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coordinates of centre of curvature

 

1.वक्रता केन्द्र के निर्देशांक का परिचय (Introduction to coordinates of centre of curvature)

वक्रता केन्द्र के निर्देशांक(coordinates of centre of curvature) को समझने के लिए वक्रता केन्द्र को समझना आवश्यक है।जब तक हमें किसी थ्योरी की बेसिक बातों की जानकारी नहीं होती है तब तक वह थ्योरी समझ में नहीं आती है।
वक्रता केन्द्र ( centre of curvature)-
(1.) किसी समतल वक्र के किसी बिन्दु से जाने वाले उस वृत्त का केन्द्र जिसकी त्रिज्या उस बिन्दु पर वक्र की वक्रता का व्युत्क्रम हो।
(2.)किसी पृष्ठ के किसी बिन्दु P के सन्दर्भ में,P और Q से खींचे गए पृष्ठ के अभिलम्बों का प्रतिच्छेद बिन्दु जहां बिन्दु Q बिन्दु P का सन्निकट बिन्दु है और सीमान्त स्थिति में उसकी प्रवृत्ति P से संपाती होने की है।
(3.)किसी वक्र के किसी बिन्दु P पर वक्रता केन्द्र वह बिन्दु कहलाता है जो कि P पर अभिलम्बों का प्रतिच्छेदक दिशा में उससे \rho दूरी पर होता है।
साधारण शब्दों में किसी वक्र के किसी बिन्दु P व Q पर खींचे गए अभिलम्बों का प्रतिच्छेद बिन्दु वक्रता केन्द्र होता है।

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2.वक्रता केन्द्र के निर्देशांक (Coordinates of Centre of curvature)-

माना कि वक्र का समीकरण y=f(x) है।इस वक्र पर कोई बिन्दु P(x,y) लीजिए।यह भी मान लो कि वक्रता केन्द्र C(x,y) है, इसलिए PC=\rho ,वक्रता त्रिज्या है।
साथ ही माना कि P पर स्पर्श रेखा की धन दिशा x-अक्ष के साथ\psi कोण बनाती है, इसलिए अभिलम्ब की धनात्मक दिशा x-अक्ष के साथ\left( \frac { \Pi }{ 2 } +\psi \right) कोण बनाएगी।
अब x-अक्ष पर लम्ब PL व CM तथा CM रेखा पर PN लम्ब खींचों।
चित्रानुसार
\bar { x } =OM=OL-ML\\ \quad \quad \quad =OL-PL\\ \quad \quad \quad =x-\rho \quad sin\psi ........(1)\\ \bar { y } =CM=MN+NC\\ \quad \quad \quad =PL+NC\\ \quad \quad \quad =y+\rho \quad cos\psi ........(2)

अब \rho,sin\psi ,cos\psi के मान (1) तथा (2) में प्रतिस्थापित करने पर 

\bar { x } =x-\frac { { \left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { y }_{ 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { \left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) } } \\ \bar { x } =x-{ y }_{ 1 }\left( \frac { { \left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) } }{ { y }_{ 2 } } \right) \\ \bar { y } =y+\frac { { \left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { y }_{ 2 }\sqrt { \left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) } } \\ \\ \bar { y } =y+\frac { { \left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { y }_{ 2 } }

उदाहरण -निम्न वक्रों के सम्मुख प्रदर्शित बिन्दुओं पर वक्रता केंद्रों को ज्ञात कीजिए 

