Derivative Arc Length Polar Formula

(1.)चाप की लम्बाई का अवकलज ध्रुवीय सूत्र का परिचय (Introduction to Derivative Arc Length Polar Formula),चाप की लम्बाई अवकलज पोलर सूत्र का परिचय (Introduction to Derivative of Length of an Arc (Polar Formula)):

Derivative Arc Length Polar Formula

• चाप की लम्बाई का अवकलज ध्रुवीय सूत्र (Derivative Arc Length Polar Formula),चाप की लम्बाई अवकलज पोलर सूत्र (Derivative of Length of an Arc (Polar Formula)):यदि वक्र के किसी बिन्दु से मापी गई चाप की लम्बाई s को x का फलन मान लें अर्थात् s=f(x) तो s का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात किया जा सकता है। यहाँ चाप के मापों के संख्यात्मक मान स्वयं सिद्ध (axiom) पर आधारित होते हैं।
  
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चाप की लम्बाई का अवकलज ध्रुवीय सूत्र (Derivative Arc Length Polar Formula),चाप की लम्बाई अवकलज पोलर सूत्र (Derivative of Length of an Arc (Polar Formula))

Derivative Arc Length Polar Formula

• माना कि वक्र का समीकरण r=f(\theta) है।यह भी मान लिया कि P(r,\theta) तथा Q(r+\delta{r},\theta+\delta{\theta}) वक्र पर दो निकटवर्ती (neighbouring) बिन्दु हैं।मान लिया कि वक्र पर स्थिर बिन्दु A है तथा चाप AP=s तो चाप AQ=s+\delta{s} तथा जीवा PQ=\delta{s},P से OQ पर लम्ब PM खींचा।
  अब \frac{ds}{d\theta}=\lim_{\delta{\theta}}\rightarrow{0}\frac{\delta{s}}{\delta{\theta}}
  =\lim_{\delta{\theta}}\rightarrow{0}\frac{\text{ चाप PQ }}{\delta{\theta}}
  =\lim_{\delta{\theta}}\rightarrow{0}\left[\frac{\text{ चाप PQ }}{\text{ जीवा PQ }}. \frac{\text{ जीवा PQ }}{\delta{\theta}}\right]
  =\lim_{\delta{\theta}}\rightarrow{0}\frac{\text{ जीवा PQ }}{\delta{\theta}}
  \left[\because{\lim_{\delta{\theta}}\rightarrow{0}}\frac{\text{ चाप PQ }}{\text{ जीवा PQ }}=1\right] 
• \left[\because{\lim_{\delta{\theta}}\rightarrow{0}}\frac{\text{ जीवा PQ }}{\delta{\theta}}=1\right]
• परन्तु \triangle{PQM} से \angle{PMQ=90°}
  \left(\text{ जीवा PQ}\right)^{2}={PM}^{2}+{MQ}^{2}
  =(r\sin{\delta{\theta}})^{2}+(r+\delta{r}-r\cos{\delta{\theta}})^{2}
  =r^{2}{d\theta}^{2}{\delta{r}}^{2}
  [\because{\delta{\theta}},\delta{r} बहुत छोटी राशियाँ हैं,तो केवल \delta{\theta}^{2}{\delta{r}}^{2} तक ही लेने पर]
  \therefore{\frac{ds}{d\theta}}=\lim_{\delta{\theta}}\rightarrow{0}\frac{\left(r^{2}\delta{\theta}^{2}+\delta{r^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}{\delta{\theta}}
  \lim_{\delta{\theta}}\rightarrow{0}\left\{r^{2}+\left(\frac{\delta{r}}{\delta{\theta}}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}
  \frac{ds} {d\theta} =\sqrt{\left\{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}\right\}}

Derivative Arc Length Polar Formula

• उपर्युक्त आर्टिकल में चाप की लम्बाई का अवकलज ध्रुवीय सूत्र (Derivative Arc Length Polar Formula),चाप की लम्बाई अवकलज पोलर सूत्र (Derivative of Length of an Arc (Polar Formula)) के बारे में बताया गया है।