Imp Examples of Division Algorithm

Q: प्रश्न:1.द्विघात बहुपद के चर और अचर के गुणांकों और शून्यकों में क्या सम्बन्ध होता है? (What is the Relation Between the Coefficients of Variables and Constant and Zeroes of a Polynomial?):

उत्तर:यदि द्विघात बहुपद के शून्यक \alpha, \beta हैं तो शून्यकों का योग (\alpha+\beta)=-\frac{b}{a} तथा शून्यकों का गुणनफल \alpha \beta=\frac{c}{a}

Q: प्रश्न:2.किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों द्वारा बहुपद कैसे ज्ञात किया जा सकता है? (How Can a Polynomial Be Determined by Zeroes of a Quadratic Polynomial?):

उत्तर:यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक \alpha, \beta हैं तो इसे निम्न प्रकार ज्ञात किया जा सकता है: k\left[x^2-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta\right]

Mathematics Satyam February 7, 2024 10th Mathematics No Comments

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1 1.विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Examples of Division Algorithm),बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कक्षा 10 (Division Algorithm for Polynomials Class 10):

1.1 2.विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Division Algorithm):

1.2 3.विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Imp Examples of Division Algorithm):

1.2.1 4.विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Examples of Division Algorithm),बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कक्षा 10 (Division Algorithm for Polynomials Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.द्विघात बहुपद के चर और अचर के गुणांकों और शून्यकों में क्या सम्बन्ध होता है? (What is the Relation Between the Coefficients of Variables and Constant and Zeroes of a Polynomial?):

1.2.3 प्रश्न:2.किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों द्वारा बहुपद कैसे ज्ञात किया जा सकता है? (How Can a Polynomial Be Determined by Zeroes of a Quadratic Polynomial?):

1.2.4 प्रश्न:3.विभाजन एल्गोरिथ्म से क्या तात्पर्य है? (What is Meant by Division Algorithm?):

1.2.4.1 Imp Examples of Division Algorithm

2 विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Division Algorithm)

2.1 Imp Examples of Division Algorithm

1.विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Examples of Division Algorithm),बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कक्षा 10 (Division Algorithm for Polynomials Class 10):

Imp Examples of Division Algorithm

विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Division Algorithm) के इस आर्टिकल में बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म के द्वारा कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Division Algorithm):

Example:1.विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके f(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।
Example:1(i). $f(x)=3 x^3+x^2+2 x+5, g(x)=1+2 x+x^2$
Solution: $f(x)=3 x^3+x^2+2 x+5, g(x)=1+2 x+x^2 \\ \begin{array}{c|c} & 3x-5 \\ \cline{2-2} x^2+2x+1 & \\ & 3 x^3+x^2+2 x+5 \\ & 3 x^3+6 x^2+3 x \quad \quad \\ & - \quad - \quad - \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & -5 x^2-x+5 \quad \quad\\ & -5 x^2-10 x-5 \quad \quad \\ & +\quad +\quad + \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & 9 x+10 \end{array}$
भागफल=3x-5 और शेषफल=9x+10
Example:1(ii). $f(x)=x^3-6 x^2+11 x-6, g(x)=x+2$
Solution: $f(x)=x^3-6 x^2+11 x-6, g(x)=x+2 \\ \begin{array}{c|c} & x^2-8 x+27 \\ \cline{2-2} x+2 & \\ & x^3-6 x^2+11 x-6 \\ & x^3 + 2 x^2 \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad - \quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & -8 x^2+11 x-6 \quad \quad\\ & -8 x^2-16 x \quad \quad \quad \quad \\ & +\quad +\quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & 27 x-6 \\ & 27 x + 54 \\ & - \quad - \quad \quad \\ \cline{2-2} & -60 \end{array}$
भागफल= $x^2-8 x+27$ तथा शेषफल=-60
Example:1(iii). $f(x)=9 x^4-4 x^2+4, g(x)=3 x^2+x-1$
Solution: $f(x)=9 x^4-4 x^2+4, g(x)=3 x^2+x-1 \\ \begin{array}{c|c} & 3 x^2-x \\ \cline{2-2} 3 x^2+x-1 & \\ & 9 x^4-4 x^2+4 \\ & \quad \quad 9 x^4-3 x^2 \quad +3 x^3 \\ & \quad - \quad + \quad \quad \quad \quad - \quad \\ \cline{2-2} & -8 x^2+11 x-6 \quad \quad\\ & -8 x^2-16 x \quad \quad \quad \quad \\ & +\quad +\quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & -3 x^3-x^2+4 \\ & \quad \quad-3 x^3-x^2 \quad \quad +x \\ & \quad + \quad + \quad \quad \quad - \\ \cline{2-2} & -x+4 \end{array}$
भागफल= $3 x^2-x$ और शेषफल=-x+4
Example:2.निम्न बहुपदों के साथ उनके शून्यक दिये गये हैं,अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
Example:2(i). $f(x)=2 x^4-3 x^3-3 x^2+6 x-2 ; \sqrt{2}$ और $-\sqrt{2}$
Solutions: $f(x)=2 x^4-3 x^3-3 x^2+6 x-2 ; \sqrt{2}$ और $-\sqrt{2} \\ \sqrt{2}$ तथा $-\sqrt{2}$ दिए गए बहुपद के शून्यक हैं अतः

