Asymptotes of Polar Curves
1.ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves),अवकल गणित में ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves in Differential Calculus):
ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves) के इस आर्टिकल में सरल रेखीय अनन्तस्पर्शी तथा वृत्तीय अनन्तस्पर्शी का अध्ययन करेंगे।इस पर आधारित थ्योरी और उदाहरण निम्नलिखित हैंः
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:-How to Find Asymptotes Algebraically?
2.ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी के साधित उदाहरण (Asymptotes of Polar Curves Solved Examples):
निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the asymptotes of the following curves):
Example:1. r \sin n \theta=a
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r \sin n \theta=a \\ \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{\sin n \theta}{a} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{2}=\frac{\sin n \theta}{a} \\ f(\theta)=0 सेः
\frac{\sin n \theta}{a}=0 \\ \Rightarrow \sin n \theta=\sin m \pi \\ \Rightarrow n \theta=m \pi \\ \Rightarrow \theta=\frac{m \pi}{n} \\ \Rightarrow \theta=\alpha=\frac{m \pi}{x} \\ f^{\prime}(\theta) =\frac{n \cos n \theta}{a} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=\frac{n \cos m \pi}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin \left(\theta-\frac{m \pi}{n}\right)=\frac{1}{\frac{n \cos m \pi}{a}} \\ \Rightarrow r \sin \left(\theta-\frac{m \pi}{n}\right)=\frac{a}{n \cos m \pi}
Example:2. r=a \sec \theta+b \tan \theta
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r=a \sec \theta+b \tan \theta \\ \frac{1}{r}=\frac{1}{a \sec \theta+b \tan \theta} \\ \Rightarrow f(\theta)= \frac{1}{a \sec \theta+b \tan \theta} \\ f(\theta)=0 सेः
\frac{1}{a \sec \theta+b \tan \theta}=0 \\ \Rightarrow \frac{\cos \theta}{a+b \sin \theta}=0 \\ \Rightarrow \cos \theta=0 \\ \Rightarrow \theta=\alpha= m \pi+\frac{\pi}{2}
पुनः f^{\prime}(\theta)=-\frac{\left(a \sec \theta \tan \theta+b \sec ^2 \theta\right)}{(a \sec \theta+b \tan \theta)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\theta)=-\frac{(a \sin \theta+b)}{(a+b \sin \theta)^2} \\ f^{\prime}(\alpha)=\frac{-\left[a \sin \left(m \pi+\frac{\pi}{2}\right)+b\right] }{\left[a+b \sin \left(m \pi+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{2} } \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=-\frac{1}{(a \pm b)}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ r \sin \left[\theta-\left(m \pi+\frac{\pi}{2}\right)\right] =\frac{1}{\frac{1}{-(a \pm b)}} \\ \Rightarrow \pm r \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-(a \pm b) \\ \Rightarrow r \cos \theta=-(a \pm b)
Example:3. r=a \tan \theta
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r=a \tan \theta \\ \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{1}{a} \cot \theta \\ f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{1}{a} \cot \theta \\ \Rightarrow f(\theta)=0 सेः
\frac{1}{a} \cos \theta=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=\infty \\ \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}+m \pi
पुनः f^{\prime}(\theta)=-\frac{1}{a} \operatorname{cosec}^2 \theta \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=-\frac{1}{a} \operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{2}+m \pi \right) \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=-\frac{1}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin \left[\theta-\left(\frac{\pi}{2}+m \pi\right ) \right]=\frac{1}{-\frac{1}{a}} \\ \Rightarrow \pm r \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a \\ \Rightarrow r \cos \theta= \pm a
Example:4. r=\frac{a}{\left(\frac{1}{2}\right)-\cos \theta}
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r=\frac{a}{\left(\frac{1}{2}\right)-\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{\frac{1}{2}-\cos \theta}{a} \\ f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{\frac{1}{2}-\cos \theta}{a} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1-2 \cos \theta}{2 a} \\ f(\theta)= 0 सेः
\frac{1-2 \cos \theta}{2a}=0 \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \theta=2 \mathrm{m \pi} \pm \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=\alpha=2 \mathrm{m \pi} \pm \frac{\pi}{3}
