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Differentiation

1.अवकलन (Differentiation),कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation class 12)-

अवकलन (Differentiation) की कई विधियों के द्वारा हम समझ चुके हैं।इस आर्टिकल में कुछ उदाहरणों के अवकलन को ओर समझेंगे। इसमें अवकलज का श्रृंखला नियम,दो फलनों के गुणनफल का अवकलज तथा दो फलनों के भागफल का अवकलज के द्वारा अवकलन ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.अवकलन के उदाहरण (Differentiation Examples)-

निम्न फलनों का x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए:
Example-1.\sin x^{2}
Solution-माना कि y=\sin x^{2}
माना x^{2}=u \\ y =\sin u, \quad u=x^{2} \\ \frac{d y}{d u} =\cos u, \frac{d u}{d x}=2 x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ =\cos u \cdot 2 x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =2 x \cos x^{2}
वैकल्पिक विधि-y =\sin x^{2} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}\left(\sin x^{2}\right) \\ =\cos x^{2} \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right) \\ =\cos x^{2} \cdot 2 x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =2 x \cos x^{2}
Example-2.\tan (2 x+3)
Solution\tan (2 x+3)
माना कि y=\tan (2 x+3)

माना 2 x+3=u \\ y =\tan u, \quad u=2 x+3 \\ \frac{d y}{d x} =\sec ^{2} u, \frac{d y}{d x}=2 \\ \frac{d y}{d x}= \frac{d y}{d u}.\frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\sec ^{2} u \cdot 2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =2 \sec ^{2}(2 x+3)
वैकल्पिक विधि- y =\tan (2 x+3) \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x} \tan (2 x+3) \\ =\sec ^{2}(2 x+3) \frac{d}{d x}(2 x+3) \\ =\sec ^{2}(2 x+3) \cdot 2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 \sec ^{2}(2 x+3)
Example-3. \sin \left\{\cos \left(x^{2}\right)\right\}
Solution-माना कि y=\sin \left\{\cos \left(x^{2}\right)\right\} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x} \sin \left\{\cos \left(x^{2}\right)\right\} \\ =\cos \left\{\cos \left(x^{2}\right)\right\} \cdot \frac{d}{d x}\left(\cos x^{2}\right) \\ =\cos \left\{\cos \left(x^{2}\right)\right\}\left(-\sin x^{2}\right) \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right) \\ =-\cos \left\{\cos \left(x^{2}\right)\right\} \sin x^{2} \cdot 2 x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-2 x \sin x^{2} \cos \left\{\cos \left(x^{2}\right)\right\}
Example-4.\frac{\sec x-1}{\sec x+1}
Solution– माना कि y=\frac{\sec x-1}{\sec x+1} \\ \frac{dy}{d x} =\frac{(\sec x+1) \frac{d}{d x}(\sec x-1)-(\sec x-1) \frac{d}{d x}(\sec x+1)}{(\sec x+1)^{2}} \\= \frac{(\sec x+1) \sec x \tan x-(\sec x-1) \sec x \tan x}{(\sec x+1)^{2}} \\ =\frac {(\sec x \tan x)(\sec x+1-\sec x+1)}{(\sec x+1)^{2}} \\ =\frac{2(\sec x \tan x)}{(\sec x+1)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2\left(\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\left(\frac{1}{\cos x}+1\right)^{2}} \\ \frac{2 \sin x}{\cos ^{2} x\left(\frac{1+\cos x}{\cos x}\right)^{2}} \\ =\frac{2 \sin x \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x(1+\cos x)^{2}} \\ =\frac{2 \sin x}{(1+\cos x)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 \sin x}{(1+\cos x)^{2}}
Example-5. \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}
Solution-माना कि y =\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \\ y =\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} +\sqrt{1-x}} \times \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} \\ =\frac{1+x-(1-x)-2 \sqrt{1+x} \sqrt{1-x}}{1+x-(1-x)} \\ =\frac{1+x-1+x-2 \sqrt{1-x^{2}}}{1+x-1+x} \\ =\frac{2 x-2 \sqrt{1-x^{2}}}{2 x} \\ y =1-\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} \\ \frac{d y}{d x} =0-\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} \\ =-\frac{x \frac{d}{dx} \sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} \cdot \frac{d}{d x}(x)}{x^{2}} \\ =-\frac{x \cdot \frac{-2 x}{2 \sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}} \cdot 1}{x^{2}} \\ =\frac{x^{2}+\left(1-x^{2}\right)}{ x^{2} \sqrt{1-x^{2}}} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{-x^{2}+1+x^{2}}{x^{2} \sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x^{2} \sqrt{1-x^{2}}}
Example-6. \sin x^{\circ}
Solution– माना कि y=\sin x^{\circ} \\ y =\sin \left(\frac{\pi x}{180}\right) \\ \frac{d y}{d x}=\cos \left(\frac{\pi x}{180}\right) \frac{d}{d x} \left(\frac{\pi x}{180}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\pi}{180} \cos \left(\frac{\pi x}{180}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\pi}{180} \cos x^{\circ}

