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Trigonometric Identities Class 10

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1 1.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10)-

1.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10)-

  • त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10) में वह त्रिकोणमितीय सम्बन्ध होता है जो उनमें प्रयुक्त कोणों के उन सभी मानों के लिए सत्य हो जिन मानों पर प्रयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात परिभाषित है।
  • त्रिकोणमितीय अनुपातों में सभी सम्बन्ध त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) नहीं होती है जैसे \sin { \theta } =\cos { \theta } केवल एक त्रिकोणमितीय समीकरण है क्योंकि यह \theta के प्रत्येक मान के लिए सत्य नहीं है।
  • निम्नलिखित तीन सर्वसमिकाएं ही मूलभूत सर्वसमिकाएं होती है।त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले व्यंजकों और अन्य दी गई सर्वसमिकाओं को सरल करने के लिए इनका उपयोग किया जाता है।
  • (1.)कक्षा 10 की त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities of class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10)-

\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1.....(1)\\ 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } .....(2)
और 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } ={ cosec }^{ 2 }\theta .....(3)

  • इन तीनों सर्वसमिकाओं को प्रत्येक त्रिकोणमितीय अनुपात को दूसरे त्रिकोणमितीय अनुपात में परिवर्तित किया जा सकता है।
  • (2.)त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं (Trigonometric Identities) को सिद्ध करते समय निम्नलिखित बिन्दुओं को ध्यान में रखना चाहिए-
  • (1.)सर्वसमिका को जटिल पक्ष में हल प्रारम्भ करते हैं और इसमें मूलभूत सर्वसमिकाओं को प्रयोग कर दूसरा पक्ष ज्ञात कर लेते हैं।
  • (2.)यदि सर्वसमिका में कई त्रिकोणमितीय अनुपात विद्यमान हो तो उनको sine और cosine के रूप में व्यक्त करना सामान्यतया सुविधाजनक होता है।
  • (3.)यदि करणी चिन्ह (Radical sign) लगा हो तो उसे यथासम्भव हटाना चाहिए।
  • (4.)यदि सर्वसमिका के एक पक्ष से दूसरा पक्ष सरलतापूर्वक ज्ञात नहीं किया जा सकता हो तो दोनों पक्षों को सरल करके एक ही राशि अथवा समानक सम (Identically equal) सिद्ध करना चाहिए।
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2.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 के उदाहरण (Trigonometric Identities Class 10 Examples),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities),कक्षा 10 के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities for class 10)-

Example-1.त्रिकोणमितीय अनुपातों \sin { \theta } ,\cos { \theta } ,\tan { \theta } को \cot { \theta } के पदों में व्यक्त कीजिए।
Solution-1+\cot ^{ 2 }{ \theta } ={ cosec }^{ 2 }\theta \\ \Rightarrow { cosec }^{ 2 }\theta =1+\cot ^{ 2 }{ \theta } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } =1+\cot ^{ 2 }{ \theta } \\ \Rightarrow \sin ^{ 2 }{ \theta } =\frac { 1 }{ 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } } \\ \Rightarrow \sin { \theta } =\pm \sqrt { \frac { 1 }{ 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } } } \\ \Rightarrow \sin { \theta } =\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } } } \\ \Rightarrow \sin { \theta } =\frac { 1 }{ \sqrt { 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } } }
[न्यून कोण के लिए धनात्मक मान लेने पर]
\tan { \theta } =\frac { 1 }{ \cot { \theta } } \\ 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } [सर्वसमिका से]

