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Homogeneous Differential Equation

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1.समघात रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 (Homogeneous Differential Equation Class 12),समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation )-

  • समघात रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 (Homogeneous Differential Equation Class 12) के बारे में इस आर्टिकल में अध्ययन करेंगे।
  • अवकल समीकरण f(x,y)dx+g(x,y)=0 को समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation) कहते हैं,यदि इसे निम्नलिखित रूप से व्यक्त किया जाए-

\frac { dy }{ dx } =F(\frac { y }{ x } )....(1)
अर्थात् f(x,y) और g(x,y) के प्रत्येक पद में x तथा y की घातों का योग सदैव समान रहता है।समघात अवकल समीकरण को हल करने के लिए माना
y=vx ……(2)
इसे x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } ...(3)
समीकरण (2) व (3) का (1) में प्रयोग करने पर-
v+x\frac { dv }{ dx } =F(v)\\ x\frac { dv }{ dx } =F(v)-v\\ \frac { 1 }{ F(v)-v } dv=\frac { dx }{ x } [चरों को पृथक करने पर]
समाकलन करने पर-

\int { \frac { 1 }{ F(v)-v } dv } =\int { \frac { dx }{ x } } =\log { x } +c
[जहां C समाकलन अचरांक है]
बाएं पक्ष का समाकलन कर प्रतिस्थापित करने पर दी गई अवकल समीकरण का हल प्राप्त होता है।

  • टिप्पणी:यदि समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation) के रूप में हो जहां f(x,y) शून्य घात वाला समघातीय फलन हो तो x=by रखकर का मान ज्ञात करते हैं तथा \frac { dx }{ dy } =f(x,y) में का मान रखते हैं और अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात करते हैं।
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2.समघात रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 के उदाहरण (Homogeneous Differential Equation Class 12 Examples),समघात रैखिक अवकल समीकरण के उदाहरण (Homogeneous Differential Equation Examples)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए
Example-1.{ x }^{ 2 }ydx-({ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 })dy=0
Solution{ x }^{ 2 }ydx-({ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 })dy=0\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }ydx=({ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 })dy\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { { x }^{ 2 }y }{ ({ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }) } ....(1)
दी गई अवकल समीकरण समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation) है।
अतः माना y=vx ……..(2)

\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } ....(3)
समीकरण (2) और (3) का प्रयोग समीकरण (1) में करने पर-
v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { { x }^{ 2 }vx }{ ({ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }) } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { { x }^{ 3 }v }{ { x }^{ 3 }(1+{ v }^{ 3 }) } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { v }{ (1+{ v }^{ 3 }) } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { v }{ (1+{ v }^{ 3 }) } -v\\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { v-v-{ v }^{ 4 } }{ (1+{ v }^{ 3 }) } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { -{ v }^{ 4 } }{ (1+{ v }^{ 3 }) } \\ \Rightarrow \frac { 1+{ v }^{ 3 } }{ { v }^{ 4 } } dv=-\frac { dx }{ x } [चरों को पृथक करने पर]

\Rightarrow (\frac { 1 }{ { v }^{ 4 } } +\frac { { v }^{ 3 } }{ { v }^{ 4 } } )dv=-\frac { dx }{ x }
समाकलन करने पर-

\int { { v }^{ -4 } } dv+\int { \frac { 1 }{ v } dv } =-\int { \frac { dx }{ x } } \\ -\frac { 1 }{ 3{ v }^{ 3 } } +\log { v } =-\log { x } +\log { c } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 3{ v }^{ 3 } } =\log { x } -\log { c } +\log { v } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 3{ v }^{ 3 } } =\log { (\frac { vx }{ c } ) } \\ \Rightarrow \frac { { x }^{ 3 } }{ 3{ y }^{ 3 } } =\log { (\frac { y }{ x } .\frac { x }{ c } ) } [\because v=\frac { y }{ x } ]\\ \Rightarrow \frac { { x }^{ 3 } }{ 3{ y }^{ 3 } } =\log { (\frac { y }{ c } ) } \\ \Rightarrow \frac { y }{ c } ={ e }^{ (\frac { { x }^{ 3 } }{ 3{ y }^{ 3 } } ) }\\ \Rightarrow y=c{ e }^{ (\frac { { x }^{ 3 } }{ 3{ y }^{ 3 } } ) }
Example-2.\frac { dy }{ dx } =\frac { y }{ x } +\sin { (\frac { y }{ x } ) }
Solution\frac { dy }{ dx } =\frac { y }{ x } +\sin { (\frac { y }{ x } ) } .....(1)
दी गई अवकल समीकरण समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation) है।
अतः माना y=vx ……..(2)

