1.लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange Method),अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि द्वारा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange’s Method of Undetermined Multipliers):

Maxima and Minima by Lagrange Method

लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange Method) ज्ञात करने के इस आर्टिकल से पूर्व उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ ज्ञात करने का आर्टिकल पढ़ चुके हैं।इस आर्टिकल में अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि की थ्योरी और उस पर आधारित उदाहरणों को हल करेंगे।
अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि (Lagrange’s Method of Undetermined Multipliers)
माना कि u=f(x,y,z)  …. (1)
तीन x,y,z चरों का एक फलन (function) है जो कि निम्न सम्बन्ध (Relation) से सम्बन्धित (connected) हैः

\phi(x, y, z)=0
यहाँ तीन में से केवल दो चर स्वतन्त्र चर हैं।
हम सम्बन्ध (1) तथा प्रतिबन्ध (2) की सहायता से एक परतन्त्र चर को विलोप कर सकते हैं।अब यदि चर x और y को स्वतन्त्र चर तथा z को x,y का फलन मान लें तो स्तब्ध (stationary) बिन्दुओं के लिए

d u=\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y+\frac{\partial f}{\partial z} d z \cdots(3)
को dx तथा dy के स्वेच्छ (arbitrary) मानों के लिए,शून्य होना चाहिए
(2) का अवकलन करने पर

\frac{\partial \phi}{\partial x} d x+\frac{\partial \phi}{\partial y} d y+\frac{\partial \phi}{\partial z} d z=0 \cdots(4)
(4) को \lambda से गुणा कर (3) में जोड़ने पर

du=\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial x}\right) d x+\left( \frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial y}\right) d y+ \left(\frac{\partial f}{\partial z}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial z}\right)dz
जहाँ \lambda चर x,y और z का स्वेच्छ (arbitrary) फलन है, इसलिए का ऐसा निर्धारण (Choose in such a way) कहते हैं कि \frac{\partial f}{\partial z}+\lambda \quad \frac{\partial \phi}{\partial z}=0
तो du=\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial x}\right) d x+\left( \frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial y}\right) d y
क्योंकि यह dx तथा dy के स्वेच्छ मान के लिए शून्य है,इसलिए
\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial x}=0  तथा \frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial y}=0 \cdots(6)
एक स्तब्ध बिन्दु के लिए \lambda, x, y तथा z के वह मान निर्धारित होते हैं,जिससे फलन u का मान स्तब्ध हो जाता है।
समीकरण (5) तथा (6) और समीकरण (1) तथा (2) की सहायता से हमको स्तब्ध बिन्दु x,y,z तथा u का मान प्राप्त हो जाता है।इस विधि को लग्रांज की अनिर्धाय गुणांकों की विधि (Lagrange’s Method of Undetermined Multipliers) कहते हैं।इस विधि का प्रयोग एक से अधिक प्रतिबन्धों जो चरों को सम्बन्धित करते हैं, के लिए भी किया जा सकता है।
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2.लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ के साधित उदाहरण (Maxima and Minima by Lagrange Method Solved Examples):

Example:1. u=x^2+y^2+z^2 का निम्न प्रतिबन्धों के अन्तर्गत उच्चतम तथा न्यूनतम मान ज्ञात कीजिएः
(Find the maximum and minimum values u=x^2+y^2+z^2 subject to the following condition):
Example:1(a).ax+by+cz=p
Solution: u=x^2+y^2+z^2 \cdots(1)
ax+by+cz=p  …. (2)
न्यूनतम तथा अधिकतम के लिए
du=2xdx+2ydy+2zdz=0   … (3)
(2) सेः adx+bdy+cdz=0    ……(4)
(3) व (4) को क्रमशः 1 तथा \lambda से गुणा करके जोड़ने परः

(x d x+y d y+z d z)+\lambda(a dx+b dy+c d z)=0 \\ \Rightarrow (x+a \lambda) d x+(y+b \lambda) d y+(z+\lambda c) d z=0
दोनों पक्षों के dx,dy तथा dz के गुणांकों की तुलना करने परः

x+a \lambda=0, y+b \lambda=0, z+\lambda c=0 \ldots(5)
(5) को क्रमशः x,y,z से गुणा करके जोड़ने परः