\Rightarrow 1+\frac { 1 }{ \cot ^{ 2 }{ \theta } } =\sec ^{ 2 }{ \theta } \qquad \qquad \left[ \because \tan { \theta } =\frac { 1 }{ \cot { \theta } } \right] \\ \Rightarrow \frac { 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } }{ \cot ^{ 2 }{ \theta } } =\sec ^{ 2 }{ \theta } \\ \Rightarrow \frac { 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } } =\frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } } \\ \Rightarrow \cos ^{ 2 }{ \theta } =\frac { \cot ^{ 2 }{ \theta } }{ 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } } \\ \Rightarrow \cos { \theta } =\pm \sqrt { \frac { \cot ^{ 2 }{ \theta } }{ 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } } } \\ \Rightarrow \cos { \theta } =\pm \frac { \cot { \theta } }{ 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } } \\ \Rightarrow \cos { \theta } =\frac { \cot { \theta } }{ \sqrt { 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } } }
[न्यून कोण के लिए धनात्मक मान लेने पर]
निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए-
Example-2. \cos ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } .\cot ^{ 2 }{ \theta } =\cot ^{ 2 }{ \theta }
Solution-\cos ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } .\cot ^{ 2 }{ \theta } =\cot ^{ 2 }{ \theta } \\ LHS=\cos ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } .\cot ^{ 2 }{ \theta } \\ =\cos ^{ 2 }{ \theta } \left( 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } \right) \\ =\cos ^{ 2 }{ \theta } .{ cosec }^{ 2 }\theta \qquad \left[ \because { cosec }^{ 2 }\theta =1+\cot ^{ 2 }{ \theta } \right] \\ =\cos ^{ 2 }{ \theta } .\frac { 1 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } \quad \quad \left[ \because cosec\theta =\frac { 1 }{ \sin { \theta } } \right] \\ \cot ^{ 2 }{ \theta } =RHS
Example-3.\sqrt { \frac { 1-\sin { \theta } }{ 1+\sin { \theta } } } =\sec { \theta } -\tan { \theta }
Solution-\sqrt { \frac { 1-\sin { \theta } }{ 1+\sin { \theta } } } =\sec { \theta } -\tan { \theta } \\ L.H.S=\sqrt { \frac { 1-\sin { \theta } }{ 1+\sin { \theta } } }

अंश व हर को (1-\sin { \theta }) से गुणा करने पर-

=\sqrt { \frac { \left( 1-\sin { \theta } \right) }{ \left( 1+\sin { \theta } \right) } \times \frac { \left( 1-\sin { \theta } \right) }{ \left( 1-\sin { \theta } \right) } } \\ =\sqrt { \frac { { \left( 1-\sin { \theta } \right) }^{ 2 } }{ \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } \right) } } \qquad \qquad \qquad \\ =\frac { \left( 1-\sin { \theta } \right) }{ \sqrt { \cos ^{ 2 }{ \theta } } } \qquad \left[ \because \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1 \right] \\ =\frac { \left( 1-\sin { \theta } \right) }{ \cos { \theta } } \\ =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } -\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } =\\ =\sec { \theta } -\tan { \theta } =R.H.S \qquad \left[ \because \sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } ,\tan { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } \right]

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।
Example-4.\sqrt { \sec ^{ 2 }{ \theta } +{ cosec }^{ 2 }\theta } =\tan { \theta } +\cot { \theta }
Solution-\sqrt { \sec ^{ 2 }{ \theta } +{ cosec }^{ 2 }\theta } =\tan { \theta } +\cot { \theta } \\ L.H.S=\sqrt { \sec ^{ 2 }{ \theta } +{ cosec }^{ 2 }\theta } \\ =\sqrt { 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } +1+\cot ^{ 2 }{ \theta } } \left[ \because 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } ,1+\cot ^{ 2 }{ \theta } ={ cosec }^{ 2 }\theta \right] \\ =\sqrt { \tan ^{ 2 }{ \theta } +2+\cot ^{ 2 }{ \theta } } \\ =\sqrt { \tan ^{ 2 }{ \theta } +2(1)+\cot ^{ 2 }{ \theta } } \\ =\sqrt { \tan ^{ 2 }{ \theta } +2\tan { \theta } \cot { \theta } +\cot ^{ 2 }{ \theta } } \left[ \because \tan { \theta } \cot { \theta } =1 \right] \\ =\sqrt { { \left( \tan { \theta } +\cot { \theta } \right) }^{ 2 } } \\ =\left( \tan { \theta } +\cot { \theta } \right) =R.H.S.
Example-5.\frac { \tan { \alpha } +\tan { \beta } }{ \cot { \alpha } +\cot { \beta } } =\tan { \alpha } \tan { \beta }
Solution-\frac { \tan { \alpha } +\tan { \beta } }{ \cot { \alpha } +\cot { \beta } } =\tan { \alpha } \tan { \beta } \\ L.H.S=\frac { \tan { \alpha } +\tan { \beta } }{ \cot { \alpha } +\cot { \beta } } \\ =\frac { \tan { \alpha } +\tan { \beta } }{ \frac { 1 }{ \tan { \alpha } } +\frac { 1 }{ \tan { \beta } } } \\ =\frac { \tan { \alpha } +\tan { \beta } }{ \frac { \tan { \alpha } +\tan { \beta } }{ \tan { \alpha } \tan { \beta } } } \qquad \left[ \because \cot { \alpha } =\frac { 1 }{ \tan { \alpha } } ,\cot { \beta } =\frac { 1 }{ \tan { \beta } } \right] \\ =\left( \tan { \alpha } +\tan { \beta } \right) \frac { \tan { \alpha } \tan { \beta } }{ \left( \tan { \alpha } +\tan { \beta } \right) } \\ =\tan { \alpha } +\tan { \beta } =R.H.S

