Method of Completing Square Class 10
1.पूर्ण वर्ग बनाने की विधि कक्षा 10 (Method of Completing Square Class 10),द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल (Solution of a Quadratic Equation by Completing Square):
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि कक्षा 10 (Method of Completing Square Class 10) द्वारा द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात करेंगे।इससे पूर्व आर्टिकल में हमने गुणनखण्ड विधि द्वारा द्विघात समीकरण का मूल ज्ञात करना सीखा है।
यदि समीकरण x^{2}+4 x-5=0 को हल करने के लिए कहा जाए तो हम इसे गुणनखण्ड विधि का प्रयोग करके हल ज्ञात करतें हैं जब तक हमें पूर्ण वर्ग विधि ज्ञात न हों। x^{2}+4 x-5=(x+2)^{2}-9 के तुल्य है।अतः x^{2}+4 x-5=0 को हल करने के लिए (x+2)^{2}-9=0 के रूप में परिवर्तित करके बहुत शीघ्र हल ज्ञात कर सकते हैं।वास्तव में हम किसी भी द्विघात समीकरण को (x+a)^{2}-b^{2}=0 की तरह बना सकते हैं और फिर इसके मूल आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।
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2.पूर्ण वर्ग बनाने की विधि कक्षा 10 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Method of Completing Square Class 10):
Example:1.यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
(i)2 x^{2}-7 x+3=0
Solution:2 x^{2}-7 x+3=0
प्रत्येक पद को 2 से विभाजित करने पर:
\Rightarrow x^{2}-\frac{7 x}{2} x+\frac{3}{2}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-\frac{7 x}{2}=-\frac{3}{2}
दोनों पक्षों को x के गुणांक \frac{7}{2} का आधा अर्थात् \frac{7}{4} का वर्ग करके जोड़ने पर:
\Rightarrow x^{2}-\frac{7 x}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{-27+49}{16} \\ \Rightarrow \left ( x-\frac{7}{4} \right )^{2}=\frac{25}{16}
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\Rightarrow x-\frac{7}{4}=\pm \sqrt{\frac{25}{16}} \\ \Rightarrow x-\frac{7}{4}=\pm \frac{5}{4}
धनात्मक चिन्ह लेने पर:
\Rightarrow x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{7}{4}+\frac{5}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{12}{4} \\ \Rightarrow x=3
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:
x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{7}{4}-\frac{5}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{2}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2}, 3
(ii) 2 x^{2}+x-4=0
Solution: 2 x^{2}+x-4=0
प्रत्येक पद को 2 से विभाजित करने पर:
\Rightarrow x^{2}+\frac{x}{2} -2=0 \\ \Rightarrow x^{2}+\frac{x}{2}=2
दोनों पक्षों को x के गुणांक \frac{1}{2} का आधा \frac{1}{4} का वर्ग करके जोड़ने पर:
\Rightarrow x^{2}+\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{2}{1}+\frac{1}{16} \\ \Rightarrow\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}= \frac{32+1}{16} \\ \Rightarrow\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{33}{16}
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\Rightarrow x+\frac{1}{4}=\pm \sqrt{\frac{33}{16}} \\ \Rightarrow x+\frac{1}{4}=\pm \frac{\sqrt{33}}{4} \\ \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{33}-1}{4}
(iii) 4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0
Solution: 4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0
प्रत्येक पद को 4 से विभाजित करने पर:
\Rightarrow x^{2}+\sqrt{3} x+\frac{3}{4}=0 \\ \Rightarrow x^{2}+\sqrt{3} x=-\frac{3}{4}
दोनों पक्षों को x के गुणांक \sqrt{3} का आधा \frac{\sqrt{3}}{2} का वर्ग करके जोड़ने पर:
\Rightarrow x^{2}+\sqrt{3} x+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\frac{3}{4} \\ \Rightarrow \left(x+ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=0 \\ x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0, x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \\ \Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}
