1.शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10),कक्षा 10 में शंकु का छिन्नक (Frustum of Cone in Class 10):

Frustum of Cone Class 10

शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10) में एक अलग प्रकार के ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने तथा समझने के लिए कुछ उदाहरणों को हल करेंगे।
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2.शंकु का छिन्नक कक्षा 10 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Frustum of Cone Class 10):

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, \pi=\frac{22}{7} लीजिए)
Example:1.पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है।दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4cm और 2cm हैं।इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु के छिन्नक के ऊपरी सिरे की त्रिज्या \left(r_1\right)=\frac{4}{2}=2 \mathrm{~cm}
तथा निचले सिरे की त्रिज्या \left(r_2\right)=\frac{2}{2}=1 \mathrm{~cm}
गिलास की ऊँचाई (h)=14cm
शंकु के छिन्नक के आकार के गिलास का आयतन=\frac{1}{3} \pi h\left(r_1^2+r_3^2+r_1 r_2\right) \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14\left(2^2+1^2+2 \times 1\right) \\ =\frac{44}{3} \times(4+1+2) \\ =\frac{44 \times 7}{3} \\ =\frac{308}{3} =102 \frac{2}{3}  घन सेमी 
Example:2.एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18cm और 6cm हैं।उस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (l)=4cm
शंकु के छिन्नक की ऊपरी परिधि =\left(2 \pi r_1\right)=18 \mathrm{~m} \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r_1=18 \\ \Rightarrow r_1=\frac{18 \times 7}{2 \times 22}=\frac{63}{22}
शंकु के छिन्नक के निचले सिरे की परिधि=\left(2 \pi r_1\right)=6 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times 2=6 \\ \Rightarrow r_2=\frac{6 \times 7}{2 \times 22}=\frac{21}{22}
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =\pi \cdot\left(r_1+r_2\right) l \\ =\frac{22}{7} \times\left(\frac{63}{22}+\frac{21}{22}\right) \times 4 \\ =\frac{22}{7} \times \frac{84}{22} \times 4 \\ =48 वर्गसेमी 
Example:3.एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्नक के आकार की है (देखिए आकृति)।यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10cm है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4cm है और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15cm है,तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Frustum of Cone Class 10

Solution:शंकु के छिन्नक के निचले सिरे की त्रिज्या \left(r_1\right)=10 cm

शंकु के छिन्नक के ऊपरी सिरे की त्रिज्या \left(r_2\right)=4 cm
शंकु के छिन्नक के आकार की टोपी की तिर्यक ऊँचाई (l)=15cm
शंकु के छिन्नक के आकार की टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi \ell\left(r_1+r_2\right) \\ =\frac{22}{7} \times 15(10+4) \\ =\frac{22}{7} \times 15 \times 14=660 वर्गसेमी
बन्द सिरे का क्षेत्रफल=\pi r_{2}^{2} \\ =\frac{22}{7} \times 4 \times 4=\frac{352}{7}
प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल=660+\frac{352}{7}=\frac{4620+352}{7} \\ =\frac{4972}{7} \\ =710 \frac{2}{7} वर्गसेमी 
Example:4.धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8cm और 20cm हैं।20 रु. प्रति लीटर की दर से,इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए।साथ ही,इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य 8 रु. प्रति 100 वर्गसेमी की दर से ज्ञात कीजिए। (\pi=3.14 लीजिए।)
Solution:बर्तन के ऊपरी सिरे की त्रिज्या \left(r_1\right)=20 सेमी
बर्तन (छिन्नक) के निचले सिरे की त्रिज्या \left(r_2\right)=8 सेमी
बर्तन की ऊँचाई (h)=16 सेमी
शंकु के छिन्नक के आकार के बर्तन का आयतन=\frac{1}{3} \pi h\left(r_1^2+r_2^2+r_1 r_2\right) \\ =\frac{1}{3} \times 3.14 \times 16\left(20^2+8^2+20 \times 8\right) \\ =\frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times(400+64+160) \\ =\frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times 624 \\ =10449.92 \text { घन सेमी } \\ =\frac{10449.52}{1000} लीटर 

=10.44992 लीटर 
दूध का मूल्य=10.44992 × 20
=208.9984 रुपए
=209 रुपए
शंकु के छिन्नक के आकार के बर्तन की तिर्यक ऊँचाई (l)=\sqrt{h^2+\left(r_1-r_2\right)^2}\\ =\sqrt{16^2+(20-8)^2} \\ =\sqrt{256+144} \\ =\sqrt{400} \\ \Rightarrow l=20 सेमी
शंकु के आकार के बर्तन का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=\pi \left(r_1+r_2\right) l \\ =3.14(20+8) \times 20 \\ =3.14 \times 28 \times 20 \\ =1758.4 वर्गसेमी 
बर्तन के आधार का क्षेत्रफल=\pi r_2^2 \\ =3.14 \times 8 \times 8 \\ =200.96 वर्ग सेमी
बर्तन बनाने के लिए प्रयुक्त चादर का क्षेत्रफल
=1758.4+200.96
=1959.36 वर्गसेमी
धातु की चादर का मूल्य =\frac{1955.36 \times 8}{100} =156.7488
\approx  156.75 रुपए
दूध का मूल्य=209 रुपए,चादर का मूल्य=156.75 रुपए
Example:5.20cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle) 60° वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोंबीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है,जबकि तल शंकु के आधार के समान्तर है।यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