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।
Example-6.\frac { \sin ^{ 4 }{ \theta } -\cos ^{ 4 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } } =1
Solution- \frac { \sin ^{ 4 }{ \theta } -\cos ^{ 4 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } } =1\\ L.H.S=\frac { \sin ^{ 4 }{ \theta } -\cos ^{ 4 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } } =1\\ =\frac { \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) }{ \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) } \\ =\left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) \\ =1=R.H.S

Example-7. \cos ^{ 4 }{ \theta } +\sin ^{ 4 }{ \theta } =1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta }
Solution- \cos ^{ 4 }{ \theta } +\sin ^{ 4 }{ \theta } =1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \\ L.H.S=\cos ^{ 4 }{ \theta } +\sin ^{ 4 }{ \theta } \\ ={ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }+2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } -2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta }
[ 2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } जोड़ने और घटाने पर]

={ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }-2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \\ =1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \qquad \left[ \because \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1 \right]

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।
Example-8. \frac { 1-\tan ^{ 2 }{ \alpha } }{ \cot ^{ 2 }{ \alpha } -1 } =\tan ^{ 2 }{ \alpha }
Solution-\frac { 1-\tan ^{ 2 }{ \alpha } }{ \cot ^{ 2 }{ \alpha } -1 } =\tan ^{ 2 }{ \alpha } \\ L.H.S.=\frac { 1-\tan ^{ 2 }{ \alpha } }{ \cot ^{ 2 }{ \alpha } -1 } \\ =\frac { 1-\tan ^{ 2 }{ \alpha } }{ \frac { 1 }{ \tan ^{ 2 }{ \alpha } } -1 } \left[ \because \cot { \alpha } =\frac { 1 }{ \tan { \alpha } } \right] \\ =\frac { 1-\tan ^{ 2 }{ \alpha } }{ \frac { 1-\tan ^{ 2 }{ \alpha } }{ \tan ^{ 2 }{ \alpha } } } \\ =\left( 1-\tan ^{ 2 }{ \alpha } \right) \left( \frac { \tan ^{ 2 }{ \alpha } }{ 1-\tan ^{ 2 }{ \alpha } } \right) \\ =\tan ^{ 2 }{ \alpha } =R.H.S
Example-9.\sin ^{ 6 }{ \theta } +\cos ^{ 6 }{ \theta } =1-3\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta }
Solution-\sin ^{ 6 }{ \theta } +\cos ^{ 6 }{ \theta } =1-3\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \\ L.H.S.=\sin ^{ 6 }{ \theta } +\cos ^{ 6 }{ \theta } \\ ={ \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 3 }+{ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 3 }\\ =\left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) \left[ { \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }-\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \right] \\ \left[ { a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }=\left( a+b \right) \left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-ab \right) \right]
2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } जोड़ने एवं घटाने पर-

=\left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) [{ \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }+2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } -3\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } ]\\ =\left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) [{ \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }+2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } -3\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } ]\\ =(1)\left[ { \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }-3\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \right] \qquad \\ \left[ \because { \left( a+b \right) }^{ 2 }=\left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2ab \right) \right] \\ =1-3\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \left[ \because \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1 \right]
Example-10.\frac { \tan { \theta } }{ 1-\cot { \theta } } +\frac { \cot { \theta } }{ 1-\tan { \theta } } =1+\tan { \theta } +\cot { \theta }
Solution-\frac { \tan { \theta } }{ 1-\cot { \theta } } +\frac { \cot { \theta } }{ 1-\tan { \theta } } =1+\tan { \theta } +\cot { \theta } \\ L.H.S=\frac { \tan { \theta } }{ 1-\cot { \theta } } +\frac { \cot { \theta } }{ 1-\tan { \theta } } \qquad \qquad \left[ \because \cot { \theta } =\frac { 1 }{ \tan { \theta } } \right] \\ =\frac { \tan { \theta } }{ 1-\frac { 1 }{ \tan { \theta } } } +\frac { \frac { 1 }{ \tan { \theta } } }{ 1-\tan { \theta } } \\ =\frac { \tan { \theta } }{ \frac { \tan { \theta } -1 }{ \tan { \theta } } } +\frac { 1 }{ \tan { \theta } (1-\tan { \theta } ) } \\ =\frac { \tan ^{ 2 }{ \theta } }{ \tan { \theta } -1 } +\frac { 1 }{ \tan { \theta } (1-\tan { \theta } ) } \\ =-\frac { \tan ^{ 2 }{ \theta } }{ (1-\tan { \theta } ) } +\frac { 1 }{ \tan { \theta } (1-\tan { \theta } ) } \\ =\frac { 1-\tan ^{ 3 }{ \theta } }{ \tan { \theta } (1-\tan { \theta } ) } \\ =\frac { \left( 1-\tan { \theta } \right) \left( 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } +\tan { \theta } \right) }{ \tan { \theta } (1-\tan { \theta } ) } \qquad \\ \left[ \because { a }^{ 3 }-{ b }^{ 3 }=\left( a-b \right) \left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+ab \right) \right] \\ =\frac { \left( 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } +\tan { \theta } \right) }{ \tan { \theta } } \\ =\frac { 1 }{ \tan { \theta } } +\frac { \tan ^{ 2 }{ \theta } }{ \tan { \theta } } +\frac { \tan { \theta } }{ \tan { \theta } } \\ =\cot { \theta } +\tan { \theta } +1\qquad \left[ \because \cot { \theta } =\frac { 1 }{ \tan { \theta } } \right] \\ =1+\tan { \theta } +\cot { \theta } =R.H.S

