1.बहुपदों के गुणनखण्ड (Factors of Polynomials):

Factors of Polynomials

बहुपदों के गुणनखण्ड (Factors of Polynomials) ज्ञात करने की कई विधियाँ हैं।इस आर्टिकल में गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके बहुपद के गुणनखण्ड ज्ञात करना सीखेंगे।
गुणनखण्ड प्रमेय:यदि p(x) एक या उससे अधिक घातवाला बहुपद हो और a इस प्रकार की वास्तविक संख्या हो कि p(a)=0 तो x-a,p(x) का एक गुणनखण्ड होता है।अर्थात् यदि x-a,p(x) का एक गुणनखण्ड है तो p(a)=0 होता है।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Zeroes of polynomial

2.बहुपदों के गुणनखण्ड के साधित उदाहरण (Factors of Polynomials):

x-1 निम्न में से किस-किस बहुपद का एक गुणनखण्ड है?
Example:1.x^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}+2 x+2
Solution:p(x)=x^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}+2 x+2
गुणनखण्ड प्रमेयानुसार x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड होने पर:
p(1)=0,x-1 का शून्यक x-1=0 \Rightarrow x=1 \\ P(1)=(1)^{4}-2(1)^{3}-3(1)^{2}+2(1)+2\\ = 1-2-3+2+2 \\ \Rightarrow P(1) =5-5=0
अतः x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड है।
Example:2.x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 
Solution:p(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1
गुणनखण्ड प्रमेयानुसार x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड होने पर:
p(1)=0,x-1 का शून्यक x-1=0 \Rightarrow  x=1 \\ P(1) =(1)^{4}+(1)^{3}+(1)^{2}+1+1 \\=1+1+1+1+1 \\ \Rightarrow P(1) =5 \neq 0
अतः x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड नहीं है।
Example:3.x^{4}+3 x^{3}-3 x^{2}+x-2
Solution:p(x)=x^{4}+3 x^{3}-3 x^{2}+x-2
गुणनखण्ड प्रमेयानुसार x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड होने पर:
p(1)=0,x-1 का शून्यक x-1=0 \Rightarrow x=1 \\ P(1)=(1)^{4}+3(1)^{3}-3(1)^{2}+1-2 \\ =1+3-3+1-2 \\ P(1)=5-5=0
अतः x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड है।
Example:4.x^{3}-x^{2}-(2+\sqrt{3}) x+\sqrt{3}
Solution: p(x)=x^{3}-x^{2}-(2+\sqrt{3}) x+\sqrt{3}
गुणनखण्ड प्रमेयानुसार x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड होने पर:
p(1)=0,x-1 का शून्यक x-1=0 \Rightarrow  x=1 \\ p(1) =(1)^{3}-(1)^{2}-(2+\sqrt{3})(1)+\sqrt{3} \\ =1-1-2-\sqrt{3}+\sqrt{3} \\ \Rightarrow p(1) =1-3=-2 \neq 0
अतः x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड नहीं है।
गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करते हुए ज्ञात कीजिए कि क्या g(x),p(x) का एक गुणनखण्ड है:
Example:5 p(x)=3 x^{3}-x^{2}-3 x+1 ; g(x)=x+1
Solution: p(x)=3 x^{3}-x^{2}-3 x+1 ; g(x)=x+1
गुणनखण्ड प्रमेयानुसार x+1,p(x) का एक गुणनखण्ड होने पर:
p(-1)=0,x+1 का शून्यक x+1=0 \Rightarrow x=-1 \\ P(-1) =3(-1)^{3}-(-1)^{2}-3(-1)+1 \\=3(-1)-(1)+3+1 \\=-3-1+3+1 \\=-4+4 \\ \Rightarrow P(-1)=0
अतः g(x),p(x) का एक गुणनखण्ड है।
Example:6.P(x)=2 x^{4}-7 x^{3}-13 x^{2}+63 x-45 ; g(x)=x-1