\left(x^2+y^2+z^2\right)+(a x+b y+c z) \lambda=0 \\ u+p \lambda=0 \Rightarrow \lambda=-\frac{u}{p}
(5) सेः 

x-\frac{a u}{p}=0, y-\frac{b u}{p}=0, z-\frac{c u}{b}=0 \\ \Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{u}{p} \cdots(6)
(2) सेः a^2\left(\frac{x}{a}\right)+b^2\left(\frac{y}{b}\right)+c^2\left(\frac{z}{c}\right)=p \\ \Rightarrow a^2\left(\frac{x}{a}\right)+b^2\left(\frac{x}{a}\right)+c^2\left(\frac{x}{a}\right)=p[(6)से ]

\Rightarrow \left(a^2+b^2+c^2\right) \frac{x}{a}=p \\ \Rightarrow x=\frac{a p}{a^2+b^2+c^2}
(6) सेः y=\frac{b p}{a^2+b^2+c^2}, z=\frac{c p}{a^2+b^2+c^2}

(1) सेः \frac{\partial u}{\partial x} = 2 x+2 z \frac{\partial z}{\partial x} \cdots(7)
(2) सेः  a+c \frac{\partial z}{\partial x}=0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{a}{c} \ldots(8)
(7) सेः \frac{\partial u}{\partial x}=2 x+2 z\left( -\frac{a}{c} \right) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2}{c}(c x-a z) \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =\frac{2}{c}\left(c-a \frac{\partial z}{\partial x}\right) \\ =\frac{2}{c}(c-a \times -\frac{a}{c}) \\ \Rightarrow r=\frac{\partial^2 u}{\partial u^2} =\frac{2\left(a^2+c^2\right)}{c^2}
(2) सेः b+c \frac{ \partial z}{\partial y}=0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{b}{c} \\ S=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} =\frac{2}{c}\left(-a \frac{\partial z}{\partial y}\right) \\ =\frac{2}{c} \times -a \times -\frac{b}{c} \\ S=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=\frac{2 a b}{c^2}
इसी प्रकार t=\frac{2\left(b^2+c^2\right)}{c^2} \\ rt-s^2=\frac{2\left(a^2+c^2\right)}{c^2} \cdot \frac{2\left(b^2+c^2\right)}{c^2}-\frac{4 a^2 b^2}{c^4} \\ =\frac{4}{c^2}\left(a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2+c^4-a^2 b^2\right) \\ \Rightarrow r t-s^2=4\left(a^2+b^2+c^2\right)>0 \\ r=\frac{2\left( a^2+ c^2\right)}{c^2}>0
अतः u बिन्दु \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{p}{a^2+b^2+c^2} पर निम्निष्ठ है।
निम्नतम मान u=x^2+y^2+z^2 \\ \Rightarrow u=\frac{a^2 p^2}{\left(a^2+b^2+c\right)^2}+ \frac{b^2 p^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^{2}}+\frac{c^2 p^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^{2}} \\ \Rightarrow u=p^2 \left(\frac{a^{2}+b^2+c^{2}}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^{2}}\right) \\ \Rightarrow u=\frac{p^2}{a^2+b^2+c^2}
Example:1(b). x y+y z+z x=3 a^2
Solution: u=x^2+y^2+z^2 \cdots(1)
तथा x y+y z+z x=3 a^2 \cdots(2)
न्यूनतम तथा अधिकतम के लिए
du=2xdx+2ydy+2zdz=0  …. (3)
(2) सेः y d x+x d y+y d z+z d y+z d x+x d z=0 \\ \Rightarrow(y+z) d x+(x+z) d y+(y+x) d z=0 \cdots(4)
समीकरण (3) व (4) को क्रमशः 1 व \lambda से गुणा करके जोड़ने परः

(2 x+\lambda y+\lambda z) d x+(2 y+\lambda x+\lambda z) d y+(2 z+\lambda y+\lambda x) dz=0
दोनों पक्षों के dx,dy तथा dz के गुणांकों की तुलना करने परः

\left.\begin{array}{l} 2 x+\lambda y+\lambda z=0 \\ 2 y+\lambda x+\lambda z=0 \\ 2 z+\lambda y+\lambda x=0\end{array}\right] \cdots(5)
(5) को क्रमशः x, y, z से गुणा करके जोड़ने परः

