1.निर्देशांक ज्यामिति में दूरी ज्ञात करना (Find Distance in Coordinate Geometry),निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी कैसे ज्ञात करें? (How to Find Distance Between Two Points in Coordinate Geometry?):

Find Distance in Coordinate Geometry

निर्देशांक ज्यामिति में दूरी ज्ञात करने (Find Distance in Coordinate Geometry) के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हैं।
दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points):
माना XOX’ और YOY’ निर्देशांक अक्ष हैं और समतल में स्थित दो बिन्दु P\left(x_{1}, y_{1}\right) और Q\left(x_{2}, y_{2}\right) हैं जिनके बीच की दूरी ज्ञात करनी है।बिन्दु P और Q से x-अक्ष पर लम्ब क्रमशः PM और QN डालते हैं और P से QN पर लम्ब PR डाला।अतः
OP=P का भुज=x_{1}
इसी प्रकार ON=x_{2}, PM=y_{1}
और QN=y_{2}
अतः चित्रानुसार 

PR=MN=ON-OM=x_{2}-x_{1}
और QR=QN-RN=QN-PM=y_{2}-y_{1}
अतः समकोण त्रिभुज PRQ में बौधायन सूत्र से:

PQ^{2}=P R^{2}+Q R^{2}
या PQ^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2} \\ \therefore P Q=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ =\sqrt{(x-\text {निर्देशांको का अन्तर })^{2}+(y-\text {निर्देशांको का अन्तर })^{2}}
जो कि दो बिन्दुओं के बीच की दूरी का सूत्र है।
विशेष स्थिति:मूलबिन्दु O(0,0) से किसी बिन्दु P(x, y) की दूरी

OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
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2.निर्देशांक ज्यामिति में दूरी ज्ञात करने के साधित उदाहरण (Find Distance in Coordinate Geometry Solved Examples):

Example:1.बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:
(i) (2,3),(4,1)
Solution:P(2,3),Q(4,1)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी
PQ=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2} -y_{1}\right)^{2}} \\ PQ=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ =\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}} \\ =\sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}} \\ =\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ PQ=2 \sqrt{2}
(ii) (a,b),(-a,-b)
Solution:P(a,b),Q(-a,-b)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

P Q=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ =\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}} \\ =\sqrt{(-2 a)^{2}+(-2 b)^{2}} \\=\sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}} \\ =\sqrt{4\left(a^{2}+b^{2}\right)} \\ PQ=2 \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)}
Example:2.बिन्दुओं (0,0) और (36,15) के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।क्या आप अनुच्छेद 7.2 में दिए गए दोनों शहरों A और B के बीच दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
Solution:माना A(0,0),B(36,15)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

P Q=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ =\sqrt{(36-0)^{2}+(15-0)^{2}} \\ = \sqrt{1296+225} \\ = \sqrt{1521} \\ =39
दो शहरों के बीच दूरी=39km
Example:3.निर्धारित कीजिये कि क्या बिन्दु (1,5), (2,3) और (-2,-11) संरेखी हैं।
Solution:माना A(1,5),B(2,3),C(-2,-11)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

P Q=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ A B =\sqrt{(2-1)^{2}+(3-5)^{2}} \\ =\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}} \\ =\sqrt{1+4} \\ \Rightarrow AB =\sqrt{5} \\ BC=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-11-3)^{2}} \\ =\sqrt{(-4)^{2}+(-14)^{2}} \\ =\sqrt{16+196} \\ =\sqrt{212} \\ BC=2 \sqrt{53} \\ AC=\sqrt{(-2-1)^{2}+(-11-5)^{2}} \\ =\sqrt{(-3)^{2}+(-16)^{2}} \\ =\sqrt{9+256} \\ =\sqrt{265} \\ AB+BC \neq A C
अर्थात् दो दूरीयों का योगफल तीसरी दूरी के बराबर नहीं है।अतः दिए गए बिन्दु संरेखी नहीं है।
Example:4.जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5,-2),(6,4) और (7,-2) एक समद्विबाहु के शीर्ष हैं।
Solution:माना A(5,-2),B(6,4),C(7,-2)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