पुनः f^{\prime}(\theta)=\frac{\sin \theta}{a} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=\frac{1}{a} \sin [2 m \pi \pm \frac{\pi}{3}] \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)= \pm \frac{1}{a} \sin \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)= \pm \frac{\sqrt{3}}{2 a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin [\theta-(2 m \pi \pm \frac{\pi}{3})]=\frac{1}{ \pm \frac{\sqrt{3}}{2 a}} \\ \Rightarrow r \sin [2 m \pi \pm \frac{\pi}{3}-\theta]= \pm \frac{2 a}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow r \sin \left(\frac{\pi}{3} \pm \theta\right)= \pm \frac{2 a}{\sqrt{3}}
Example:5. r \sin 2 \theta=a
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r \sin 2 \theta=a \\ \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{\sin 2 \theta}{a} \\ f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{\sin 2 \theta}{a} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{\sin 2 \theta}{a} \\ f(\theta)=0 सेः
\frac{\sin 2 \theta}{a}=0 \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=\sin 0 \\ \Rightarrow 2 \theta=m \pi \\ \Rightarrow \theta=\alpha=\frac{m \pi}{2}
पुनः f^{\prime}(\theta)=\frac{2 \cos 2 \theta}{a} \\ f^{\prime}(\alpha)=\frac{2 \cos m \pi}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin \left(\theta-\frac{m \pi}{2}\right)=\frac{1}{\frac{2 \cos m \pi}{a}} \\ \Rightarrow r \sin \left(\theta-\frac{m \pi}{2}\right)=\frac{a}{2 \cos m \pi}
Example:6. r \sin \theta=2 \cos 2 \theta
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r \sin \theta=2 \cos 2 \theta \\ \Rightarrow \frac{1}{r}= \frac{\sin \theta}{2 \cos 2 \theta} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{\sin \theta}{2 \cos 2 \theta} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{\sin \theta}{2 \cos 2 \theta} \\ f(\theta)=0 सेः
\frac{\sin \theta}{2 \cos 2 \theta}=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=0 \\ \Rightarrow \theta=m \pi \\ \Rightarrow \theta=\alpha=m \pi
पुनः f^{\prime}(\theta)=\frac{\cos 2 \theta \cdot \cos \theta-\sin \theta(-2 \sin 2 \theta)}{2 \cos ^2 2 \theta} \\ =\frac{\cos 2 \theta \cos \theta+2 \sin \theta \sin 2 \theta}{2 \cos ^2 2 \theta} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=\frac{\cos 2 m \pi \cos m \pi+2 \sin m \pi \sin 2 m \pi}{2 \cos ^2 2 m \pi} \\ \sin m \pi=\sin 2 m \pi=0, \cos 2 m \pi=1 \\ f^{\prime}(\alpha)=\frac{\cos m \pi}{2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=\frac{(-1)^m}{2}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
Example:7. r=a \operatorname{cosec} \theta+b
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r=a \operatorname{cosec} \theta+b \\ \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{1}{a \operatorname{cosec} \theta+b} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{1}{a \operatorname{cosec} \theta+b} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{a \operatorname{cosec} \theta+b} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{\sin \theta}{a+b \sin \theta} \\ f(\theta)=0 सेः
\frac{\sin \theta}{a+b \sin \theta}=0 \\ \sin \theta=0 \\ \Rightarrow \theta=\alpha=m \pi
पुनः f^{\prime}(\theta)=\frac{(a+b \sin \theta) \cos \theta-\sin \theta(b \cos \theta)}{(a+b \sin \theta)^2} \\ =\frac{a \cos \theta+b \sin \theta \cos \theta-b \sin \theta \cos \theta}{(a+b \sin \theta)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\theta) =\frac{a \cos \theta}{(a+b \sin \theta)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha) =\frac{a \cos m \pi}{(a+b \sin m \pi)^2} \\ =\frac{(-1)^m a}{a^2} \quad \left[\because \cos m \pi=(-1)^m\right] \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha) =\frac{(-1)^m}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
\Rightarrow r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin (\theta-m \pi)=\frac{1}{\frac{(-1)^m}{a}} \\ \Rightarrow-r \sin (m \pi-\theta)=\frac{a}{(-1)^m} \\ \Rightarrow-(-1)^{m-1} \sin \theta=\frac{a}{(-1)^m}\left[\because \sin (m \theta-\theta)=(-1)^{m-1} \sin \theta\right] \\ \Rightarrow(-1)^m r \sin \theta=\frac{a}{(-1)^m} \\ \Rightarrow r \sin \theta=\frac{a}{(-1)^{2 m}} \\ \Rightarrow r \sin \theta=a