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।
Example-11.\sin { \theta } \left( 1+\tan { \theta } \right) +\cos { \theta } \left( 1+\cot { \theta } \right) =cosec\theta +\sec { \theta }
Solution-\sin { \theta } \left( 1+\tan { \theta } \right) +\cos { \theta } \left( 1+\cot { \theta } \right) =cosec\theta +\sec { \theta } \\ L.H.S=\sin { \theta } \left( 1+\tan { \theta } \right) +\cos { \theta } \left( 1+\cot { \theta } \right) \\ =\sin { \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos { \theta } +\cos { \theta } \cot { \theta } \\ =\sin { \theta } +\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } +\cos { \theta } \frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \\ =\frac { \cos { \theta } \sin ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 3 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \sin { \theta } +\cos ^{ 3 }{ \theta } }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } \\ [ { a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }=(a+b) ( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-ab ) ] \\ =\frac { \left( \sin ^{ 3 }{ \theta } +\cos ^{ 3 }{ \theta } \right) +\cos { \theta } \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \sin { \theta } }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } \\ =\frac { \left( \sin { \theta } +\cos { \theta } \right) \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } -\sin { \theta } \cos { \theta } \right) +\left( \sin { \theta } +\cos { \theta } \right) \sin { \theta } \cos { \theta } }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } \\ =\frac { \left( \sin { \theta } +\cos { \theta } \right) \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } -\sin { \theta } \cos { \theta } +\sin { \theta } \cos { \theta } \right) }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } \\ =\frac { \left( \sin { \theta } +\cos { \theta } \right) \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } \left[ \because \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1 \right] \\ =\frac { \left( \sin { \theta } +\cos { \theta } \right) }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } \\ =\frac { \sin { \theta } }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } +\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } \\ =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } +\frac { 1 }{ \sin { \theta } } \\ cosec\theta +\sec { \theta } \qquad [ \because \sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } ,cosec\theta =\frac { 1 }{ \sin { \theta } } ]

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।
Example-12.\frac { \tan { \theta } }{ 1-\cot { \theta } } +\frac { \cot { \theta } }{ 1-\tan { \theta } } =1+\tan { \theta } +\cot { \theta }
Solution-\frac { \tan { \theta } }{ 1-\cot { \theta } } +\frac { \cot { \theta } }{ 1-\tan { \theta } } =1+\tan { \theta } +\cot { \theta } \\ L.H.S=\frac { \tan { \theta } }{ 1-\cot { \theta } } +\frac { \cot { \theta } }{ 1-\tan { \theta } } \\ =\frac { \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } }{ 1-\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } } +\frac { \frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } }{ 1-\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } } [\because \tan { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } ,\cot { \theta } =\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } ]\\ =\frac { \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } }{ \frac { \sin { \theta } -\cos { \theta } }{ \sin { \theta } } } +\frac { \frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } }{ \frac { \cos { \theta } -\sin { \theta } }{ \cos { \theta } } } \\ =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } \times \frac { \sin { \theta } }{ \sin { \theta } -\cos { \theta } } +\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \times \frac { \cos { \theta } }{ \cos { \theta } -\sin { \theta } } \\ =\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } (\sin { \theta } -\cos { \theta } ) } -\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } (\cos { \theta } -\sin { \theta ) } } \\ =\frac { \sin ^{ 3 }{ \theta } -\cos ^{ 3 }{ \theta } }{ \sin { \theta } \cos { \theta } (\sin { \theta } -\cos { \theta } ) } \\ =\frac { \left( \sin { \theta } -\cos { \theta } \right) \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin { \theta } \cos { \theta } \right) }{ \sin { \theta } \cos { \theta } (\sin { \theta } -\cos { \theta } ) } \\ \left[ \because { a }^{ 3 }-{ b }^{ 3 }=\left( a-b \right) \left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+ab \right) \right] \\ =\frac { \left( 1+\sin { \theta } \cos { \theta } \right) }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } \\ =\sec { \theta } \csc { \theta } +1\left[ \because \cos { \theta } =\frac { 1 }{ \sec { \theta } } ,\sin { \theta } =\frac { 1 }{ cosectheta } \right] \\ =cosec\theta \sec { \theta } +1=R.H.S