2 x^2+2 y^2+2 z^2+2(x y+y z+z x) \lambda=0 \\ \Rightarrow u+3 a^2 \lambda=0 \\ \Rightarrow \lambda=-\frac{u}{3 a^2}
\lambda का मान समीकरण (5) में रखने परः

2 x - \frac{u}{3 a^2} y-\frac{u}{3 a^2} z=0 \Rightarrow-6 a^2 x+u y+u z=0 \\ -\frac{u}{3 a^2} x+2 y-\frac{u}{3 a^2} z =0 \Rightarrow u x-6 a^2 y+u z=0 \\ -\frac{u}{3 a^2} x-\frac{u}{3 a^2} y+2 z=0 \Rightarrow u x+u y-6 a^{2}z=0
x, y, z का विलोपन करने परः

\left|\begin{array}{ccc} -6 a^2 & u & u \\ u & -6 a^2 & u \\ u & u & -6 a^2\end{array}\right|=0 \\ C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1} \text { तथा } C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1} संक्रिया सेः

\left|\begin{array}{ccc} -6 a^2 & u+6 a^2 & u+6 a^2 \\ u & -6 a^2-u & 0 \\ u & 0 & -6 a^2-u \end{array}\right|=0 \\ \Rightarrow\left(u+6 a^2\right)^2\left|\begin{array}{ccc} -6 a^2 & 1 & 1 \\ u & -1 & 0 \\ u & 0 & -1 \end{array}\right|=0 \\ R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{3} संक्रिया सेः 

\Rightarrow \left(u+6 a^2\right)^2\left[\begin{array}{ccc} -6 a^2+u & 1 & 0 \\ u & -1 & 0 \\ u & 0 & -1 \end{array}\right]=0 \\ \Rightarrow \left(u+6 a^2\right)^2\left[\begin{array}{ccc}0 & -6 a^2+4 & 1 \\-1 & u & -1\end{array}\right] \\\Rightarrow\left(u+6 a^2\right)^2(-1)\left(6 a^2-u-u\right)=0 \\ \Rightarrow \left(u+6 a^2\right)^2\left(-2 a+6 a^2\right)=0 \\ \Rightarrow u=-6 a^2,3 a^2 \\ u=-6 a^2
असम्भव है।अतः u=3 a^{2} \\ -6 a^2 x+u y+u z=0 से

-6 a^2 x+3 a^2 y+3 a^2 z=0 \\ \Rightarrow-2 x+y+z=0 \\ 3 a^2 x-6 a^2 y+3 a^2 z=0 \Rightarrow x-2 y+z=0
हल करने परः

\frac{x}{1+2}=\frac{y}{1+2}=\frac{z}{4-1} \Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{3}=\frac{z}{3} \\ \Rightarrow x=y=z=k
(2) सेः k^2+k^2+k^2=3 a^2 \\ \Rightarrow 3 k^2=3 a^2 \Rightarrow k=\pm a
अतः x=y=z=\pm a \cdots(6)
(1) सेः \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=2 x+2 z \frac{\partial z}{\partial x} \cdots(7)

(2) सेः y+y \frac{\partial z}{\partial x}+x \frac{\partial z}{\partial x}+z=0 \\ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y+c}{x+y}=-\frac{2 a}{2 a}=-1 \\ \frac{\partial u}{\partial x}=2x-2z \\ r=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^2}=2-2 \frac{\partial z}{\partial x}=2+2=4 \\ S=\frac{ \partial^{2} u}{\partial y \partial x}=-2 \frac{ \partial z}{\partial y}=-2 \times -1=2
इसी प्रकार \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=4 \\ rt-s^2=(4)(4)-(2)^2=12>0
r=4>0 अतः निम्नतम है।
x=y=z=\pm a पर निम्नतम मान u=3 a^{2}
Example:1(c). a x^2+b y^2+c z^2=1
Solution: u=x^2+y^2+z^2 \ldots(1)
तथा a x^2+b y^2+c z^2=1 \ldots(2)
न्यूनतम तथा अधिकतम के लिए
du=2x+2y+2z=0 ……(3)
(2) सेः 2axdx+2bydy+2czdz=0   …. (4)
(3) व (4) को क्रमशः 1 व \lambda से गुणा करके जोड़ने परः

