1.मध्य बिन्दु प्रमेय (Mid Point Theorem),मध्य बिन्दु प्रमेय कक्षा 9 (Mid Point Theorem Class 9)-

मध्य बिन्दु प्रमेय (Mid Point Theorem) में कहा गया है कि त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिन्दु से मिलाने वाला रेखाखण्ड त्रिभुज की तीसरी भुजा के समान्तर होता है और यह तीसरी भुजा की लम्बाई का आधा होता है।
अब तक त्रिभुज और चतुर्भुज के अनेक गुणों के बारे में अध्ययन किया है।अब त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु सम्बन्धी एक अन्य गुण पर विचार करते हैं।
प्रमेय (Theorem):1.मध्य बिन्दु प्रमेय कथन (Mid Point Theorem State)-किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड तीसरी भुजा के समान्तर एवं उसका आधा होता है।
मध्य बिन्दु प्रमेय प्रमाण (Mid Point Theorem Proof),त्रिभुज मध्यबिंदु प्रमेय प्रमाण (Triangle Midpoint Theorem Proof):

Mid Point Theorem

दिया है (Given): त्रिभुज ABC में बिन्दु D और E क्रमशः भुजाओं AB और AC के मध्य बिन्दु हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):(1)DE \parallel BC \quad (2) DE=\frac{1}{2}BC
रचना (Construction):DE को F तक बढ़ाया जहां EF=DE ,C को F से मिलाया।
उपपत्ति (Proof): \triangle ADE और \triangle CFE में
AE=CE (दिया है)
\angle AED=\angle CEF (शीर्षाभिमुख कोण)
DE=EF (रचना से)
अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से (By SAS Congruence Property)

\triangle ADE \cong \triangle CFE
अतः सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएं और कोण समान होंगे
AD=CF

\angle EAD=\angle ECF.......(1)
तिर्यक रेखा AC रेखाओं AB और CF को प्रतिच्छेद करती है और एकान्तर कोण \angle EAD तथा \angle ECF बराबर हैं। अतः
AD \parallel CF और BD \parallel CF......(2)
परन्तु दिया है कि AD=BD……(3)
(1) और (3) से-
BD=CF
अर्थात् BD=CF और BD \parallel CF
अतः BCFD एक समान्तर चतुर्भुज है।
\therefore  DFएवं BC भी समान और समान्तर है।
या DE \parallel BC
\therefore DE=\frac{1}{2}DF (रचना से)
अतः DE=\frac{1}{2}BC
प्रमेय (Theorem):2.[मध्य बिन्दु प्रमेय का विलोम (Converse of Mid Point Theorem), मध्य बिन्दु प्रमेय विलोम (Mid-Point Theorem Converse):
त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से,एक अन्य भुजा के समान्तर खींची गई रेखा, तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

Mid Point Theorem

दिया है (Given):चित्र में \triangle ABC की भुजा AB का मध्य बिन्दु D है DE \parallel BC और AC को E पर काटती है।
सिद्ध करना है (To Prove):AE=EC
रचना (Construction):BD के समान्तर रेखा CF खींची जो DE (बढ़ी हुई) को F पर प्रतिच्छेद करती है।
उपपत्ति (Proof):BC \parallel CF (दिया है)
BD \parallel CF (रचना से)
अतः BCFD एक समान्तर चतुर्भुज है।
BD=CF …….(1)
परन्तु BD=AD (दिया है)
\therefore  AD=CF
अब \triangle ADE और \triangle CFE में
\angle ADE=\angle CFE (एकान्तर कोण)
AD=CF [(1) से]
\angle DAE=\angle ECF (एकान्तर कोण)
कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से (By ASA Congruence Property)

\triangle ADE \cong \triangle CFE
अतः AE=CE
अन्त:खण्ड (Intercept):

Mid Point Theorem

यदि एक समतल में दो रेखाएं l_{1} और l_{2} हों और यदि एक तीसरी रेखा l_{3} उन्हें भिन्न-भिन्न बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करती हो तो रेखाखण्ड AB दी गई रेखाओं l_{1} और l_{2} द्वारा तीसरी रेखा l_{3} पर बनाया गया अन्त:खण्ड कहलाता है।
प्रमेय (Theorem):3 यदि तीन या अधिक समान्तर रेखाएं हों और उनके द्वारा एक तिर्यक रेखा पर बनाए गए अन्त:खण्ड बराबर हों तो किसी अन्य तिर्यक रेखा पर संगत अन्त:खण्ड भी बराबर होंगे।

Mid Point Theorem

दिया है (Given):चित्र में l,m,n तीन समान्तर रेखाएं हैं और दो तिर्यक रेखाएं l_{1} तथा l_{2} उनको क्रमशः A,B,C और D,E,F बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है तथा AB=BC है।
सिद्ध करना है (To Prove):DE=EF
रचना (Construction):तिर्यक रेखा l_{1} के समान्तर रेखा GH खींची जो E से गुजरती है।
उपपत्ति (Proof):l एवं m समान्तर रेखाएं हैं।अतः