Example-13.{ (\sin { A } +cosecA) }^{ 2 }+{ (\cos { A } +\sec { A } ) }^{ 2 }=7+\tan ^{ 2 }{ A } +\cot ^{ 2 }{ A }
Solution-{ (\sin { A } +cosecA) }^{ 2 }+{ (\cos { A } +\sec { A } ) }^{ 2 }=7+\tan ^{ 2 }{ A } +\cot ^{ 2 }{ A } \\ L.H.S={ (\sin { A } +cosecA) }^{ 2 }+{ (\cos { A } +\sec { A } ) }^{ 2 }\\ =\sin ^{ 2 }{ A } +{ cosec }^{ 2 }A+\cos ^{ 2 }{ A } +\sec ^{ 2 }{ A } +2\sin { A } cosecA+2\cos { A } \sec { A } \\ =\sin ^{ 2 }{ A } +1+\cot ^{ 2 }{ A } +\cos ^{ 2 }{ A } +1+\tan ^{ 2 }{ A } +2(1)+2(1)\\ [\because { cosec }^{ 2 }A=1+\cot ^{ 2 }{ A } ,\sec ^{ 2 }{ A } =1+\tan ^{ 2 }{ A } ,\sin { A } cosecA=1,\cos { A } \sec { A } =1]\\ =\sin ^{ 2 }{ A } +\cos ^{ 2 }{ A } +\cot ^{ 2 }{ A } +\tan ^{ 2 }{ A } +6\\ =7+\cot ^{ 2 }{ A } +\tan ^{ 2 }{ A } =R.H.S

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।
Example-14.\sin ^{ 8 }{ \theta } -\cos ^{ 8 }{ \theta } =(\sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } )(1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } )
Solution-\sin ^{ 8 }{ \theta } -\cos ^{ 8 }{ \theta } =(\sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } )(1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } )\\ L.H.S=\sin ^{ 8 }{ \theta } -\cos ^{ 8 }{ \theta } \\ ={ (\sin ^{ 4 }{ \theta } ) }^{ 2 }-{ (\cos ^{ 4 }{ \theta } ) }^{ 2 }\\ =(\sin ^{ 4 }{ \theta } -\cos ^{ 4 }{ \theta } )(\sin ^{ 4 }{ \theta } +\cos ^{ 4 }{ \theta } )\\ [\because { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }=(a+b)(a-b)]
2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } जोड़ने और घटाने पर-

=[{ (\sin ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 2 }-{ (\cos ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 2 }][{ (\sin ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 2 }+{ (\cos ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 2 }+2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } -2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } ]\\ =(\sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } )(\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } )[{ (\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 2 }-2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } ]\\ [\because { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2ab={ (a+b) }^{ 2 }]\\ =(\sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } )(1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } )[\because \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1]=R.H.S
Example-15.\sqrt { \frac { \sec { \theta +1 } }{ \sec { \theta } -1 } } =\cot { \theta } +cosec\theta
Solution-\sqrt { \frac { \sec { \theta +1 } }{ \sec { \theta } -1 } } =\cot { \theta } +cosec\theta \\ L.H.S=\sqrt { \frac { \sec { \theta +1 } }{ \sec { \theta } -1 } }
अंश व हर को (\sec { \theta } +1) से गुणा करने पर-

=\sqrt { \frac { (\sec { \theta +1)(\sec { \theta } +1) } }{ (\sec { \theta } -1)(\sec { \theta } +1) } } \\ =\sqrt { \frac { { (\sec { \theta } +1) }^{ 2 } }{ \sec ^{ 2 }{ \theta } -1 } } \\ =\frac { \sec { \theta +1 } }{ \sqrt { \sec ^{ 2 }{ \theta } -1 } } \\ =\frac { \sec { \theta +1 } }{ \sqrt { \tan ^{ 2 }{ \theta } } } [\because \tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } -1]\\ =\frac { \sec { \theta } +1 }{ \tan { \theta } } \\ =\frac { \frac { 1 }{ \cos { \theta } } +\frac { 1 }{ 1 } }{ \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } } [\because \sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } ,\tan { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } ]\\ =\frac { \frac { 1+\cos { \theta } }{ \cos { \theta } } }{ \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } } \\ =\frac { 1+\cos { \theta } }{ \cos { \theta } } \times \frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \\ =\frac { 1+\cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \\ =\frac { 1 }{ \sin { \theta } } +\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \\ =cosec\theta +\cot { \theta } [\because \frac { 1 }{ \sin { \theta } } =cosec\theta ,\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } =\cot { \theta } ]\\ =R.H.S