(x+a \lambda x) d x+(y+b \lambda y) d y+(z+c \lambda z) d z=0
दोनों पक्षों के dx, dy, dz के गुणांकों की तुलना करने परः

x+a \lambda x=0, y+b \lambda y=0, z+c \lambda z=0 \ldots(5)
क्रमशः x, y, z से गुणा करके जोड़ने परः

\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(a x^2+b y^2+c z^2\right) \lambda=0 \\ u+(1) \lambda=0 \\ \lambda=-u
(5) सेः x-u a x=0, y-u b y=0, z-u c z=0 \\ x\left(\frac{1}{u}-a\right)=0, y\left(\frac{1}{u}-b\right), z\left(\frac{1}{u}-c\right)=0
अतः उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ के मान निम्न के मूल होंगेः

\left(\frac{1}{u}-a\right)\left(\frac{1}{u}-b\right)\left(\frac{1}{u}-c\right)=0
Example:1(d). xyz=a^3
Solution: u=x^2+y^2+z^2 \ldots(1)
तथा xyz=a^3 \ldots(2)
अधिकतम तथा न्यूनतम के लिए
du=2xdx+2ydy+2zdz=0   …. (3)
(2) सेःyzdx+zxdy+xydz=0 ….. (4)
(3) को 1 से तथा (4) को \lambda से गुणा करके जोड़ने परः

(x+\lambda y z) d x+(y+\lambda z x) d y+(z+\lambda x y) d z=0 \ldots(5)
दोनों पक्षों के dx, dy, dz के गुणांकों की तुलना करने परः

x^2+y^2+z^2+3 \lambda x y z=0 \\ \Rightarrow u+3 \lambda a^3=0 \Rightarrow \lambda=-\frac{u}{3 a^3}
(5) सेः x=\frac{u y z}{3 a^3}, y=\frac{u z x}{3 a^3},=\frac{u x y}{3 a^3} \\ \Rightarrow \frac{u}{3 a^3}= \frac{x}{y^2}=\frac{y}{z x}=\frac{z}{x y} \\ \Rightarrow \frac{u}{3 a^3}=\frac{x^2}{x y z}=\frac{y^2}{x y z}=\frac{z^2}{x y z} \\ \Rightarrow \frac{u}{3 a^3}=\frac{x^2}{a^3}=\frac{y^2}{a^3}=\frac{z^2}{a^3} \\ \Rightarrow x^2=y^2=z^2=\frac{u}{3}
x=y=z तब  xyz=a^3 से
x=y=z=a  ….(6)
(1) सेः \frac{\partial u}{\partial x}=2 x+2 z \frac{\partial z}{\partial x} \cdots(7)
(2) सेः y z+x y \frac{\partial z}{\partial u}=0 \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y z}{\partial y}=-\frac{z}{x} \\ x z+x y \frac{\partial z}{\partial y}=0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{z}{y} \\ \frac{\partial u}{\partial x}=2 x+2 z\left(-\frac{z}{x}\right)=2 x-\frac{2 z^2}{x} \\ r= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=2+\frac{2 z^2}{x^2}-\frac{4 z}{x} \frac{\partial z}{\partial x} \\ =2+\frac{2 z^2}{x^2}+\frac{4 z^2}{x^2} \\ \Rightarrow r=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^2}=2+\frac{6 z^2}{x^2} \\ S=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}=-\frac{4 z}{x} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{4 z^2}{x^2}  
पुनः (1) सेः \frac{\partial u}{\partial y}=2 y+2 z \frac{\partial z}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=2 y+2 z\left(-\frac{z}{y}\right) \\ =2 y-\frac{2 z^2}{y} \\ \Rightarrow t=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=2+\frac{2 z^2}{y^2}-\frac{4 z}{y} \frac{\partial z}{\partial y} \\ =2+\frac{2 z^2}{y^2}+\frac{4 z^2}{y^2} \\ \Rightarrow t=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=2+\frac{6 z^2}{y^2}
जब x=y=z=a तो

r=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=2+6=8 \\ S=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=4 \\ t= \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=2+6=8 \\ r t-s^2=(8)(8)-(4)^2 \\ =64-16 \\ \Rightarrow r t-s^2=48>0 \\ r=8>0
अतः x=y=z=a पर u निम्नतम है।
निम्नतम मान u=x^2+y^2+z^2=3 a^2