AG \parallel BE
एवं AB \parallel GE (रचना से)
\therefore  ABEG एक समान्तर चतुर्भुज है।
अतः AB=GE …..(1)
इसी प्रकार BCHE भी एक समान्तर चतुर्भुज है।
अतःBC=EH ……(2)
दिया हुआ है कि AB=BC
अतःGE=EH ……(3)
पुनः l और m समान्तर रेखाएं हैं और तिर्यक रेखा l_{2}  उनको प्रतिच्छेद करती है।अतः
\angle GDE=\angle EFH(एकान्तर कोण)…..(4)
अतः \triangle GDE और \triangle HFE में
\angle GDE=\angle EFH[(4) से]
GE=EH [(3) से]
\angle GED=\angle FEH (शीर्षाभिमुख कोण)
कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से (By ASA Congruence Property)

\triangle GDE \cong \triangle HFE
अतः सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएं समान होंगी
अर्थात् DE=EF

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2.मध्य बिन्दु प्रमेय उदाहरण (Mid Point Theorem Examples)-

Example-1.एक त्रिभुज \triangle ABC के शीर्षों A,B और C से होकर क्रमशः भुजाओं BC,CA और AB के समान्तर रेखाएं RQ,PR और QP चित्र में दर्शाए अनुसार खींची गई है।दर्शाइए कि BC=\frac{1}{2} QR  है।

Mid Point Theorem

Solution-दिया है (Given): \triangle ABC के शीर्षो A,B और C से होकर भुजाओं BC,CA और AB के समान्तर रेखाएं RQ,PR और QP खींची गई हैं अर्थात् BC \parallel QR ,CA \parallel PR तथा AB \parallel QP
सिद्ध करना है (To Prove):BC=\frac{1}{2} QR
उपपत्ति (Proof): चतुर्भुज BCAR में
BC \parallel QR(दिया है)
BR \parallel CA(दिया है)
अतः BCAR समान्तर चतुर्भुज है।फलत:
BC=AR (स.च. की सम्मुख भुजाएं समान होती है) ….(1)
इसी प्रकार चतुर्भुज ABCQ में
BC \parallel AQ (दिया है)
AB \parallel CQ (दिया है)
अतः ABCQ समान्तर चतुर्भुज है।फलत:
BC=AQ (स.च. की सम्मुख भुजाएं समान होती है) ….(2)
(1) व (2) से-
AR=AQ
अतः BC=\frac{1}{2} QR
Example-2.D,E और F क्रमशः एक समबाहु \triangle ABC की भुजाओं BC,CA और AB के मध्य बिन्दु है।दर्शाइए कि \triangle DEF भी एक समबाहु त्रिभुज है।

Mid Point Theorem

Solution– दिया है (Given):\triangle ABC एक समबाहु त्रिभुज है अर्थात् AB=BC=CA
सिद्ध करना है (To Prove): \triangle DEF समबाहु त्रिभुज है अर्थात् DE=EF=FD
उपपत्ति (Proof):D व E मध्य बिन्दु है
अतः DE=\frac{1}{2} AB (मध्य बिन्दु प्रमेय से) …..(1)
इसी प्रकार E व F मध्य बिन्दु है
अतः EF=\frac{1}{2} BC (मध्य बिन्दु प्रमेय से) …….(2)
D व F मध्य बिन्दु है अतः
DF=\frac{1}{2} AC (मध्य बिन्दु प्रमेय से) …….(3)
AB=BC=CA (दिया है)
अतः \frac{1}{2} AB=\frac{1}{2} BC=\frac{1}{2} AC....(4)
(1),(2),(3) व (4) से-
DE=EF=DF
अतः \triangle DEF समबाहु त्रिभुज है।
Example-3.E एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD की भुजा AD का मध्य बिन्दु है जिसमें AB \parallel DC है।E से होकर AB के समान्तर खींची गई रेखा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है।दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य बिन्दु है।

Mid Point Theorem

Solution-दिया है (Given):ABCD समलम्ब चतुर्भुज में AB \parallel CD  तथा AD का मध्य बिन्दु E है। EF \parallel AB
सिद्ध करना है (To Prove):BF=FC
रचना (Construction):AC को मिलाया जो EF को O पर काटती है।
उपपत्ति (Proof): \triangle ACD में
E,AD का मध्य बिन्दु है तथा EO \parallel CD
[ \because  AB \parallel CD तथा  EF \parallel AB अतः EF \parallel DC]
AO=OC (मध्य बिन्दु के विलोम से)
\triangle ABC में O,AC का मध्य बिन्दु है
तथा OF \parallel AB (दिया है)
अतः BF=FC (मध्य बिन्दु प्रमेय के विलोम से)
Example-4.चित्र में D,E और F क्रमशः भुजाओं BC,CA और AB के मध्य बिन्दु है।यदि AB=4.3 सेमी,BC=5.6 सेमी और AC=3.9 सेमी हो तो निम्नलिखित का परिमाप ज्ञात कीजिए।
(1.)\triangle DEF
(2.) चतुर्भुज BDEF