P Q=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ A B =\sqrt{(6-5)^{2}+(4-(-2))^{2}} \\ =\sqrt{(1)^{2}+(4+2)^{2}} \\ =\sqrt{1+36} \\ \Rightarrow AB =\sqrt{37} \\ BC =\sqrt{(7-6)^{2}+(-2-4)^{2}} \\ =\sqrt{(1)^{2}+(-6)^{2}} \\ =\sqrt{1+36} \\ \Rightarrow B C =\sqrt{37} \\ AC =\sqrt{(7-5)^{2}+(-2-(-2))^{2}} \\ =\sqrt{(2)^{2} +(-2+2)^{2}} \\ =\sqrt{4+0} \\ \Rightarrow AC=\sqrt{4}=2 \\ AB=BC=\sqrt{37}
अतः दिए गए बिन्दु समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Example:5.किसी कक्षा में चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं,जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है।चंपा और चमेली कक्षा के अन्दर आती है और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है? दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही है।
Solution:A(3,4),B(6,7),C(9,4) और D(6,1) हैं।
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

P Q=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(7-4)^{2}} \\ =\sqrt{(3)^{2}+(3)^{2}} \\ =\sqrt{9+9}=\sqrt{18} \\ \Rightarrow A B=3 \sqrt{2} \\ BC =\sqrt{(9-6)^{2}+(4-7)^{2}} \\ =\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}} \\ =\sqrt{9+9} \\ =\sqrt{18} \\ \Rightarrow B C =3 \sqrt{2} \\ CD= \sqrt{(6-3)^{2}+(1-4)^{2}} \\ =\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}} \\ =\sqrt{9+9} \\ = \sqrt{18} \\ \Rightarrow C D =3 \sqrt{2} \\ DA =\sqrt{(6-3)^{2}+4(1-4)^{2}} \\ =\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}} \\ =\sqrt{9+9}=\sqrt{18} \\ \Rightarrow DA=3 \sqrt{2} \\ AC=\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}} \\ =\sqrt{(6)^{2}+0^{2}} \\ \Rightarrow A C =6 \\ BD=\sqrt{(6-6)^{2}+(1-7)^{2}} \\ =\sqrt{0^{2}+(-6)^{2}} \\ =\sqrt{36} \\ \Rightarrow BD=6
उपर्युक्त दूरीयों से स्पष्ट है कि
AB=BC=CD=DA=3 \sqrt{2} मात्रक
AC=BD=6 मात्रक
अतः चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है तथा चंपा सही कहती है।

Find Distance in Coordinate Geometry

Example:6.निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए और अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:
(i)(-1,-2),(1,0),(-1,2),(-3,0)
Solution:माना A(-1,-2),B(1,0),C(-1,2), D(-3,0)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

PQ=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ AB=\sqrt{(1-(-1))^{2}+(0-(-2))^{2}} \\ =\sqrt{(1+1)^{2}+(2)^{2}} \\ =\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ BC=\sqrt{(-1-1)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{(-2)^{2}+(2)^{2}} \\ =\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\ \Rightarrow B C =2 \sqrt{2} \\ CD=\sqrt{(-3-(-1))^{2}+(0-2)^{2}} \\ =\sqrt{(-3+1)^{2}+(-2)^{2}} \\ =\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}} \\ =\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ \Rightarrow CD=2 \sqrt{2} \\ DA=\sqrt{(-1-(-3))^{2}+(-2-0)^{2}} \\ =\sqrt{(-1+3)^{2}+(-2)^{2}} \\ =\sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+4} \\ \Rightarrow DA =\sqrt{8} \\ \Rightarrow DA=2 \sqrt{2} \\ AC=\sqrt{(-1-(-1))^{2}+(2-(-2))^{2}} \\ =\sqrt{(-1+1)^{2}+(2+2)^{2}} \\ =\sqrt{0+4^{2}} \\ \Rightarrow AC=4 \\ BD=\sqrt{(-3-1)^{2}+(0-0)^{2}} \\ =\sqrt{(-4)^{2}+0}=\sqrt{16} \\ \Rightarrow BD=4
अतः दूरीयों से स्पष्ट है कि

AB=BC=CD=DA=2 \sqrt{2}
AC=BD=4 मात्रक
दिया गया चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।
(ii)(-3,5),(3,1),(0,3),(-1,-4)
Solution:माना A(-3,5),B(3,1),C(0,3), D(-1,-4)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