Example-7.\log _{e} \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}
Solution– माना कि y=\log _{e} \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \log _{e} \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{1}{\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}} \times \frac{d}{d x}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right) \\ =\frac{1}{\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}} \times \frac{\sqrt{1+\cos x} \frac{d}{d x} \sqrt{1-\cos x}-\sqrt{1-\cos x} \frac{d}{d x} \sqrt{1+\cos x}}{1+\cos x} \\ =\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}} \times \frac{\sqrt{1+\cos x} \cdot \frac{1 \times (\sin x)}{2 \sqrt{1-\cos x}}+\frac{\sqrt{1-\cos x} (\sin x)}{2 \sqrt{1+\cos x}}}{1+\cos x} \\ =\frac{1}{\sqrt{(1-\cos x)(1+\cos x)}} \cdot\left(\frac{\sin x \sqrt{1+\cos x}}{2 \sqrt{1-\cos x}}+\frac{\sin x \sqrt{1-\cos x}}{2 \sqrt{1+\cos x}}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^{2} x}}\left(\frac{\sin x(1+\cos x)+\sin x(1-\cos x)}{2 \sqrt{1+\cos x} \sqrt{1-\cos x}}\right) \\ =\frac{1}{\sin x}\left(\frac{\sin x+\sin x \cos x+\sin x-\sin x \cos x}{2 \sqrt{1-\cos ^{2} x}}\right) \\ =\left(\frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{2 \sin x}{2 \sin x}\right) \\ =\frac{1}{\sin x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\operatorname{cosec} x
Example-8.\sec x^{\circ}
Solutiony =\sec x^{\circ} \\ y =\sec \left(\frac{\pi x}{180}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x} \sec \left(\frac{\pi x}{180}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x} \sec \left(\frac{\pi x}{180}\right) \\ =\sec \left(\frac{\pi x}{180}\right) \tan \left(\frac{\pi x}{180}\right) \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{80}\right) \\ =\sec x^{\circ} \tan x^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\pi}{180}\left(\sec x^{\circ}+\tan x^{\circ}\right)
Example-9.\log \left(\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\right)
Solutiony=\log \left(\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\right) \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \times \frac{1+\sin x}{1+\sin x}\right) \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \frac{\log(1+\sin x)^{2}}{1-\sin ^{2} x} \\ \Rightarrow y= \frac{1}{2} \frac{ \log (1+\sin x)^{2}}{\cos ^{2} x} \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)^{2} \\ \Rightarrow y=\log \left( \frac{1+\sin x}{\cos x}\right) \\ \Rightarrow y=\log (1+\sin x)-\log \cos x \\ \Rightarrow \frac{d y}{dx}=\frac{d}{dx} \log (1+\sin x)-\frac{d}{d x} \log (\cos x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \log (1+\sin x)-\frac{d}{d x} \log (\cos x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+\sin x} \frac{d}{d x}(1+\sin x)-\frac{1}{\cos x} \frac{d}{d x}(\cos x) \\ =\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+\sin x} \cdot \cos x-\frac{1}{\cos x}(-\sin x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^{2} x+\sin x+\sin ^{2} x}{\cos x(1+\sin x)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\cos x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\sec x
Example-10.\log _{e}\left(\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\right)
Solution-माना कि y=\log _{e}\left(\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\right) \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \log _{e}\left(\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\right) \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\left(\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}\right) \cdot \frac{\left(x^{2}-x+1\right) \frac{d}{d x}\left(x^{2}+x+1\right)-\left(x^{2}+x+1\right) \frac{d}{d x} \left(x^{2}-x+1\right)}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} \\ =\left(\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}\right) \cdot \frac{\left(x^{2}-x+1\right)(2 x+1)-\left(x^{2}+x+1\right)(2 x-1)}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} \\ =\frac{1}{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)} \cdot (2 x^{3}-2 x^{2}+2 x+x^{2}-x+1-2 x^{3}-2 x^{2}-2 x+x^{2}+x+1) \\ =\frac{1}{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)} \cdot\left(-4 x^{2}+2 x^{2}+2\right) \\ =\frac{-2\left(x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)} \\ \frac{d y}{dx}=\frac{2(1-x)}{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}
Example-11.\tan \left\{\log _{e} \sqrt{1+x^{2}}\right\}
Solutiony=\tan \left\{\log _{e} \sqrt{1+x^{2}}\right\} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \tan \left\{\log _{e} \sqrt{1+x^{2}}\right\} \\\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \tan \left\{2 \log _{e}\left(1+x^{2}\right)\right\} \\ =\sec ^{2}\left\{2 \log _{e}\left(1+x^{2}\right)\right\} \frac{d}{d x}\left(2 \log _{e}\left(1+x^{2}\right)\right)  \\ =\sec ^{2}\left\{2 \log _{e}\left(1+x^{2}\right)\right\} \cdot \frac{2}{1+x^{2}} \cdot \frac{d}{d x}\left(1+x^{2}\right) \\ =\sec ^{2}\left\{2 \log _{e}\left(1+x^{2}\right)\right\} \cdot\left(\frac{2}{1+x^{2}}\right) \cdot 2 x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{4 x \sec ^{2}\left\{2 \log _{e}\left(1+x^{2}\right)\right\}}{1+x^{2}}
Example-12.a^{\tan 3 x}
Solutiony=a^{\tan 3 x} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}(\tan 3 x) \\ =a^{\tan 3 x} \log _{e} a \frac{d}{d x}(\tan 3 x) \\ =a^{\tan 3 x} \log _{c} a \sec ^{2} 3 x \frac{d}{d x}(3 x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{dx} =3 \log _{e} a \sec ^{2} 3 x \quad a^{\tan 3 x}
Example-13.\sin ^{3} x \sin 3 x
Solutiony=\sin ^{3} x \sin 3 x \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{3} x \sin 3 x\right) \\ \frac{d y}{d x} =\sin ^{3} x \frac{d}{d x}(\sin 3 x)+\sin 3 x \frac{d}{d x}(\sin^{3} x) \\ =\sin^{3} x \cos 3 x \frac{d}{d x}(3 x)+\sin 3 x \cdot 3 \sin ^{2} x \frac{d}{d x}(\sin x) \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right) =3 \cos 3 x \sin^{3} x+3 \sin 3 x \sin ^{2} x \cos x
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकलन (Differentiation),कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation class 12) को समझ सकते हैं।