Example:8. \frac{2}{r}=1+2 \sin \theta
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
\frac{2}{r}=1+2 \sin \theta \\ \Rightarrow \quad \frac{1}{r}=\frac{1+2 \sin \theta}{2} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{1+2 \sin \theta}{2} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1+2 \sin \theta}{2} \\ f(\theta)=0 सेः
=\frac{1+2 \sin \theta}{2}=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \theta=m \pi-(-1)^m \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=\alpha =m \pi-(-1)^{m} \frac{\pi}{6}
पुनः f^{\prime}(\theta)=\cos \theta \\ f^{\prime}(\alpha)=\cos \left[m \pi-(-1)^m \frac{\pi}{6}\right] \\ f^{\prime}(\alpha)=(-1)^m\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin \left[\theta-m \pi+(-1)^m \frac{\pi}{6}\right]=\frac{1}{(-1)^m \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ \Rightarrow - r \sin \left[m \pi-\left\{\theta+(-1)^m \frac{\pi}{6}\right\}\right]=\frac{2}{(-1)^m \sqrt{3}} \\ \Rightarrow-(-1)^{m-1} \sin (\theta \pm \frac{\pi}{6})=\frac{2}{(-1)^m \sqrt{3}} \\ \Rightarrow(-1)^m \sin (\theta \pm \frac{\pi}{6})=\frac{2}{(-1)^{m} \sqrt{3}} \\ \Rightarrow \sin (\theta \pm \frac{\pi}{6})=\frac{2}{\sqrt{3}}
Example:9. r=\frac{a \theta}{\theta-1}
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r=\frac{a \theta}{\theta-1} \\ \Rightarrow \frac{1}{r} =\frac{\theta-1}{a \theta} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{r} =\frac{\theta-1}{a \theta} \\ \Rightarrow f(\theta) =\frac{\theta-1}{a \theta} \\ f(\theta)=0 सेः
\frac{\theta-1}{a \theta}=0 \Rightarrow \theta=1 \\ \Rightarrow \theta=\alpha=1
पुनः f^{\prime}(\theta) =\frac{1}{a}\left[\frac{\theta \cdot(1)-(\theta-1) \cdot 1}{\theta^{2}}\right] \\ =\frac{1}{a}\left[\frac{\theta-\theta+1}{\theta^2}\right] \\ \Rightarrow f^{\prime}(\theta) =\frac{1}{a \theta^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha) =\frac{1}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin (\theta-1)=\frac{1}{\frac{1}{a}} \\ \Rightarrow-r \sin (1-\theta)=a
निम्न वक्रों की ध्रुवीय अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the circular asymptotes of the following curves):
Example:10. r=\frac{a \theta+b}{\theta+c}
Solution: r=\frac{a \theta+b}{\theta+c}
दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैंः
r= \frac{a+\frac{b}{\theta}}{1+\frac{c}{\theta}}=f(\theta) माना
अब \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=\lim _{\theta \rightarrow \infty}\left(\frac{a+\frac{b}{\theta}}{1+\frac{c}{\theta}}\right) \\ \Rightarrow \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=a
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः
r=a
Example:11. r=\frac{\theta+\cos \theta}{\theta+\sin \theta}
Solution: r=\frac{\theta+\cos \theta}{\theta+\sin \theta}
दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैंः
r=\frac{1+\frac{\cos \theta}{\theta}}{1+\frac{\sin \theta}{\theta}}=f(\theta) माना
अब \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=\lim _{\theta \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\frac{\cos \theta}{\theta}}{1+\frac{\sin \theta}{\theta}}\right) \\ =\frac{1+\lim _{\theta \rightarrow \infty} \left( \frac{\cos \theta}{\theta}\right)}{1+\lim _{\theta \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \theta}{\theta}\right)} \\ =\frac{1+0}{1+0} \\ \Rightarrow \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=1
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः
r=1
Example:12. r \theta \tan \left(\frac{n}{\theta}\right)=a
Solution: r=\frac{a}{\theta \tan \left(\frac{n}{\theta}\right)} \\ f(\theta)=\frac{a}{\theta \tan \left( \frac{n}{\theta}\right)} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} f(\theta) =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{\theta \left[\frac{n}{\theta}+\frac{n^3}{3 \theta^3}+\frac{2}{15} \frac{n^5}{\theta^5}+\cdots\right]} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{\theta \cdot \frac{n}{\theta}\left(1+\frac{n^2}{3 \theta^2}+\frac{2}{15} \frac{n^4}{\theta^4}+\cdots\right)} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{n\left(1+\frac{n^2}{3 \theta^2} +\frac{2}{15} \frac{n^4}{\theta^4}+\cdots\right)} \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} f(\theta) =\frac{a}{n}
