1.बीजीय सर्वसमिकाएं कक्षा 9 (Algebraic Identities Class 9),गणित में बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic Identities in Maths):

Algebraic Identities Class 9

बीजीय सर्वसमिकाएं कक्षा 9 (Algebraic Identities Class 9) एक बीजीय समीकरण होती है जो कि चरों के सभी मानों के लिए सत्य होती है।बीजीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग बीजीय व्यंजकों के गुणनखण्ड करने में किया जाता है।
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2.बीजीय सर्वसमिकाएं कक्षा 9 के साधित उदाहरण (Algebraic Identities Class 9 Solved Examples):

Example:1.उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
Example:1(i).(x+4)(x+10)
Solution:(x+4)(x+10)
[ x^2+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b) सर्वसमिका से]

\Rightarrow x^2+(4+10) x+4 \times 10 \\ \Rightarrow x^2+14 x+40
Example:1(ii).(x+8)(x-10)
Solution:(x+8)(x-10)
[ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b सर्वसमिका से]

x^2+(8-10) x+8 \times-10 \\ =x^2-2 x-80
Example:1(iii).(3x+4)(3x-5)
Solution:(3x+4)(3x-5)
[ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b सर्वसमिका से]

(3 x)^2+(4-5) \times 3 x+4 x-5 \\ =9 x^2-3 x-20
Example:1(iv). \left(y^2+\frac{3}{2}\right)\left(y^2-\frac{3}{2}\right)
Solution: \left(y^2+\frac{3}{2}\right)\left(y^2-\frac{3}{2}\right)
[ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 सर्वसमिका से]

=\left(y^2\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2 \\ =y^4-\frac{9}{4}
Example:1(v).(3-2x)(3+2x)

Solution: (3-2x)(3+2x)
[ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 सर्वसमिका से]

=(3)^2-(2 x)^2 \\ =9-4 x^2
Example:2.सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए:
Example:2(i).103×107
Solution:103×107
(100+3)(100+7)
[ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b सर्वसमिका से]

=(100)^2+(3+7) \times 100+3 \times 7
=10000+1000+21
=11021
Example:2(ii).95×96
Solution:95×96
(100-5)(100-4)
[ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+ab सर्वसमिका से]

(100)^2+(-5-4) \times 100+(-5)(-4)
=10000-900+20
=9120
Example:2(iii). 104×96
Solution:104×96
(100+4)(100-4)
[ (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2} सर्वसमिका से]

=(100)^2-(4)^2
=10000-16
=9984
Example:3.उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखण्डन कीजिए:
Example:3(i). 9x^2 +6 x y+y^2
Solution: 9x^2 +6 x y+y^2
[ (x+y)^2=x^2+2 x y+y^2 सर्वसमिका से]

=(3 x)^2+2 \times 3 x \times y+y^2 \\ =(3 x+y)^2
Example:3(ii). 4 y^2-4 y+1
Solution: 4 y^2-4 y+1
[ (x-y)^2=x^2-2 x y+y^2 सर्वसमिका से]

=(2 y)^2-2 \times 2 y \times 1+1^2 \\ =(2 y-1)^2
Example:3(iii). x^2-\frac{y^2}{100}

Solution:- x^2-\frac{y^2}{100}
[ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 सर्वसमिका से]

=x^2-\left(\frac{y}{10}\right)^2 \\ =\left(x+\frac{y}{10}\right)\left(x-\frac{y}{10}\right)
Example:4.उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
Example:4(i). (x+2 y+4 z)^2
Solution: (x+2 y+4 z)^2
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 z x सर्वसमिका से]

=x^2+(2 y)^2+(4 z)^2+2 \times x \times 2 y+2 \times 2 y \times 4 z+2 \times 4 z \times x \\ =x^2+4 y^2+16 z^2+4 x y+16 y z+8 z x
Example:4(ii). (2x-y+z)^{2}
Solution: (2x-y+z)^{2}
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 z x सर्वसमिका से]