\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } ...(3)
समीकरण (2) और (3) का प्रयोग समीकरण (1) में करने पर-
v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { vx }{ x } +\sin { \frac { vx }{ x } } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =v+\sin { v } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\sin { v } [चरों को पृथक करने पर]

\Rightarrow \frac { dv }{ \sin { v } } =\frac { dx }{ x }
समाकलन करने पर-

\int { \frac { dv }{ \sin { v } } } =\int { \frac { dx }{ x } } \\ \log { (\tan { \frac { v }{ 2 } } ) } =\log { x } +\log { c } \\ \Rightarrow \log { (\tan { \frac { v }{ 2 } } ) } =\log { x } +\log { c } \\ \Rightarrow \log { (\tan { \frac { v }{ 2 } } ) } =\log { cx } \\ \Rightarrow \tan { \frac { v }{ 2 } } =cx\\ \Rightarrow \tan { (\frac { y }{ 2x } ) } =cx[\because v=\frac { y }{ x } ]
Example-3.x\sin { (\frac { y }{ x } ) } (\frac { dy }{ dx } )=y\sin { (\frac { y }{ x } ) } -x

Solutionx\sin { (\frac { y }{ x } ) } (\frac { dy }{ dx } )=y\sin { (\frac { y }{ x } ) } -x\\ \frac { dy }{ dx } =\frac { y\sin { (\frac { y }{ x } ) } -x }{ x\sin { (\frac { y }{ x } ) } } ....(1)
दी गई अवकल समीकरण समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation) है।
अतः माना y=vx ……..(2)

\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } …….(3)
समीकरण (2) और (3) का प्रयोग समीकरण (1) में करने पर-
v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { vx\sin { (\frac { vx }{ x } ) } -x }{ x\sin { (\frac { vx }{ x } ) } } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { x(v\sin { v } -1) }{ x\sin { v } } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { v\sin { v } -1 }{ \sin { v } } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { v\sin { v } -1 }{ \sin { v } } -v\\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { v\sin { v } -1-v\sin { v } }{ \sin { v } } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { v\sin { v } -1-v\sin { v } }{ \sin { v } } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { -1 }{ \sin { v } } \\ \Rightarrow \sin { v } dv=-\frac { dx }{ x } [चरों को पृथक करने पर]
समाकलन करने पर-

\Rightarrow -\int { \sin { v } dv } =\int { \frac { dx }{ x } } \\ \Rightarrow \cos { v } =\log { x } +\log { c } \\ \Rightarrow \cos { v } =\log { cx } \\ \Rightarrow \cos { (\frac { y }{ x } ) } =\log { cx } [\because v=\frac { y }{ x } ]\\ \Rightarrow cx={ e }^{ \cos { (\frac { y }{ x } ) } }\\ \Rightarrow x={ c }_{ 1 }{ e }^{ \cos { (\frac { y }{ x } ) } }

Example-4.(1+{ e }^{ \frac { x }{ y } })dx+{ e }^{ \frac { x }{ y } }(1-\frac { x }{ y } )dy=0
Solution(1+{ e }^{ \frac { x }{ y } })dx+{ e }^{ \frac { x }{ y } }(1-\frac { x }{ y } )dy=0\\ \Rightarrow (1+{ e }^{ \frac { x }{ y } })dx=-{ e }^{ \frac { x }{ y } }(1-\frac { x }{ y } )dy\\ \Rightarrow \frac { dx }{ dy } =\frac { -{ e }^{ \frac { x }{ y } }(1-\frac { x }{ y } ) }{ (1+{ e }^{ \frac { x }{ y } }) } ....(1)
दी गई अवकल समीकरण समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation) है।
अतः माना x=vy ……..(2)

