1.कक्षा 12 में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function in 12th),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म (Properties of Inverse Trigonometric Functions):

Inverse Trigonometric Function in 12th

कक्षा 12 में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों (Inverse Trigonometric Function in 12th) के गुणधर्म का अध्ययन कर चुके हैं।इस आर्टिकल में प्रतिलोम फलनों के गुणधर्म पर आधारित उदाहरणों के द्वारा समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 12 में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Inverse Trigonometric Function in 12th):

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिएः
Example:1. 3 \sin ^{-1} x=\sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right) \quad x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]
Solution: 3 \sin ^{-1} x=\sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right)
माना \sin ^{-1} x=\theta \Rightarrow \sin \theta=x \\ \sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^3 \theta \\ =3 x-4 x^3 \\ \Rightarrow 3 \theta=\sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right) \\ \Rightarrow 3 \sin ^{-1} x=\sin ^{-1}(3 x-4 x^{3})
Example:2. 3 \cos ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right) \quad x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]
Solution:3 \cos ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right)
माना \cos ^{-1} x=\theta \Rightarrow x=\cos \theta \\ \cos 3 \theta=4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta \\ =4 x^3-3 x \\ \Rightarrow 3 \theta=\cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right) \\ \Rightarrow 3 \cos ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(4 x^3-3 x\right)
Example:3. \tan ^{-1}\left(\frac{2}{11}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{7}{24}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)
Solution: \tan ^{-1}\left(\frac{2}{11}\right)+\tan \left(\frac{7}{24}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \\ \text{ L.H.S. } \tan \left(\frac{2}{11}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{7}{24}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{2}{11}+\frac{7}{24}}{1-\frac{2}{11} \times \frac{7}{24}}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{48+77}{264}}{264-14}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{125}{250}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\text { R.H.S }
Example:4. 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan \left(\frac{1}{7}\right)=\tan \left(\frac{31}{17}\right)
Solution: 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{31}{17}\right) \\ \text { L.H.S. }=2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{2 \times \frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}\right)+\tan ^{-1} \left( \frac{1}{7}\right) \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{1}{1-\frac{1}{4}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\frac{3}{4}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{4}{3}+ \frac{1}{7}}{1-\frac{4}{3} \times \frac{1}{7}}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{28+3}{21}}{\frac{21-4}{21}}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{31}{17}\right)=\text { R.H.S. }
निम्नलिखित फलनों को सरलतम रूप में लिखिएः
Example:5. \tan ^{-1} \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}, x \neq 0
Solution: \tan ^{-1} \frac{\sqrt{1+x^2-1}}{x} \\ \operatorname{put} x=\tan \theta \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} x \\ \tan^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+\tan ^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right] \\ = \tan ^{-1} \left[ \frac{\sqrt{\sec ^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right]  \\ =\tan \left[\frac{\sec \theta-1}{\tan \theta}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1}{\cos \theta}-1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[ \frac{\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) \\ =\tan ^{-1}\left[\frac{1-\left(1-2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}\right)}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\frac{1-1+2 \sin ^2 \frac{2}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\frac{2 \sin ^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) \\ =\frac{\theta}{2} \\ =\frac{1}{2} \tan ^{-1} x
Example:6. \tan ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^2-1}},|x|>1
Solution: \tan ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \\ \text { Put } x=\sec \theta \Rightarrow \theta=\sec ^{-1} x \\ =\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{\sec ^2 \theta-1}} \\=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\tan ^2 \theta}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) \\ =\tan (\cot \theta) \\ =\tan \left[\tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right] \\ =\frac{\pi}{2}-\theta \\ =\frac{\pi}{2}-\sec ^{-1} x
Example:7. \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right), x<\pi
Solution: \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right) \\ =\tan \left[\sqrt{\frac{1-\left(1-2 \sin ^2 \frac{x}{2}\right)}{1+2 \cos ^2 \frac{x}{2}-1}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\sqrt{\frac{1-1+2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}}\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\sqrt{\tan ^2 \frac{x}{2}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\tan \frac{x}{2}\right) \\ =\frac{x}{2}
Example:8. \tan ^{-1}\left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right) x<\pi
Solution: \tan ^{-1}\left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right) \\ =\tan ^{-1}\left[\frac{\cos x(1-\tan x)}{\cos x(1+\tan x)}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \tan x}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right] \\ =\frac{\pi}{4}-x
Example:9. \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} ;|x|<a
Solution: \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \\ \text { put } x=a \sin \theta \Rightarrow \theta=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^2-a^2 \sin ^2 \theta}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^{2}\left(1-\sin ^2 \theta\right)}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{a \sin \theta}{a \sqrt{\cos ^2 \theta}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) \\ =\tan ^{-1}(\tan \theta) \\ =\theta \\ =\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)
Example:10. \tan ^{-1}\left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a^3-3 a x^2}\right),a>0, \frac{-a}{\sqrt{3}} \leq x \leq \frac{a}{\sqrt{3}}
Solution: \tan ^{-1}\left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a^3-3 a x^2}\right) \\ \text { Put } x=a \tan \theta \Rightarrow \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{3 a^3 \tan \theta-3 \tan ^3 \theta}{a^3-3 a^3 \tan ^2 \theta}\right) \\ =\tan ^{-1}\left[\frac{a^3\left(3 \tan \theta-\tan ^3 \theta\right)}{a^3\left(1-3 \tan ^2 \theta\right.}\right] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}\right) \\ =\tan^{-1} (\tan 3 \theta) \\ =3 \theta \\ =3 \tan^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) 