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।
Example-16.\frac { (1+\cot { \theta } +\tan { \theta } )(\sin { \theta } -\cos { \theta } ) }{ \sec ^{ 3 }{ \theta } -{ cosec }^{ 3 }\theta } =\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta }
Solution-\frac { (1+\cot { \theta } +\tan { \theta } )(\sin { \theta } -\cos { \theta } ) }{ \sec ^{ 3 }{ \theta } -{ cosec }^{ 3 }\theta } =\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \\ L.H.S=\frac { (1+\cot { \theta } +\tan { \theta } )(\sin { \theta } -\cos { \theta } ) }{ \sec ^{ 3 }{ \theta } -{ cosec }^{ 3 }\theta } \\ =\frac { (1+\cot { \theta } +\tan { \theta } )(\sin { \theta } -\cos { \theta } ) }{ \sec ^{ 3 }{ \theta } -{ cosec }^{ 3 }\theta } \\ [\because \cot { \theta } =\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } ,\tan { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } ,\sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } ,cosec\theta =\frac { 1 }{ \sin { \theta } } ]\\ =\frac { (1+\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } +\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } )(\sin { \theta } -\cos { \theta } ) }{ (\frac { 1 }{ \cos ^{ 3 }{ \theta } } -\frac { 1 }{ \sin ^{ 3 }{ \theta } } ) } \\ =\frac { (\frac { \sin { \theta } \cos { \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } )(\sin { \theta } -\cos { \theta } ) }{ \frac { \sin ^{ 3 }{ \theta } -\cos ^{ 3 }{ \theta } }{ \sin ^{ 3 }{ \theta } \cos ^{ 3 }{ \theta } } } \\ =\frac { (1+\sin { \theta } \cos { \theta } )(\sin { \theta } -\cos { \theta } ) }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } .\frac { \sin ^{ 3 }{ \theta } \cos ^{ 3 }{ \theta } }{ (\sin ^{ 3 }{ \theta } -\cos ^{ 3 }{ \theta } ) } [\because \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } =1]\\ =\frac { (1+\sin { \theta } \cos { \theta } )(\sin { \theta } -\cos { \theta } )\cos ^{ 2 }{ \theta } \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ (\sin { \theta } -\cos { \theta } )(\sin { \theta } \cos { \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } ) } \\ =\frac { (1+\sin { \theta } \cos { \theta } )\cos ^{ 2 }{ \theta } \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ (1+\sin { \theta } \cos { \theta } ) } [\because \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } =1]\\ =\cos ^{ 2 }{ \theta } \sin ^{ 2 }{ \theta }
Example-17. (cosecA-\sin { A } )(\sec { A } -\cos { A } )=\frac { 1 }{ \tan { A } +\cot { A } }
Solution-(cosecA-\sin { A } )(\sec { A } -\cos { A } )=\frac { 1 }{ \tan { A } +\cot { A } } \\ L.H.S=(cosecA-\sin { A } )(\sec { A } -\cos { A } )\\ =(\frac { 1 }{ \sin { A } } -\sin { A } )(\frac { 1 }{ \cos { A } } -\cos { A } )[\because cosecA=\frac { 1 }{ \sin { A } } ,\sec { A } =\frac { 1 }{ \cos { A } } ]\\ =\frac { (1-\sin ^{ 2 }{ A } ) }{ \sin { A } } .\frac { (1-\cos ^{ 2 }{ A } ) }{ \cos { A } } \\ =\frac { \cos ^{ 2 }{ A } }{ \sin { A } } .\frac { \sin ^{ 2 }{ A } }{ \cos { A } } [\because 1-\sin ^{ 2 }{ A } =\cos ^{ 2 }{ A } ,1-\cos ^{ 2 }{ A } =\sin ^{ 2 }{ A } ]\\ =\sin { A } \cos { A } \\ =\frac { \sin { A } \cos { A } }{ 1 } \\ =\frac { \sin { A } \cos { A } }{ \sin ^{ 2 }{ A } +\cos ^{ 2 }{ A } } \\ =\frac { 1 }{ \frac { \sin ^{ 2 }{ A } }{ \sin { A } \cos { A } } +\frac { \cos ^{ 2 }{ A } }{ \sin { A } \cos { A } } } \\ =\frac { 1 }{ \frac { \sin { A } }{ \cos { A } } +\frac { \cos { A } }{ \sin { A } } } \\ =\frac { 1 }{ \tan { A } +\cot { A } } =R.H.S[\because \frac { \sin { A } }{ \cos { A } } =\tan { A } ,\frac { \cos { A } }{ \sin { A } } =\cot { A } ]

