1.बीजीय व्यंजकों के गुणनखण्ड (Factors of Algebraic Expression),गुणनखण्ड (Factors):

Factors of Algebraic Expression

बीजीय व्यंजकों के गुणनखण्ड (Factors of Algebraic Expression) के इस आर्टिकल में कुछ बीजीय व्यंजकों के कठिन सवालों के गुणनखण्ड ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- MCQ Examples of Co-ordinate Geometry

2.बीजीय व्यंजकों के गुणनखण्ड पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Factors of Algebraic Expression):

निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए:
Illustration:1. x^3-\frac{1}{x^3}+4
Solution: x^3-\frac{1}{x^3}+4 \\ x^3+\left(-\frac{1}{x}\right)^3+1^3-3(x)\left(-\frac{1}{x}\right)(1) \\ \Rightarrow \left(x-\frac{1}{x}+1\right)\left[x^2+\left(-\frac{1}{x}\right)^2+1^2-x \times(-1)-\left(-\frac{1}{x}\right)(1)-(x)(1)\right] \\ \Rightarrow \left.\left(x-\frac{1}{x}+1\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}+1+1+\frac{1}{x}-x\right)\right] \\=\left[\left(x-\frac{1}{x}+1\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2+\frac{1}{x}-x\right)\right]
Illustration:2. 8 x^3+\frac{27}{8 x^3}-10
Solution: 8 x^3+\frac{27}{8 x^3}-10 \\ =(2 x)^3+\left(\frac{3}{2 x}\right)^3+(2)^3-18 \\ =(2 x)^3+\left(\frac{3}{2 x}\right)^3+(2)^3-3 \times \frac{2 x}{1} \times \frac{3}{2 x} \times 2 \\ =\left(2 x+\frac{3}{2 x}+2\right)\left[(2 x)^2+\left(\frac{3}{2 x}\right)^2+(2)^2 -2 x \times \frac{3}{2 x}-\frac{3}{2 x} \times 2 -2 x \times 2\right] \\ =\left(2 x+\frac{3}{2 x}+2\right)\left(4 x^2+\frac{9}{4 x^2}+4-3-\frac{3}{x}-4 x\right) \\ =\left(2 x+\frac{3}{2 x}+2\right)\left(4 x^2+\frac{9}{4 x^2}+1-\frac{3}{x}-4 x\right) \\ =\left(2 x+\frac{3}{2 x}+2\right)\left(4 x^2+\frac{9}{4 x^2}+4-3-\frac{3}{x}-4 x\right) \\ =\left(2 x+\frac{3}{2 x}+2\right)\left(4 x^2+\frac{9}{4 x^2}+1-\frac{3}{x}-4 x\right)
Illustration:3. x^3-\frac{y^3}{27}+z^3+x y z
Solution: x^3-\frac{y^3}{27}+z^3+x y z \\ =x^3+\left(-\frac{y}{3}\right)^3+z^3-3 \times x \times-\frac{y}{3} \times z \\ =\left(x-\frac{y}{3}+z\right)\left[x^2+\left(-\frac{y}{3}\right)^2+z^2-x \times\left(-\frac{y}{3}\right)-\left(-\frac{y}{3}\right) \times z-x \times z\right] \\=\left(x-\frac{y}{3}+z\right) \left(x^2+\frac{y^2}{9}+z^2+\frac{1}{3} x y+\frac{1}{3} yz - x z\right)