{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }=3axy\quad ;\quad (\frac { 3a }{ 2 } ,\frac { 3a }{ 2 } )

solution:-{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }=3axy\\ { 3x }^{ 2 }+{ 3y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } -3ay+3ax\frac { dy }{ dx } \\ { 3y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } -3ax\frac { dy }{ dx } =3ay-{ 3x }^{ 2 }\\ 3\left( { y }^{ 2 }-ax \right) \frac { dy }{ dx } =\left( ay-{ x }^{ 2 } \right) \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { ay-{ x }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 }-ax } \\ { \left( \frac { dy }{ dx } \right) }_{ (\frac { 3a }{ 2 } ,\frac { 3a }{ 2 } ) }=\frac { a{ \left( \frac { 3a }{ 2 } \right) }-{ \left( \frac { 3a }{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( \frac { 3a }{ 2 } \right) }^{ 2 }-a\left( \frac { 3a }{ 2 } \right) } \\ { \left( \frac { dy }{ dx } \right) }_{ (\frac { 3a }{ 2 } ,\frac { 3a }{ 2 } ) }=\frac { \frac { { 3a }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { 9a }^{ 2 } }{ 4 } }{ \frac { { 9a }^{ 2 } }{ 4 } -\frac { { 3a }^{ 2 } }{ 2 } } \\ { \left( \frac { dy }{ dx } \right) }_{ (\frac { 3a }{ 2 } ,\frac { 3a }{ 2 } ) }=\frac { \frac { { 6a }^{ 2 }-{ 9a }^{ 2 } }{ 4 } }{ \frac { { 9a }^{ 2 }-{ 6a }^{ 2 } }{ 4 } } \\ { \left( \frac { dy }{ dx } \right) }_{ (\frac { 3a }{ 2 } ,\frac { 3a }{ 2 } ) }=\frac { { -3a }^{ 2 } }{ { 3a }^{ 2 } } \\ { { y }_{ 1 }=\left( \frac { dy }{ dx } \right) }_{ \left( \frac { 3a }{ 2 } ,\frac { 3a }{ 2 } \right) }=-1\\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) \left( a\frac { dy }{ dx } -2x \right) -\left( ay-{ x }^{ 2 } \right) \left( 2y\frac { dy }{ dx } -a \right) }{ { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }^{ 2 } }\\ { \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( \frac { 3a }{ 2 } ,\frac { 3a }{ 2 } \right) }=\frac { \left[ { \left( \frac { 3a }{ 2 } \right) }^{ 2 }-a{ \left( \frac { 3a }{ 2 } \right) } \right] \left[ a\left( -1 \right) -2\left( \frac { 3a }{ 2 } \right) \right] -\left[ a\left( \frac { 3a }{ 2 } \right) -{ \left( \frac { 3a }{ 2 } \right) }^{ 2 } \right] \left[ 2\left( \frac { 3a }{ 2 } \right) \left( -1 \right) -a \right] }{ { \left[ { \left( \frac { 3a }{ 2 } \right) }^{ 2 }-a{ \left( \frac { 3a }{ 2 } \right) } \right] }^{ 2 } }\\ { \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( \frac { 3a }{ 2 } ,\frac { 3a }{ 2 } \right) }=\frac { \left( \frac { { 9a }^{ 2 }-{ 6a }^{ 2 } }{ 4 } \right) \left( -4a \right) -\left( \frac { { 3a }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { 9a }^{ 2 } }{ 4 } \right) \left( 9a-a \right) }{ { \left[ \frac { { 9a }^{ 2 }-{ 6a }^{ 2 } }{ 4 } \right] }^{ 2 } } \\ { \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( \frac { 3a }{ 2 } ,\frac { 3a }{ 2 } \right) }=\frac { -12{ a }^{ 3 }-\left( \frac { { -3a }^{ 2 } }{ 4 } \right) \left( 8a \right) }{ { \left( \frac { { 3a }^{ 2 } }{ 4 } \right) }^{ 2 } } \\ { \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( \frac { 3a }{ 2 } ,\frac { 3a }{ 2 } \right) }=\frac { -12{ a }^{ 3 }+{ 6a }^{ 3 } }{ { \frac { { 9a }^{ 4 } }{ 16 } } } =\frac { { 6a }^{ 3 }\times 16 }{ { 9a }^{ 4 } } \\ { y }_{ 2 }=\frac { -32 }{ 3a } \\ \\