\Rightarrow \frac { dx }{ dy } =v+y\frac { dv }{ dy } ...(3)
समीकरण (2) और (3) का प्रयोग समीकरण (1) में करने पर-
v+y\frac { dv }{ dy } =\frac { -{ e }^{ \frac { vy }{ y } }(1-\frac { vy }{ y } ) }{ (1+{ e }^{ \frac { vy }{ y } }) } \\ \Rightarrow v+y\frac { dv }{ dy } =\frac { -{ e }^{ v }(1-v) }{ (1+{ e }^{ v }) } \\ \Rightarrow y\frac { dv }{ dy } =\frac { -{ e }^{ v }+v{ e }^{ v } }{ (1+{ e }^{ v }) } -v\\ \Rightarrow y\frac { dv }{ dy } =\frac { -{ e }^{ v }+v{ e }^{ v }-v-v{ e }^{ v } }{ (1+{ e }^{ v }) } \\ \Rightarrow y\frac { dv }{ dy } =\frac { -{ e }^{ v }-v }{ (1+{ e }^{ v }) } \\ \Rightarrow y\frac { dv }{ dy } =-\frac { (v+{ e }^{ v }) }{ (1+{ e }^{ v }) } \\ (\frac { 1+{ e }^{ v } }{ v+{ e }^{ v } } )dv=-\frac { dy }{ y } [चरों को पृथक करने पर]
समाकलन करने पर-

\int { (\frac { 1+{ e }^{ v } }{ v+{ e }^{ v } } )dv } =-\int { \frac { dy }{ y } } \\ put\quad v+{ e }^{ v }=t\\ (1+{ e }^{ v })dv=dt\\ \Rightarrow \int { \frac { dt }{ t } } =-\int { \frac { dy }{ y } } \\ \Rightarrow \log { t } =-\log { y } +\log { c } \\ \Rightarrow \log { t } =\log { \frac { c }{ y } } \\ \Rightarrow t=\frac { c }{ y } \\ \Rightarrow (v+{ e }^{ v })y=c[\because t=v+{ e }^{ v }]\\ \Rightarrow (\frac { x }{ y } +{ e }^{ \frac { x }{ y } })y=c[\because v=\frac { x }{ y } ]\\ \Rightarrow x+y{ e }^{ \frac { x }{ y } }=c
Example-5.xdy-ydx=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } dx
Solution-xdy-ydx=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } dx\\ \Rightarrow xdy=ydx+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } dx\\ \Rightarrow xdy=(y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } )dx\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } }{ x } ....(1)
दी गई अवकल समीकरण समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation) है।
अतः माना x=vy ……..(2)

\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } ...(3)
समीकरण (2) और (3) का प्रयोग समीकरण (1) में करने पर-
v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { vx+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } } }{ x } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { vx+x\sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } }{ x } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { x(v+\sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } ) }{ x } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =v+\sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } -v\\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ \sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } } =\frac { dx }{ x } [चरों को पृथक करने पर]
समाकलन करने पर-

\int { \frac { dv }{ \sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } } } =\int { \frac { dx }{ x } } \\ \Rightarrow \log { \left| v+\sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } \right| } =\log { x } +\log { c } \\ \Rightarrow \log { \left| \frac { y }{ x } +\sqrt { 1+\frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } } \right| } =\log { x } +\log { c } [\because v=\frac { y }{ x } ]\\ \Rightarrow \log { \left| \frac { y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } }{ x } \right| } =\log { x } +\log { c } \\ \Rightarrow \log { \left| y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right| } -\log { x } =\log { x } +\log { c } \\ \Rightarrow \log { \left| y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right| } =2\log { x } +\log { c } \\ \Rightarrow \log { \left| y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right| } =\log { c{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =c{ x }^{ 2 }
Example-6.({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })dy=2xydx
Solution({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })dy=2xydx\\ \Rightarrow \frac { dx }{ dy } =\frac { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }{ 2xy } ...(1)
दी गई अवकल समीकरण समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation) है।
अतः माना y=vx ……..(2)

\Rightarrow \frac { dx }{ dy } =v+y\frac { dv }{ dy } ...(3)
समीकरण (2) और (3) का प्रयोग समीकरण (1) में करने पर-
v+y\frac { dv }{ dy } =\frac { ({ v }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }{ 2vy.y } \\ \Rightarrow v+y\frac { dv }{ dy } =\frac { { y }^{ 2 }(1+{ v }^{ 2 }) }{ 2v{ y }^{ 2 } } \\ \Rightarrow v+y\frac { dv }{ dy } =\frac { (1+{ v }^{ 2 }) }{ 2v } \\ \Rightarrow y\frac { dv }{ dy } =\frac { (1+{ v }^{ 2 }) }{ 2v } -v\\ \Rightarrow y\frac { dv }{ dy } =\frac { 1+{ v }^{ 2 }-2{ v }^{ 2 } }{ 2v } \\ \Rightarrow y\frac { dv }{ dy } =\frac { 1-{ v }^{ 2 } }{ 2v } \\ \Rightarrow \frac { 2v }{ 1-{ v }^{ 2 } } dv=\frac { dy }{ y } [चरों को पृथक करने पर]
समाकलन करने पर-