PQ=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ AB= \sqrt{(3-(-3))^{2}+(1-5)^{2}} \\ = \sqrt{(3+3)^{2}+(-4)^{2}} \\=\sqrt{6^{2}+(-4)^{2}} \\ = \sqrt{36+16} \\ = \sqrt{52} \\ \Rightarrow A B =2 \sqrt{13} \\ BC=\sqrt{(0-3)^{2}+(3-1)^{2}} \\ = \sqrt{(-3)^{2}+(2)^{2}} \\ = \sqrt{9+4} \\ = \sqrt{13} \\ \Rightarrow B C =\sqrt{13} \\ AC=\sqrt{(0-(-3))^{2}+(3-5)^{2}} \\ =\sqrt{(3)^{2}+(-2)^{2}} \\ =\sqrt{9+4} \\ =\sqrt{13}
AB=AC+BC=2 \sqrt{13} मात्रक
अतः A, B, C संरेखी है फलतः A, B, C, D बिन्दु कोई चतुर्भुज नहीं बनाते हैं।
(iii) (4,5),(7,6),(4,3),(1,2)
Solution:माना A(4,5),B(7,6),C(4,3), D(1,2)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

PQ=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ A B =\sqrt{(7-4)^{2}+(6-5)^{2}} \\ =\sqrt{3^{2}+(1)^{2}} \\ =\sqrt{9+1} \\ \Rightarrow A B =\sqrt{10} \\ BC =\sqrt{(4-7)^{2}+(3-6)^{2}} \\ =\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}} \\ =\sqrt{9+9} \\ =\sqrt{18} \\ \Rightarrow B C=3 \sqrt{2} \\ C D =\sqrt{(1-4)^{2}+(2-3)^{2}} \\ =\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}} \\ =\sqrt{9+1} \\ \Rightarrow C D =\sqrt{10} \\ D A =\sqrt{(4-1)^{2}+(5-2)^{2}} \\ =\sqrt{3^{2}+3^{2}} \\ =\sqrt{9+9}=\sqrt{18} \\ \Rightarrow D A =3 \sqrt{2} \\ A C=\sqrt{(4-4)^{2}+(3-5)^{2}} \\ =\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}} \\ =\sqrt{4} \\ \Rightarrow AC=2 \\ B D =\sqrt{(1-7)^{2}+(2-6)^{2}} \\ =\sqrt{(-6)^{2}+(-4)^{2}} \\ =\sqrt{36+16}=\sqrt{52} \\ \Rightarrow BD=2 \sqrt{13}
अतः दूरीयों से स्पष्ट है कि
AB=CD=\sqrt{10} मात्रक
BC=DA=3 \sqrt{2} मात्रक

\Rightarrow AC \neq BD
अतः A, B, C, D बिन्दुओं से बना चतुर्भुज समान्तर चतुर्भुज है क्योंकि सम्मुख भुजाएँ समान है।
Example:7.x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2,-5) और (-2,9) से समदूरस्थ है।
Solution:माना x-अक्ष पर बिन्दु (x,0) है।
माना A(x,0),B(2,-5),C(-2,9)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी PQ=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ A B =\sqrt{(x-2)^{2}+(0-(-5))^{2}} \\ =\sqrt{x^{2}-4 x+4+25} \\ \Rightarrow A B =\sqrt{x^{2}-4 x+29} \\ AC=\sqrt{(x-(-2))^{2}+(0-9)^{2}} \\ =\sqrt{(x+2)^{2}+(-9)^{2}} \\ =\sqrt{x^{2}+4 x+4+81}\\  \Rightarrow A C =\sqrt{x^{2}+4 x+85}
प्रश्नानुसार:
AB=AC

\sqrt{x^{2}-4 x+29}=\sqrt{x^{2}+4 x+85}
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

x^{2}-4 x+29=x^{2}+4 x+85 \\ \Rightarrow-4 x-4 x=85-29 \\ \Rightarrow-8 x=56 \\ \Rightarrow x=-\frac{56}{8} \\ \Rightarrow x=-7
अतः x-अक्ष पर बिन्दु के निर्देशांक (-7,0)
Example:8.y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु P(2,-3) और Q(10,y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
Solution:दो बिन्दुओं के बीच दूरी

P Q=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ \Rightarrow P Q=\sqrt{(10-2)^{2}+\left(y-(-3)\right)^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt{(8)^{2}+(y+3)^{2}}=10 \\ \Rightarrow 8^{2}+(y+3)^{2}=10^{2} \\ \Rightarrow (y+3)^{2}=100-64 \\ \Rightarrow (y+3)^{2}=36 \\ \Rightarrow y+3=\pm \sqrt{36} \\ \Rightarrow y+3=\pm 6
धनात्मक चिन्ह लेने पर:

y+3=+6 \Rightarrow y=6-3=3
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

y+3=-6 \Rightarrow y=6-3=-9
अतः Q के निर्देशांक (10,3),(10,-9)
Example:9.यदि Q(0,1) बिन्दुओं P(5,-3) और R(x,6) से समदूरस्थ है तो x के मान ज्ञात कीजिए।
Solution:दो बिन्दुओं के बीच दूरी

