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Finding Roots by Quadratic Formula

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1 1.द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करना (Finding Roots by Quadratic Formula),द्विघाती सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना कक्षा 10 (To find Roots of a Quadratic Equation by Quadratic formula Class 10):

1.द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करना (Finding Roots by Quadratic Formula),द्विघाती सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना कक्षा 10 (To find Roots of a Quadratic Equation by Quadratic formula Class 10):

Finding Roots by Quadratic Formula

Finding Roots by Quadratic Formula

द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करने (Finding Roots by Quadratic Formula) की यह तृतीय विधि है।इससे पूर्व हमने गुणनखण्ड विधि और पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात किए थे।यदि द्विघात समीकरण a x^{2}+b x+c=0 तथा b^{2}-4 a c \geq 0 यदि है तो द्विघात समीकरण के मूल निम्न सूत्र से ज्ञात किए जाएंगे:

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}
द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के इस सूत्र को द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula) कहते हैं।
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2.द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करने के उदाहरण (Finding Roots by Quadratic Formula Examples):

Example:1.निम्नलिखित द्विघाती समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए:
(i) 2 x^{2}-7 x+3=0
Solution:2 x^{2}-7 x+3=0 \\ a=2, b=-7, c=3 \\ b^{2}-4 a c=(-7)^{2}-4 \times 2 \times 3 \\ =49-24=25>0
अतः वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^{2}-4 \times 2 \times 3}}{2 \times 2}\\ =\frac{4 \pm \sqrt{49-24}}{4} \\ =\frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} \\ =\frac{7 \pm 5}{4} \\ x =\frac{7+5}{4}, \frac{7-5}{4} \\ x =\frac{12}{4}, \frac{2}{4} \\ x =3, \frac{1}{2}
(ii) 2 x^{2}+x-4=0
Solution: 2 x^{2}+x-4=0 \\ a=2, b=1, c=-4 \\ b^{2}-4 a c=(1)^{2}-4 \times 2 \times -4=1+32=33>0
अतः वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।

x =\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2}-4 \times 2 \times-4}}{2 \times 2} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{1+32}}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}
(iii)4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0
Solution:4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0 \\ a=4, b=4 \sqrt{3}, c=3 \\ b^{2}-4 a c=(4 \sqrt{3})^{2}-4 \times 4 \times 3 \\ =48-48=0
अतः वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ x =\frac{-(4 \sqrt{3}) \pm \sqrt{(4 \sqrt{3})^{2}-4 \times 4 \times 3}}{2 \times 4} \\ =\frac{-4 \sqrt{3}+\sqrt{48-48}}{8} \\ x=\frac{-4 \sqrt{3},}{8}, \frac{-4 \sqrt{3}}{8} \\ \Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}
(iv)2 x^{2}+x+4=0
Solution: 2 x^{2}+x+4=0 \\ a=2, b=1, c=4 \\ b^{2}-4 a c=(1)^{2}-4 \times 2 \times 4 \\ =1-32 \\-31 <0
अतः वास्तविक मूलों का अस्तित्व नहीं है।
(v) \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}, x \neq-4,7
Solution:\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{x-7-(x-4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{x-7-x-4}{x^{2}-7 x+4 x-28}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{-11}{x^{2}-3 x-28}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{-1}{x^{2}-3 x-28}=\frac{1}{30} \\ \Rightarrow x^{2}-3 x-28=-30 \\ \Rightarrow x^{2}-3 x-28+30=0 \\ \Rightarrow x^{2}-3 x+2=0 \\ a=1, b=-3, c=2 \\ b^{2}-4 a c=(-3)^{2}-4 \times 1 \times 2 \\ =9-8=1>0
अतः वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।

x =\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{3 \pm 1}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{3 +1}{2}, \frac{3-1}{2} \\ \Rightarrow x=2,1
Example:2.दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है।छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है।दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना बड़ी संख्या=x
छोटी संख्या का वर्ग=8x
छोटी संख्या=\sqrt{8 x}
प्रश्नानुसार:

x^{2}-(\sqrt{8 x})^{2}=180 \\ \Rightarrow x^{2}-8 x=180 \\ \Rightarrow x^{2}-8 x-180=0 \\ \Rightarrow a=1, b=-8, c=-180 \\ x =\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^{2}-4 \times 1 \times-180}}{2 \times 1} \\ = \frac{8 \pm \sqrt{64+720}}{2} \\= \frac{8 \pm \sqrt{784}}{2} \\ = \frac{8 \pm 28}{2}\\ \Rightarrow x=\frac{8+28}{2}, \frac{8-28}{2} \\ \Rightarrow x=18, \quad x=-10
जब x=-10 तो छोटी संख्या=\sqrt{8 \times -10}=\sqrt{-80} काल्पनिक संख्या है
अतः x=-10 असम्भव है।
x=28
छोटी संख्या=\sqrt{8 \times 18}=\sqrt{144}=\pm 12
अतः अभीष्ट संख्याएँ 18 और 12 या 18 और -12 होंगी।
Example:3.एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है।यदि यह चाल 5 किमी प्रति घंटा अधिक होती तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती।रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना रेलगाड़ी की चाल =x किमी प्रति घंटा
समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}=\frac{360}{x}
यदि चालक x+5 हो तो:
समय=\frac{360}{x+5}
प्रश्नानुसार:

\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}=1 \\ \Rightarrow \frac{360(x+5)-360 x}{x(x+5)}=1 \\ \Rightarrow \frac{360 x+1800-360 x}{x^{2}+5 x}=1 \\ \Rightarrow 1800=x^{2}+5 x \\ \Rightarrow x^{2}+5 x-1800=0 \\ a= 1, b=5, c=-1800 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-5 \pm \sqrt{(-5)^{2}-4 \times 1 \times-1800}}{2 \times 1} \\ =\frac{-5 \pm \sqrt{25+7200}}{2} \\ =\frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2} \\ =\frac{-5 \pm 85}{2} \\ x =\frac{-5 \pm 85}{2}, \frac{-5-85}{2} \\ x=\frac{80}{2}, x=-\frac{90}{2} \\ \Rightarrow x=40, x=-45 (चाल ऋणात्मक नहीं होती अतः असम्भव है)
x=40 km/h

Example:4.दो पानी के नल एक साथ एक हौज को घंटों में भर सकते हैं।बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है।प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
Solution:माना कम व्यास वाला नल हौज को भरने में समय लेता है=x घण्टे
कम व्यास वाले नल की क्षमता (एक घंटे में भरा गया भाग)=\frac{1}{x}
बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय=x-10
बड़े व्यास वाले नल की क्षमता (एक घंटे में भरा गया भाग)=\frac{1}{x-10}
प्रश्नानुसार:
\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{8}{75} \\ \Rightarrow \frac{x-10+x}{x(x-10)}=\frac{8}{75} \\ \Rightarrow \frac{2 x-10}{x^{2}-10 x}=\frac{8}{75} \\ \Rightarrow 150 x-750=8 x^{2}-80 x \\ \Rightarrow 8 x^{2}-80 x-150 x+750=0 \\ \Rightarrow 8 x^{2}-230 x+750=0 \\ a=8, b=-230, c=750 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2 a} \\ x=\frac{-(-230) \pm \sqrt{(-230)^{2}-4 \times 8 \times 750}}{2 \times 8} \\ =\frac{230 \pm \sqrt{52900+24000}}{16}\\ =\frac{230 \pm \sqrt{28960}}{16}\\=\frac{230 \pm 170}{16}\\ \Rightarrow x=\frac{230+170}{16}, x=\frac{230-170}{16}\\ x=\frac{400}{16} \quad x=\frac{60}{16} \\ x=25 \text { घण्टे } \quad x=3.75(असंभव है)
बड़े व्यास वाले नल द्वारा लिया गया समय=x-10= 25-10=15 घण्टे
Example:5.मैसूर और बंगलौर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घण्टा कम समय लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)।यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल,सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना सवारी गाड़ी की चाल=x
समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}=\frac{132}{x}
अतः एक्सप्रेस गाड़ी की चाल =x+11 किमी प्रति घंटा
समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}=\frac{132}{x+11}
प्रश्नानुसार: \frac{132}{x}-\frac{132}{x+11}=1 \\ \Rightarrow \frac{132(x+11)-132 x}{x(x+11)}=1 \\ \Rightarrow \frac{132 x+1452-132 x}{x^{2}+11 x}=1 \\ \Rightarrow 1452= x^{2}+11 x \\ \Rightarrow x^{2}+11 x+1452=0 \\ a=11, b=11, c=-1452 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-11 \pm \sqrt{(11)^{2}-4 \times 1 \times-1452}}{2 \times 1} \\ =\frac{-11 \pm \sqrt{121+5808}}{2} \\ =\frac{-11 \pm \sqrt{5929}}{2} \\ =\frac{-11 \pm 77}{2}  \\ x=\frac{-11+77}{2}, \frac{-11-77}{2} \\ x=\frac{66}{2}=33, x=-44 (चाल ऋणात्मक नहीं होती है अतः असम्भव है)
x=33 किमी/घण्टा
एक्सप्रेस गाड़ी की चाल=x+11=33+11
=44 किमी/घण्टा
Example:6.दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 वर्गमीटर है।यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 m हो तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना पहले वर्ग की भुजा=x
पहले वर्ग की परिमाप=4x
दूसरे वर्ग की परिमाप=24+4x
दूसरे वर्ग की भुजा = \frac{24+4 x}{4}
=6+x
प्रश्नानुसार:(6+x)^{2}+x^{2}=468 \\ \Rightarrow x^{2}+12 x+36+x^{2}=468 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+12 x+36-2168=0 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+12 x-438=0 \\ \Rightarrow 2\left(x^{2}+6 x-216\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+6 x-218=0 \\ a= 1, b=6, c=-216 \\ x =\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ = \frac{-6 \pm \sqrt{(6)^{2}-4 \times 1 \times-216}}{2 \times 1} \\ = \frac{-6 \pm \sqrt{36+272864}}{2} \\ = \frac{-6 \pm \sqrt{900}}{2} \\ = \frac{-6 \pm 30}{2} \\ x=-\frac{6+30}{2}, \frac{-6-30}{2} \\ x =\frac{24}{2}=12, x=\frac{-36}{2}=-18
x=-18 (असंभव है क्योंकि भुजाएँ ऋणात्मक नहीं होती हैं)
दूसरे वर्ग की भुजा 6+x=6+12=18
अतः वर्ग की भुजाएँ 12 मीटर व 18 मीटर है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करना (Finding Roots by Quadratic Formula),द्विघाती सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना कक्षा 10 (To find Roots of a Quadratic Equation by Quadratic formula Class 10) को समझ सकते हैं।

