Nature of Roots in Class 10
1.कक्षा 10 में मूलों की प्रकृति (Nature of Roots in Class 10),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10):
कक्षा 10 में मूलों की प्रकृति (Nature of Roots in Class 10) के इस आर्टिकल में गोले के आयतन से सम्बन्धित महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 10 में मूलों की प्रकृति के उदाहरण (Nature of Roots in Class 10 Illustrations):
Illustration:1.निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
Illustration:1(i). 2 x^2-3 x+5=0
Solution: 2 x^2-3 x+5=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=2, b=-3, c=5 \\ b^2-4 a c=(-3)^2-4 \times 2 \times 5 \\ =9-40 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=-31<0
Illustration:1(ii). 2 x^2-4 x+3=0
Solution: 2 x^2-4 x+3=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=2, b=-4, c=3 \\ b^2-4 a c =(-4)^2-4 \times 2 \times 3 \\ =16-24 \\ \Rightarrow b^2-4ac=-8<0
Illustration:1(iii). 2 x^2+x-1=0
Solution: 2 x^2+x-1=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=2, b =1, c=-1 \\ b^2-4ac=(1)^2-4 \times 2 \times-1 \\ =1+8 \\ \Rightarrow b^2-4ac=9>0
अतः समीकरण के दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न हैं।
Illustration:1(iv). x^2-4 x+4=0
Solution: x^2-4 x+4=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=1, b =-4, c=4 \\ b^2-4 a c =(-4)^2-4 \times 1 \times 4 \\ =16-16 \\ \Rightarrow b^2-4ac=0
अतः समीकरण के दोनों मूल वास्तविक तथा समान होंगे।
Illustration:1(v). 2 x^2+5 x+5=0
Solution: 2 x^2+5 x+5=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=2, b=5 , c=5 \\ b^2-4 a c =(5)^2-4 \times 2 \times 5 \\=25-40 \\ \Rightarrow b^2-4ac=-15
अतः समीकरण के दोनों मूल वास्तविक नहीं हैं।
Illustration:1(vi). 3 x^2-2 x+\frac{1}{3}=0
Solution: 3 x^2-2 x+\frac{1}{3}=0 \\ \Rightarrow 9 x^2-6 x+1=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=9, b=-6, c=1 \\ b^2-4 a c=(-6)^2-4 \times 9 \times 1 \\ =36-36 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=0
अतः समीकरण के दोनों मूल वास्तविक व समान होंगे।
Illustration:1(vii). 3 x^2-6 x+5=0
Solution: 3 x^2-6 x+5=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=3, b=-6, c=5 \\ b^2-4 a c =(-6)^2-4 \times 3 \times 5 \\ =36-60 \\ \Rightarrow b^2-4ac=-24<0
अतः समीकरण के दोनों मूल वास्तविक नहीं हैं।
Illustration:1(viii). p^2 x^2+4 p q x+4 q^2=0
Solution: p^2 x^2+4 p q x+4 q^2=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=p^2, b=4 p q, c=4 q^2 \\ b^2-4 a c=(4 p q)^2-4 \times p^2 \times 4 q^2 \\ =16 p^2 q^2-16 p^2 q^2 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=0
अतः समीकरण के दोनों मूल वास्तविक तथा समान होंगे।
Illustration:1(ix). 5 y^2+12 y-9=0
Solution: 5 y^2+12 y-9=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=5, b=12, c=-9 \\ b^2-4 a c=(12)^2-4 \times 5 \times-9 \\ =144+180 \\ \Rightarrow b^2-4 ac=324>0
अतः समीकरण के दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।
Illustration:1(x). 6 x^2-7 x+2=0
Solution: 6 x^2-7 x+2=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=6, b=-7, c=2 \\ b^2-4 a c=(-7)^2-4 \times 6 \times 2 \\ =49-48 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=1>0
अतः समीकरण के दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।
Illustration:2.निम्न द्विघात समीकरण में k का मान ज्ञात कीजिए कि उसके मूल वास्तविक तथा बराबर हों।
Illustration:2(i). kx(x-2)+6=0
Solution: k x(x-2)+6=0 \\ \Rightarrow k x^2-2 k x+6=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=k,b=-2k,c=6
यदि मूल वास्तविक तथा बराबर हैं तो
b^2-4 a c=0 \\ \Rightarrow (-2 k)^2-4 \times k \times 6=0 \\ \Rightarrow 4 k^2-24 k=0 \\ \Rightarrow 4 k(k-6)=0 \\ \Rightarrow k=0, k-6=0 \Rightarrow k=6 \\ \Rightarrow k=0,6
Illustration:2(ii). x^2-2(k+1) x+k^2=0
Solution: x^2-2(k+1) x+k^2=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=1, b=-2(k+1), c=k^2
यदि मूल वास्तविक तथा बराबर हैं तो
b^2-4 a c=0 \\ \Rightarrow \left[-2(k+1)\right]^2-4 \times 1 \times k^2=0 \\ \Rightarrow 4\left(k^2+2 k+1\right)-4 k^2=0 \\ \Rightarrow 4\left(k^2+2 k+1-k^2\right)=0 \\ \Rightarrow 2 k+1=0 \\ \Rightarrow k=-\frac{1}{2}
Illustration:2(iii). 2 x^2+k x+3=0