Inverse Trigonometric Function in 12th

निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिएः
Example:11. \tan^{-1} \left[2 \cos \left(2 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right)\right]
Solution: \tan^{-1} \left[2 \cos \left(2 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right)\right] \\ =\tan ^{-1}\left[2 \cos \left\{\sin ^{-1}\left(2 \times \frac{1}{2} \sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}\right)\right\}\right] \\ \left[ \because 2 \sin ^{-1} x=\sin^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right)\right] \\ =\tan ^{-1}\left[2 \cos \left\{\sin ^{-1} \sqrt{1-\frac{1}{4}}\right\}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[2 \cos \left(\sin ^{-1} \sqrt{\frac{3}{4}}\right)\right] \\ =\tan ^{-1}\left[2 \cos \left\{\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[2 \cos \left\{\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right\}\right] \\ =\tan ^{-1}\left[2 \times \frac{1}{2}\right] \\ =\tan^{-1} (1) \\ =\frac{\pi}{4}
Example:12. \cot \left(\tan ^{-1} a+\cot ^{-1} a\right)
Solution:\cot \left(\tan ^{-1} a+\cot a\right) \\ =\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) \quad\left[\because \tan^{-1} x+\cot^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right] \\ =0
Example:13 \tan \frac{1}{2}\left[\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}+\cos ^{-1} \frac{1-y^{2}}{1+y^2}\right], \mid x \mid <1,y>0 तथा xy<1
Solution: \tan \frac{1}{2}\left[\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}+\cos ^{-1} \frac{1-y^2}{1+y^2}\right] \\ \text { put } x=\tan \theta \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} x, y=\tan \phi \Rightarrow \phi=\tan ^{-1} y \\ \tan \frac{1}{2}\left[\sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^2 \phi}{1+\tan ^2 \phi}\right)\right] \\ \tan \frac{1}{2}\left[\sin ^{-1}(\sin 2 \theta)+\cos ^{-1}(\cos 2 \phi) \right] \\ {\left[\because \frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}-\sin 2 \theta, \frac{1-\tan ^2 \phi}{1+\tan ^2 \phi}=\cos 2 \phi\right]} \\ \tan \frac{1}{2}[2 \theta+2 \phi] \\ =\tan \frac{1}{2} \times 2(\theta+\phi) \\ =\tan (\theta+\phi) \\ =\frac{\tan \theta+\tan \phi}{1-\tan \theta \tan \phi} \\ =\frac{x+y}{1-x y}
Example:14.यदि \sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1,तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1 \\ \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x=\sin ^{-1}(1) \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \frac{1}{5} \\ \Rightarrow \cos ^{-1} x=\cos ^{-1} \frac{1}{5}\left[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{1}{2}\right] \\ \Rightarrow x=\frac{1}{5}
Example:15.यदि \tan^{-1} \frac{x-1}{x-2}+\tan^{-1} \frac{x+1}{x+2}=\frac{\pi}{4} तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \tan^{-1} \frac{x-1}{x-2}+\tan^{-1} \frac{x+1}{x+2}=\frac{\pi}{4} \\ \tan^{-1} \left[ \frac{\frac{x-1}{x-2}+\frac{x+1}{x+2}}{1-\left(\frac{x-1}{x-2}\right)\left(\frac{x+1}{x+2}\right)} \right] =\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \frac{\frac{(x-1)(x+2)+(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}}{\frac{(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}}=\tan^{-1} \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \frac{x^2+x-2+x^2-x-2}{x^2-4-\left(x^2-1\right)}=1 \\ \Rightarrow \frac{2 x^2-4}{-3}=1 \\ \Rightarrow 2 x^2-4=-3 \\ \Rightarrow 2 x^2=4-3 \\ \Rightarrow 2 x^2=1 \Rightarrow x^2=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
प्रश्न संख्या 16 से 18 में दिए व्यंजक का मान ज्ञात कीजिएः
Example:16. \sin^{-1} \left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)
Solution: \sin^{-1} \left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right) \\ =\sin ^{-1}\left[\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\right] \\ =\sin ^{-1}\left[\sin \frac{\pi}{3}\right] \\ =\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \sin^{-1} \left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3}
Example:17. \tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right) , \quad \frac{3 \pi}{4} \not \in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)
Solution:\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)
अतः \tan ^{-1}\left[\tan \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\right] \\ =\tan ^{-1}(-\tan \frac{\pi}{4}) \\ =\tan ^{-1}\left[ \tan (-\frac{\pi}{4})\right ]\\ =\frac{\pi}{4} \in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)
अतः \tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)=-\frac{\pi}{4}
Example:18. \tan \left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cot^{-1} \frac{3}{2}\right)
Solution: \tan \left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cot^{-1} \frac{3}{2}\right) \\ =\tan \left(\tan^{-1} \frac{3}{4}+\cot ^{-1} \frac{3}{2}\right) \\ =\tan \left(\tan^{-1} \frac{3}{4}+\tan^{-1} \frac{2}{3}\right) \\ \left[ \tan^{-1}x= \cot^{-1} \frac{1}{x} \right ]\\ =\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{2}{3}}{1-\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right)\right] \\ =\tan \left[\tan ^{-1} \left(\frac{\frac{9+8}{12}}{\frac{2-1}{2}}\right)\right] \\ =\frac{\frac{17}{12}}{\frac{1}{2}}=\frac{17}{6}
Example:19. \cos ^{-1}\left(\cos \frac{7 \pi}{6} \right) का मान बराबर हैः

