1.वज्र-गुणन विधि कक्षा 9 (Method of Cross Multiplication Class 9),वज्र-गुणन विधि (Method of Cross Multiplication):

Method of Cross Multiplication Class 9

वज्र-गुणन विधि कक्षा 9 (Method of Cross Multiplication Class 9) युगपत समीकरणों को हल करने के लिए एक व्यापक विधि है।यह विधि नीचे दिए गए उदाहरणों के द्वारा स्पष्ट हो जाएगी।
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2.वज्र-गुणन विधि कक्षा 9 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Method of Cross Multiplication Class 9):

निम्नलिखित समीकरणों के बारे में जाँच कीजिए कि समीकरण निकाय के अद्वितीय हल है,कोई हल नहीं है या अपरिमित हल हैं।यदि किसी निकाय के अद्वितीय हल है तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
Example:1.x+2y+1=0,2x-3y-12=0
Solution:x+2y+1=0
2x-3y-12=0
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
\frac{x}{\begin{matrix} 2 & \quad \quad +1\\ -3 & \quad \quad -12 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} 1 & \quad \quad +1\\ 2 & \quad \quad -12 \end{matrix}}=\frac{1}{\begin{matrix} 1 & \quad \quad 2\\ 2 & \quad \quad -3 \end{matrix}} \\ \Rightarrow \frac{x}{2(-12)-(1)(-3)}=\frac{y}{-1 \times -12+1 \times 2}=\frac{1}{1 \times-3-2 \times 2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-24+3}=\frac{y}{12+2}=\frac{1}{-3-4} \\ \Rightarrow \frac{x}{-21}=\frac{y}{14}=\frac{1}{-7} \\ \Rightarrow \frac{x}{-21}=\frac{1}{-7} \text { तथा } \frac{y}{14}=\frac{1}{-7} \\ \Rightarrow x=\frac{-21}{-7} \text { तथा } y=\frac{14}{-7} \\ \Rightarrow x=3, y=-2
Example:2. \frac{x}{3}+\frac{y}{2}=3, x-2 y=2
Solution: \frac{x}{3}+\frac{y}{2}=3, x-2 y=2 \\ \Rightarrow 2x+3y-18=0
x-2y-2=0
यहाँ \frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{1}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{-2}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-18}{-2} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अतः अद्वितीय हल है।
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
\frac{x}{\begin{matrix} 3 & \quad -18 \\ -2 & \quad -2 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} -18 & \quad 2 \\ -2 & \quad 1 \end{matrix}}=\frac{1}{\begin{matrix} 2 & \quad 3 \\ 1 & \quad -2 \end{matrix}} \\ \Rightarrow \frac{x}{3 \times(-2)-(-18)(-2)}=\frac{y}{-18 \times 1-2 \times -2}=\frac{1}{2 \times -2-3 \times 1} \\ \Rightarrow \frac{x}{-6-36}=\frac{y}{-18+4}=\frac{1}{-4-3} \\ \Rightarrow \frac{x}{-42}=\frac{y}{-14}=\frac{1}{-7} \\ \Rightarrow \frac{x}{-42}=\frac{1}{-7} \text { तथा } \frac{y}{42}=\frac{1}{-7} \\ \Rightarrow x=\frac{-42}{-7}, y=\frac{-14}{-7} \\ \Rightarrow x=6, y=+2
Example:3.19x-21y=15,21x-19y=25
Solution:19x-21y=15,21x-19y=25
19x-21y-15=0
21x-19y-25=0
यहाँ \frac{a_1}{a_2}=\frac{19}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-21}{-19} ; \frac{c_1}{c_2}=\frac{-15}{-25} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अतः अद्वितीय हल है।
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{matrix} -21 & \quad -15\\ -19 & \quad -25 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} -15 & \quad 19 \\ -25 & \quad 21 \end{matrix}}=\frac{1}{\begin{matrix} 19 & \quad -21 \\ 21 & \quad -19 \end{matrix}} \\ \Rightarrow \frac{x}{-21 \times-25-(-15)(-19)}=\frac{x}{-15 \times 21-19 \times-25}=\frac{1}{19 \times-19-21 \times -21} \\ \Rightarrow \frac{x}{525-285}=\frac{y}{-315+475}=\frac{1}{-361+441} \\ \Rightarrow \frac{x}{240}=\frac{y}{160}=\frac{1}{80} \\ \Rightarrow \frac{x}{240}=\frac{1}{80} \text { तथा } \frac{y}{160}=\frac{1}{80} \\ \Rightarrow x=\frac{240}{80}, y=\frac{160}{80} \\ \Rightarrow x=3, y=2
Example:4.3x+y-2=0,2x-3y-5=0
Solution:3x+y-2=0,2x-3y-5=0
यहाँ \frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{-3}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-2}{-5} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अतः अद्वितीय हल है।
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{matrix} 1 & \quad -2 \\ -3 & \quad -5 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} -2 & \quad 3 \\ -5 & \quad 2 \end{matrix}}=\frac{1}{\begin{matrix} 3 & \quad 1 \\ 2 & \quad -3 \end{matrix}} \\ \Rightarrow \frac{x}{1 \times-5-(-2)(-3)}=\frac{y}{-2 \times 2-3 \times(-5)}=\frac{1}{3 \times-3-1 \times 2} \\ \Rightarrow \frac{x}{5-6}=\frac{y}{-4+15}=\frac{1}{-9-2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-11}=\frac{y}{11}=\frac{1}{-11} \\ \Rightarrow \frac{x}{-11}=\frac{1}{-11} \text { तथा } \frac{y}{11}=\frac{1}{-11} \\ \Rightarrow x=\frac{-11}{-11}, y=\frac{11}{-11} \\ \Rightarrow x=1, y=-1
Example:5.ax+by=1,bx+ay=1 जहाँ a \neq b
Solution:ax+by=1,bx+ay=1
ax+by-1=0
bx+ay-1=0
यहाँ \frac{a_1}{a_2}=\frac{a}{b}, \frac{b_1}{b_2} =\frac{b}{a}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{-1} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अतः अद्वितीय हल है।
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