(2 x)^2+(-y)^2+z^2+2(2 x)(-y)+2 \times(-y) \times z+2 z \times (2 x) \\= 4 x^2+y^2+z^2-4 x y-2 y z+4zx
Example:4(iii). (-2 x+3 y+2 z)^2
Solution: (-2 x+3 y+2 z)^2
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 z x सर्वसमिका से]

=(-2 x)^2+(3 y)^2+(2 z)^2+2 \times (-2 x) \times(3 y)+2 \times 3 y \times 2z+2 \times(-2 x) \times 2 z \\ =4 x^2+9 y^2+4 z^2-12 x y+12 y z-8 x z
Example:4(iv). (3 a-7 b-c)^2
Solution: (3 a-7 b-c)^2
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2x y+2 y z+2zx सर्वसमिका से]

=(3 a)^2+(-7 b)^2+(-c)^2+2 \times 3 a \times (-7 b)+2 \times (-7 b) \times(-c)+2 \times 3 a \times (-c) \\ =9 a^2+49 b^2+c^2-42 a b+14 b c-6 a c
Example:4(v). (-2 x+5 y-3 z)^2
Solution: (-2 x+5 y-3 z)^2
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 z x सर्वसमिका से]

(-2 x)^2+(5 y)^2+(-3 z)^2+2 \times (-2 x) \times 5y +2 \times (5 y) \times (-3 z)+2 \times (-2x)(-3 z) \\ =4 x^2+25 y^2+9 z^2-20 x y-30 y z+12 x z
Example:4(vi). \left[\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right]^2
Solution: \left[\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right]^2
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 z x सर्वसमिका से]

=\left ( \frac{1}{4} a \right )^2+\left(-\frac{1}{b}\right)^2+(1)^2+2 \times \left(\frac{1}{4} a\right) \times \left ( -\frac{1}{2}b \right )+2 \times\left(-\frac{1}{2} b\right) \times(1)+2 \times \left ( \frac{1}{4} a \right ) \times 1\\ =\frac{1}{16} a^2+\frac{1}{4} b^2+1-\frac{1}{4} a b-b+\frac{1}{2} a
Example:5.गुणनखण्डन कीजिए:
Example:5(i). 4 x^2+9 y^2+16 z^2+12 x y-24 y z-16xz
Solution:4 x^2+9 y^2+16 z^2+12 x y-24 y z-16xz
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2yz+2 z x सर्वसमिका से]

=(2 x)^2+(3 y)^2+(-4 z)^2+2 \times 2 x \times 3 y+2 \times 3 y \times -4 z +2 \times 2 x \times-4 z \\ =(2 x+3 y-4 z)^2
Example:5(ii). 2 x^2+y^2+8 z^2-2 \sqrt{2} x y+4 \sqrt{2} y z-8xz
Solution: 2 x^2+y^2+8 z^2-2 \sqrt{2} x y+4 \sqrt{2} y z-8xz
[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 y z+2 z x सर्वसमिका से]

=(\sqrt{2} x)^2+y^2+(2 \sqrt{2} z)^2+2 \times (-\sqrt{2} x) \times y+2 \times y \times 2\sqrt{2} z+2 \times (-\sqrt{2} x) \times (2\sqrt{2} z) \\ =(-\sqrt{2}x+y+2\sqrt{2}z)^{2}
Example:6.निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए:
Example:6(i). (2 x+1)^3
Solution: (2 x+1)^3
[ (x+y)^3=x^3+y^3+3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

=(2 x)^3+(1)^3+2 \times(2 x)^2 \times 1+3 \times 2x \times 1^{2} \\ =8 x^3+1+12 x^2+6 x
Example:6(ii). (2 a-3 b)^3
Solution: (2 a-3 b)^3
[ (x-y)^3=x^3-y^3-3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

(2 a)^3-(3 b)^3-3 \times(2 a)^2 \times 3 b+3 \times 2 a \times(3 b)^2 \\ =8 a^3-27 b^3-36 a^2 b+54 a b^2
Example:6(iii). \left[\frac{3}{2} x+1\right]^3
Solution: \left[\frac{3}{2} x+1\right]^3
[ (x+y)^3=x^3+y^3+3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