(A) \frac{7 \pi}{6} (B) \frac{5 \pi}{6} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{\pi}{6}
Solution: \cos ^{-1}\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right), \frac{7 \pi}{6} \not \in [0, \pi] \\ \cos^{-1} \left[\cos \left(2 \pi-\frac{\pi}{6}\right)\right] \\ \cos^{-1} \left[\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right] \\ =\frac{5 \pi}{6}
अतः सही विकल्प (B) है।
Example:20. \sin \left[\frac{\pi}{3}-\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right] का मान हैः
(A) \frac{1}{2} (B) \frac{1}{3} (C) \frac{1}{4} (D) 1 
Solution: \sin \left[\frac{\pi}{3}-\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right] \\ =\sin \left[\frac{\pi}{3}+\sin \frac{1}{2}\right] \\ =\sin \left[\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right] \\ =\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) \\ =1
सही विकल्प (D) है।
Example:21. \tan ^{-1} \sqrt{3}-\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) का मान हैः
 (A) \pi  (B) –\frac{\pi}{2}  (C) 0  (D) 2 \sqrt{3}
Solution: \tan ^{-1} \sqrt{3}-\cot (-\sqrt{3}) \\ =\frac{\pi}{3}-\left[\pi-\cot ^{-1}(\sqrt{3})\right] \\ =\frac{\pi}{3}-\pi+\frac{\pi}{6} \\ =\frac{2 \pi-6 \pi+\pi}{6} \\ =\frac{-3 \pi}{6} \\ =\frac{-\pi}{2}
अतः सही विकल्प (B) है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function in 12th),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म (Properties of Inverse Trigonometric Functions) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12 में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के सवाल (Inverse Trigonometric Function in 12th Questions):

Inverse Trigonometric Function in 12th

सिद्ध कीजिएः
(1.) \cos ^{-1} \frac{63}{65}+2 \tan ^2 \frac{1}{5}=5 \sin \frac{3}{5}
(2.) \tan ^{-1} \sqrt{\frac{a x}{b c}}+\tan ^{-1} \sqrt{\frac{b x}{c a}}+\tan ^{-1} \sqrt{\frac{c x}{a b}}=\pi जहाँ a+b+c=x
(3.) \frac{1}{2} \tan x=\cos ^{-1}\left\{\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}}\right\}^{\frac{1}{2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Function in 12th),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म (Properties of Inverse Trigonometric Functions) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 12 में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Frequently Asked Questions Related to Inverse Trigonometric Function in 12th),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म (Properties of Inverse Trigonometric Functions) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12 में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों (Inverse Trigonometric Function in 12th)
के गुणधर्म का अध्ययन कर चुके हैं।