1.प्रतिस्थापन विधि कक्षा 10 (Substitution Method Class 10),एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि (Algebraic Methods of Solving a Pair of Linear Equations):

Substitution Method Class 10

प्रतिस्थापन विधि कक्षा 10 (Substitution Method Class 10) पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।रैखिक समीकरण युग्म के ये सवाल निम्न हैं:
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2.प्रतिस्थापन विधि कक्षा 10 के साधित उदाहरण (Substitution Method Class 10 Solved Examples):

Example:1.निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
Example:1(i).x+y=14,x-y=4
Solution:x+y=14,x-y=4
x+y=14  ….. (1)
x=y+4  …. (2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
4+y+y=14 \\ \Rightarrow 2 y=14-4 \\ \Rightarrow y=\frac{10}{2} \\ \Rightarrow y=5
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
x=4+5
\Rightarrow x=9,y=5
Example:1(ii). s-t=3, \frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6
Solution:- s-t=3, \frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6 \\ s=t+3 \ldots(1) \\ \frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6 \ldots(2)
समीकरण (1) से s का मान समीकरण (2) में रखने पर:

\frac{1}{3}(t+3)+\frac{t}{2}=6 \\ \Rightarrow \frac{t}{3}+1+\frac{t}{2}=6 \\ \Rightarrow \frac{2 t+3 t}{6}=6-1 \\ \Rightarrow 5 t=5 \times 6 \\ \Rightarrow t=\frac{5 \times 6}{5} \\ \Rightarrow t=6
t का मान समीकरण (1) में रखने पर:
s=6+3=9
s=9,t=6
Example:1(iii).3x-y=3,9x-3y=9
Solution:3x-y=3,9x-3y=9
3x-y-3=0,9x-3y-9=0

a_1=3, b_1=-1, c_1=-3 \\ a_2=9, b_2=-3, c_2=-9 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3} \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} =\frac{c_1}{c_2}
अतः समीकरण निकाय के अनन्त हल विद्यमान हैं।
यदि x=k तो 3x-y-3=0 से
3k-y-3=0
\Rightarrow y=3k-3
अतः अभीष्ट हल है:x=k,y=3k-3 जहाँ k यादृच्छिक है।
Example:1(iv).0.2x+0.3y=1.3,0.4x+0.5y=2.3
Solution:0.2x+0.3y=1.3,0.4x+0.5y=2.3
0.2x+0.3y=1.3  …… (1)
0.4x+0.5y=2.3 \\ 0.4 x=2.3-0.5 y \\ x=\frac{2.3}{0.4}-\frac{0.5 y}{0.4} \\ x=\frac{23}{4}-\frac{5}{4} y \ldots(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

0.2\left(\frac{23}{4}-\frac{5}{4} y\right)+0.3 y=1.3 \\ \Rightarrow \frac{4.6}{4}-\frac{1}{4} y+\frac{0.3 y}{1}=1.3 \\ \Rightarrow \frac{0.3 y}{1}-\frac{1}{4} y=1.3-\frac{4.6}{4} \\ \Rightarrow \frac{1.2 y-1 y}{4} =\frac{5.2-4.6}{4} \\ \Rightarrow 0.2 y=0.6 \\ \Rightarrow y=\frac{0.6}{0.2} \\ \Rightarrow y=3
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
x=\frac{23}{4}-\frac{5}{4} \times 3 \\ =\frac{23-15}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{8}{4}=2 \\ \Rightarrow x=2, y=3
Example:1(v). \sqrt{2} x+\sqrt{3} y=0, \sqrt{3} x-\sqrt{8} y=0
Solution: \sqrt{2} x+\sqrt{3} y=0, \sqrt{3} x-\sqrt{8} y=0 \\ \sqrt{2} x+\sqrt{3} y=0 \ldots(1) \\ \sqrt{3} x=\sqrt{8} y \\ x=\sqrt{\frac{8}{3}} y \ldots(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{8}{3}} y\right)+\sqrt{3} y=0 \\ \Rightarrow \sqrt{\frac{16}{3}} y+\frac{\sqrt{3}}{1} y=0 \\ \Rightarrow \frac{4 y+3 y}{\sqrt{3}}=0 \\ \Rightarrow 7y=0 \\ \Rightarrow y=0
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:

x=\sqrt{\frac{8}{3}} \times 0=0 \\ \Rightarrow x=0, y=0
Example:1(vi). \frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}=-2 \\ \frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}
Solution: \frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}=-2 \cdots(1) \\ \frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6} \\ \Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{13}{6}-\frac{y}{2} \\ \Rightarrow x=3 \times \frac{13}{6}-\frac{3 y}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{13}{2}-\frac{3}{2} y \ldots(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\frac{3}{2}\left(\frac{13}{2}-\frac{3}{2} y\right)-\frac{5 y}{3}=-2 \\ \Rightarrow \frac{39}{4}-\frac{9}{4} y-\frac{5 y}{3}=-2 \\ \Rightarrow -\frac{(27 y+20 y)}{12}=-2-\frac{39}{4} \\ \Rightarrow -\frac{47 y}{12}=-\left(\frac{8+39}{4}\right) \\ \Rightarrow \frac{47 y}{12}=\frac{47}{4} \\ \Rightarrow y=\frac{47}{4} \times \frac{12}{47} \\ \Rightarrow y=3
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
x=\frac{13}{2}-\frac{3}{2} \times 3 \\ =\frac{13}{2}-\frac{9}{2} \\ =\frac{4}{2} \\ \Rightarrow x=2, y=3
Example:2. 2x+3y=11 और 2x-4y=-24 को हल कीजिए और इसमें ‘m’ का का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y=mx+3 हो।
Solution:  2 x+3 y=11 \ldots(1) \\ 2 x-4 y=-24 \\ \Rightarrow 2 x=-24+4 y \\ \Rightarrow x=\frac{-24+4 y}{2} \ldots(2)
x का मान समीकरण (2) से समीकरण (1) में रखने पर:

2\left(\frac{-24+4 y}{2}\right)+3 y=11 \\ \Rightarrow-24+4 y+3 y=11 \\ \Rightarrow 7 y=11+24 \\ \Rightarrow y=\frac{35}{7}=5
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
x=-\frac{24+4 \times 5}{2} \\=\frac{-24+20}{2} \\ =-\frac{4}{2} \\ \Rightarrow x =-2, y=5
y=mx+3 में x=-2,y=5 रखने पर
5=m(-2)+3 \\ \Rightarrow 2 m=3-5 \\ \Rightarrow m=-\frac{2}{2}=-1 \\ \Rightarrow m=-1 \\ x=-2, y=5, m=-1

Substitution Method Class 10

Example:3.निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
Example:3(i).दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है।उन्हें ज्ञात कीजिए।
Solution:माना पहली संख्या x तथा दूसरी संख्या y है।
प्रश्नानुसार:
x-y=26 ….. (1)
x=3y   ……..(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3 y-y=26 \\ \Rightarrow 2 y=26 \\ \Rightarrow y=\frac{26}{2}=13
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
x=3×13=39
\Rightarrow x=39,y=13
Example:3(ii).दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है।उन्हें ज्ञात कीजिए।
Solution:माना बड़ा कोण x तथा छोटा कोण y है।
x-y=18° …. (1)
x+y=180°
\Rightarrow  x=180°-y  …. (2)
x का मान समीकरण (2) से समीकरण (1) में रखने पर:
180^{\circ}-y-y=18^{\circ} \\ \Rightarrow-2 y=18^{\circ}-180^{\circ} \\ \Rightarrow-2 y=-162^{\circ} \\ \Rightarrow y=\frac{162^{\circ}}{2}=81^{\circ}
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
x=180°-81°=99°
x=99°,y=81°
Example:3(iii).एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें 3800 रु में खरीदी।बाद में,उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रु में खरीदी।प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
Solution:माना एक बल्ले का मूल्य x रु और एक गेंद का मूल्य y रु है।
7x+6y=3800  ….. (1)
3x+5y=1750
\Rightarrow 5y=1750-3x \\ \Rightarrow y=\frac{1750-3 x}{5} \ldots(2)
y का मान समीकरण (2) से समीकरण (1) में रखने पर:

7 x+6\left(\frac{1750-3 x}{5}\right)=3800 \\ \Rightarrow \frac{7 x}{1}+\frac{10500}{5}-\frac{18 x}{5} =3800 \\ \Rightarrow \frac{7 x}{1}-\frac{18 x}{5}=\frac{3800-10500}{5} \\ \Rightarrow \frac{35 x-18 x}{5} =\frac{19000-10500}{5} \\ \Rightarrow \frac{17 x}{5}=\frac{8500}{5} \\ \Rightarrow x=\frac{8500}{17}=800
x का मान समीकरण (2) में रखने पर:
y=\frac{1750-3 \times 500}{5} \\ =\frac{1750-1500}{5} \\ =\frac{250}{5} \\ \Rightarrow y=50
एक बल्ले का मूल्य 500 रुपए,एक गेंद का मूल्य 50 रुपए
Example:3(iv).एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है।10 km दूरी के लिए भाड़ा 105 रुपए तथा 15 km के लिए भाड़ा 155 रुपए है।नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
Solution:माना नियत भाड़ा x रुपए तथा प्रति किमी भाड़ा y रुपए है।
प्रश्नानुसार:
x+10y=105  …. (1)
x+15y=155
\Rightarrow 15 y=155-x \\ \Rightarrow y=\frac{155-x}{15} \ldots(2)
y का मान समीकरण (2) से समीकरण (1) में रखने पर:

x+10\left(\frac{155-x}{15}\right)=105 \\ x+\frac{2(155-x)}{3}=105 \\ \Rightarrow \frac{x}{1} +\frac{310}{3}-\frac{2 x}{3}=105 \\ \Rightarrow \frac{x}{1}-\frac{2 x}{3}=\frac{105}{1}-\frac{310}{3} \\ \Rightarrow \frac{3 x-2 x}{3}=\frac{315-310}{3} \\ \Rightarrow x=5
x का मान समीकरण (2) में रखने पर:
y=\frac{155-5}{15}=\frac{150}{15} \\ \Rightarrow y =10, x=5
नियत भाड़ा 5 रुपए तथा प्रति किमी भाड़ा 10 रुपए
25 किमी दूरी तय करने के लिए भाड़ा देना होगा=5+10×25=5+250=255
Example:3(v).यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए,तो वह हो जाती है।यदि अंश और हर में 3 जोड़ दिया जाए तो वह हो जाती है।वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
Solution:माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
भिन्न=\frac{x}{y}
प्रश्नानुसार: \frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11} \\ \Rightarrow 11 x+22=9 y+18 \\ \Rightarrow 11 x-9 y=-4 \ldots(1) \\ \frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6} \\ \Rightarrow 6 x+18=5 y+15 \\ \Rightarrow 6 x=5 y+15-18 \\ \Rightarrow x=\frac{5 y-3}{6} \ldots(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

11\left(\frac{5 y-3}{6}\right)-9 y=-4 \\ \Rightarrow \frac{55 y-33-54 y}{6}=-4 \\ \Rightarrow y-33=-24 \\ \Rightarrow y=-24+33 \\ \Rightarrow y=9
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:

x=\frac{5 \times 9-3}{6}=\frac{45-3}{6} \\ \Rightarrow x=\frac{42}{6}=7 , y=9
भिन्न=\frac{x}{y}=\frac{7}{9}
Example:3(vi).पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी।पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी।उनकी वर्तमान आयु क्या है?
Solution:माना जैकब की वर्तमान आयु x तथा उसके पुत्र की आयु y है।
प्रश्नानुसार:
5 वर्ष बाद जैकब की आयु=x+5
5 वर्ष बाद पुत्र की आयु=y+5
x+5=3(y+5) \\ \Rightarrow x+5=3y+15 \\ \Rightarrow x-3y=10  \ldots(1)
5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु=x-5
5 वर्ष पूर्व पुत्र की आयु=y-5
x-5=7(y-5) \\ \Rightarrow x-5=7y-35 \\ \Rightarrow x=7y-35+5 \\ \Rightarrow x=7y-30 \ldots(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
7y-30-3y=10 \\ \Rightarrow 4y=30+10 \\ \Rightarrow 4y=40 \\ \Rightarrow y=10
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
x=7×10-30=70-30
x=40,y=10
जैकब की आयु=40 वर्ष,पुत्र की आयु=10 वर्ष
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिस्थापन विधि कक्षा 10 (Substitution Method Class 10),एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि (Algebraic Methods of Solving a Pair of Linear Equations) को समझ सकते हैं।

3.प्रतिस्थापन विधि कक्षा 10 के सवाल (Substitution Method Class 10 Questions):

Substitution Method Class 10

(1.)छ: वर्ष पश्चात एक व्यक्ति की आयु उसके पुत्र की आयु की तिगुनी हो जायेगी तथा तीन वर्ष पूर्व उसकी आयु पुत्र की आयु की नौ गुना थी।इनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
(2.)5 पेन व 6 पेंसिल का कुल मूल्य 45 रुपए है तथा 3 पेन व 2 पेंसिल का कुल मूल्य 25 रुपए है।1 पेन तथा 1 पेंसिल का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)पिता की आयु=30 वर्ष,पुत्र की आयु=6 वर्ष
(2.)एक पेन का मूल्य 7.50 रुपए,एक पेंसिल का मूल्य 1.25 रुपए
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिस्थापन विधि कक्षा 10 (Substitution Method Class 10),एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि (Algebraic Methods of Solving a Pair of Linear Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रतिस्थापन विधि कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Substitution Method Class 10),एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि (Algebraic Methods of Solving a Pair of Linear Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रतिस्थापन विधि कक्षा 10 (Substitution Method Class 10) पर आधारित सवालों को
हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।रैखिक समीकरण युग्म के ये सवाल निम्न हैं