Illustration:4. x^3-8 y^3+z^3+6 x y z
Solution: x^3-8 y^3+z^3+6 x y z \\ =x+(-2 y)^3+z^3-3 \times x \times-2 y \times z \\ =(x-2 y+z) \left[x^2+(-2 y)^2+z^2-x \times-2 y-(-2 y) \times z-x \times z\right] \\ =(x-2 y+z)\left(x^2+4 y^2+z^2+2 x y+2 y z-xz\right)
Illustration:5. \frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3}-3
Solution: \frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3}-3 \\ =\left(\frac{x}{y}\right)^3+ \left(\frac{y}{z}\right)^3+\left(\frac{z}{x}\right)^3-3 \times \frac{x}{y} \times \frac{y}{z} \times \frac{z}{x} \\ =\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\left[\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2 +\left(\frac{z}{x}\right)^2-\frac{x}{y} \times \frac{y}{z} - \frac{y}{z} \times \frac{z}{x}-\frac{x}{y} \times \frac{z}{x}\right] \\ =\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}-\frac{x}{z}-\frac{y}{x}-\frac{z}{y}\right)
Illustration:6. 8 x^3-\frac{1}{27 x^3}+12
Solution: 8 x^3-\frac{1}{27 x^3}+12 \\ =(2 x)^3+\left(\frac{-1}{3 x}\right)^3+8+4 \\ =(2 x)^3+\left(-\frac{1}{3 x}\right)^3+2^2-3 \times(2 x)\left(-\frac{1}{3 x}\right) \times 2 \\ =\left(2 x-\frac{1}{3 x}+2\right) \left[(2 x)^2+\left(-\frac{1}{3 x}\right)^2+2^2-2 x \times-\frac{1}{3 x}-\left(-\frac{1}{3 x}\right)(2)-(2 x)(2)\right] \\ =\left(2 x-\frac{1}{3 x}+2\right)\left(4 x^2+\frac{1}{9 x^2}+4+\frac{2}{3}+\frac{2}{3} x-4 x \right] \\ =\left(2 x-\frac{1}{3 x}+2\right)\left(4 x^2+\frac{1}{9 x^2}+\frac{14}{3}+\frac{2}{3} x-4 x\right)
Illustration:7. x^3+\frac{8}{x^3}+9
Solution: x^3+\frac{8}{x^3}+9 \\ =x^3+\frac{8}{x^3}+27-18 \\ =x^3+\left(\frac{2}{x}\right)^3+(3)^3-3 \times x \times \frac{2}{x} \times 3 \\ =\left(x+\frac{2}{x}+3\right)\left[x^2+\left(\frac{2}{x}\right)^2+3^2-x \times \frac{2}{x}-\frac{2}{x} \times 3-x \times 3\right] \\ =\left(x+\frac{2}{x}+ 3\right)\left(x^2+\frac{4}{x^2}+9-\frac{9}{x}-\frac{6}{x}-3 x\right) \\ =\left(x+\frac{2}{x}+ 3\right)\left(x^2+\frac{4}{x^2}+7-\frac{6}{x}-3 x\right)
Illustration:8. x^3-y^3+z^3+3 x y z
Solution: x^3-y^3+z^3+3 x y z \\ =x^3+(-y)^3+z^3-3 x \times(-y) \times z \\ =(x-y+z)\left(x^2+y^2+z^2+x y+y z-x z\right)