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः r=\frac{a}{n}
Example:14. r(\theta-1)=a \theta
Solution: r(\theta-1)=a \theta
दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैंः
r=\frac{a \theta}{\theta-1}=f(\theta) माना
अब f(\theta) =\frac{a \theta}{\theta-1} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} f(\theta) =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a \theta}{\theta\left(1-\frac{1}{\theta}\right)} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{\left(1-\frac{1}{\theta}\right)} \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} f(\theta)=a
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः
r=a
Example:15. a^2\left(a r-r^2\right)=a^2
Solution: a^2\left(a r-r^2\right)=a^2
दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैंः
a r-r^2=\frac{a^2}{\theta^2} \\ \Rightarrow r^2-a r+\frac{a^2}{\theta^2}=0 \\ \Rightarrow r=\frac{a \pm \sqrt{a^2-\frac{4 a^2}{\theta^2}}}{2}=f(\theta) माना
अब \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=\lim _{\theta \rightarrow \infty}\left[\frac{a \pm \sqrt{a^2-\frac{4 a^2}{\theta^2}}}{2}\right] \\ \Rightarrow \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=\frac{a \pm a}{2} \\ \Rightarrow \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=a
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः
r=a
Example:16. r \left(\theta^2-1\right)=a \theta^2
Solution: r \left(\theta^2-1\right)=a \theta^2
दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैंः
r=\frac{a \theta^2}{\theta^2-1}=f(\theta) माना
अब f(\theta)= \frac{a \theta^2}{\theta^2-1} \\ \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta) =\lim _{\theta \rightarrow \infty} \frac{a \theta^2}{\theta^2\left(1-\frac{1}{\theta^2}\right)} \\ =\lim _{\theta \rightarrow \infty} \frac{a}{\left(1-\frac{1}{\theta^2}\right)} \\ \Rightarrow \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=a
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः r=a
सरल रेखीय अनन्तस्पर्शी के लिएः
\frac{1}{r} =\frac{\theta^2-1}{a \theta^2} \\ \Rightarrow f(\theta) =\frac{1}{r}=\frac{\theta^2-1}{a \theta^2} \\ \Rightarrow f(\theta) =\frac{\theta^2-1}{a \theta^2} \\ f(\theta)=0 सेः
\frac{\theta^2-1}{\theta^2}=0 \\ \Rightarrow \theta^2-1=0 \\ \Rightarrow \theta= \pm 1 \\ \Rightarrow \theta=\alpha= \pm 1
पुनः f^{\prime}(\theta)=\frac{1}{a}\left[\frac{\theta^2 \cdot 2 \theta-\left(\theta^2-1\right) \cdot 2 \theta}{\theta^4}\right] \\ =\frac{1}{a}\left[\frac{2 \theta^3-2 \theta^3+2 \theta}{\theta^4}\right] \\ =\frac{1}{a}\left[\frac{2 \theta}{\theta^4}\right] \\ \Rightarrow f^{\prime}(\theta)=\frac{2}{a \theta^3} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=\frac{2}{a( \pm 1)^3} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)= \pm \frac{2}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin [\theta-( \pm 1)]=\frac{1}{\left( \pm \frac{2}{a}\right)} \\ \Rightarrow r \sin (\theta \mp 1)= \pm \frac{a}{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves),अवकल गणित में ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।
3.ध्रुवीय वक्रों के अनन्तस्पर्शी पर आधारित सवाल (Questions Based on Asymptotes of Polar Curves):
निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the asymptotes of the following curves):
(1.) r \cos \theta=a \sin ^2 \theta
(2.) r=a(\sec \theta+\cos \theta)
(3.)वक्र की वृत्तीय अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the circular asymptotes of the curve):
r=\frac{3 \theta^2+2 \theta+1}{2 \theta^2+\theta+1}
उत्तर (Answers):(1.) r \cos \theta=a
(2.) r \cos \theta=a
(3.) r=\frac{3}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves),अवकल गणित में ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:-Intersection of Curve and Asymptotes
4.सरल रेखीय अनन्तस्पर्शी (Rectilinear Asymptotes):
यदि वक्र के समीकरण का रूप \frac{1}{r}=f(\theta) हो तथा f(\theta)=0 का एक मूल \alpha हो तो इस वक्र का एक अनन्तस्पर्शी r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} होता है।
(If the equation of the polar curve is of the form \frac{1}{r}=f(\theta) and if \alpha be a root of f(\theta)=0, then the equation of one of the asymptote of the curve is given by r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}.)