(iv)2 x^{2}+x+4=0
Solution:2 x^{2}+x+4=0
प्रत्येक पद को 2 से विभाजित करने पर:
x^{2}+\frac{x}{2}+2=0
दोनों पक्षों को x के गुणांक \frac{1}{2} का आधा \frac{1}{4} का वर्ग करके जोड़ने पर:
\Rightarrow x^{2}+\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{2}{1}+\frac{1}{16} \\ \Rightarrow\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{-32+1}{16} \\ \Rightarrow\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\Rightarrow x+\frac{1}{4}=\pm \sqrt{\frac{-31}{16}} \\ \Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{-31}}{4}
जो कि काल्पनिक संख्या है।अतः दिए गए समीकरण के वास्तविक मूल विद्यमान नहीं है।
Example:2.निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i)x-\frac{1}{x}=3, x \neq 0
Solution:x-\frac{1}{x}=3 \\ \Rightarrow \frac{x^{2}-1}{x}=3 \\ \Rightarrow x^{2}-1=3 x \\ \Rightarrow x^{2}-3 x=1
दोनों पक्षों को x के गुणांक 3 का आधा \frac{3}{2} का वर्ग करके जोड़ने पर:
\Rightarrow x^{2}-3 x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=1+\left(\frac{3}{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{1}+\frac{9}{4} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{4+9}{4} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\Rightarrow x-\frac{3}{2}=\pm \sqrt{\frac{13}{4}} \\ \Rightarrow x=\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}
(ii) \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}, x \neq -4,7
Solution:\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{x-7-x-4}{x^{2}-7 x+4 x-28}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{-11}{ x^{2}-3 x-28}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{-1}{x^{2}-3 x-28}=\frac{1}{30} \\ \Rightarrow x^{2}-3 x-28=-30 \\ \Rightarrow x^{2}-3 x=28-30 \\ \Rightarrow x^{2}-3 x=-2
दोनों पक्षों को x के गुणांक 3 का आधा \frac{3}{2} का वर्ग करके जोड़ने पर:
\Rightarrow x^{2}-3 x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{2}{1}+\frac{9}{4} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{-8}{4} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
x-\frac{3}{2}=\pm \sqrt{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow x=\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}
धनात्मक चिन्ह लेने पर:
\Rightarrow x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\\ \Rightarrow x=\frac{4}{2}=2
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:
\Rightarrow x=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{2}{2} \\ \Rightarrow x=1 \\ \Rightarrow x=1,2
Example:3.3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग है।उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Solution:माना रहमान की वर्तमान आयु=x
रहमान की 3 वर्ष पूर्व आयु=x-3
रहमान की अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु=x+5
प्रश्नानुसार: \frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{2 x+2}{x^{2}+5 x-3 x-15}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow 6 x+6=x^{2}+2 x-15 \\ \Rightarrow x^{2}+2 x-6 x=6+15 \\ \Rightarrow x^{2}-4 x=21
दोनों पक्षों में x के गुणांक 4 का आधा 2 का वर्ग जोड़ने पर:
\Rightarrow x^{2}-4 x+(2)^{2}=21+(2)^{2} \\ \Rightarrow\left(x-2\right)^{2}=21+4 \\ \Rightarrow(x-2)^{2}=25
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेनेवाले पर:
\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{25} \\ \Rightarrow x-2=\pm 5
धनात्मक चिन्ह लेने पर:
\Rightarrow x-2=5 \\ \Rightarrow x=5+2 \\ \Rightarrow x=7
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:
\Rightarrow x-2=-5 \\ \Rightarrow x=-5+2 \\ \Rightarrow x=-3(आयु ऋणात्मक नहीं होती है अतः यह असम्भव है।)
Example:4.एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है।यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता।उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए गए अंक ज्ञात कीजिए।
Solution:माना क्लास टेस्ट में गणित में प्राप्तांक= x
क्लास टेस्ट में अंग्रेजी में प्राप्तांक= 30-x
गणित में 2 अंक अधिक होने पर प्राप्तांक =x+2
अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलने पर प्राप्तांक= 30-x-3=27-x
प्रश्नानुसार:(x+2)(27-x)=210 \\ \Rightarrow 27 x-x^{2}+54-2 x=210 \\ \Rightarrow-x^{2}+25 x=210-54 \\ \Rightarrow-\left(x^{2}-25 x\right)=156 \\ \Rightarrow x^{2}-25 x=-156
दोनों पक्षों में x के गुणांक 25 का आधा \frac{25}{2} का वर्ग जोड़ने पर:
\Rightarrow x^{2}-25 x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-156+\left(\frac{25}{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow \left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{-156}{1}+\frac{625}{4} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}= \frac{-624+625}{4} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\Rightarrow x-\frac{25}{2}=\pm \sqrt{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow x=\frac{25}{2} \pm \frac{1}{2}
धनात्मक चिन्ह लेने पर:
\Rightarrow x=\frac{25}{2}+\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{26}{2} \\ \Rightarrow x=13
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:
x=\frac{25}{2}-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{25-1}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{24}{2} \\ \Rightarrow x=12
यदि x=13 तो 30-x=30-13=17
यदि x=12 तो 30-x=30-12=18
अतः शेफाली ने गणित व अंग्रेजी में क्रमशः 13 व 17 अथवा 12 व 18 अंक प्राप्त किए।
Example:5.एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लम्बा है।यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना छोटी भुजा= x
विकर्ण की लम्बाई=x+60
बड़ी भुजा की लम्बाई=x+30
आयताकार खेत की भुजाओं के मध्य 90° का कोण होता है।अतः समकोण त्रिभुज में बौधायन प्रमेय से:
(\text { छोटी भुजा })^{2}+(\text { बड़ी भुजा })^{2}=\text { विकर्ण }^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+(x+30)^{2}=(x+60)^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+x^{2}+60 x+900=x^{2}+120 x+3600 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+60 x-120 x=3600-900 \\ \Rightarrow x^{2}-60 x=2700 \\ \Rightarrow x^{2}-60 x=2700
दोनों पक्षों में x के गुणांक 60 का आधा 30 का वर्ग जोड़ने पर:
x^{2}-60 x+(30)^{2}=2700+(30)^{2} \\ \Rightarrow(x-30)^{2}=2700+900 \\ \Rightarrow(x-30)^{2}=3600
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\Rightarrow x-30=\pm \sqrt{3600} \\ \Rightarrow x=30 \pm 60
धनात्मक चिन्ह लेने पर:
x=30+60=90
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:
x=30-60=-30 (असम्भव है क्योंकि भुजाएँ ऋणात्मक नहीं होती है)
अतः छोटी भुजा x=90
बड़ी भुजा =x+30=90+30=120
विकर्ण=x+60=90+60=150
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा पूर्ण वर्ग बनाने की विधि कक्षा 10 (Method of Completing Square Class 10),द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल (Solution of a Quadratic Equation by Completing Square) को समझ सकते हैं।
3.पूर्ण वर्ग बनाने की विधि कक्षा 10 पर आधारित सवाल (Questions Based on Method of Completing Square Class 10):
निम्नलिखित समीकरणों को पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि से हल कीजिए:
\text { (1.) }-8 x^{2}+10 x=3 \\ \text { (2) } x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2} \\ \text { (3.) } \frac{4}{3} x^{2}-2 x+\frac{3}{4}=0 \\ \text { (4.) } x^{2}+50 x=102 x-15 x-x^{2}