3.अवकलन की समस्याएं (Differentiation Probkems)-

निम्न फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

(1.) \log _{e} \log _{e} x^{2} \\ (2) e^{\sin x^{2}} \\ (3) \tan \left(\log _{e} \sqrt{1+x^{2}}\right) \\ (4) \frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)} \\ (5.) \cos x^{3} \cdot \sin ^{2}\left(x^{5}\right) \\ (6) \sec (\tan \sqrt{x}) \\ (7)2 \sqrt{\left(\cot x^{2}\right)} \\ (8.) \cos (\sqrt{x})
उत्तर (Answers): 

(1) \frac{2}{x \log _{e} x^{2}} \\ (2.) 2 x \cos x^{2} e^{\sin x^{2}} \\ (3) \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)} \sec ^{2}\left(\log _{e} \sqrt{1+x^{2}}\right) \\(4) \frac{a \cos (a x+d) \cos (a x+b)+c \sin (a x+b) \cdot \sin (c x+d)}{\cos ^{2}(cx+d)} \\ (5) 10 x^{4} \cos x^{3} \cdot \sin \left(x^{5}\right) \cos \left(x^{5}\right)-3 x^{2} \cdot \sin \left(x^{5}\right) \sin x^{3} \\ (6)\frac{1}{2 \sqrt{x}} \sec (\tan \sqrt{x}) \tan (\tan \sqrt{x}) \sec ^{2} \sqrt{x} \\ (7.) \frac{-2 \sqrt{2} x}{\sin \left(x^{2}\right) \sqrt{\sin \left(2 x^{2}\right)}} \\ (8.) \frac{-\sin \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकलन (Differentiation),कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.अवकलन से हमारा क्या मतलब है? (What do we mean by differentiation?),सरल शब्दों में अवकलन क्या है? (What is differentiation in simple words?)-