Factors of Algebraic Expression

Illustration:9. a^3+b^3-27 c^3+9 a b c
Solution: a^3+b^3-27 c^3+9 a b c \\ =a^3+b^3+(-3 c)^3-3 \times a \times b \times(-3 c) \\=(a+b-3 c)\left[a^2+b^2+(-3 c)^2-a \times b-b \times(-3 c)-a \times(-3c)\right] \\ =(a+b-3 c) \left(a^2+b^2+9 c^2-a b+3 b c+3 a c\right)
Illustration:10. x^3-y^3+3 x y+1
Solution: x^3-y^3+3 x y+1 \\ =x^3+(-y)^3+1^3-3 \times x \times(-y) \times 1 \\ =(x-y+1) \left[x^2+y^2+1-x \times-y-(-y) \times 1-x \times 1\right] \\ =(x-y+1)\left(x^2+y^2+1+x y+y-x\right)
Illustration:11. \frac{a^6}{8}-\frac{1}{27}+9 a^3
Solution: \frac{a^6}{8}-\frac{1}{27}+9 a^3 \\ =\left(\frac{a^2}{2}\right)^3+\left(-\frac{1}{3} \right)^3+8 a^3+a^3 \\ =\left(\frac{a^2}{2}\right)^3+\left(-\frac{1}{3}\right)^3+(2 a)^3-3 \times \frac{a^2}{2} \times-\frac{1}{3} \times 2 a \\ =\left(\frac{a^2}{2}-\frac{1}{3}+2 a\right)\left[\left(\frac{a^2}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{3}\right)^2+(2 a)^2-\frac{a^2}{2} \times-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right) \times 2 a-\frac{a^2}{2} \times 2 a\right] \\ =\left(\frac{a^2}{2}-\frac{1}{3}+2 a\right)\left(\frac{a^4}{4}+\frac{1}{9}+4 a^2+\frac{a^2}{6}+\frac{2}{3} a-a^3\right)
Illustration:12. 8 x^3+27 y^3+64 z^3-72 x y z
Solution: 8 x^3+27 y^3+64 z^3-72 x y z \\ =(2 x)^3+(3 y)^3+(4 z)^3-3 \times 2 x \times 3 y \times 4 z \\ =(2 x+3 y+4 z)\left[(2 x)^2+(3 y)^2+(4 z)^2-2 x \times 3 y-3y \times 4 z-2 x \times 4 z\right] \\ =(2 x+3 y+4 z)\left(4 x^2+9 y^2+16 z^2-6 x y-12 y z-8 x z\right)
Illustration:13. 125 a^3+b^3-c^3+15 a b c
Solution: 125 a^3+b^3-c^3+15 a b c \\ =(5 a)^3+b^3+(-c)^3-3 \times 5 a \times b \times-c \\ =(5 a+b-c)\left[(5 a)^2+b^2+(-c)^2-5 a \times b-b \times -c-5 a \times -c\right] \\ =(5 a+b-c)\left(25 a^2+b^2+c^2-5 a b+b c+5 a c\right)
Illustration:14. a^3+\frac{1}{a^3}+2
Solution: a^3+\frac{1}{a^3}+2 \\ =a^3+\left(\frac{1}{a}\right)^2+(2)^3-3 \times a \times \frac{1}{a} \times 2 \\ =\left(a+\frac{1}{a}+2\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}+4-a \times \frac{1}{a}-\frac{1}{a} \times 2-a \times 2\right) \\ =\left(a+\frac{1}{a}+2\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}+4-1-\frac{2}{a}-2 a\right) \\ =\left(a+\frac{1}{a}+2\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a}-2 a+3\right)
Illustration:15. 8 x^3+y^3+\frac{27}{x^3}-18 y
Solution: 8 x^3+y^3+\frac{27}{x^3}-18 y \\ =(2 x)^3+y^3+\left(\frac{3}{x}\right)^3-3 \times 2 x \times y \times \frac{3}{x} \\ =\left(2 x+y+\frac{3}{x}\right)\left[(2x)^2+y^2+\left(\frac{3}{x}\right)^2-2 x \times y-y \times \frac{3}{x}-2 x \times \frac{3}{x}\right] \\ =\left(2 x+y+\frac{3}{x}\right)\left(4 x^2+y^2+\frac{9}{x^2}-2 x y-\frac{3 y}{x}-6\right)
Illustration:16. \frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{8 x^3}-5
Solution: \frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{8 x^3}-5 \\ =\left(\frac{x}{y}\right)^3+\left(\frac{y}{2 x}\right)^3-8+3 \\ =\left(\frac{x}{y}\right)^3+\left(\frac{y}{2 x}\right)^2+(-2)^3-3 \times \frac{x}{y} \times \frac{y}{2 x} \times-2 \\ =\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{2 x}-2\right)\left[\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{2 x}\right)^2+(-2)^2-\frac{x}{y} \times \frac{y}{2 x}-\frac{y}{2 x} \times-2-\frac{x}{y} \times-2\right] \\ =\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{2 x}-2\right)\left[\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{4 x^2}+4-\frac{1}{2}+\frac{y}{x}+\frac{2 x}{y}\right) \\ =\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{2 x}-2\right)\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{4 x^2}+\frac{7}{2}+\frac{y}{x}+\frac{2 x}{y}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजीय व्यंजकों के गुणनखण्ड (Factors of Algebraic Expression),गुणनखण्ड (Factors) को समझ सकते हैं।

3.बीजीय व्यंजकों के गुणनखण्ड की समस्याएँ (Factors of Algebraic Expression Problems):

Factors of Algebraic Expression

(1.)व्यंजक x^3+\frac{1}{27} y^3+z^3-x y z के गुणनखण्ड कीजिए।
(2.)व्यंजक x^3(y-z)^3+y^3(z-x)^3+ z^3(x-y)^3 के गुणनखण्ड कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) \left(x+\frac{1}{3} y+z\right)\left(x^2+\frac{1}{9} y^2+z^2-\frac{1}{3} x y-\frac{1}{3} y z-xz\right)
(2.)3xyz(x-y)(y-z)(z-x)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजीय व्यंजकों के गुणनखण्ड (Factors of Algebraic Expression),गुणनखण्ड (Factors) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Illustrations of Polynomials Class 9

4.बीजीय व्यंजकों के गुणनखण्ड (Frequently Asked Questions Related to Factors of Algebraic Expression),गुणनखण्ड (Factors) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बीजीय व्यंजकों के गुणनखण्ड (Factors of Algebraic Expression) के इस आर्टिकल में कुछ
बीजीय व्यंजकों के कठिन सवालों के गुणनखण्ड ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।