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।
Example-18. यदि \sec { \theta } +\tan { \theta } =p हो तो सिद्ध करो कि

\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ { p }^{ 2 }+1 } =\sin { \theta }
Solution\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ { p }^{ 2 }+1 } =\sin { \theta } \\ L.H.S=\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ { p }^{ 2 }+1 } =\frac { { (\sec { \theta } +\tan { \theta } ) }^{ 2 }-1 }{ { (\sec { \theta } +\tan { \theta } ) }^{ 2 }+1 } [\because P=\sec { \theta } +\tan { \theta } ]\\ =\frac { \sec ^{ 2 }{ \theta } +\tan ^{ 2 }{ \theta } +2\sec { \theta } \tan { \theta } -1 }{ \sec ^{ 2 }{ \theta } +\tan ^{ 2 }{ \theta } +2\sec { \theta } \tan { \theta } +1 } \\ =\frac { (\sec ^{ 2 }{ \theta } -1)+\tan ^{ 2 }{ \theta } +2\sec { \theta } \tan { \theta } }{ \sec ^{ 2 }{ \theta } +(1+\tan ^{ 2 }{ \theta } )+2\sec { \theta } \tan { \theta } } \\ =\frac { \tan ^{ 2 }{ \theta } +\tan ^{ 2 }{ \theta } +2\sec { \theta } \tan { \theta } }{ \sec ^{ 2 }{ \theta } +\sec ^{ 2 }{ \theta } +2\sec { \theta } \tan { \theta } } [\because \sec ^{ 2 }{ \theta } -1=\tan ^{ 2 }{ \theta } ,1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } ]\\ =\frac { 2\tan ^{ 2 }{ \theta } +2\sec { \theta } \tan { \theta } }{ 2\sec ^{ 2 }{ \theta } +2\sec { \theta } \tan { \theta } } \\ =\frac { 2\tan { \theta } (\sec { \theta } +\tan { \theta } ) }{ 2\sec { \theta } (\sec { \theta } +\tan { \theta } ) } \\ =\frac { \tan { \theta } }{ \sec { \theta } } \\ =\frac { \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } }{ \frac { 1 }{ \cos { \theta } } } [\because \tan { \theta = } \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } ,\sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } ]\\ =\sin { \theta } =R.H.S
Example-19. यदि \frac { \cos { A } }{ \cos { B } } =m तथा \frac { \cos { A } }{ \sin { B } } =n हो तो सिद्ध कीजिए कि ({ m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 })\cos ^{ 2 }{ B } ={ n }^{ 2 }
Solution-({ m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 })\cos ^{ 2 }{ B } ={ n }^{ 2 }\\ L.H.S=({ m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 })\cos ^{ 2 }{ B } \\ =[{ (\frac { \cos { A } }{ \cos { B } } ) }^{ 2 }+{ (\frac { \cos { A } }{ \sin { B } } ) }^{ 2 }]\cos ^{ 2 }{ B } [\because \frac { \cos { A } }{ \cos { B } } =m,\frac { \cos { A } }{ \sin { B } } =n]\\ =\cos ^{ 2 }{ A } [\frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ B } } +\frac { 1 }{ \sin ^{ 2 }{ B } } ]\cos ^{ 2 }{ B } \\ =\cos ^{ 2 }{ A } [\frac { \cos ^{ 2 }{ B } +\sin ^{ 2 }{ B } }{ \cos ^{ 2 }{ B } \sin ^{ 2 }{ B } } ]\cos ^{ 2 }{ B } \\ =\frac { \cos ^{ 2 }{ A } }{ \sin ^{ 2 }{ B } } [\because \cos ^{ 2 }{ B } +\sin ^{ 2 }{ B } =1]\\ ={ (\frac { \cos { A } }{ \sin { B } } ) }^{ 2 }\\ ={ n }^{ 2 }[\because \frac { \cos { A } }{ \sin { B } } =n]\\ =R.H.S
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 की समस्याएं (Trigonometric Identities Class 10 Problems),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं की समस्याएं (Trigonometric Identities Problems)-

निम्न के मान ज्ञात कीजिए:
(1.) \angle \theta के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को के पदों में व्यक्त कीजिए।
निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए:

