1.कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram in Class 9th),चतुर्भुज कक्षा 9 (Quadrilateral Class 9):

Parallelogram Class 9th

कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram Class 9th) के इस आर्टिकल में समान्तर चतुर्भुज के गुणधर्मों पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज के साधित उदाहरण (Parallelogram Class 9th Solved Examples):

Example:1.एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं BC,CA और AB के मध्य-बिन्दु क्रमशः D,E और F है।सिद्ध कीजिए कि \triangle DEF एक समबाहु त्रिभुज है।

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Solution:दिया है (Given):एक \triangle ABC जिसकी भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु क्रमशः D,E और F हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):एक \triangle DEF समबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति (Proof): \triangle ABC में D,E और F क्रमशः BC,CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं,
अतः DE=\frac{1}{2} AB \cdots(1)\\ EF=\frac{1}{2} BC \cdots(2) \\ FD =\frac{1}{2} AC \cdots(3)
परन्तु \triangle ABC एक समबाहु है
अतः AB=BC=AC
(1),(2) और (3) से
DE=EF=FD
अर्थात् \triangle DEF एक समबाहु त्रिभुज है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा उसकी समान्तर भुजाओं के समान्तर तथा उनके अन्तर की आधी होती है।

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Solution:दिया है (Given):एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD है जिसमे AB \| DC एवं विकर्ण AC और BD के मध्य बिन्दु क्रमशः F और G हैं।
सिद्ध करना है (To Prove): (i) FG\|AB
(ii) FG=\frac{1}{2}(AB-CD)
रचना (Construction):CG को मिलाते हुए आगे इस प्रकार बढ़ाया कि यह AB पर E बिन्दु पर मिले।
उपपत्ति (Proof): \triangle CDG और \triangle EBG में
\angle CDG=\angle EBG (एकान्तर कोण)
DG=GB  (दिया है)
\angle DCG=\angle BEG (एकान्तर कोण)
कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता नियम से
\triangle CDG \cong \triangle EBG
अतः CG=EG  (CPCT से) …. (1)
CD=EB   (CPCT से)  ….. (2)
अब \triangle ACE में,F और G क्रमशः भुजाओं AC और CE के मध्य-बिन्दु हैं।
अतः FG \| AE और FG=\frac{1}{2} AE \cdots(3)
परन्तु AE=AB-EB
AE=AB-CD   [(2) से] …..(4)
(3) और (4) से:
FG=\frac{1}{2} A E=\frac{1}{2}(AB-CD)
और FG \| AE \\ \Rightarrow FG \| AB
Example:3.दो रेखाखण्डों AC और BD एकदूसरे को P पर समद्विभाजित करते हों,तो सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

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Solution:दिया है (Given):रेखाखण्ड AC और BD एकदूसरे को P पर समद्विभाजित करते हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
रचना (Construction):A,B,C और D को क्रमशः मिलाया।
उपपत्ति (Proof): \triangle APB और \triangle CPD
AP=PC   (दिया है)
BP=PD   (दिया है)
AC और BD विकर्ण हैं तथा AC व BD एकदूसरे को समद्विभाजित करते हैं अतः
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
Example:4.एक समान्तर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसके एक कोण को समद्विभाजित करता है।सिद्ध कीजिए कि वह विकर्ण उस कोण के सम्मुख कोण को भी समद्विभाजित करेगा।

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Solution:दिया है (Given):समान्तर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC कोण \angle BAD को समद्विभाजित करता है अर्थात् \angle BAC=\angle DAC
सिद्ध करना है (To Prove): \angle BCA=\angle DCA
उपपत्ति (Proof): AB \| DC तथा AC तिर्यक रेखा काटती है।
अतः \angle BAC=\angle DCA (एकान्तर कोण)….(1)
इसी प्रकार \angle DAC=\angle BCA (AD \| BC से)…..(2)
\angle BAC=\angle DCA (दिया है)…..(3)
अतः (1),(2) और (3) से हमें प्राप्त होता है
\angle BCA=\angle DCA
Example:5.PQ और RS दो बराबर और समान्तर रेखाखण्ड हैं।बिन्दु M,जो PQ या RS पर स्थित नहीं है,को Q और S से मिलाया जाता है।P से होकर जाती हुई QM के समान्तर रेखा और R से होकर जाती हुई SM के समान्तर रेखा परस्पर N पर मिलती है।सिद्ध कीजिए कि रेखाखण्ड MN और PQ परस्पर बराबर और समान्तर हैं।

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Solution:दिया है (Given):PQ=RS और PQ \| RS है।अतः PQRS समान्तर चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है (To Prove):MN=PQ तथा MN \| PQ
उपपत्ति (Proof):PQRS समान्तर चतुर्भुज है
अतः PR=QS और PQ \| RS \cdots(1) \\ PR \| QS \\ \therefore \angle RPQ+\angle PQS=180^{\circ} (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोण)
अर्थात् \angle RPQ+\angle PQM+\angle MQS=180^{\circ} \cdots(2)
साथ ही PN \| QM (दिया है)
\angle NPR+\angle RPQ+\angle PQM=180^{\circ} \cdots(3)
अतः \angle NPR=\angle MQS [(2) और (3) से] …..(4)
इसी प्रकार \angle NRP=\angle MSQ \cdots(5) \\ \triangle PNR तथा \triangle QMS में
PR=QS  [(1) से]
\angle NPR=\angle MQS [(4) से]
\angle NRP=\angle MSQ [(5) से]
ASA सर्वांगसमता गुणधर्म से
\triangle PNR \cong \triangle QMS
अतः PN=QM और NR=MS   (CPCT से)
क्योंकि है,अतः PQMN एक समान्तर चतुर्भुज है
अतः MN=PQ और MN \| PQ है।
Example:6.चित्र में,AX और CY क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण A और C के समद्विभाजक हैं।दर्शाइए कि AX \| YC है।