=\left(\frac{3}{2} x\right)^3+(1)^3+3\left(\frac{3}{2} x\right)^2(1)+3\left(\frac{3}{2} x\right)(1)^2 \\ =\frac{27}{8} x^3+1+\frac{27}{4} x^2+\frac{9}{2} x
Example:6(iv). \left[x-\frac{2}{3} y\right]^3
Solution: \left[x-\frac{2}{3} y\right]^3
[ (x-y)^3=x^3-y^3-3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

=x^3-\left(\frac{2}{3} y\right)^3-3 x^2\left(\frac{2}{3} y\right)+3 x\left(\frac{2}{3} y\right)^2 \\ =x^3-\frac{8}{27} y^3-2 x^2 y+\frac{4 }{3} xy^2
Example:7.उपयुक्त सर्वसमिकाएं प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
Example:7(i). (99)^3
Solution:(99)^3 \\ =(100-1)^3
[ (x-y)^3=x^3-y^3-3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

=(100)^3-(1)^3-3(100)^2(1)+3(100)(1)^2
=1000000-1-30000+300
=970299
Example:7(ii). (102)^3
Solution: (102)^3
[ (x+y)^3=x^3+y^3+3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

=(100)^3+(2)^3+3(100)^2 \times 2+3 \times 100 \times(2)^2
=1000000+8+60000+1200
=1061208
Example:7(iii). (998)^3
Solution: (998)^3 \\ =(1000-2)^3
[ (x-y)^3=x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3 सर्वसमिका से]

=(1000)^3-3(1000)^2 \times 2+3 \times 1000 \times (2)^2-(2)^{3}
=1000000000-6000000+12000-8
=994011992

Algebraic Identities Class 9

Example:8.निम्नलिखित में प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए:
Example:8(i). 8 a^3+b^3+12 a^2 b+6 a b^2
Solution: 8 a^3+b^3+12 a^2 b+6 a b^2
[ (x+y)^3=x^3+y^3+3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

=(2 a)^{3}+(b)^3+3 \times(2 a)^2 \times b+3 \times 2 a \times b^2 \\ =(2a+b)^{3}
Example:8(ii). 8 a^3-b^3-12 a^2 b+6 a b^2
Solution: 8 a^3-b^3-12 a^2 b+6 a b^2
[ (x-y)^3=x^3-y^3-3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

=(2 a)^3-(b)^3-3 \times(2 a)^2 \times b+3 \times(2 a) \times b^2 \\ =(2 a-b)^3
Example:8(iij). 27-125 a^3-135 a+225 a^2
Solution: 27-125 a^3-135 a+225 a^2
[ (x-y)^3=x^3-y^3-3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

=(3)^3-(5 a)^3-3 \times(3)^2 \times 5 a+3 \times 3 \times(5 a)^2 \\ =(3-5 a)^3
Example:8(iv). 64 a^3-27 b^3-144 a^2 b+108 a b^2
Solution: 64 a^3-27 b^3-144 a^2 b+108 a b^2
[ (x-y)^3=x^3-y^3-3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

=(4a)^3-(3 b)^3-3 \times(4 a)^2 \times 3 b+3 \times 4 a \times(3 b)^2\\ =(4 a-3 b)^3
Example:8(v). 27 p^3-\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^2+\frac{1}{4} p
Solution: 27 p^3-\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^2+\frac{1}{4} p
[ (x-y)^3=x^3-y^3-3 x^2 y+3 x y^2 सर्वसमिका से]