(2)\sec { \theta } (1-\sin { \theta } )(\sec { \theta } +\tan { \theta } )=1\\ (3){ cosec }^{ 2 }\theta +\sec ^{ 2 }{ \theta } ={ cosec }^{ 2 }\theta +\sec ^{ 2 }{ \theta } \\ (4)\frac { 1+\sin { \theta } }{ \cos { \theta } } +\frac { \cos { \theta } }{ 1+\sin { \theta } } =\sec { \theta } \\ (5)\cot { \theta } -\tan { \theta } =\frac { 1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } \\ (6)(\sec { \theta } -\cos { \theta } )(\cot { \theta } +\tan { \theta } )=\tan { \theta } \sec { \theta } \\ (7)\frac { \sin { \theta } }{ 1-\cos { \theta } } =\frac { 1+\cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \\ (8)\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos { \theta } +\tan { \theta } \sin { \theta } +\cos ^{ 3 }{ \theta } =\sec { \theta } \\ (9)\frac { \sin { \theta } +\cos { \theta } }{ \sin { \theta } -\cos { \theta } } +\frac { \sin { \theta } -\cos { \theta } }{ \sin { \theta } +\cos { \theta } } =\frac { 2 }{ 1-2\cos ^{ 2 }{ \theta } } =\frac { 2 }{ 2\sin ^{ 2 }{ \theta } -1 } \\ (10)\frac { \cos { A } }{ 1-\tan { A } } +\frac { \sin { A } }{ 1-\cot { A } } =\sin { A } +\cos { A } \\ (11)\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ 1-\tan { A } } +\frac { \sin ^{ 3 }{ \theta } }{ \sin { \theta } -\cos { \theta } } =1+\sin { \theta } \cos { \theta } \\ (12)\tan ^{ 2 }{ A } -\tan ^{ 2 }{ B } =\frac { \cos ^{ 2 }{ B } -\cos ^{ 2 }{ A } }{ \cos ^{ 2 }{ A } \cos ^{ 2 }{ B } } =\frac { \sin ^{ 2 }{ A } -\sin ^{ 2 }{ B } }{ \sin ^{ 2 }{ A } \sin ^{ 2 }{ B } }
उत्तर-(1)\sin { \theta } =\sqrt { \frac { \sec ^{ 2 }{ \theta } -1 }{ \sec { \theta } } } \\ \cos { \theta } =\frac { 1 }{ \sec { \theta } } \\ \tan { \theta } =\sqrt { \sec ^{ 2 }{ \theta } -1 } \\ \cot { \theta } =\frac { 1 }{ \sqrt { \sec ^{ 2 }{ \theta } -1 } } \\ cosec\theta =\frac { \sec { \theta } }{ \sqrt { \sec ^{ 2 }{ \theta } -1 } }
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities Class 10),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को ठीक से समझा जा सकता है।

4.कितनी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं हैं? (How many trigonometric identities are there?),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची (List of Trigonometric Identities)-

  • छह मूलभूत त्रिकोणमितीय अनुपात sine, cosine, tangent, cosecant, secant और cotangent हैं। इन सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को समकोण त्रिभुज की भुजाओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जैसे संलग्न भुजा (adjacent side), विपरीत भुजा (Opposite side), और कर्ण (Hypotenuse)।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं सूत्र (Trigonometric Identities formula)-

(1.)3 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं क्या हैं? (What are the 3 trigonometric identities?)-

\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =\\ 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta }
और 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } ={ cosec }^{ 2 }\theta

(2.)8 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं क्या हैं? (What are the 8 trigonometric identities?)-

\sin { \theta } =\frac { 1 }{ cosec\theta } \\ cosec\theta =\frac { 1 }{ \sin { \theta } } \\ \cos { \theta } =\frac { 1 }{ \sec { \theta } } \\ \sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } \\ \tan { \theta } =\frac { 1 }{ \cot { \theta } } \\ \cot { \theta } =\frac { 1 }{ \tan { \theta } } \\ tanθ=\frac { sinθ }{ cosθ } \\ cotθ=\frac { cosθ }{ sinθ }

(3.) 6 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं क्या हैं? (What are the 6 trigonometric identities?)-

\sin { \theta } =\frac { 1 }{ cosec\theta } \\ cosec\theta =\frac { 1 }{ \sin { \theta } } \\ \cos { \theta } =\frac { 1 }{ \sec { \theta } } \\ \sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } \\ \tan { \theta } =\frac { 1 }{ \cot { \theta } } \\ \cot { \theta } =\frac { 1 }{ \tan { \theta } }

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  1. best face mask January 6, 2021 / Reply

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