Mid Point Theorem

Solution-D व E क्रमशः \triangle ABC की भुजाओं BC व AC के मध्य बिन्दु है
अतः DE=\frac{1}{2} AB(मध्य बिन्दु प्रमेय से)

DE \parallel AB ......(1) \\ DE=\frac{4.3}{2}
DE=2.15
E व F, \triangle ABC  की क्रमशः भुजाओं AC व AB के मध्य बिन्दु हैं
अतः EF=\frac{1}{2} BC (मध्य बिन्दु प्रमेय से)
EF \parallel BC (मध्य बिन्दु प्रमेय से) ….(2)
EF=\frac{5.6}{2}
EF=2.8
इसी प्रकार \triangle ABC की क्रमशः भुजाओं AB व BC के मध्य बिन्दु F व D है अतः मध्य बिन्दु प्रमेय से-

DF=\frac{1}{2} BC \\ DF \parallel AC.......(3) \\  DF=\frac{3.9}{2}
DF=1.95
(1.)\triangle DEF  का परिमाप

=DE+EF+DF
=2.15+2.8+1.95
=6.90
(2.) DE \parallel AB [(1) से]
अतः BF \parallel DE.....(4)
EF \parallel BC [(2) से]
अतः EF \parallel BD.....(5)
(4) व (5) से-
BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
अतः समान्तर चतुर्भुज BDEF का परिमाप
=2(EF+DE)
=2(2.8+2.15)
=2×4.95
=9.9सेमी
Example-5.एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्बवत् हैं। सिद्ध कीजिए कि उसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से निर्मित चतुर्भुज एक आयत होता है।

Mid Point Theorem

Solution-दिया है (Given): चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC व BD लम्बवत् है।P,Q,R,S क्रमशः भुजाओं AB,BC,CD,DA के मध्य बिन्दु है।
सिद्ध करना है (To Prove):PQRS एक आयत है।
उपपत्ति (Proof): \triangle ABC में P व Q क्रमशः भुजाओं AB व BC के मध्य बिन्दु हैं अतः मध्य बिन्दु प्रमेय से

PQ=\frac{1}{2} AC.....(1) \\  PQ \parallel AC.....(2)
इसी प्रकार \triangle ACD में S व R क्रमशः भुजाओं AD व CD के मध्य बिन्दु हैं अतः मध्य बिन्दु प्रमेय से-

SR=\frac{1}{2} AC.....(3) \\  SR \parallel AC.....(4)
(1) व (3) तथा (2) व (4) से-
PQ=SR , PQ \parallel SR
अतः PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार PS=\frac{1}{2} BD .....(5) \\ PS \parallel BD....(6)
व QR=\frac{1}{2} BD .....(7) \\ QR \parallel BD....(8)
(4) व (6) से-
SV \parallel WO तथा SW \parallel VO
अतः SWOV एक समान्तर चतुर्भुज है।समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

\angle AOV=\angle RSP=90^{\circ}
इसी प्रकार \angle SRQ=\angle DOC=90^{\circ} \\ \angle SPQ=\angle AOB=90^{\circ} \\ \angle PQR=\angle BOC=90^{\circ}
अतः PQRS एक आयत है।
Example-6.सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण को समद्विभाजित करने वाली माध्यिका कर्ण की आधी होती है।

Mid Point Theorem

Solution-दिया है (Given):समकोण \angle ABC त्रिभुज में BD माध्यिका है अर्थात् AD=DC
सिद्ध करना है (To Prove):BD=\frac{1}{2} AC
रचना (Construction):AC के मध्य बिन्दु D से DE \parallel BC खींची जो AB को E पर मिलती है।
उपपत्ति‌ (Proof):D,AC का मध्य बिन्दु है तथा DE \parallel BC
अतः मध्य बिन्दु प्रमेय विलोम से
BE=AE ……(1)
\angle AED=\angle ABC(संगत कोण)
अतः \angle AED=\angle BED=90^{\circ}....(2)
\triangle AED तथा \triangle BED में
DE=DE (उभयनिष्ठ भुजा)
\angle AED=\angle BED [(2) से]
AE=BE [(1) से]
भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से (By SAS Congruence Property)