\int { \frac { 2v }{ 1-{ v }^{ 2 } } dv } =\int { \frac { dy }{ y } } \\ put\quad 1-{ v }^{ 2 }=t\\ -2vdv=dt\\ 2vdv=-dt\\ \Rightarrow -\int { \frac { dt }{ t } } =\frac { dy }{ y } \\ -\log { t } =\log { y } +\log { c } \\ -\log { (1-{ v }^{ 2 }) } =\log { cy } [\because t=1-{ y }^{ 2 }]\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 1-{ v }^{ 2 } } =cy\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 1-\frac { { x }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 } } } =cy[\because v=\frac { x }{ y } ]\\ \Rightarrow \frac { { y }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =cy\\ \Rightarrow c({ y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 })=y
Example-7.(3xy+{ y }^{ 2 })dx+({ y }^{ 2 }+xy)dy=0
Solution(3xy+{ y }^{ 2 })dx+({ y }^{ 2 }+xy)dy=0\\ \Rightarrow ({ y }^{ 2 }+xy)dy=-(3xy+{ y }^{ 2 })dx\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =-\frac { (3xy+{ y }^{ 2 }) }{ ({ y }^{ 2 }+xy) } ....(1)
दी गई अवकल समीकरण समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation) है।
अतः माना y=vx ……..(2)

\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } ...(3)
समीकरण (2) और (3) का प्रयोग समीकरण (1) में करने पर-
v+x\frac { dv }{ dx } =-\frac { (3x.vx+{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 }) }{ ({ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+x.vx) } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =-\frac { { x }^{ 2 }(3v+{ v }^{ 2 }) }{ { x }^{ 2 }({ v }^{ 2 }+v) } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =-\frac { v(3+{ v }) }{ v({ v }+1) } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { -3-{ v } }{ 1+{ v } } -v\\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { -3-{ v }-v-{ v }^{ 2 } }{ 1+{ v } } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { -3-{ 2 }v-{ v }^{ 2 } }{ 1+{ v } } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { -(3+{ 2 }v+{ v }^{ 2 }) }{ 1+{ v } } \\ \Rightarrow \frac { 1+v }{ 3+{ 2 }v+{ v }^{ 2 } } dv=-\frac { dx }{ x } [चरों को पृथक करने पर]
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { 1+v }{ 3+{ 2 }v+{ v }^{ 2 } } dv } =-\int { \frac { dx }{ x } } \\ put\quad 3+{ 2 }v+{ v }^{ 2 }=t\\ (2+2v)dv=dt\\ (1+v)dv=\frac { dt }{ 2 } \\ \Rightarrow \int { \frac { 1 }{ v } .\frac { dt }{ 2 } } =-\int { \frac { dx }{ x } } \\ \Rightarrow \log { v } =-2\log { x } +\log { c } \\ \Rightarrow \log { v } =\log { \frac { c }{ { x }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow v=\frac { c }{ { x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { y }{ x } =\frac { c }{ { x }^{ 2 } } [\because v=\frac { y }{ x } ]\\ \Rightarrow xy=c

Example-8.{ x }^{ 2 }.\frac { dy }{ dx } ={ x }^{ 2 }+xy+{ y }^{ 2 }
Solution{ x }^{ 2 }.\frac { dy }{ dx } ={ x }^{ 2 }+xy+{ y }^{ 2 }\\ \frac { dy }{ dx } =\frac { { x }^{ 2 }+xy+{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } ....(1)
दी गई अवकल समीकरण समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation) है।
अतः माना y=vx ……..(2)

\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } ...(3)

समीकरण (2) और (3) का प्रयोग समीकरण (1) में करने पर-
v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { { x }^{ 2 }+x.vx+{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { { x }^{ 2 }(1+v+{ v }^{ 2 }) }{ { x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =1+v+{ v }^{ 2 }-v\\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =1+{ v }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { dv }{ 1+{ v }^{ 2 } } =\frac { dx }{ x } [चरों को पृथक करने पर]
समाकलन करने पर-