Maxima and Minima by Lagrange Method

Example:1(e). a x^2+b y^2+c z^2+2 f y z+2gzx+2hxy-1=0 and lx+mu+nz=0
Solution: u=x^2+y^2+z^2 \cdots (1)
तथा a x^2+b y^2+c z^2+2 f y z+2 g z x+2 h x y-1=0 \ldots(2)
lx+my+nz=0   … (3)
अधिकतम और न्यूनतम के लिए
du=2xdx+2ydy+2zdz=0  …. (4)
(2) व (3) सेः
2axdx+2bydy+2czdz+2fzdy+2fydz+2gzdx+2gxdz+2hydx+2hxdy=0
\Rightarrow (2ax+2gz+2hxy)dx+(2by+2fz+2hx)dy+(2cz+2fy+2gx)dz=0  …. (5)
\Rightarrow ldx+mdy+ndz=0 …. (6)
समीकरण (4) को 1 से (5) को \lambda_{1} से तथा (6) को \lambda_{2} से गुणा करके जोड़ने परः

\left.\begin{array}{l} x+\lambda_1(a x+b y+g z)+\lambda_2 l=0 \\ y+\lambda_1(h x+b y+f z)+ \lambda_2 m=0 \\ z+\lambda_1\left(g x+f y_1+c z\right)+\lambda_2 n=0 \end{array}\right] \cdots(7)
(7) को क्रमशः x,y,z से गुणा करके जोड़ने परः

x^2+y^2+z^2+\left(a x^2+b y^2+c z^2+2 f y z +2 g z x+2 h x y\right) \lambda_{1}+(l x+m y+n z) \lambda_{2}=0 \\ \Rightarrow u+\lambda_1(1)+\lambda_2(0)=0 \Rightarrow \lambda_1=-u
(7) में मान रखने परः

x(1-a u)-h u y-g u z+\lambda_2 l=0 \\ \Rightarrow(a u-1) x+h u y+g u z-\lambda_2 l=0 \\ h u x+(b u-1) y+f u z-\lambda_2 m=0 \\ g u x+f u y+(c u-1)-\lambda_2 n=0 \\ l x+m y+n z-\lambda_2 \cdot 0=0
x, y, z तथा -\lambda_{2} का विलोपन करने परः

\left|\begin{array}{cccc} a u-1 & h u & g u & l \\ h u & b u-1 & f u & m \\ g u & f u & c u-1 & n \\ l & m & n & 0\end{array}\right|=0 \\ \frac{1}{u} उभयनिष्ठ लेने परः

\left|\begin{array}{cccc} a-\frac{1}{u} & h & g & l \\ h & b-\frac{1}{u} & f & m \\ g & f & c-\frac{1}{u} & n \\ c & m & n & 0 \end{array}\right|=0
Example:1(f).x+y+z-1=0 and xyz+1=0
Solution: u=x^2+y^2+z^2 \ldots(1)
तथा x+y+z-1=0 …. (2)
xyz+1=0       ………(3)

(1) सेः u=x^2+(y+z)^2-2 y z

u=x^2+(1-x)^2-2\left(-\frac{1}{x}\right) \\ \Rightarrow u=2 x^2-2 x+\frac{2}{x}+1
अधिकतम तथा निम्नतम के लिए
\frac{d u}{d x}=4 x-2-\frac{2}{x^2} \\ \frac{d u}{d x}=0 \text { से: } \\ \Rightarrow 4 x-2-\frac{2}{x^2}=0 \\ \Rightarrow 2 x-1 \frac{1}{x^2}=0 \\ \Rightarrow 2 x^3-x^2-1=0 \\ \Rightarrow(x-1)\left(2 x^2+x+1 \right)=0 \\ \Rightarrow x=1 अन्य मान काल्पनिक हैं।

