Nature of Roots of Quadratic Equations

Q: प्रश्न:1.द्विघात समीकरण के मूलों एवं गुणांकों में क्या सम्बन्ध है? (What is the relation between the roots and the coefficients of the quadratic equation?):

उत्तर:माना कि द्विघात समीकरण के मूल \alpha तथा \beta हैं। तब \alpha=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} तथा \beta=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} मूलों का योग=(\alpha+\beta)=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}+\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ \Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\frac{\text{-x का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }} तथा मूलों का गुणन=\alpha \beta=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \times \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{(-b)^{2}-\left(b^{2}-4 a c\right)}{4 a^{2}} \\ =\frac{b^{2}-b^{2}+4 a c}{4 a^{2}} \\ \alpha \beta=\frac{c}{a}=\frac{\text{-x का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}

Q: प्रश्न:2.दिए गए दो मूलों से द्विघात समीकरण की रचना कैसे करते हैं? (How do we form a quadratic equation from the given two roots?):

उत्तर:मानक द्विघात समीकरण a x^{2}+b x+c=0,a \neq 0 माना इसके मूल \alpha, \beta हैं। \alpha+\beta=-\frac{b}{a} तथा \alpha \beta=\frac{c}{a} अब दी गई समीकरण में a का भाग देते हैं: \Rightarrow x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-\left(-\frac{b}{a}\right) x+\frac{c}{a}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta=0 [-\frac{b}{a} तथा \frac{c}{a} के मान रखने पर] अतः यदि \alpha तथा \beta किसी द्विघात समीकरण के मूल हों तो उनसे प्राप्त होने वाली समीकरण होगी: x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta=0 अर्थात् x^{2}-(मूलों का योग)+मूलों का गुणा=0

Mathematics Satyam May 7, 2022 10th Mathematics No Comments

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1 1.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10):

1.1 2.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति के साधित उदाहरण (Nature of Roots of Quadratic Equations Solved Examples):

1.2 3.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति की समस्याएँ (Nature of Roots of Quadratic Equations Problems):

1.2.1 4.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.द्विघात समीकरण के मूलों एवं गुणांकों में क्या सम्बन्ध है? (What is the relation between the roots and the coefficients of the quadratic equation?):

1.2.3 प्रश्न:2.दिए गए दो मूलों से द्विघात समीकरण की रचना कैसे करते हैं? (How do we form a quadratic equation from the given two roots?):

1.2.4 प्रश्न:3.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग क्या हैं? (What are the applications of quadratic equation?):

1.2.4.1 Nature of Roots of Quadratic Equations

2 द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations)

2.1 Nature of Roots of Quadratic Equations

1.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10):

Nature of Roots of Quadratic Equations

द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations) से पूर्व हमने द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात करने की विधियों तथा उनसे मूल ज्ञात करने का अध्ययन किया है।वस्तुत:मूलों की प्रकृति जानने के बाद ही मूल ज्ञात करना चाहिए क्योंकि काल्पनिक मूलों को कक्षा 10 में ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं होती है।मूलों की प्रकृति वास्तविक है या काल्पनिक है, इसका पता $b^{2}-4 a c$ से चलता है। $b^{2}-4 a c$ को द्विघात समीकरण का विविक्तिकर (Discriminant) कहते हैं।
द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations):
(i)यदि $D=b^{2}-4 a c>0$ हो तो समीकरण के दोनों मूल वास्तविक एवं भिन्न-भिन्न होते हैं।अर्थात् यदि $\alpha$ और $\beta$ दो मूल हों तो $\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
तथा $\beta=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
(ii) $D=b^{2}-4 a c=0$ हों तो समीकरण के दोनों मूल वास्तविक एवं समान होते हैं।अर्थात् $\alpha=\beta=-\frac{b}{2 a}$
(iii) $D=b^{2}-4 a c<0$ हो तो समीकरण का कोई मूल वास्तविक नहीं होता है।

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2.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति के साधित उदाहरण (Nature of Roots of Quadratic Equations Solved Examples):