Frustum of Cone Class 10

Solution:शंकु के आधार का व्यास A’OA है तथा शीर्ष V है।शंकु का शीर्ष कोण \angle A^{\prime} VA=60^{\circ}, तब अर्धशीर्ष कोण \theta=30^{\circ}
शंकु की ऊँचाई=24 सेमी है
समकोण \triangle OAV में
\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}=\frac{O A}{O V} \\ \Rightarrow \tan 30^{\circ} =\frac{r_1}{20} \Rightarrow r_1=20 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow r_1=\frac{20}{\sqrt{3}}  \text{ सेमी }  \\ \triangle VO^{\prime} B \sim \triangle VOA
अतः \frac{VO^{\prime}}{V O}=\frac{O^{\prime} B}{O B} \\ \Rightarrow \frac{10}{90}=\frac{r_2}{r_1} \\ \Rightarrow r_2=\frac{1}{2} r_1 \\ \Rightarrow r_2=\frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2}=\frac{10}{\sqrt{3}} सेमी
छिन्नक की ऊँचाई (h)=\frac{1}{3} \times शंकु की ऊँचाई
=\frac{1}{2} \times 20=10 \text { सेमी }
छिन्नक का आयतन=\frac{1}{3} \pi h\left(r_1^2+r_2^2+r_1 r_2\right) \\ =\frac{1}{3} \pi \times 10\left[\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2+\frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{10}{\sqrt{3}}\right] \\ =\frac{10 \pi}{3}\left[\frac{400}{3}+\frac{100}{3}+\frac{200}{3}\right] \\ =\frac{10 \pi}{3} \times \frac{700}{3}=\frac{7000 \pi}{9}
बेलनाकार तार की त्रिज्या (r)=\frac{1}{16} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{32} सेमी
बेलनाकार तार का आयतन=\pi r^2 H \\ \pi r^2 H=\frac{7000 \pi}{9} \\ \Rightarrow \pi \times \frac{1}{32} \times \frac{1}{32} \times H=\frac{7000 \pi}{9} \\ \Rightarrow H=\frac{7000 \pi}{9} \times \frac{32 \times 32}{\pi} \\ =796444.44  सेमी 
तार की लम्बाई (H)=7964.44 मीटर
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10),कक्षा 10 में शंकु का छिन्नक (Frustum of Cone in Class 10) को समझ सकते हैं।

3.शंकु का छिन्नक कक्षा 10 की समस्याएं (Frustum of Cone Class 10 Problems):

Frustum of Cone Class 10

(1.)एक फ्रिक्शन क्लच, जो एक छिन्नक जैसा है,के आधारों के व्यास क्रमशः 32 सेमी और 20 सेमी है और इसकी ऊँचाई 8 सेमी है।इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
(2.)एक लम्ब वृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या r है।यह आधार से h ऊँचाई पर आधार के समान्तर एक तल द्वारा काटा जाता है।छिन्नक के आधार के केन्द्र से ऊपरी सतह की परिधि पर स्थित किसी बिन्दु की दूरी \sqrt{h^2+\frac{r^2}{9}} हो तो दर्शाइए कि छिन्नक का आयतन \frac{13}{27} \pi r^2 h है।
उत्तर (Answer):(1.)क्लच का पृष्ठीय क्षेत्रफल=817.14 वर्गसेमी,क्लच का आयतन=4324.57 घनसेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10),कक्षा 10 में शंकु का छिन्नक (Frustum of Cone in Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Frustum of Cone Class 10),कक्षा 10 में शंकु का छिन्नक (Frustum of Cone in Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.शंकु का छिन्नक किसे कहते हैं? (What is Called Frustum of a Cone?):

उत्तर:एक दिए हुए शंकु को उसके आधार के समान्तर किसी तल द्वारा काटते हैं और इस तल के एक ओर बने हुए शंकु को हटा देते हैं,तो तल के दूसरी ओर बचे शंकु के भाग को शंकु का छिन्नक (frustum) कहते हैं।

प्रश्न:2.छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई किसे कहते हैं? (What is Slant Height of Frustum?):

उत्तर:छिन्नक के दोनों वृत्तीय आधारों पर एक ही दिशा में खींची समान्तर त्रिज्याओं के बाहरी बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड की लम्बाई को छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई कहते हैं।
चित्र में छिन्नक ABB’A’ की तिर्यक ऊँचाई AA’ या BB’ है।
AA’=VA-VA’
BB’=VB-VB’

प्रश्न:3.शंकु के छिन्नक से सम्बद्ध सूत्र लिखिए। (Write the Formula Related to the Frustum of the Cone?):

उत्तर:शंकु के छिन्नक से संबद्ध सूत्र निम्नलिखित हैं:
(1.)शंकु के छिन्नक का आयतन=\frac{1}{3} \pi h\left(r_1^2+r_2^2+r_{1} r_2\right)
(2.)शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi\left(r_1+r_2\right) l
जहाँ l=\sqrt{h^2+\left(r_1-r_2\right)^2}
(3.)शंकु के छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल =\pi \ell \left(r_1+r_2\right)+\pi r_1^2+\pi r_2^2
जहाँ l=\sqrt{h^2+\left(r_1-r_2\right)^2}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10),कक्षा 10 में शंकु का छिन्नक (Frustum of Cone in Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10) में एक अलग प्रकार के ठोस का
आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने तथा समझने के लिए कुछ उदाहरणों को हल करेंगे।