\int { \frac { dv }{ 1+{ v }^{ 2 } } } =\int { \frac { dx }{ x } } \\ \Rightarrow \tan ^{ -1 }{ v } =\log { x } +\log { c } \\ \Rightarrow \tan ^{ -1 }{ (\frac { y }{ x } ) } =\log { cx } [\because v=\frac { y }{ x } ]

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघात रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 (Homogeneous Differential Equation Class 12),समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation ) को समझा जा सकता है।

3.समघात रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 की समस्याएं (Homogeneous Differential Equation Class 12 Problems),समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation Problems)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:

(1)x\frac { dy }{ dx } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { x } } =y\\ (2)x(x-y)dy=y(x+y)dx\\ (3)\frac { dy }{ dx } =\frac { 3x+{ y }^{ 2 } }{ 3{ x }^{ 2 } } \\ (4)\frac { dy }{ dx } =\frac { y }{ x } +\tan { (\frac { y }{ x } ) } \\ (5)x\sin { (\frac { y }{ x } ) } \frac { dy }{ dx } =y\sin { (\frac { y }{ x } ) } -x\\ (6)x\frac { dy }{ dx } =y(\log { y } -\log { x } +1)
उत्तर (Answer):

(1)(x+cy)=y\log { x } \\ (2)\frac { x }{ y } +\log { (cxy) } =0\\ (3)(-\frac { x }{ y } )=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x \right| } +c\\ (4)x=c\sin { (\frac { y }{ x } ) } \\ (5)x=c{ e }^{ \cos { (\frac { y }{ x } ) } }\\ (6)\log { (\frac { y }{ x } ) } =cx

  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघात रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 (Homogeneous Differential Equation Class 12),समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation ) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.अवकल समीकरण के लिए सजातीय होने का क्या मतलब है? (What does it mean for a differential equation to be homogeneous?)-

  • फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन कहा जाता है अगर इसे लिखा जा सकता है।जहाँ f और g एक ही डिग्री के x और y के समघात फलन हैं।इस स्थिति में, चर y = ux का परिवर्तन चर के एक समीकरण की ओर जाता है।जो दो सदस्यों के समाकलन द्वारा हल करना आसान है।

5.उदाहरण के साथ सजातीय समीकरण क्या है? (What is homogeneous equation with example?)-

  • f(x,y) =f(KX, KY)।नोट: शब्द “सजातीय” का उपयोग रूप में एक अवकल समीकरण का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है Ly = 0, जहां L एक रैखिक अवकल ऑपरेटर है।इस तरह के एक सजातीय समीकरण का एक उदाहरण है: \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +\frac { dy }{ dx } +y=0

6.समघात और असमघात अवकल समीकरण क्या है? (What is homogeneous and non homogeneous differential equation?)-

  • असमघात अवकल समीकरण समघात अवकल समीकरणों के समान हैं, सिवाय इसके कि उनके दाईं ओर केवल x (और स्थिरांक) वाले पद हो सकते हैं, जैसा कि इस समीकरण में है: आप इस प्रारूप में असमघात अवकल समीकरण भी लिख सकते हैं: 

y ”+ p(x)y ‘+ q(x) y = g (x)।

7.आप समघात को कैसे हल करते हैं?
How do you solve homogeneous?)-

  • समघात अवकल समीकरण। एक प्रथम कोटि का अवकल समीकरण समघात है जब यह इस रूप में हो सकता है: dy/ dx = F(y/x)।हम y=vx का उपयोग करके हल कर सकते हैं।

8.समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous linear differential equation)-

  • अचर गुणांक के साथ एक समघात रैखिक साधारण अवकल समीकरण एक साधारण अवकल समीकरण है जिसमें गुणांक स्थिरांक हैं (यानी, फ़ंक्शन नहीं), सभी पद रैखिक हैं, और संपूर्ण अवकल समीकरण शून्य के बराबर है (यानी, यह समघातीय है)।
  • उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर, उदाहरणों तथा सवालों को हल करके समघात रैखिक अवकल समीकरण कक्षा 12 (Homogeneous Differential Equation Class 12),समघात रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation ) को ठीक से समझ सकते हैं।

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