Method of Cross Multiplication Class 9

Example:6. 4x+7y=10, 10 x+\frac{35}{2} y=25
Solution:4x+7y=10, 10 x+\frac{35}{2} y=25 \\ \Rightarrow 4x+7y-10=0
20x+35y-50=0
यहाँ \frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{7}{35}=\frac{1}{5}, \frac{c_1}{c_2}= \frac{-10}{-50}=\frac{1}{5} \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
अनन्त हल है।
Example:7.3x-4y=-7,3x-4y=-9
Solution:3x-4y=-7,3x-4y=-9
3x-4y+7=0
3x-4y+9=0

\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{-4}=\frac{1}{1}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{7}{9} \\ \Rightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}
कोई हल नहीं है,निकाय असंगत है।
Example:8.3x-y=2,6x-2y=4
Solution:3x-y=2,6x-2y=4
3x-y-2=0
6x-2y-4=0
यहाँ \frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2},\frac{c_1}{c_2}=\frac{-2}{-4}= \frac{1}{2} \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
अनन्त हल हैं।
Example:9.2x+3y=0,7x+8y=5
Solution:2x+3y=0,7x+8y=5
2x+3y+0=0
7x+8y-5=0
यहाँ \frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{7}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{8}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{0}{-5} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{matrix} 3 & 0 \\ 8 & -5 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} 0 & 2 \\ -5 & 7 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} 2 & 3 \\ 7 & 8 \end{matrix}} \\ \Rightarrow \frac{x}{3 \times 5-8 \times 0}=\frac{y}{0 \times 7-2 \times-5}=\frac{1}{2 \times 8-3 \times 7} \\ \Rightarrow \frac{x}{-15-0}=\frac{y}{0+10}=\frac{1}{16-21} \\ \Rightarrow \frac{x}{-15}=\frac{y}{10}=\frac{1}{-5} \\ \Rightarrow \frac{x}{-15}=\frac{1}{-5} \text { तथा } \frac{y}{10}=-\frac{1}{5} \\ \Rightarrow x=\frac{-15}{-5}, y=\frac{-10}{5} \\ \Rightarrow x=+3, y=-2
k का मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है:
Example:10.kx+2y=5,3x+y=1
Solution:kx+2y=5,3x+y=1
kx+2y-5=0
3x+y-1=0
कोई हल नहीं के लिए:

\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \\ \Rightarrow \frac{k}{3}=\frac{2}{1} \neq \frac{-5}{-1}
यह प्रतिबन्ध सत्य होगा यदि
अतः k=6 होने पर निकाय का कोई हल नहीं होगा।
Example:11. \lambda के वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निकाय

3 x+\lambda y+1=0,2 x+y-9=0
के (i)अद्वितीय हल (ii)कोई हल नहीं (iii)अनन्त हल हों।
Solution: 3 x+\lambda y+1=0 \\ 2 x+y-9=0
यहाँ \frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{\lambda}{1}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{-9}
(i)अद्वितीय हल के लिए

\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \\ \frac{3}{2} \neq \frac{\lambda}{1} \\ \Rightarrow \lambda \neq \frac{3}{2}
अतः निकाय के अद्वितीय हल के लिए शर्त है कि \lambda \neq-\frac{3}{2} अर्थात् \frac{3}{2} मान के अतिरिक्त के प्रत्येक मान के लिए निकाय का हल अद्वितीय होगा।
(ii)कोई हल नहीं के लिए:

\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \\ \frac{3}{2}=\frac{\lambda}{1} \neq \frac{1}{-9}
यह प्रतिबन्ध सत्य होगा यदि

\frac{3}{2}=\frac{\lambda}{1} \\ \Rightarrow \lambda=\frac{3}{2}
अतः \lambda=\frac{3}{2} होने पर निकाय का कोई हल नहीं होगा।
(iii)अनन्त हल के लिए
यहाँ हम देखते हैं कि \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}
इसलिए किसी भी स्थिति में प्रतिबन्ध \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2} का होना सम्भव नहीं है।
अतः निकाय के कोई भी अनन्त हल विद्यमान नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा वज्र-गुणन विधि कक्षा 9 (Method of Cross Multiplication Class 9),वज्र-गुणन विधि (Method of Cross Multiplication) को समझ सकते हैं।

3.वज्र-गुणन विधि कक्षा 9 पर आधारित सवाल (Questions Based on Method of Cross Multiplication Class 9):

Method of Cross Multiplication Class 9

(1.)दिए गए समीकरणों का हल वज्र-गुणन विधि से कीजिए।
2x+3y-17=0,3x-2y-6=0
(2.)दिए गए समीकरण निकाय की संगतता की जाँच कीजिए।यदि निकाय संगत है तो हल ज्ञात कीजिए।
2x+3y=7,6x+9y=15
उत्तर (Answers):(1.)x=4,y=3 (2.)निकाय असंगत है तथा इसका कोई हल नहीं है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वज्र-गुणन विधि कक्षा 9 (Method of Cross Multiplication Class 9),वज्र-गुणन विधि (Method of Cross Multiplication) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वज्र-गुणन विधि कक्षा 9 (Frequently Asked Questions Related to Method of Cross Multiplication Class 9),वज्र-गुणन विधि (Method of Cross Multiplication) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वज्र-गुणन विधि कक्षा 9 (Method of Cross Multiplication Class 9) युगपत समीकरणों को
हल करने के लिए एक व्यापक विधि है।यह विधि नीचे दिए गए उदाहरणों के द्वारा स्पष्ट हो जाएगी।