Solution:P(x)=2 x^{4}-7 x^{3}-13 x^{2}+63 x-45 ; g(x)=x-1
गुणनखण्ड प्रमेयानुसार x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड होने पर:
p(1)=0,x-1 का शून्यक x-1=0 \Rightarrow x=1 \\ P(1)=2(1)^{4}-7(1)^{3}-13(1)^{2}+63(1)-45 \\ =2-7-13+63-45 \\ \Rightarrow P(1)=65-65=0
अतः g(x),p(x) का एक गुणनखण्ड है।
Example:7.P(x)=3 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 ; g(x)=x+2
Solution:P(x)=3 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 ; g(x)=x+2
गुणनखण्ड प्रमेयानुसार x+2,p(x) का एक गुणनखण्ड होने पर:
p(-2)=0,x+2 का शून्यक x+2=0 \Rightarrow x=-2 \\ P(-2) =3(-2)^{3}+3(-2)^{2}+3(-2)+1 \\=3(-8)+3(4)-6+1 \\=-24+12-6+1 \\=-30+13 \\ \Rightarrow P(-2) =-17 \neq 0
अतः g(x),p(x) का एक गुणनखण्ड नहीं है।
Example:8.P(x)=2 x^{3}+x^{2}-2 x-1 ; g(x)=2 x+1
Solution:P(x)=2 x^{3}+x^{2}-2 x-1 ; g(x)=2 x+1
गुणनखण्ड प्रमेयानुसार 2x+1,p(x) का एक गुणनखण्ड होने पर:
P(-\frac{1}{2})=0, 2x+1 का शून्यक 2 x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \\ P(-\frac{1}{2}) =2\left ( -\frac{1}{2} \right )^{3}+\left ( -\frac{1}{2} \right )^{2}-2\left(-\frac{1}{2}\right)-1 \\ =2 \times\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{4}+1-1 \\ =-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1-1 \\ P(-\frac{1}{2}) =0
अतः g(x),p(x) का एक गुणनखण्ड है।
Example:9.k का मान ज्ञात कीजिए जबकि (x-5) बहुपद x^{3}-3 x^{2}+k x-10 का एक गुणनखण्ड है।
Solution:x-5 बहुपद p(x)=x^{2}-3 x^{2}+k x-10 का एक गुणनखण्ड है अतः
x-5 का शून्यक x-5=0 \Rightarrow x=5 \\ P(5) =(5)^{3}-3(5)^{2}+k \times 5-10=0 \\ \Rightarrow 125-75+5 k-10=0 \\ \Rightarrow 40+5 k=0 \\ \Rightarrow k=-\frac{40}{5} \\ \Rightarrow k=-8
Example:10.k का मान ज्ञात कीजिए जबकि (x-1) बहुपद 2 x^{2}+k x+\sqrt{2} का एक गुणनखण्ड है।
Solution:x-1 बहुपद p(x)=2 x^{2}+k x+\sqrt{2} का एक गुणनखण्ड है अतः
x-1 का शून्यक x-1=0 \Rightarrow x=1 \\ P(1)=2(1)^{2}+K(1)+\sqrt{2}=0 \\ \Rightarrow 2+k+\sqrt{2}=0 \\ \Rightarrow k=-(2+\sqrt{2})
Example:11.यदि (x+1) और (x-1) बहुपद x^{4}+a x^{3}-3 x^{2}+2 x+b के गुणनखण्ड हों तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।
Solution:p(x)=x^{4}+a x^{3}-3 x^{2}+2 x+b
x+1,p(x) का एक गुणनखण्ड है अतः
x+1=0 \Rightarrow x=-1 \\ P(-1)=(-1)^{4}+a(-1)^{3}-3(-1)^{2}+2(-1)+b=0 \\ \Rightarrow 1-a-3-2+b=0 \\ -a+b=4 \cdots(1)
इसी प्रकार x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड है अतः
x-1=0 \Rightarrow x=1 \\ P(1)=(1)^{4}+a(1)^{3}-3(1)^{2}+2(1)+b=0 \\ 1+a-3+2+b=0 \\ \Rightarrow a+b=0 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर:
2b=4
b=2
b का मान समीकरण (2) में रखने पर:
a+2=0 \\ \Rightarrow a=-2,b=2
गुणनखण्ड कीजिए:
Example:12.3 x^{2}+7 x+2
Solution:3 x^{2}+7 x+2
हमें मध्यपद 7 को विभक्त कर ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी है जिनका योगफल 7 तथा गुणनफल 3 × 2=6 हो।
6 के गुणनखण्ड 1×6=6
2×3=6
इनमें से 1 व 6 का योगफल 7 है।अतः