\triangle AED \cong  \triangle BED
AD=BD (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएं समान होती है)
अतः BD=\frac{1}{2} AC
Example-7.E एक \triangle ABC की माध्यिका AD का मध्य बिन्दु है तथा BE को AC को F पर मिलने के लिए बढ़ाया गया है।दर्शाइए कि AF=\frac{1}{3} AC है।

Mid Point Theorem

Solution-दिया है (Given):\triangle ABC की माध्यिका AD का मध्य बिन्दु E है।
सिद्ध करना है (To Prove):AF=\frac{1}{3} AC
रचना (Construction):EF \parallel DG खींची।
उपपत्ति (Proof): \triangle BCF में
D,BC का मध्य बिन्दु है
तथा DG \parallel EF (रचना से) अतः मध्य बिन्दु प्रमेय के विलोम से
CG=FG ……..(1)

\triangle ADG में 
E,AD का मध्य बिन्दु है तथा DG \parallel EF अतः मध्य बिन्दु प्रमेय के विलोम से
AF=FG …….(2)
(1) व (2) से-
CG=FG=AF

\Rightarrow AF=\frac{1}{3} AC
Example-8.दर्शाइए कि किसी वर्ग की क्रमागत भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने पर बना चतुर्भुज भी एक वर्ग होता है।

Mid Point Theorem

Solution-दिया है (Given): ABCD एक वर्ग है तथा P,Q,R,S वर्ग की क्रमशः भुजाओं AB,BC,CD,DA के मध्य बिन्दु है।
सिद्ध करना है (To Prove):PQRS एक वर्ग है।
रचना (Construction):कर्ण AC व BD को मिलाया जो O पर काटते हैं।
उपपत्ति (Proof): \triangle ACD में S व R भुजाओं AD व CD के मध्य बिन्दु हैं अतः मध्य बिन्दु प्रमेय से

SR=\frac{1}{2} AC....(1) \\ SR \parallel AC
इसी प्रकार \triangle ABC में P व Q क्रमशः भुजाओं AB व BC के मध्य बिन्दु हैं अतः

PQ=\frac{1}{2} AC...(3) \\ PQ \parallel AC....(4)
(1) व (3) तथा (2) व (4) से-
\frac{1}{2} AC =SR=PQ तथा SR \parallel AC.....(5)
में P व S क्रमशः भुजाओं AB व AD के मध्य बिन्दु हैं

SP=\frac{1}{2} BD.....(6)  तथा SP \parallel BD.....(7)
इसी प्रकार \triangle BCD में Q व R क्रमशः भुजाओं BC व CD के मध्य बिन्दु हैं अतः

QR=\frac{1}{2} BD.....(8) \\ QR \parallel BD.....(9)
(6) व (8) तथा (7) व (9) से-

SP=QR=\frac{1}{2} BD......(10)
SP \parallel QR परन्तु AC=BD ….(11)
(5) व (10) तथा (11) से-
SP=PQ=QR=RS …….(12)
तथा PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
चतुर्भुज SWOV में SV \parallel OW तथा OV \parallel SW
अतः SWOV समान्तर चतुर्भुज है।फलत:
\angle RSP=\angle AOD=90^{\circ}(स.च. के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)….(13)
इसी प्रकार \angle SPQ=\angle PQR=\angle QRS=90^{\circ}....(4)
समीकरण (12),(13) व (14) से-
PQRS एक वर्ग है।

3.मध्य बिन्दु प्रमेय की समस्याएं (Mid Point Theorem Problems),मध्य बिन्दु प्रमेय सवाल (Mid Point Theorem Questions)-

(1.)एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं BC,CA और AB के मध्य-बिन्दु क्रमशः D,E और F है।सिद्ध कीजिए कि \triangle DEF एक समबाहु त्रिभुज है।
(2.)सिद्ध कीजिए कि एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा उसकी समान्तर भुजाओं के समान्तर तथा उनके अन्तर की आधी होगी।
(3.) सिद्ध कीजिए कि किसी चतुर्भुज की क्रमागत भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बना चतुर्भुज समान्तर चतुर्भुज होता है।
(4.)चित्र में X और Y क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं AD और BC के मध्य-बिन्दु हैं।साथ ही BX और DY क्रमशः AC को P और Q पर प्रतिच्छेद करते हैं।दर्शाइए कि AP=PQ=QC है।

Mid Point Theorem

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर मध्य बिन्दु प्रमेय (Mid Point Theorem),मध्य बिन्दु प्रमेय कक्षा 9 (Mid Point Theorem Class 9) को ठीक से समझा जा सकता है।

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4.मध्य बिन्दु प्रमेय (Mid Point Theorem) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

 है और आधा भी है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा मध्य बिन्दु प्रमेय (Mid Point Theorem),मध्य बिन्दु प्रमेय कक्षा 9 (Mid Point Theorem Class 9) को भली-भांति समझा जा सकता है।