Solution: 2 x^2+k x+3=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=2,b=k,c=3
यदि मूल वास्तविक तथा बराबर हैं तो
b^2-4 a c=0 \\ \Rightarrow k^2-4 \times 2 \times 3=0 \\ \Rightarrow k^2=24 \Rightarrow k=\sqrt{24} \\ \Rightarrow k= \pm 2 \sqrt{6}
Illustration:2(iv). (k+1) x^2-2(k-1) x+1=0
Solution: (k+1) x^2-2(k-1) x+1=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=k+1,b=-2(k-1),c=1
यदि मूल वास्तविक तथा बराबर हैं तो
b^2-4 a c=0 \\ \Rightarrow {[-2(k-1)]^2-4 \times(k+1)(1)=0 } \\ \Rightarrow 4\left(k^2-2 k+1\right)-4(k+1)=0 \\ \Rightarrow 4\left(k^2-2 k+1-k-1\right)=0 \\ \Rightarrow k^2-3 k=0 \\ \Rightarrow k(k-3)=0 \\ \Rightarrow k=0, k-3=0 \Rightarrow k=3 \\ \Rightarrow k=0,k=0,3
Illustration:2(v). (k+4) x^2+(k+1) x+1=0
Solution: (k+4) x^2+(k+1) x+1=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=k+4,b=k+1,c=1
यदि मूल वास्तविक तथा बराबर हैं तो
b^2-4 a c=0 \\ \Rightarrow (k+1)^2-4 \times(k+4)(1)=0 \\ \Rightarrow k^2+2 k+1-4 k-46=0 \\ \Rightarrow k^2-2 k-45=0 \\ \Rightarrow k^2-5 k+3 k-15=0 \\ \Rightarrow k(k-5)+3(k-5)=0 \\ \Rightarrow (k+3)(k-5)=0 \\ \Rightarrow k+3=0, k-5=0 \\ \Rightarrow k=-3,5
Illustration:2(vi). k x^2-5 x+k=0
Solution: k x^2-5 x+k=0
दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 से करने पर:
a=k,b=-5,c=k
यदि मूल वास्तविक तथा बराबर हैं तो
b^2-4ac=0 \\ \Rightarrow(-5)^2-4 \times k \times k=0 \\ \Rightarrow 25-4 k^2=0 \\ \Rightarrow 4 k^2=25 \\ \Rightarrow k^2=\frac{25}{4} \\ \Rightarrow k= \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\ \Rightarrow k= \pm \frac{5}{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 10 में मूलों की प्रकृति (Nature of Roots in Class 10),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10) को समझ सकते हैं।
3.कक्षा 10 में मूलों की प्रकृति पर आधारित सवाल (Questions Based on Nature of Roots in Class 10):
(1.) 5 y^2+12 y-9=0 (2.) 2 x^2+3 x+4=0 (3.) x^2-4 x+4=0
उत्तर (Answers):(1.)समीकरण के मूल वास्तविक पृथक-पृथक एवं परिमेय होंगे।
(2.)मूल वास्तविक नहीं हैं।
(3.)समीकरण के मूल वास्तविक एवं समान हैं।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 10 में मूलों की प्रकृति (Nature of Roots in Class 10),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.कक्षा 10 में मूलों की प्रकृति (Nature of Roots in Class 10),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति का पता कैसे लगाते हैं? (How to Find Out the Nature of Roots of Quadratic Equations?):
उत्तर:द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 के विविक्तकर के विभिन्न प्रकार के मानों के अनुरूप द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्न प्रकार प्रदर्शित की जा सकती है:
(1.)यदि D=b^2-4 a c>0 हो तो समीकरण के मूल वास्तविक एवं पृथक-पृथक होंगे अर्थात् यदि \alpha और \beta दो मूल हों तो \alpha=\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} तथा \beta=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
(2.)यदि D=b^2-4 a c=0 हो तो समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे अर्थात् \alpha=-\frac{b}{2a}=\beta
(3.)यदि D=b^2-4 a c<0 तब समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे अर्थात् दोनों मूल वास्तविक होंगे।
प्रश्न:2.द्विघात समीकरण की विविक्तकर किसे कहते हैं?(What is the Discriminant of Quadratic Equation?):
उत्तर:राशि b^2-4 a c को द्विघात समीकरण की विविक्तकर कहलाती है।इसे संकेत या D द्वारा व्यक्त किया जाता है।
अतः D=b^2-4 a c \quad \forall a,b,c \in R
प्रश्न:3.द्विघात समीकरण के मूलों एवं गुणांकों में सम्बन्ध बताइए। (Describe the Relation Between the Roots and Coefficients of Quadratic Equation?):
उत्तर:माना कि द्विघात समीकरण a x^2+b x+c=0 , a\neq 0 के मूल \alpha तथा \beta हैं तो
मूलों का योग \alpha+\beta=-\frac{b}{a}=- \frac{x \text{का गुणांक}}{x^2 \text{का गुणांक}}
मूलों का गुणनफल \alpha \times \beta=\frac{c}{a}=\frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{का गुणांक}}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 10 में मूलों की प्रकृति (Nature of Roots in Class 10),मूलों की प्रकृति कक्षा 10 (Nature of Roots Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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(Nature of Roots in Class 10)
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
