या एक समलम्ब चतुर्भुज में 2 समकोण हो सकते हैं? (Can a trapezoid have 2 right angles?):

उत्तर:व्याख्या: एक समलम्ब चतुर्भुज (trapezoid) में या तो 2 समकोण हो सकते हैं या बिल्कुल भी समकोण नहीं हो सकते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र (Area Formula For Quadrilateral),चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of ​​Quadrilateral) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र (Area Formula For Quadrilateral),चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of ​​Quadrilateral) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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