1.बहुपद के गुणनखण्ड के उदाहरण का परिचय (Introduction to Example of Factorisation of Polynomial),बहुपद के गुणनखण्ड कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9):

Example of Factorisation of Polynomial

बहुपद के गुणनखण्ड के उदाहरण (Example of Factorisation of Polynomial) के इस आर्टिकल में त्रिघातीय बहुपदों के गुणनखण्डों पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.बहुपद के गुणनखण्ड के उदाहरण (Example of Factorisation of Polynomial):

निम्नलिखित बहुपदों (व्यंजकों) के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए:
Example:1. x^3+8
Solution: x^3+8 \\ =x^3+2^3 \\ =(x+2)\left(x^2-2 x+4\right) \\ \left[a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right) \text { सूत्र से }\right]
Example:2. 27 x^3+125 y^3
Solution: 27 x^3+125 y^3 \\ =(3 x)^3+(5 y)^3 \\ =(3 x+5 y)\left[(3 x)^2-3 x x 5 y+(5 y)^2\right] \\ =(3 x+5 y)\left(9 x^2-15 x y+25 y^2\right)
Example:3. \frac{a^3}{8}+8 b^3
Solution: \frac{a^3}{8}+8 b^3 \\ =\left(\frac{a}{2}\right)^3+(2 b)^3 \\ =\left(\frac{a}{2}+2 b\right)\left[\left(\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a}{2} \times 2 b+(2 b)^2\right] \\ =\left(\frac{a}{2}+2 b\right)\left(\frac{a^2}{4}-a b+4 b^2\right)
Example:4. a^4+8a
Solution: a^4+8a \\ a\left(a^3+8\right) \\ =a\left(a^3+2^3\right) \\ =a(a+2)\left(a^2-2 a+4\right)
Example:5. (2 m+1)^3+(m-1)^3
Solution: (2 m+1)^3+(m-1)^3 \\ =(2 m+1+m-1)\left[(2 m+1)^2-(2 m+1)(m-1)+(m-1)^2\right] \\ =(3 m)\left[4 m^2+4 m+1-2 m^2+m+1+m^2-2 m+1\right] \\ =3m\left(3 m^2+3 m+3\right) \\ =9 m\left(m^2+m+1\right)
Example:6. 16 p^3 q+54 r^3
Solution: 16 p^3 q^3+54 q^3 \\ =2\left(8 p^3 q^3+27 r^3\right) \\ =2\left[(2 p q)^3+(3 r)^3\right] \\ =2(2 p q+3 r)\left[(2 p q)^2-2 p q \times 3 r+(3 r)^2\right] \\ =2(2 p q+3 r)\left(4 p^2 q^2-6 p q r+9 r^2\right)
Example:7. 27 x^3+5 \sqrt{5} y^3
Solution: 27 x^3+5 \sqrt{5} y^3 \\ =(3 x)^3+(\sqrt{5} y)^3 \\ =(3 x+\sqrt{5} y)\left[(3 x)^2-3 x \times \sqrt{5} y+(\sqrt{5} y)^2\right] \\ =(3 x+\sqrt{5} y)\left(9 x^2-3 \sqrt{5} x y+5 y^2\right)
Example:8. a^3-27
Solution: a^3-27 \\ =a^3-3^3 \\ =(a-3)\left(a^2+3 a+9\right)
Example:9. 2 \sqrt{2} x^3-27 y^3
Solution: 2 \sqrt{2} x^3-27 y^3 \\ =(\sqrt{2} x)^3-(3 y)^3 \\ =(\sqrt{2} x-3 y)\left[(\sqrt{2} x)^2+\sqrt{2} x \times 3 y+(3 y)^2\right] \\ =(\sqrt{2} x-3 y)\left(2 x^2+3 \sqrt{2} x y+9 y^2\right)
Example:10. 8 x^3 y-343 y
Solution: 8 x^3 y-343 y \\ =y\left(8 x^3-343\right) \\ =y\left[(2 x)^3-7^3\right] \\=y(2 x-7)\left[(2 x)^2+2 x \times 7+7^2\right] \\ \left[\left(a^3-b^3\right)=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)\text{ सूत्र से }\right] \\ =y(2 x-7)\left(4 x^2+14 x+49\right)