$x=\sqrt{2} \Rightarrow x-\sqrt{2}=0 \\ x=-\sqrt{2} \Rightarrow x+\sqrt{2}=0$
अतः $(x-\sqrt{2}) (x+\sqrt{2})$ दिए हुए बहुपद के गुणनखण्ड होंगे।फलतः $x^2-2$ से दिए हुए बहुपद में भाग देने पर:

$\begin{array}{c|c} & 2 x^2-3 x+1 \\ \cline{2-2} x^2-2 & \\ & 2 x^4-3 x^3-3 x^2+6 x-2 \\ & \quad \quad 2 x^4 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad-4 x^2\\ & \quad - \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \\ \cline{2-2} & -3 x^3+x^2+6 x-2 \quad \quad\\ & -3 x^3+6 x \quad \quad \quad \quad \\ & +\quad -\quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & x^2-2 \\ & \quad \quad x^2-2 \quad \quad \\ & \quad - \quad + \quad \\ \cline{2-2} & \times \end{array}$
अतः $2 x^2-3 x+1=2 x^2-2 x-x+1 \\ =2 x(x-1)-1(x-1) \\ =(x-1)(2 x-1) \\ x-1=0 \Rightarrow x=1 \\ 2 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
अतः बहुपद के शून्यक हैंः1 , $\frac{1}{2}$
Example:2(ii). $f(x)=x^3+13 x^2+32 x+20; -2$
Solution: $f(x)=x^3+13 x^2+32 x+20; -2$
चूँकि -2 दिए गए बहुपद का शून्यक है अतः x=-2 अर्थात् x+2 से दिए हुए बहुपद में भाग देने पर:

$\begin{array}{c|c} & x^2+11 x+10 \\ \cline{2-2} x+2 & \\ & x^3+13 x^2+32 x+20 \\ & \quad \quad x^3+2 x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad \quad + \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & 11 x^2+32 x+20 \quad \quad\\ & 11 x^2+22 x \quad \quad \quad \quad \\ & -\quad -\quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & 10 x+20 \\ & \quad \quad 10 x+20 \quad \quad \\ & \quad - \quad - \quad \\ \cline{2-2} & \times \end{array}$