वक्रता केंद्र के निर्देशांक (coordinates of centre of curvature)-

\bar { x } =x-{ y }_{ 1 }\left( \frac { { \left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) } }{ { y }_{ 2 } } \right) \\ \bar { x } =\frac { 3a }{ 2 } ​-\frac { (-1)\left[ 1+{ (-1) }^{ 2 } \right] }{ \left( \frac { -32 }{ 3a } \right) } \\ \bar { x } =\frac { 3a }{ 2 } ​-2\times \frac { 3a }{ 32 } \\ \bar { x } =\frac { 3a }{ 2 } ​-\frac { 3a }{ 16 } \\ \bar { x } =\frac { 24a-3a }{ 16 } \\ \bar { x } =\frac { 21a }{ 16 } \\ \bar { y } =y+\frac { { \left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) } }{ { y }_{ 2 } } \\ \bar { y } =y+\frac { { \left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) } }{ { y }_{ 2 } } \\ \bar { y } =\frac { 3a }{ 2 } +\frac { { \left( 1+{ (-1) }^{ 2 } \right) } }{ \left( \frac { -32 }{ 3a } \right) } \\ \bar { y } =\frac { 3a }{ 2 } ​-2\times \frac { 3a }{ 32 } \\ \bar { y } =\frac { 3a }{ 2 } ​-\frac { 3a }{ 16 } \\ \bar { y } =\frac { 24a-3a }{ 16 } \\ \bar { y } =\frac { 21a }{ 16 } \\ \left( \bar { x } ,\bar { y } \right) =\left( \frac { 21a }{ 16 } ,\frac { 21a }{ 16 } \right)

(b)\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1

solution:-\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1\\ \frac { 2x }{ a^{ 2 } } -\frac { 2y }{ b^{ 2 } } \frac { dy }{ dx } =0\\ { y }_{ 1 }=\frac { dy }{ dx } =\frac { b^{ 2 }x }{ a^{ 2 }y } \\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { b^{ 2 } }{ a^{ 2 } } \left( \frac { y.1-x\frac { dy }{ dx } }{ { y }^{ 2 } } \right) .\\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { b^{ 2 } }{ a^{ 2 } } \left( \frac { y-x\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } }{ { y }^{ 2 } } \right) \\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { b^{ 2 } }{ a^{ 2 } } \left( \frac { a^{ 2 }{ y }^{ 2 }-b^{ 2 }x^{ 2 } }{ a^{ 2 }{ y }^{ 3 } } \right) \\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { b^{ 2 } }{ a^{ 4 }{ y }^{ 3 } } \left( -a^{ 2 }b^{ 2 } \right) \\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\frac { b^{ 4 } }{ a^{ 2 }{ y }^{ 3 } } \\

वक्रता केंद्र के निर्देशांक (coordinates of centre of curvature)-

\bar { x } =x-\frac { { { y }_{ 1 }\left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) } }{ { y }_{ 2 } } \\ \bar { x } =x-\frac { { b }^{ 2 }x }{ { a }^{ 2 }y } \frac { { \left( 1+{ \left( \frac { { d }^{ 2 }x }{ { a }^{ 2 }y } \right) }^{ 2 } \right) } }{ -\frac { b^{ 4 } }{ { a }^{ 2 }{ y }^{ 3 } } } \\ \bar { x } =x+\frac { b^{ 2 }x }{ { a }^{ 2 }y } \frac { { a }^{ 2 }{ y }^{ 3 } }{ b^{ 4 } } { \left( \frac { { a }^{ 4 }{ b }^{ 2 }+{ b }^{ 4 }{ x }^{ 2 } }{ { a }^{ 4 }{ y }^{ 2 } } \right) }\\ \bar { x } =x+\frac { x }{ { a }^{ 4 }{ b }^{ 2 } } { \left( { a }^{ 4 }{ y }^{ 2 }+{ b }^{ 4 }{ x }^{ 2 } \right) }\\