\frac{d^2 u}{d x^2}=4+\frac{4}{x^3}
जब x=1 तो \frac{d^2 u}{d x^2}=8>0
अतः u निम्नतम है जब x=1
निम्नतम मान u=2x^2-2 x+\frac{2}{x}+1 \\ \Rightarrow u=2(1)^2-2(1)+\frac{2}{1}+1 \\ \Rightarrow u=3
Example:2.यदि (If) u=x^2+y^2+z^2 
जहाँ (Where) a x^2+b y^2+c z^2+2f y z+2 g z x+2hxy=1
तो प्रदर्शित कीजिए कि u के उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान निम्न द्वारा प्राप्त होंगे
(then show that the maximum or minimum values of u are given by)

\left|\begin{array}{ccc} a-\left(\frac{1}{u}\right) & h & g \\ h & b-\left(\frac{1}{u}\right) & f \\ g & f & c-\left(\frac{1}{u}\right) \end{array}\right|=0
Solution: u=x^2+y^2+z^2 \cdots(1)
तथा a x^2+b y^2+c z^2+2fyz+2gzx+2bxy+1=0 \cdots(2)
अधिकतम और न्यूनतम के लिए
du=2xdx+2ydy+2zdz=0  …. (3)
(2) सेः
2axdx+2bydy+2czdz+2fzdy+2fydz+2gzdx+2gxdz+2hydx+2hxdy=0
(2ax+2gz+2hxy)dx+(2by+2fz+2hx)dy+(2cz+2fy+2gx)dz=0  …. (4)
(3) को 1 से तथा (4) को \lambda से गुणा करके जोड़ने परः

[x+\lambda(a x+h y+g z)] d x+[y+\lambda(h x+b y+fz)] d y+[z+\lambda(g x+f y+c z)] d z=0
दोनों पक्षों को dx, dy, dz के गुणांकों की तुलना करने परः

\left.\begin{array}{l} x+\lambda(a x+h y+g z)=0 \\ y+\lambda (hx+b y+f z)=0 \\ z+\lambda(g x+f y+c z)=0 \end{array}\right] \cdots(5)
(5) को क्रमशः x, y, z से गुणा करके जोड़ने परः

\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(a x^2+b y^2+c z^2+2 f y z +2 g z x+2 h x y\right) \lambda=0 \\ \Rightarrow u+\lambda(1)=0 \Rightarrow \lambda=-u
(5) सेः x-u(a x+h y+g z)=0 \Rightarrow(1-a u) x-uhy-u g z=0 \\ y-u(h u+b y+f z)=0 \Rightarrow-uhx+(1-b u)y-fuz=0 \\ z-u(g x+fy+c z)=0 \Rightarrow-ugx-ufy+(1-cu)z=0
x, y, z का विलोपन करने परः

\left|\begin{array}{ccc} 1-a u & -u h & -ug \\ -u h & 1-b u & -uf \\ -ug & -uf & 1-c u \end{array}\right|=0
प्रत्येक अवयव को u से विभाजित करने परः

\left|\begin{array}{ccc} a-\frac{1}{u} & h & g \\h & b-\frac{1}{u} & f \\ g & f & c-\frac{1}{u} \end{array}\right|=0
यह u के निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ मान देता है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange Method),अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि द्वारा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange’s Method of Undetermined Multipliers) को समझ सकते हैं।

3.लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ के सवाल (Maxima and Minima by Lagrange Method Questions):

Maxima and Minima by Lagrange Method

(1.)फलन का उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए
(Discuss the maxima and minima of the function

u=\sin x \sin y \sin z
Where x+y+z=π
(2.) u=\frac{5 x y z}{x+2 y+4 z} का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ xyz=8
(Find the maximum value of u=\frac{5 x y z}{x+2 y+4 z}, given xyz=8)
उत्तर (Answers):(1.) x=y=z=\frac{\pi}{3} पर u=\frac{3 \sqrt{3}}{8}
(2.)x=4,y=2,z=1 पर u=\frac{10}{3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange Method),अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि द्वारा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange’s Method of Undetermined Multipliers) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Frequently Asked Questions Related to Maxima and Minima by Lagrange Method),अनिर्धाय गुणांकों की लग्रांज विधि द्वारा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange’s Method of Undetermined Multipliers) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

लग्रांज विधि द्वारा निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ (Maxima and Minima by Lagrange Method) ज्ञात
करने के इस आर्टिकल से पूर्व उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ ज्ञात करने का आर्टिकल पढ़ चुके हैं।