3.द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करना की समस्याएँ (Finding Roots by Quadratic Formula Problems):

(1.)समीकरण x-\frac{1}{3}=3, x \neq 0 के मूल ज्ञात करो।
(2.)3 वर्ष पूर्व अखिल की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग \frac{1}{3} है।उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1) x=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}
(2.)7 वर्ष
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करना (Finding Roots by Quadratic Formula),द्विघाती सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना कक्षा 10 (To find Roots of a Quadratic Equation by Quadratic formula Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करना (Finding Roots by Quadratic Formula),द्विघाती सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना कक्षा 10 (To find Roots of a Quadratic Equation by Quadratic formula Class 10) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.द्विघात सूत्र की स्थापना करो।(Establish the Quadratic Formula):

उत्तर:हिन्दू गणितज्ञ श्रीधर आचार्य ने द्विघात समीकरण a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0 को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र दिया जो निम्न है:
माना समीकरण a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0
\Rightarrow x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}=0 (प्रत्येक पद में a का भाग देने पर)
\Rightarrow x^{2}+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}
अब x के गुणांक \frac{b}{a} का आधा का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
x^{2}+\frac{b}{a} x+\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}\\ \Rightarrow\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\\ \Rightarrow\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4 a b}{4 a^{2}}\\ \Rightarrow x+\frac{b}{2 a}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}}\\ \Rightarrow x=-\frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2a}\\ \Rightarrow x=\frac{b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2a}

प्रश्न:2.शाब्दिक द्विघाती समस्याओं की जाँच कैसे करते हैं? (How to check for Word Quadratic problems?):

उत्तर:शाब्दिक समस्याओं की स्थिति में प्राप्त हलों की जाँच समस्या के अन्तर्गत बनी समीकरणों से नहीं अपितु मूल समस्या में दिए गए प्रतिबन्धों द्वारा की जानी चाहिए।

प्रश्न:3.द्विघाती समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र लिखो।(Write the Formula to Find the Roots of the Quadratic Equation):

उत्तर:द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 के मूल x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} द्वारा देय होते हैं यदि b^{2}-4 a c \geq 0 हो।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करना (Finding Roots by Quadratic Formula),द्विघाती सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना कक्षा 10 (To find Roots of a Quadratic Equation by Quadratic formula Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करने
(Finding Roots by Quadratic Formula)

Finding Roots by Quadratic Formula

द्विघाती सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करने (Finding Roots by Quadratic Formula) की यह तृतीय विधि
है।इससे पूर्व हमने गुणनखण्ड विधि और पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से

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