अवकलन एक फ़ंक्शन खोजने की एक प्रक्रिया है जो एक चर के परिवर्तन की दर को दूसरे चर के संबंध में आउटपुट करता है।अनौपचारिक रूप से, हम मान सकते हैं कि हम दो लेन वाली सड़क पर कार की स्थिति को ट्रैक कर रहे हैं जिसमें कोई पासिंग लेन नहीं है।
अवकलन यह पता लगाने के लिए नीचे आता है कि एक चर दूसरे चर के संबंध में कैसे बदलता है।यदि यह परिवर्तन एक स्थिर (जैसा कि हमारे पास एक पंक्ति है), यह अवधारणा एक ढलान के विचार के समान है।लेकिन अवकलन तभी घटता है और अवकलन हमें परिवर्तन की दरों का पता लगाने की अनुमति देता है जब यह परिवर्तन स्वयं बदल रहा है।
अवकलन का एक उदाहरण
अवकलन को देखने का सबसे अच्छा तरीका वास्तविक दुनिया के उदाहरण को देखना है।आइए हम पुराने भौतिकी के प्रश्न को लेते हैं जो हमें 30 मीटर प्रति सेकंड से शुरू होने वाली कार को मॉडल करने के लिए कहता है, लेकिन ब्रेक पर स्लैमिंग करता है।सहज रूप से, हमें वेग और त्वरण के बारे में कुछ जानना चाहिए।अवकलन और अवकलज हमें इस गणितीय रूप से मॉडल करने की अनुमति देगा, और यह पता लगाएगा कि किसी भी बिंदु पर क्या बदल रहा है।
यदि आपने भौतिकी वर्ग लिया है, तो आपको निम्नलिखित समीकरण को समझने में सक्षम होना चाहिए:
x (t) = 30t – 5t ^ 2
जहाँ x (t) किसी भी समय t, सेकंड में स्थिति के लिए हमारा फलन है।हमारी प्रारंभिक गति 30 मीटर प्रति सेकंड है, और हर सेकंड हम 5 मीटर प्रति सेकंड से धीमा कर रहे हैं।
स्पष्ट रूप से, हमारी स्थिति एक रैखिक फलन नहीं है (यह द्विघात है)।हमारे x- अक्ष पर, हमारे पास समय (सेकंड में) है और हमारी y- अक्ष, हमारे पास स्थिति है।समय (दूरी / समय) के संबंध में हमारी स्थिति कितनी तेजी से बदलती है, परिवर्तन की दर अधिक सामान्यतः वेग (या गति) के रूप में संदर्भित होती है।अब, यदि यह एक रैखिक फलन था तो हमारा वेग बस ग्राफ का ढलान होगा।हालांकि, चूंकि यह द्विघात है, इसलिए हमें अवकलज लेने की आवश्यकता है।
v(t) = x'(t) = 30 – 10t
जैसा कि हम देख सकते हैं, हमारा वेग धीरे-धीरे कम हो रहा है।T = 0 पर, हमारा वेग 30 मीटर प्रति सेकंड है, लेकिन अंततः 3 सेकंड से 0 पर जाता है।
यदि हम अपनी दर में परिवर्तन की दर को देखना चाहते हैं, तो हम देखेंगे कि समय के साथ-साथ हमारा वेग कैसे बदलता है।प्रति सेकंड वेग में हमारे परिवर्तन को आमतौर पर त्वरण के रूप में जाना जाता है।चूंकि हमारा वेग समय ग्राफ रेखीय है,इसलिए हमारी अवकलज इस मामले में हमारी ढलान के समान होगी।

5.किसी फ़ंक्शन का अवकलन क्या है? (What is differentiation of a function?)-

अवकलन एक फ़ंक्शन है जो ढाल को मापता है।यह किसी तरह से x पर निर्भर करता है और फॉर्म y=f(x) के एक फंक्शन को अवकलन करके पाया जाता है।जब x को अवकलज में प्रतिस्थापित किया जाता है तो परिणाम मूल फ़ंक्शन y = f (x) का ढाल है।
यह खंड मुख्य रूप से अवकलन सीखने वाले छात्रों के लिए है और पूरी तरह से एक चर के फलनों के अवकलन पर केंद्रित है।

6.कक्षा 11 में अवकलन (Differentiation class 11)-

अवकलन एक फ़ंक्शन के अवकलज को खोजने की एक विधि है।अवकलन एक प्रक्रिया है, मैथ्स में, जहां हम इसके एक चर के आधार पर फ़ंक्शन में परिवर्तन की तात्कालिक दर पाते हैं।यदि x एक वैरिएबल है और y दूसरा वैरिएबल है, तो y के संबंध में x के परिवर्तन की दर dy/dx द्वारा दी गई है।
उपर्युक्त उदाहरणों, सवालों को हल करने पर तथा प्रश्नों के उत्तर द्वारा अवकलन (Differentiation),कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation class 12) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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