Example of Factorisation of Polynomial

Example:11. a^6-b^6
Solution: a^6-b^6 \\ =\left(a^2\right)^3-\left(b^2\right)^3 \\ =\left(a^2-b^2\right) \left[ \left(a^2\right)^2 +a^2 b^2+\left(b^2\right)^2\right] \\ =(a-b)(a+b)\left(a^4+a^2 b^2+b^4\right) \\=(a-b)(a+b)\left[a^4+2 a^2 b^2+b^4-a^2 b^2\right] \\ =(a-b)(a+b)\left[\left(a^2+b^2\right)^2-(a b)^2 \right] \\ =(a-b)(a+b)\left(a^2+b^2-a b\right)\left(a^2+b^2+a b\right)
Example:12. 1-b^6
Solution: 1-b^6 \\ =\left(1^3\right)^2-\left(b^3\right)^2 \\ =\left(1^3-b^3\right)\left(1^3+b^3\right) \\ =(1-b)\left(1+b+b^2\right)(1+b)\left(1-b+b^2\right) \\ =(1+b)(1-b)\left(1+b+b^2\right)\left(1-b+b^2 \right)
Example:13. 8 a^3-(2 a-b)^3
Solution: 8 a^3-(2 a-b)^3 \\ =(2 a)^3-(2 a-b)^3 \\ =[2 a-(2 a-b)]\left[(2 a)^2+2 a(2 a-b)+(2 a-b)^2\right) \\ =(2 a-2 a+b)\left(4 a^2+4 a^2-2 a b+4 a^2-4 a b+b^2\right) \\ =b\left(12 a^2-6 a b+b^2\right)
Example:14. a^3-5 \sqrt{5} b^3
Solution: a^3-5 \sqrt{5} b^3\\ =a^3-(\sqrt{5} b)^3 \\ =(a-\sqrt{5} b)\left[a^2+a \times \sqrt{5} b+(\sqrt{5} b)^2\right] \\ =(a-\sqrt{5} b)\left(a^2+\sqrt{5} a b+5 b^2\right)
Example:15. a-b-a^3+b^3
Solution: a-b-a^3+b^3 \\ =(a-b)-\left(a^3-b^3\right) \\ =(a-b)-(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right) \\ =(a-b)\left[1-\left(a^2+a b+b^2\right)\right] \\ =(a-b)\left(1-a^2-a b-b^2\right)
Example:16. x^3+8 y^3+64 z^3-24 x y z
Solution: (x)^3+(2 y)^3+(4 z)^3-3 \times x \times 2 y \times 4 z \\ =(x+2 y+4 z)\left[x^2+(2 y)^2+(4 z)^2-x \times 2 y-2 y \times 4 z-x \times 4z\right] \\ =\left(x^3+y^3+z^3-3 x y z\right) \\ =\left[(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x \text{ सूत्र से }\right] \\ =(x+2 y+4 z)\left(x^2+4 y^2+16 z^2-2 x y-8 y z-4 x z\right)
Example:17. 8 p^3-q^3+r^3+6 p q r
Solution: 8 p^3-q^3+r^3+6 p q r \\ =(2 p)^3+(-q)^3+r^3-3 \times 2 p \times-q \times r \\ =(2 p-q+r)\left[(2 p)^2+(-q)^2+(r)^2-2 p \times -q-(-q) \times r-2 p \times r\right] \\ =(2 p-q+r)\left(4 p^2+q^2+r^2+2 p q+q r-2 p r\right)
Example:18. -a^3-64 b^3+125 c^3-60 a b c
Solution: -a^3-64 b^3+125 c^3-60 a b c \\ =(-a)^3+(-4 b)^3+(5 c)^3-4 \times -a \times-4 b \times 5 c \\ =(-a-4 b+5 c)\left[(-a)^2+(-4 b)^2+(5 c)^2-(-a)(-4 b)-(-4 b)(5 c)-(-a)(5 c)\right] \\ =(-a-4 b+5 c)\left(a^2+16 b^2+25 c^2-4 a b+20 b c+5 a c\right)
Example:19. -x^3+8 y^3-27 z^3-18 x y z