अतः $x^2+11 x+10 \\ =x^2+10 x+x+10 \\ = x(x+10)+1(x+10) \\ = (x+1)(x+10) \\ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \\ x+10 =0 \Rightarrow x=-10$
अतः बहुपद के शून्यक हैंः-1,-10
Example:3.बहुपद $x^3+2 x^2-9 x+1$ में क्या जोड़ा जाए कि यह x+4 से पूर्णतः विभाजित हो जाए?
Solution: $\begin{array}{c|c} & x^2-2 x-1 \\ \cline{2-2} x+4 & \\ & x^3+2 x^2-9 x+1 \\ & \quad \quad x^3+4 x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad \quad - \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & -2 x^2-9 x+1 \quad \quad\\ & -2 x^2-8 x \quad \quad \quad \quad \\ & + \quad + \quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & -x+1 \\ & \quad \quad 10 -x-4 \quad \quad \\ & \quad + \quad + \quad \\ \cline{2-2} & 5 \end{array}$
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से
$f(x)=g(x) \times q(x)+r(x) \\ g(x)=x+4, q(x)=x^2-2 x-1 \\ f(x)=x^3+2 x^2-9 x+1, r(x)=5 \\ \Rightarrow \left(x^3+2 x^2-9 x+1\right)=(x+4)\left(x^2-2 x-1\right)+5 \\ \Rightarrow \left(x^3+2 x^2-9 x+1\right)-5=(x+4)\left(x^2-2 x-1\right)$
अतः f(x) में -5 जोड़ने पर यह x+4 से पूर्णतः विभाजित होगा।
Example:4.बहुपद $p(x)=2 x^4-2 x^3-7 x^2+3x+6$ के सभी शून्यक ज्ञात करें,यदि इसके दो शून्यक $x=-\sqrt{\frac{3}{2}}$ और $x=\sqrt{\frac{3}{2}}$ हैं।
Solution:चूँकि $x=-\sqrt{\frac{3}{2}}$ तथा $x=\sqrt{\frac{3}{2}}$ दिए हुए बहुपद के शून्यक हैं अतः

$x=-\sqrt{\frac{3}{2}} \Rightarrow \sqrt{2} x+\sqrt{3}=0 \\ x=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow \sqrt{2} x-\sqrt{3}=0$
अतः $(\sqrt{2}x+\sqrt{3})(\sqrt{2}x-\sqrt{3})$ दिए हुए बहुपद के गुणनखण्ड होंगे।फलतः $2x^2=3$ से दिए हुए बहुपद में भाग देने पर:

$\begin{array}{c|c} & x^2-x-2 \\ \cline{2-2} x+4 & \\ & 2 x^4-2 x^3-7 x^2+3 x+6 \\ & \quad 2 x^4 \quad \quad \quad -3x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad \quad \quad \quad \quad + \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & -2 x^3-4 x^2+3 x+6 \quad \quad\\ & -2 x^3 \quad \quad \quad +3 x \quad \quad \quad \quad \\ & + \quad \quad \quad \quad \quad - \quad \quad \\ \cline{2-2} & -4 x^2+6 \\ & \quad \quad -4 x^2+6\quad \quad \\ & \quad + \quad - \quad \\ \cline{2-2} & \times \end{array}$
अब $x^2-x-2=x^2-2 x+x-2 \\ =x(x-2)+1(x-2) \\ =(x+1)(x-2) \\ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \\ x-2=0 \Rightarrow x=2$
अतः बहुपद के अन्य शून्यक -1,2 हैं।

Imp Examples of Division Algorithm

Example:7.यदि $x^4+x^3+8 x^2+a x+b, x^2+1$ से पूर्णतः विभाजित होता है तो a और b का मान ज्ञात करें।
Solution: $\begin{array}{c|c} & x^2+x+7 \\ \cline{2-2} x^2+1 & \\ & x^4+x^3+8 x^2+a x+b \\ & \quad x^4 \quad \quad \quad +x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad \quad \quad \quad \quad - \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & x^3+7 x^2+a x+b\quad \quad\\ & x^3 \quad \quad \quad + x \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad \quad \quad \quad - \quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & 7 x^2+(a-1) x+b \\ & \quad 7 x^2 \quad \quad \quad \quad +7 \\ & \quad + \quad \quad \quad \quad \quad - \quad \\ \cline{2-2} & (a-1) x+b-7 \end{array}$
चूँकि दिया हुआ बहुपद,से पूर्णतः विभाजित होना चाहिए अतः शेषफल शून्य बचना चाहिए:
$(a-1) x+b-7=0 \\ \Rightarrow (a-1) x+b-7=0 \cdot x+0$
तुलना करने पर:
$a-1=0 \Rightarrow a=1 \\ \Rightarrow b-7=0 \Rightarrow b=7 \\ \Rightarrow a=1 ; b=7$
Example:8.यदि बहुपद $x^4+7 x^3+7 x^2+p x+q, x^2+7x+12$ से पूर्णतः विभाजित हो,तो p और q का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: $x^2+7x+12$ से दिए हुए बहुपद $x^4+7 x^3+7 x^2+p x+q$ को विभाजित करने पर:

$\begin{array}{c|c} & x^2-5 \\ \cline{2-2} x^2+7x+12 & \\ & x^4+7 x^3+7 x^2+p x+q \\ & \quad x^4+7 x^3+12 x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad \quad-\quad \quad \quad - \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & -5 x^2+p x+q \quad \quad\\ & -5 x^2-35 x-60\quad \quad \quad \quad \\ & + \quad \quad + \quad \quad + \quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & (p+35) x+q+60 \end{array}$
पूर्णतः विभाजित करने पर शेषफल शून्य बचना चाहिए अतः
(p+35)+q+60=0
$\Rightarrow$ (p+35)+q+60=0.x+0
तुलना करने पर:
p+35=0 $\Rightarrow$ p=-35
q+60=0 $\Rightarrow$ q=-60
Example:9. $x^3-6 x^2+11 x-6$ से भाग दीजिए और विभाजन एल्गोरिथ्म की सत्यता की जाँच कीजिए।
Solution:माना $f(x)=x^3-6 x^2+11 x-6 \\ g(x)=x-2 \\ \begin{array}{c|c} & x^2-4 x+3 \\ \cline{2-2} x-2 & \\ & x^3-6 x^2+11 x-6 \\ & \quad x^3-2 x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \\ & - \quad \quad + \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & -4 x^2+11 x-6 \quad \quad\\ & -4 x^2+8 x \quad \quad \quad \quad \\ & + \quad \quad - \quad \quad \quad \quad \quad \\ \cline{2-2} & 3 x-6 \\ & 3 x-6 \\ \cline{2-2} & \times \end{array}$
भाजक×भागफल+शेषफल

= $(x-2)\left(x^2-4 x+3\right) \\ =x^3-4 x^2+3 x-2 x^2+8 x-6 \\ =x^3-6 x^2+11x-6$
=भाज्य
अतः विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित हो गया।

3.विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Imp Examples of Division Algorithm):

Imp Examples of Division Algorithm

विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके f(x) में g(x) का भाग दीजिए।

(1.) $f(x)=x^3-2 x^2-5 x+6, g(x)=(x-1)$
(2.) $f(x)=x^3-7x+6, g(x)=(x+3)$
उत्तर (Answers):(1.)भागफल= $x^2-x-6$ (2.)भागफल= $x^2-3 x+2$

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4.विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Examples of Division Algorithm),बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कक्षा 10 (Division Algorithm for Polynomials Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.द्विघात बहुपद के चर और अचर के गुणांकों और शून्यकों में क्या सम्बन्ध होता है? (What is the Relation Between the Coefficients of Variables and Constant and Zeroes of a Polynomial?):

उत्तर:यदि द्विघात बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ हैं तो
शून्यकों का योग $(\alpha+\beta)=-\frac{b}{a}$
तथा शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta=\frac{c}{a}$

प्रश्न:2.किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों द्वारा बहुपद कैसे ज्ञात किया जा सकता है? (How Can a Polynomial Be Determined by Zeroes of a Quadratic Polynomial?):

उत्तर:यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ हैं तो इसे निम्न प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:
$k\left[x^2-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta\right]$

प्रश्न:3.विभाजन एल्गोरिथ्म से क्या तात्पर्य है? (What is Meant by Division Algorithm?):

उत्तर:विभाजन एल्गोरिथ्म (कलन विधि) के अनुसार यदि f(x) और g(x) कोई बहुपद हैं तो हम बहुपद q(x) और r(x) ऐसे प्राप्त करते हैं कि
f(x)=q(x)×g(x)+r(x) जहाँ r(x)=0 व r(x) की घात<g(x) की घात
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Division Algorithm),बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कक्षा 10 (Division Algorithm for Polynomials Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Imp Examples of Division Algorithm

विभाजन एल्गोरिथ्म के महत्त्वपूर्ण उदाहरण
(Imp Examples of Division Algorithm)

Imp Examples of Division Algorithm

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Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.