=(3 p)^3-\left(\frac{1}{6}\right)^3-3 \times(3 p)^2 \times \frac{1}{6}+3 \times 3 p \times\left(\frac{1}{6}\right)^2\\ =\left(3 p-\frac{1}{6}\right)^3
Example:9.सत्यापित कीजिए:
Example:9(i). x^3+y^3=(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right)
Solution: x^3+y^3=(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right)\\ (x+y)^3=x^3+y^2+3 x^2 y+3 x y^2\\ \Rightarrow \left(x^3+y^3\right)=(x+y)^3-\left(3 x^2 y+3 x y^2\right)\\ =(x+y)^3-3 x y(x+y)\\ =(x+y)\left[(x+y)^2-3 x y\right]\\ =(x+y)\left(x^2+2 x y+y^2-3 x y\right)\\ \Rightarrow \left(x^3+ y^3\right)=(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right)
Example:9(ii). x^3-y^3=(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right)
Solution: x^3-y^3=(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right)\\ (x-y)^3=x^3-y^3-3 x^2 y+3 x y^2\\ =x^3-y^3-3 x y(x-y)\\ \Rightarrow x^3-y^3=(x-y)^3+3 x y(x-y)\\ =(x-y)\left[(x-y)^2+3 x y\right]\\ =(x-y)\left[x^2-2 x y+y^2+3 x y\right]\\ =(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right)\\ \Rightarrow\left(x^3-y^3\right)=(x-y) \left(x^2+x y+y^2\right)
Example:10.निम्नलिखित में प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए:
Example:10(i). 27 y^3+125 z^3
Solution: 27 y^3+125 z^3
[ x^3+y^3=(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right) से]

=(3 y)^3+(-5 z)^3\\ =(3 y+5 z)\left[(3 y)^2-3 y \times 5 z+(5 z)^2\right] \\ =(3y+5z)(9y^{2}-15yz+25z^{2})
Example10(ii). 64m^3-343 n^3
Solution: 64 m^3-343 n^3 \\ (4 m)^3-(7 n)^3
[ x^3-y^3=(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right) से]

=(4 m-7 n)\left[(4 m)^2+4 m \times 7 n+(7 n)^2\right] \\ =(4 m-7 n)\left(16 m^2+28 m n+49 n^2\right)
Example:11.गुणनखण्डन कीजिए: 27x^{3}+y^{3}+z^{3}-9xyz
Solution: 27 x^3+y^3+z^3-9 x y z \\ (3 x)^3+y^3+z^3-3 \times 3 x \times y \times z
[x^3+y^3+z^3-3 x y=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-x y-y z-zx)  सर्वसमिका से]

(3 x+y+z)\left[(3 x)^2+y^2+z^2-3 x \times y-y \times z-z \times 3 x\right] \\ =(3 x+y+z)\left(9 x^2+y^2+z^2-3 x y-y z-3 z x\right)
Example:12.सत्यापित कीजिए:

x^3+y^3+z^3-3 x y z=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right]
Solution:x^3+y^3+z^3-3 x y z=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right]

R.H.S.=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right] \\ =\frac{1}{2}(x+y+z)\left(x^2-2 x y+y^2+y^2-2 y z+z^{2}+z^2-2 z x+x^2\right) \\ =\frac{1}{2}(x+y+z)\left(2 x^2+2 y^2+2z^2-2 x y-2 y z-2 z x\right) \\ =\frac{1}{2}(x+y+z) \times 2\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x\right) \\ =(x+y+z) \left(x^2+y^2 +z^2-x y-y z-z x\right) \\ =x^3+y^3+z^3-3 x y z=L.H.S.

[x^3+y^3+z^3-3 x y=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-x y-y z-zx) सर्वसमिका से  ]
Example:13.यदि x+y+z=0 हो तो दिखाइए कि x^3+y^3+z^3=3 x y z है।
Solution:x+y+z=0
\Rightarrow x+y=-z
दोनों पक्षों का घन करने पर:

(x+y)^3=(-z)^{3} \\ \Rightarrow x^3+y^3+3 x^2 y+3 x y^{2} =-z^3 \\ \Rightarrow x^3+y^3+3 x y(x+y)=-z^3\\ \Rightarrow x^3+y^3+3 x y(-z)=-z^3\\ \Rightarrow x^3+y^3-3 x y z=-z^3 \\ \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3 x y z
Example:14.वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:
Example:14(i). (-12)^3+(7)^3+(5)^3
Solution: (-12)^3+(7)^3+(5)^3
a=-12,b=7,c=5
a+b+c=-12+7+5=0