3 x^{2}+7 x+2=3 x^{2}+(1+6) x+2 \\ \Rightarrow 3 x^{2}+x+6 x+2 \\ \Rightarrow 2(3 x+1)+2(3 x+1) \\ \Rightarrow(3 x+1)(x+2)

Factors of Polynomials

Example:13.4 x^{2}-x-3
Solution:4 x^{2}-x-3
गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा:

4 x^{2}-x-3=4\left(x^{2}-\frac{x}{4}-\frac{3}{4}\right)=4 p(x)
माना कि p(x) के शून्यक a और b है तो

4 x^{2}-x-3=4(x-a)(x-b) \\ a b=-\frac{3}{4}
अब a,b के संभावित मान: \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm\frac{ 3}{4}, \pm 1
अब क्रमशः ज्ञात करने पर:

P\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{8}-\frac{3}{4}=\frac{2-1-6}{8}=\frac{-5}{8} \neq 0 \\ P\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{3}{8}-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{3}{8}-\frac{3}{4}=\frac{18-3-6}{8} \neq 0 \\ P(1)=(1)^{2}-\frac{1}{4}-\frac{3}{4} \\ P(1)=\frac{4-1-3}{4}=0
अतः x-1,p(x) का एक गुणनखण्ड है।
x=-\frac{3}{4} रखने पर:

P\left(-\frac{3}{4}\right) =\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{1}{4} \times-\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \\ =\frac{9}{16}+\frac{3}{16}-\frac{3}{4} \\ =\frac{9+3-12}{16} \\ P\left(-\frac{3}{4}\right) =\frac{12-12}{16}=0
अतः x+\frac{3}{4},p(x) का एक गुणनखण्ड है।

4 x^{2}-x-3 =4(x-1)\left(x+\frac{3}{4}\right) \\ =4(x-1) \frac{(4 x+3)}{4} \\ =(x-1)(4 x+3)
Example:14.12 x^{2}-7 x+1
Solution:12 x^{2}-7 x+1
मध्यपद को विभक्त करके गुणनखण्ड करने पर:
हमें मध्यपद को विभक्त कर ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी है जिनका योगफल -7 तथा गुणनफल 12×1=12 हो।
12 के गुणनखण्ड -1×-12=12
-2×-6=12
-4×-3=12
इनमें से -4 व -3 को जोड़ने पर योगफल -7 है।अतः

12 x^{2} -7 x+1=12 x^{2}-(4+3) x+1 \\=12 x^{2}-4 x-3 x+1 \\=4 x(3 x-1)-1 (3 x-1) \\=(3 x-1)(4 x-1)
Example:15.6 x^{2}+5 x-6
Solution:6 x^{2}+5 x-6

गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा:

6 x^{2}+5 x-6=6\left(x^{2}+\frac{5}{6} x-1\right)=6p(x)
माना कि p(x) के शून्यक a और b है तो

6 x^{2}+5 x-6=6(x-a)(x-b) \\ a b=-1
अब a,b के संभावित मान \pm \frac{2}{3} , \pm \frac{3}{2}, \pm 1
अब क्रमशः ज्ञात करने पर:

P\left(\frac{2}{3}\right) =\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}-1 \\ =\frac{4}{9}+\frac{5}{9}-1 \\ \Rightarrow P\left(\frac{2}{3}\right) =\frac{4+5-9}{9} \\ \Rightarrow P\left(\frac{2}{3}\right) =0
अतः \left ( x-\frac{2}{3} \right ),p(x) का एक गुणनखण्ड है।
इसी प्रकार P\left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{5}{6} \times-\frac{3}{2}-1\\=\frac{9}{4}-\frac{5}{4}-1 \\=\frac{9-5-4}{4} \\=\frac{9-9}{4} \\ P\left(-\frac{3}{2}\right)=0
अतः \left ( x+\frac{2}{3} \right ),p(x) का एक गुणनखण्ड है

6 x^{2}+5 x-6=6\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right) \\=6\left(\frac{3 x-2}{3}\right)\left(\frac{2 x+3}{2}\right) \\ 6 x^{2}+5 x-6=(3 x-2)(2 x+3)
बहुपदों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए:
Example:16. x^{3}+6 x^{2}+11 x+6
Solution:x^{3}+6 x^{2}+11 x+6
अचरपद 6 के गुणनखण्ड: \pm 1, \pm 2, \pm3 , \pm 6 \\ P(1) =(1)^{3}+6(1)^{2}+11(1)+6 \\ =1+6+11+6=24 \neq 0
अतः x-1,p(x) का गुणनखण्ड नहीं है।