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Solution:दिया है (Given):समान्तर चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण और के समद्विभाजक क्रमशः AX और CY हैं।
सिद्ध करना है (To Prove): AX \| YC
उपपत्ति (Proof): \angle A=\angle C (समान्तर चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण)
अतः \frac{1}{2} \angle A=\frac{1}{2} \angle C
अर्थात् \angle YAX=\angle YCX \cdots(1)
साथ ही, \angle AYC+\angle YCX=180^{\circ} (क्योंकि YA \| CX)…..(2)
अतः \angle AYC+\angle YAX=180^{\circ} [(1) और (2) से]
इसलिए AX \| YC (क्योंकि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोण सम्पूरक हैं)
Example:7.सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बना चतुर्भुज एक आयत होता है।
Solution:दिया है (Given):समान्तर चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक P व R से मिलते हैं।
सिद्ध करना है (To Prove): \angle P=\angle R=\angle S=\angle Q=90^{\circ} अर्थात् PQRS एक आयत है।

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उपपत्ति (Proof): \angle C+\angle D=180^{\circ} (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोणों का योग)
\frac{1}{2} \angle C+\frac{1}{2} \angle D=\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle CDP+\angle DCP=90^{\circ} (DP व CP समद्विभाजक हैं) …..(1)
\triangle CPD में
\angle CPD+\angle CDP+\angle DCP=180 \\ \Rightarrow \angle CPD+90^{\circ}=180^{\circ} [(1) से]
\Rightarrow \angle CPD=180^{\circ}-90^{\circ} \\ \Rightarrow \angle CPD=90^{\circ} \cdots(2)
इसी प्रकार \angle ARB=90^{\circ} \\ \triangle ASD में
\angle A+\angle D=180^{\circ} (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोणों का योग)
\Rightarrow \frac{1}{2} \angle A+\frac{L}{2} \angle D=\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ \angle ADS+\angle DAS=90^{\circ} [PD व AS समद्विभाजक हैं]….(4)
\triangle ASD में
\angle ASD+\angle ADS+\angle DAS=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ASD+90^{\circ} =180^{\circ} [(4) से]
\Rightarrow \angle ASD=180^{\circ}-90^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ASD=90^{\circ} \\ \angle RSP = \angle ASD(सम्मुख कोण)
\Rightarrow \angle RSP=90^{\circ} …..(5)
इसी प्रकार \angle PQR=90^{\circ} \cdots(6)
अतः (2),(3),(5) और (6) से:
\angle CPD=\angle ARB=\angle RSP=\angle PQR=90^{\circ}
अतः PQRS एक आयत है।
Example:8.एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्बवत हैं।सिद्ध कीजिए कि उसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं का मिलान से निर्मित चतुर्भुज एक आयत होता है।

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Solution:दिया है (Given):चतुर्भुज ABCD में AC \bot BD तथा E,F,G,H क्रमशः भुजाओं DC,CA,BA व AD के मध्य-बिन्दु हैं।इन बिंदुओं को मिलाने पर चतुर्भुज EFGH का निर्माण होता है।
सिद्ध करना है (To Prove):EFGH एक आयत है।
उपपत्ति (Proof): \triangle ACD में HE \| AC
एवं HE=\frac{1}{2} AC \cdots(1)\\ \triangle ABC में GF \| AC
व GF=\frac{1}{2} AC \cdots(2)
(1) व (2) से:
HE \| GF  व HE=GF …….(3)
इसी प्रकार EF \| HG व EF=HG  ….. (4)
\triangle DEP में
\angle 1=\angle 2=90^{\circ} \\ \angle 2=90^{\circ}-\angle 1 \\ \Rightarrow \angle 1=\angle 3 (संगत कोण)
\angle 2=90^{\circ}-\angle 3 \\ \angle 2+\angle PEQ+\angle 3=180^{\circ} \\ (\angle 2+\angle 3)+\angle PEQ=180^{\circ} \\ 90^{\circ}+\angle PEQ=180^{\circ} \\ \angle PEQ=90^{\circ}
अतः चतुर्भुज EFGH का एक कोण 90° है।
इसी प्रकार सभी कोण 90° के होंगे।  … (5)
अतः (3),(4) व (5) से चतुर्भुज EFGH एक आयत होगा।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram Class 9th),चतुर्भुज कक्षा 9 (Quadrilateral Class 9) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज के सवाल (Parallelogram iClass 9th Questions):

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(1.)आकृति में ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।यदि \angle 1=\angle 2 हो,तो सिद्ध करो कि AE=CF

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(2.)आकृति में ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।यदि AE \| FC हो,तो सिद्ध कीजिए कि AF=CE

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उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram Class 9th),चतुर्भुज कक्षा 9 (Quadrilateral Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Frequently Asked Questions Related to Parallelogram Class 9th),चतुर्भुज कक्षा 9 (Quadrilateral Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 9वीं में समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram Class 9th) के इस आर्टिकल में समान्तर
चतुर्भुज के गुणधर्मों पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।