\therefore(-12)^3+(7)^3+(5)^3 =3(-12)(7)(5) =-1260
Example:14(ii). (28)^3+(-15)^3+(-13)^3
Solution: (28)^3+(-15)^3+(-13)^3

a=28,b=-15,c=-13
a+b+c=28-15-13=0
(28)^3+(-15)^3+(-13)^3=3(28)(-15)(-13)=16380

Example:15.नीचे दिए गए आयतों जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए:
Example:15(i).क्षेत्रफल: 25 a^2-35 a+12
Solution:क्षेत्रफल=25 a^2-35 a+12\\ =25 a^2-35 a+12\\ =25 a^2-20 a-15 a+12\\ =5 a(5 a-4)-3(5 a-4)\\ =(5 a-3)(5 a-4)
लम्बाई=5a-3,चौड़ाई=5a-4
Example:15(ii).क्षेत्रफल: 35 y^2+13 y-12
Solution:क्षेत्रफल=35 y^2+13 y-12\\ =35 xy^2+28 y-15 y-12\\ =7 y(5 y+4)-3(5 y+4)\\ =(5 y+4)(7 y-3)
लम्बाई=7y-3,चौड़ाई=5y+4
Example:16.घनाभों (Cuboids) जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं?
Example:16(i).आयतन: 3 x^2-12 x
Solution:आयतन=3 x^2-12 x=3 x(x-4)
=3x(x-4)
घनाभ की सम्भव विमाएं:3,x,x-4
Example:16(ii).आयतन: 12 k y^2+8 k y-20 k
Solution:आयतन=12 k y^2+8 k y-20 k \\ =4 k\left(3 y^2+2 y-5\right) \\ =4 k\left(3 y^2+5 y-3 y-5\right) \\ =4 k[y(3 y+5)-1(3 y+5)] \\ =4 k(3 y+5)(y-1)
घनाभ की सम्भव विमाएं:4k,3y+5,y-1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजीय सर्वसमिकाएं कक्षा 9 (Algebraic Identities Class 9),गणित में बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic Identities in Maths) को समझ सकते हैं।

3.बीजीय सर्वसमिकाएं कक्षा 9 पर आधारित सवाल (Questions Based on Algebraic Identities Class 9):

Algebraic Identities Class 9

(1.) (a-b)^3+(a+2 b)^3-(2 a+b)^3 के गुणनखण्ड लिखिए।
(2.)नीचे दी गई संख्याओं को बिना सीधे-सीधे गुणा किए निम्नलिखित का गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i)95×101 (ii)194×189
(3.)किसी उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग कर निम्नलिखित के मान निकालिए:

(i) (104)^3 (ii) (1004)^3
(4.)गुणनखण्ड कीजिए:

\left(\frac{1}{2} x-3 y\right)^3+(3 y-\sqrt{3} z)^3+\left(\sqrt{3 z}-\frac{1}{2} x\right)^3
उत्तर (Answers):(1.)3(a-b)(a+2b)(2a+b)
(2.)(i)9595 (2.)(ii)36666
3(i)1124864 3(ii)1012048064

(4)3\left(\frac{1}{2} x-3 y\right)(3 y-\sqrt{3} z)\left(\sqrt{3} z-\frac{1}{2} x\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजीय सर्वसमिकाएं कक्षा 9 (Algebraic Identities Class 9),गणित में बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic Identities in Maths) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बीजीय सर्वसमिकाएं कक्षा 9 (Algebraic Identities Class 9),गणित में बीजीय सर्वसमिकाएं (Algebraic Identities in Maths) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बीजीय सर्वसमिकाएं कक्षा 9 (Algebraic Identities Class 9) एक बीजीय समीकरण होती है
जो कि चरों के सभी मानों के लिए सत्य होती है।