P(-1) =(-1)^{3}+6(-1)^{2}+11(-1)+6 \\=-1+6 \times 1-11+6 \\=-1+6-11+6 \\ \Rightarrow P(-1) =12-12=0
अतः x+1,p(x) का गुणनखण्ड है।

P(-2) =(-2)^{3}+6(-2)^{2}+11(-2)+6 \\=-8+6 \times 4-22+6 \\ =-8+24-22+6 \\ \Rightarrow P(-2) =30-30=0
अतः x+2,p(x) का गुणनखण्ड है।

P(-3) =(-3)^{3}+6(-3)^{2}+11(-3)+6 \\=-27+6 \times 9-33+6 \\=-27+54-33+6 \\=60-60=0 \\ \Rightarrow P(-3) =0
अतः x+3,p(x) का गुणनखण्ड है।
p(x),3 घात का बहुपद है।अतः इसके तीन से अधिक गुणनखण्ड नहीं हो सकते हैं:
p(x)=k(x+1)(x+2)(x+3)
x=0 रखने पर

x^{3}+6 x^{2}+11 x+6=k(x+1)(x+2)(x+3) \cdots(1) \\ \Rightarrow 0+0+0+6=k(1)(2)(3) \\ \Rightarrow K=1
समीकरण (1) में k=1 रखने पर:

x^{3}+6 x^{2}+11 x+6=(x+1)(x+2)(x+3)
Example:17.x^{3}+2 x^{2}-x-2
Solution:P(x)=x^{3}+2 x^{2}-x-2
अचर पद 6 के गुणनखण्ड हैं: \pm 1,\pm 2 \\ P(1)=(1)^{3}+2(1)^{2}-1-2 \\ =1+2-1-2 \\ \Rightarrow P(1)=3-3=0
अतः x-1,p(x) का गुणनखण्ड है।

P(-1)=(-1)^{3}+2(-1)^{2}+(-1)-2 \\=-1+2 \times 1+1-2 \\=-1+2+1-2 \\ P(-1)=-3+3 \\ \Rightarrow P(-1)=0
अतः x+1,p(x) का एक गुणनखण्ड है।

P(-2) =(-2)^{3}+2(-2)^{2}-(-2)-2 \\=-8+8+2-2 \\ =10-10 \\ \Rightarrow P(-2) =0
अतः x+2,p(x) का गुणनखण्ड है।
p(x),3 घात का बहुपद है।अतः इसके तीन से अधिक गुणनखण्ड नहीं हो सकते हैं।
p(x)=k(x-1)(x+1)(x+2)
दोनों पक्षों में x=0 रखने पर:

x^{3}+2 x^{2}-x-2=k(x-1)(x+1)(x+2) \cdots(1) \\ 0^{3}+2(0)^{2}-0-2=k(0-1)(0+1)(0+2) \\ \Rightarrow-2=k(-1)(1)(2) \\ \Rightarrow k=1
समीकरण (1) में k=1 रखने पर:

x^{3}+2 x^{2}-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)
Example:18.x^{4}-2 x^{3}-7 x^{2}+8 x+12
Solution:p(x)=x^{4}-2 x^{3}-7 x^{2}+8 x+12
अचर पद 12 के गुणनखण्ड हैं: \pm 1 \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6 , \pm 12 \\ P(-1)=(-1)^{4}-2(-1)^{3} -7(-1)^{2} +8(-1)+12 \\ =1-2(-1)-7 \times 1-8+12 \\ =1+2-7-8+12 \\ \Rightarrow P(-1)=15-15 \\ \Rightarrow P(-1)=0
अतः x+1,p(x) का एक गुणनखण्ड है।

P(-2) =(-2)^{4}-2(-2)^{3}-7(-2)^{2}+8(-2)+12 \\=16+16-28-16+12 \\=44-44 \\ \Rightarrow P(-2) =0
अतः x+2,p(x) का एक गुणनखण्ड है।

P(2)=2^{4}-2(2)^{3}-7(2)^{2}+8(2)+12 \\=16-16-28+16+12 \\ \Rightarrow P(2)=44-44 \\ \Rightarrow P(2)=0
अतः x-2,p(x) का एक गुणनखण्ड है।