Example:1.निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।यदि मूलों का अस्तित्व है तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) $2 x^{2}-3 x+5=0$
Solution: $2 x^{2}-3 x+5=0$
द्विघात समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर:
A=2,b=-3,c=5
विविक्तकर $(D)=b^{2}-4 a c \\ =(-3)^{2}-4 \times 2 \times 5 \\=9-40 \\=-31<0$
अतः द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल विद्यमान नहीं है।
(ii) $3 x^{2}-4 \sqrt{3} x+4=0$
Solution: $3 x^{2}-4 \sqrt{3} x+4=0$
द्विघात समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर:
a=3, b=- $4 \sqrt{3}$ , c=4
विविक्तकर $(D)=b^{2}-4a c \\ =(-4 \sqrt{3})^{2}=4 \times 3 \times 4 \\ =48-48=0$
अतः द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक तथा समान हैं।
(iii) $2 x^{2}-6 x+3=0$
Solution: $2 x^{2}-6 x+3=0$
द्विघात समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर:
A=2,b=-6,c=3
विविक्तकर $(D)=b^{2}-4 a c \\ =(6)^{2}-4 \times 2 \times 3 \\ =36-24 \\12>0$
अतः द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न हैं।
Example:2.निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों
(I) $2 x^{2}+k x+3=0$
Solution: $2 x^{2}+k x+3=0$
द्विघात समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर:
a=2,b=k,c=3
दोनों मूल समान होने पर:
विविक्तकर $(D)=b^{2}-4 a c=0 \\ \Rightarrow K^{2}-4 \times 2 \times 3=0 \\ \Rightarrow K^{2}-24=0 \\ \Rightarrow K^{2}=24 \\ \Rightarrow K=\pm \sqrt{24} \\ \Rightarrow K=\pm 2 \sqrt{6}$
(ii)kx(x-2)+6=0
Solution: $k x(x-2)+6=0 \\ k x^{2}-2 k x+6=0$
द्विघात समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर:
a=k,b=-2k,c=6
दोनों मूल समान होने पर:
विविक्तकर $(D)=b^{2}-4 a c=0 \\ \\ (-2 k)^{2}-4 \times k \times 6=0 \\ \Rightarrow 4 k^{2}-24 k=0 \\ \Rightarrow 4 k(k-6)=0 \\ \Rightarrow k=0,6$
K=0 असम्भव है अतः k=6
Example:3.क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 वर्गमीटर हो?यदि है तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना आम की बगिया की चौड़ाई=x
तथा लम्बाई=2x
आयताकार बगिया का क्षेत्रफल=लम्बाई × चौड़ाई

= $2 (x) \times (x)=800 \\ \Rightarrow 2 x^{2}=800 \\ \Rightarrow x^{2}=400 \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{400} \\ \Rightarrow x=\pm 20$
x=-20 (असम्भव है क्योंकि लम्बाई, चौड़ाई ऋणात्मक नहीं होती)
अतः x=20
लम्बाई=2x=2×20=40 मीटर

Nature of Roots of Quadratic Equations

Example:4.क्या निम्न स्थिति संभव है?यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है।चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
Solution:माना पहले मित्र की वर्तमान आयु=x
दूसरे मित्र की वर्तमान आयु=20-x
चारों वर्ष पूर्व आयु:
पहले मित्र की आयु=x-4
दूसरे मित्र की आयु=20-x-4
=16-x
प्रश्नानुसार:

$\Rightarrow (x-4)(16-x)=148 \\ \Rightarrow 16 x-x^{2}-64+4 x=48 \\ \Rightarrow-x^{2}+20 x-64-48=0 \\ \Rightarrow -x^{2}+20 x-112=0 \\ \Rightarrow-\left(x^{2}-20 x+112\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}-20 x+112=0$
व्यापक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर:
a=1,b=-20,c=112
विविक्तकर $(D)=b^{2}-4 a c \\ =(-20)^{2}-4 \times 1 \times 112 \\=400-448 \\ =-48<0$
अतः दोनों मूल वास्तविक नहीं है फलतः ऐसी स्थिति सम्भव नहीं है।
Example:5.क्या परिमाप 80 मीटर तथा क्षेत्रफल 400 वर्गमीटर के एक पार्क को बनाना संभव है?यदि है तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना आयताकार पार्क की लम्बाई=x
परिमाप=2(लम्बाई+चौड़ाई)=80

$\Rightarrow x+\text{ चौड़ाई }=\frac{80}{2} \\ \Rightarrow \text{ चौड़ाई }=40-x$
आयताकार पार्क का क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई

$\Rightarrow x(40-x)=400 \\ \Rightarrow 40 x-x^{2}-400=0 \\ \Rightarrow-\left(x^{2}-40 x+400\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}-40 x+400=0$
व्यापक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर:
a=1,b=-40,c=400
विविक्तकर $(D)=b^{2}-4ac \\=(-40)^{2}-4 \times 1 \times 400 \\=1600-1600=0$
अतः मूल वास्तविक तथा समान हैं।
द्विघाती सूत्र से:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\=\frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^{2}-4 \times 1 \times 400}}{2 \times 1} \\ =\frac{40 \pm \sqrt{1600-1600}}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{40}{2} \\ \Rightarrow x =20$
चौड़ाई=40-x
=40-20=20 मीटर
अतः वर्गाकार पार्क बनाना संभव है।
Example:6.एक व्यक्ति 360 रुपए लेकर कुछ दिनों के प्रवास पर जाता है।यदि वह प्रवास 4 दिन ओर बढ़ा देता है तो प्रतिदिन के व्यय में 3 रुपए की कटौती करनी पड़ती है।इसके मूल प्रवास के दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना मूल प्रवास के दिनों की संख्या=x
प्रतिदिन का व्यय= $\frac{360}{x}$
यदि प्रवास 4 दिन ओर बढ़ा देता है तो प्रतिदिन का व्यय= $\frac{360}{x+4}$
प्रश्नानुसार:

$\frac{360}{x}-\frac{360}{x+4}=3 \\ \Rightarrow \frac{360(x+4)-360 x}{x(x+4)}=3 \\ \Rightarrow 360 x+1440-360 x=3 x(x+4) \\ \Rightarrow 3 x^{2}+12x-1440 =0 \\ \Rightarrow 3\left(x^{2}-4 x-480\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+4 x-480=0$
व्यापक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर:
a=1,b=4,c=-480
विविक्तकर $(D)=b^{2}-4 a c \\=(4)^{2}-4 \times 1 \times-480 \\ =16+1920 \\=1936>0$
अतः मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।
द्विघाती सूत्र से:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ = \frac{-4 \pm \sqrt{(4)^{2}-4 \times 1 \times-480}}{2 \times 1}\\ =\frac{-4 \pm \sqrt{16+1920}}{2 \times 1} \\=\frac{-4 \pm \sqrt{1936}}{2} \\=\frac{-4 \pm 44}{2} \\=\frac{-4+44}{2},\frac{-4-44}{2}\\= \frac{40}{2},-\frac{48}{2} \\ =20,-24$
x=-24 (असंभव है क्योंकि दिनों की संख्या ऋणात्मक नहीं होती है)
x=20 दिन
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10) को समझ सकते हैं।

3.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति की समस्याएँ (Nature of Roots of Quadratic Equations Problems):

Nature of Roots of Quadratic Equations

(1.)दो धन पूर्णांकों के वर्गों का योग 290 हैं।यदि सम्भव है तो इन्हें ज्ञात कीजिए।
(2.)एक नाव की स्थिर पानी में चाल 15 किमी/घण्टा है।यह धारा के विपरीत दिशा में 30 किमी चलकर पुनः प्रारम्भिक बिन्दु तक आने में 4 घण्टे 30 मिनट लेती है।धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)11 तथा 13
(2.)धारा की चाल=5 किमी/घण्टा
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.द्विघात समीकरण के मूलों एवं गुणांकों में क्या सम्बन्ध है? (What is the relation between the roots and the coefficients of the quadratic equation?):

उत्तर:माना कि द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ तथा $\beta$ हैं।
तब $\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ तथा $\beta=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
मूलों का योग= $(\alpha+\beta)=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}+\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ \Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\frac{\text{-x का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}$
तथा मूलों का गुणन= $\alpha \beta=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \times \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{(-b)^{2}-\left(b^{2}-4 a c\right)}{4 a^{2}} \\ =\frac{b^{2}-b^{2}+4 a c}{4 a^{2}} \\ \alpha \beta=\frac{c}{a}=\frac{\text{-x का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}$

प्रश्न:2.दिए गए दो मूलों से द्विघात समीकरण की रचना कैसे करते हैं? (How do we form a quadratic equation from the given two roots?):

उत्तर:मानक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0,a \neq 0$
माना इसके मूल $\alpha, \beta$ हैं।
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ तथा $\alpha \beta=\frac{c}{a}$
अब दी गई समीकरण में a का भाग देते हैं:
$\Rightarrow x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-\left(-\frac{b}{a}\right) x+\frac{c}{a}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta=0$ [- $\frac{b}{a}$ तथा $\frac{c}{a}$ के मान रखने पर]
अतः यदि $\alpha$ तथा $\beta$ किसी द्विघात समीकरण के मूल हों तो उनसे प्राप्त होने वाली समीकरण होगी: $x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta=0$
अर्थात् $x^{2}$ -(मूलों का योग)+मूलों का गुणा=0

प्रश्न:3.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग क्या हैं? (What are the applications of quadratic equation?):

उत्तर:दैनिक जीवन से सम्बन्धित कुछ समस्याओं जैसे आयु सम्बन्धी, रेलगाड़ियों की चाल, नाव की चाल, त्रिभुजों की भुजाएँ इत्यादि को हल करने में करते हैं।
इसके लिए सर्वप्रथम शब्दों में दी गई समस्या को सांकेतिक भाषा (गणितीय भाषा) में परिवर्तित कर लेते हैं।इस प्रकार हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होती है।इसे उपयुक्त विधि से हल कर लेते हैं।अन्त में हमें जो मूल प्राप्त होते हैं उनमें अर्थपूर्ण मूल को रख लेते हैं तथा जो अर्थपूर्ण नहीं है उसे निरस्त कर देते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Nature of Roots of Quadratic Equations

द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति
(Nature of Roots of Quadratic Equations)