P Q=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ PQ=\sqrt{(5-0)^{2}+(-3-1)^{2}} \\ =\sqrt{25+16}=\sqrt{41} \\ QR =\sqrt{(x-0)^{2}+(6-1)^{2}} \\ =\sqrt{x^{2}+5^{2}}=\sqrt{x^{2}+25}
प्रश्नानुसार:
QR=PQ

\Rightarrow \sqrt{x^{2}+25}=\sqrt{41}
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

x^{2}+25=41 \Rightarrow x^{2}=41-25\\ \Rightarrow x^{2}=16 \Rightarrow x=\pm \sqrt{16} \Rightarrow x=\pm 4
जब x=4 तो R(4,6)

QR=\sqrt{(4-0)^{2}+(6-1)^{2}}\\ =\sqrt{16+5^{2}}=\sqrt{16+25}\\ \Rightarrow Q R=\sqrt{41}\\ PR=\sqrt{(4-5)^{2}+(6-(-3))^{2}} \\ =\sqrt{(-1)^{2}+(6+3)^{2}} \\ =\sqrt{1+81} \\ \Rightarrow P R=\sqrt{82}
जब x=-4 तो R(-4,6)

QR=\sqrt{(-4-0)^{2}+(6-1)^{2}} \\ =\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\\ PR=\sqrt{(-4-5)^{2}+(6-(-3))^{2}}\\ =\sqrt{(-9)^{2}+(6+3)^{2}} \\ =\sqrt{81+81} \\ =\sqrt{162} \\ \Rightarrow PR=9 \sqrt{2}
Example:10.x और y में ऐसा सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x,y) बिन्दुओं (3,6) और (-3,4) से समदूरस्थ हो।
Solution:माना बिन्दु A(x,y) बिन्दुओं B(3,6),C(-3,4) से समदूरस्थ है।

AB=AC \\ \Rightarrow A B^{2}=A C^{2} \\ \Rightarrow(x-3)^{2}+(y-6)^{2}=[x-(-3)]^{2}+(y-4)^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-6 x+9+y^{2}-12 y+36=\left(x+3\right)^{2}+y^{2}-8 y+16 \\ \Rightarrow x^{2}-6 x+29-12 y+8 y=x^{2}+6 x+9 \\ \Rightarrow-6 x-6 x-12 y+8 y+29-9=0 \\ \Rightarrow-12 x-4 y+20=0 \\ \Rightarrow-12 x-4 y+20=0 \\ \Rightarrow 12 x+4 y=20 \\ \Rightarrow 3 x+y=5
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा निर्देशांक ज्यामिति में दूरी ज्ञात करना (Find Distance in Coordinate Geometry),निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी कैसे ज्ञात करें? (How to Find Distance Between Two Points in Coordinate Geometry?) को समझ सकते हैं।

3.निर्देशांक ज्यामिति में दूरी ज्ञात करने की समस्याएँ (Find Distance in Coordinate Geometry Problems):

Find Distance in Coordinate Geometry

(1.)यदि बिन्दु (x,y) बिन्दुओं (a+b,a-b) और (a-b,a+b) से बराबर दूरी पर स्थित हो तो सिद्ध कीजिए कि bx=ay.
(2.)y-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (-5,-2) और (3,2) से समान दूरी पर स्थित है।
(3.)यदि बिन्दुओं (3,k) और (k,5) से बिन्दु (0,2) की दूरीयाँ बराबर हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(2.)(0,-2) (3.)1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर निर्देशांक ज्यामिति में दूरी ज्ञात करना (Find Distance in Coordinate Geometry),निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी कैसे ज्ञात करें? (How to Find Distance Between Two Points in Coordinate Geometry?) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.निर्देशांक ज्यामिति में दूरी ज्ञात करना (Find Distance in Coordinate Geometry),निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी कैसे ज्ञात करें? (How to Find Distance Between Two Points in Coordinate Geometry?) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

निर्देशांक ज्यामिति में दूरी ज्ञात करने (Find Distance in Coordinate Geometry) के लिए
पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हैं।