P(3) =3^{4}-2(3)^{3}-7(3)^{2}+8(3)+12 \\=81-54-63+24+12 \\=117-117 \\ \Rightarrow P(3) =0
अतः x-3,p(x) का एक गुणनखण्ड है।

p(x),4 घात का बहुपद है।अतः इसके 4 से अधिक गुणनखण्ड नहीं हो सकते हैं।

p(x)=2 x^{4}-2 x^{3}-7 x^{2}+8 x+12 \\ x^{4}-2 x^{3}-7 x^{2}+8 x+12=13(x+1)(x+2)(x-2)(x-3) \cdots(1)
दोनों पक्षों में x=0 रखने पर:

0^{4}-2(0)^{3}-7(0)^{2}+8(0)+12=k(0+1)(0+2)(0-2)(0-3) \\ \Rightarrow 12=12 k \Rightarrow k=1

x^{4}-2 x^{3}-7 x^{2}+8 x+12=(x+1)(x+2)(x-2)(x-3)
Example:19.x^{3}-2 x^{2}-x+2 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Solution:P(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+2
अचर पद 2 के गुणनखण्ड हैं: \pm 1, \pm 2 \\ P(1) =(1)^{3}-2(1)^{2}-1+2\\=1-2-1+2 \\ P(1)=3-3=0 \\ P(-1) =(-1)^{3}-2(-1)^{2}-(-1)+2 \\ =-1-2+1+2 \\ P(-1)=3-3=0 \\ P(2) =2^{3}-2(2)^{2}-2+2 \\ =8-8-2+2 \\ P(2) =0
p(x),3 घात का बहुपद है।अतः तीन से अधिक शून्यक नहीं हो सकते हैं।
अतः बहुपद के -1,1,2 शून्यक है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बहुपदों के गुणनखण्ड (Factors of Polynomials) को समझ सकते हैं।

3.बहुपदों के गुणनखण्ड के सवाल (Factors of Polynomials Questions):

Factors of Polynomials

(1.)यदि x-5, x^{3}-3 x^{2}+a x-10 का एक गुणनखण्ड है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)6 x^{2}+17 x+5 का गुणनखण्ड मध्यपद को विभक्त कर तथा गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा कीजिए।
(3.)गुणनखण्ड प्रमेय की सहायता से x^{2}-7 x+12 का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
(4.)गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करते हुए x^{4}+x^{3}-7 x^{2}-x+6 का गुणनखण्ड कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)a=-8 (2.)(3x+1)(2x+5)
(3.)(x-3)(x-4)
(4.)(x-1)(x+1)(x-2)(x+3)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बहुपदों के गुणनखण्ड (Factors of Polynomials) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

(1.)एक चर वाला बहुपद p(x) निम्न रूप में एक बीजीय व्यंजक है: P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\cdots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}
जहाँ a_{0,} a_{1}, a_{2} \ldots, a_{n-2}, a_{n-1}, a_{n} अचर तथा a_{n} \neq 0 है।
a_{0}, a_{1},a_{2} , a_{3} \ldots a_{n} क्रमशः x^{0}, x, x^{2}, x^{3}, \ldots, x^{n} के गुणांक हैं और n बहुपद की घात है।प्रत्येक a_{n} x^{n}, a_{n-1}x^{n-1}, \cdots, a_{0} जहाँ a_{n} \neq 0 को बहुपद p(x) का पद कहते हैं।
(2.)एक पद वाले बहुपद को एक पदी कहते हैं।
(3.)दो पदों वाले बहुपद को द्विपद कहते हैं।
(4.)तीन पद वाले बहुपद को त्रिपद कहते हैं।
(5.)एक घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं।
(6.)दो घात वाले बहुपद को द्विघाती बहुपद कहते हैं।
(7.)तीन घात वाले बहुपद को त्रिघाती कहते हैं।

Also Read This Article:-Angle and Measurement

5.बहुपदों के गुणनखण्ड (Factors of Polynomials) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बहुपदों के गुणनखण्ड (Factors of Polynomials) ज्ञात करने की कई विधियाँ हैं।इस आर्टिकल में गुणनखण्ड
प्रमेय का उपयोग करके बहुपद के गुणनखण्ड ज्ञात करना सीखेंगे।गुणनखण्ड प्रमेय:यदि p(x) एक या उससे
अधिक घातवाला बहुपद हो