उपपत्ति (Proof):दिया हुआ वक्र का समीकरण हैः
माना P\left(r,\theta\right ) वक्र पर कोई एक बिन्दु है।OP ध्रुवान्तर रेखा के लम्बवत OT रेखा खींची जो P पर स्पर्श रेखा को T पर मिलती है।इससे स्पष्ट है कि ध्रुवीय अधःस्पर्शी=OT=r^2 \frac{d \theta}{d r}
माना कि \alpha, f(\theta)=0
का एक मूल अर्थात् f(\alpha)=0
अतः जब \theta \rightarrow \infty, f(\theta) \rightarrow 0 तथा r \rightarrow \infty
अतः PT अनन्तस्पर्शी की ओर प्रवृत्त होगी और
OT \rightarrow\left(r^2 \frac{d \theta}{d r}\right)_{\theta=\alpha}
साथ ही OP तथा PT समान्तर होने की प्रवृत्ति में हो जाएगी तथा OTP की प्रावृत्त \frac{\pi}{2} (जैसा कि चित्र में dotted रेखा द्वारा दिखाया गया है)।
5.ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Frequently Asked Questions Related to Asymptotes of Polar Curves),अवकल गणित में ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ कितने प्रकार की होती हैं? (How Many Types of Asymptotes of Polar Curves?):
उत्तरःध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ दो प्रकार की होती हैंः
(1.)सरल रेखीय अनन्तस्पर्शी (Rectilinear Asymptotes)
(2.)वृत्तीय अनन्तस्पर्शी (Circular Asymptotes)
प्रश्न:2.ध्रुवीय अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने का सूत्र लिखिए। (Write the Formula for Finding Asymptotes of Polar Curves):
उत्तरःसरल रेखीय अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने का सूत्रः
r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}
वृत्तीय अनन्तस्पर्शी ज्ञात करने का सूत्रः
\lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=a
प्रश्न:3.वृत्तीय अनन्तस्पर्शी को परिभाषित कीजिए। (Define Circular Asymptotes):
उत्तरःयदि वक्र का समीकरण r=f(\theta) तथा साथ ही \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=a तो वृत्त r=a दिए हुए वक्र r=f(\theta) का वृत्तीय अनन्तस्पर्शी कहलाता है।
(If the equation of the curve be r=f(\theta) and also \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=a ,then the circle r=a called a ‘circular asymptotes’ of the curve r=f(\theta).)
स्पष्ट है, जैसे \theta \rightarrow \infty दिया हुआ वक्र का समीकरण r=a की ओर अग्रसर होता है जो कि एक वृत्त का समीकरण है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves),अवकल गणित में ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves in Differential Calculus) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
No. | Social Media | Url |
---|---|---|
1. | click here | |
2. | you tube | click here |
3. | click here | |
4. | click here | |
5. | Facebook Page | click here |
6. | click here |
Asymptotes of Polar Curves
ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी
(Asymptotes of Polar Curves)
Asymptotes of Polar Curves
ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves) के इस आर्टिकल में सरल रेखीय
अनन्तस्पर्शी तथा वृत्तीय अनन्तस्पर्शी का अध्ययन करेंगे।
Related Posts
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.