Solution: -x^3+8 y^3-27 z^3-18 x y z \\ =(-x)^3+(2 y)^3+(-3 z)^3-3 \times -x \times 2 y \times-3 z \\ =(-x+2 y-3 z)\left[(-x)^2+(2 y)^2+(-3 z)^2-(-x)(2 y)- (2y) (-3 z)-(-x)(-3 z)\right] \\ =(-x+2 y-3 z)\left(x^2+4 y^2+9 z^2+2 x y+6 y z-3 x z\right)
Example:20. 27 x^3-y^3-1-9 x y
Solution: 27 x^3-y^3-1-9 x y \\ = (3 x)^3+(-y)^3+(-1)^3-3 \times 3 x \times -y \times -1 \\ =(3 x-y-1)\left[(3 x)^2+(-y)^2+(-1)^2-3 x \times -y-(-y) \times -1 -3 x \times-1\right] \\ =(3 x-y-1)\left(9 x^2+y^2+1+3 x y-y+3 x\right)
Example:21. (2 x-y)^3+(y-3 z)^3+ (3 z-2 x)^3
Solution: (2 x-y)^3+(y-3 z)^3+(3 z-2 x)^3
माना 2x-y=a,y-3z=b,3z-2x=c
अतः a+b+c=2x-y+y-3z+3z-2x=0
अब (2 x-y)^3+(y-3 z)^3+(3 z-2 x)^3 \\ =a^3+b^3+c^3 \\ =3 a b c \\ =3(2 x-y)(y-3 z)(3 z-2 x) \\ \left[\because a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3-3 a b c=0\right]
Example:22. (2 x+3)^3+(3 x-2)^3-(5 x+1)^3
Solution: (2 x+3)^3+(3 x-2)^3-(5 x+1)^3
माना a=2x+3,b=3x-2,c=-5x-1
अतः a+b+c=2x+3+3x-2-5x-1=0
(2 x+3)^3+(3 x-2)^3-(5 x+1)^3=a^3+b^3-c^3 \\ =-3 a b c \\ =-3(2 x+3)(3 x-2)(5 x+1) \\ \left [ \because a+b+c=0 \right ] \\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-ca\right) \\ \Rightarrow \quad=0\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right) \\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3-3 a b c=0 \\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3 a b c
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा बहुपद के गुणनखण्ड के उदाहरण (Example of Factorisation of Polynomial),बहुपद के गुणनखण्ड कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9) को समझ सकते हैं।

3.बहुपद के गुणनखण्ड के उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Example of Factorisation of Polynomial):

Example of Factorisation of Polynomial

गुणनखण्ड कीजिए

(1.) (2 x-1)^3-(x-1)^3
(2.) 8 a^3 b^3-125 c^3
(3) x^3+3 x^2 y+3 x y^2+y^3-8
उत्तर (Answers): (1.) x\left(7 x^2-9 x+3\right)
(2.) (2 a b-5 c)\left(4 a^2 b^2+10 a b c+25 c^2\right)
(3.) (x+y-2)\left(x^2+y^2+2 x y+2 x+2 y+4\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बहुपद के गुणनखण्ड के उदाहरण (Example of Factorisation of Polynomial),बहुपद के गुणनखण्ड कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बहुपद के गुणनखण्ड के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Example of Factorisation of Polynomial),बहुपद के गुणनखण्ड कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बहुपद के गुणनखण्ड के उदाहरण (Example of Factorisation of Polynomial) के इस आर्टिकल
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