उत्तर (Answers):\text { (1.) } x=\frac{3}{4}, \frac{1}{2} \\ \text { (2.) } x=2, \frac{1}{2} \\\text { (3.) } x=\frac{3}{4}, \frac{3}{4} \\ \text { (4.) } x=\frac{3}{2},-34
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर पूर्ण वर्ग बनाने की विधि कक्षा 10 (Method of Completing Square Class 10),द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल ) Solution of a Quadratic Equation by Completing Square) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.पूर्ण वर्ग बनाने की विधि कक्षा 10 (Method of Completing Square Class 10),द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल (Solution of a Quadratic Equation by Completing Square) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की क्रियाविधि लिखो। (Write down the Procedure for Solving a Quadratic Equation by Making it a Perfect Square):
उत्तर:(1.)इस विधि में सर्वप्रथम समीकरण के चर (x) युक्त सभी पदों को समीकरण के वाम पक्ष में स्थानान्तरित करते हैं तथा दक्षिण पक्ष में केवल अचर पद (x रहित पद) ही रखते हैं।
(2.)अब समीकरण के दोनों पक्षों को x^{2} का गुणांक यदि हो तो उससे प्रत्येक पद को विभाजित करते हैं।ताकि x^{2} का गुणांक 1 (इकाई) में परिवर्तित हो जाए।
(3.)अब समीकरण के वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने हेतु x के गुणांक के आधे का वर्ग करने से जो संख्या आती है,उसे समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ देते हैं।अर्थात् दोनों पक्षों में (\frac{ x \text{ का गुणांक }}{2} )^{2} जोड़ देते हैं।
(4.)अब समीकरण (x \pm a)^{2}=k^{2} के रूप में परिवर्तित हो जाती है।अतः अन्त में दोनों पक्षों के वर्गमूल लेने पर समीकरण x \pm a=\pm \sqrt{k^{2}} के रूप में परिवर्तित हो जाती है।इससे x के दोनों मूल एक बार धनात्मक चिन्ह लेकर और एक बार ऋणात्मक चिन्ह लेकर ज्ञात किए जा सकते हैं।
प्रश्न:2.द्विघात और द्विघातीय से क्या तात्पर्य है? (What is meant by quadratic and quadric?):
उत्तर:द्विघात का शाब्दिक अर्थ वर्ग (Square) है जबकि द्विघातीय शब्द का आशय ‘वर्ग के समान’ से है।अतः वह समीकरण जिसमें अज्ञात राशि (चर) की उच्चतम घात (Index) 2 हो द्विघात अथवा वर्ग समीकरण कहलाता है।
प्रश्न:3.द्विघात बहुपद के शून्यक और द्विघात समीकरण के मूल में क्या अन्तर है? (What is the difference between the zeroes of polynomial and roots of quadratic equation?):
उत्तर:एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक (Zeroes) कहलाती है यदि p(k)=0 है।
एक वास्तविक संख्या द्विघात समीकरण a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0 का एक मूल कहलाती है यदि a \alpha^{2}+b \alpha+c=0 हो।अर्थात् x=\alpha द्विघात समीकरण का एक हल है अथवा \alpha द्विघात समीकरण को सन्तुष्ट करता है।द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c के शून्यक और द्विघात समीकरण a x^{2}+b x+c=0 के मूल एक ही हैं।
एक द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c=0 के अधिक से अधिक दो शून्यक हो सकते हैं।इसी प्रकार किसी द्विघात समीकरण a x^{2}+b x+c=0 के अधिक से अधिक दो मूल हो सकते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा पूर्ण वर्ग बनाने की विधि कक्षा 10 (Method of Completing Square Class 10),द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल (Solution of a Quadratic Equation by Completing Square) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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पूर्ण वर्ग बनाने की विधि कक्षा 10
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पूर्ण वर्ग बनाने की विधि कक्षा 10 (Method of Completing Square Class 10) द्वारा
द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात करेंगे।इससे पूर्व आर्टिकल में हमने गुणनखण्ड विधि द्वारा
द्विघात समीकरण का मूल ज्ञात करना सीखा है।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