or\\ \bar { x } =x+\frac { x }{ { a }^{ 4 }{ b }^{ 2 } } { \left( { a }^{ 4 }{ y }^{ 2 }+{ b }^{ 4 }{ x }^{ 2 } \right) }\left[ { a }^{ 4 }\left( \frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -1 \right) { b }^{ 2 }+{ b }^{ 4 }{ x }^{ 2 } \right] \\ \bar { x } =x+\frac { x }{ { a }^{ 4 }{ b }^{ 2 } } { \left( { a }^{ 4 }{ y }^{ 2 }+{ b }^{ 4 }{ x }^{ 2 } \right) }\left[ { a^{ 2 }{ b }^{ 2 }{ x }^{ 2 }-{ a }^{ 4 } }{ b }^{ 2 }+{ b }^{ 4 }{ x }^{ 2 } \right] \\

or\bar { x } =x+\frac { x }{ { a }^{ 4 } } \left[ { a^{ 2 }{ x }^{ 2 }-{ a }^{ 4 } }+{ b }^{ 2 }{ x }^{ 2 } \right] \\ \bar { x } =\frac { \left[ { a }^{ 4 }x+{ a^{ 2 }{ x }^{ 3 }-{ a }^{ 4 }x }+{ b }^{ 2 }{ x }^{ 3 } \right] }{ { a }^{ 4 } } \\ \bar { x } =\frac { \left[ { a^{ 2 }+ }{ b }^{ 2 } \right] }{ { a }^{ 4 } } { x }^{ 3 }\\ \bar { y } =y+\frac { { \left( 1+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } \right) } }{ { y }_{ 2 } } \\ \bar { y } =y+\frac { \left[ 1+{ \left( \frac { { b }^{ 2 }x }{ { a }^{ 2 }y } \right) }^{ 2 } \right] }{ -\frac { b^{ 4 } }{ { a }^{ 2 }{ y }^{ 3 } } } \\ \bar { y } =y-\frac { { a }^{ 2 }{ y }^{ 3 } }{ b^{ 4 } } { \left( \frac { { a }^{ 4 }y^{ 2 }+{ b }^{ 4 }{ x }^{ 2 } }{ a^{ 4 }{ y }^{ 2 } } \right) }\\ \bar { y } =y-\frac { b }{ b^{ 4 }{ a }^{ 2 } } { \left[ { a }^{ 4 }y^{ 2 }+{ b }^{ 4 }\left( \frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +1 \right) { a }^{ 2 } \right] }\\ \bar { y } =y-\frac { y }{ b^{ 4 }{ a }^{ 2 } } { \left[ { a }^{ 4 }y^{ 2 }+{ a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }{ b }^{ 4 } \right] }\\ \bar { y } =y-\frac { y }{ { a }^{ 2 }b^{ 4 } } \times { { a }^{ 2 }\left[ { a }^{ 2 }y^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+{ b }^{ 4 } \right] }\\ \bar { y } =y-\frac { y }{ b^{ 4 } } { \left[ { a }^{ 2 }y^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+{ b }^{ 4 } \right] }\\ \bar { y } =\frac { { \left[ b^{ 4 }y-{ a }^{ 2 }y^{ 3 }-{ b }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-{ b }^{ 4 }y \right] } }{ b^{ 4 } } \\ \bar { y } =-\frac { \left[ { a^{ 2 }+ }{ b }^{ 2 } \right] }{ b^{ 4 } } { y }^{ 3 }\\

वक्रता केंद्र के निर्देशांक(coordinates of centre of curvature) –

\left( \bar { x } ,\bar { y } \right) =\left[ \frac { \left[ { a^{ 2 }+ }{ b }^{ 2 } \right] }{ a^{ 4 } } { x }^{ 3 },-\frac { \left[ { a^{ 2 }+ }{ b }^{ 2 } \right] }{ b^{ 4 } } { y }^{ 3 } \right]

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