1.ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves),अवकल गणित में ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves in Differential Calculus):

Asymptotes of Polar Curves

ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves) के इस आर्टिकल में सरल रेखीय अनन्तस्पर्शी तथा वृत्तीय अनन्तस्पर्शी का अध्ययन करेंगे।इस पर आधारित थ्योरी और उदाहरण निम्नलिखित हैंः
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2.ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी के साधित उदाहरण (Asymptotes of Polar Curves Solved Examples):

निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the asymptotes of the following curves):
Example:1. r \sin n \theta=a 
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r \sin n \theta=a \\ \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{\sin n \theta}{a} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{2}=\frac{\sin n \theta}{a} \\ f(\theta)=0 सेः

\frac{\sin n \theta}{a}=0 \\ \Rightarrow \sin n \theta=\sin m \pi \\ \Rightarrow n \theta=m \pi \\ \Rightarrow \theta=\frac{m \pi}{n} \\ \Rightarrow \theta=\alpha=\frac{m \pi}{x} \\ f^{\prime}(\theta) =\frac{n \cos n \theta}{a} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=\frac{n \cos m \pi}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः

r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin \left(\theta-\frac{m \pi}{n}\right)=\frac{1}{\frac{n \cos m \pi}{a}} \\ \Rightarrow r \sin \left(\theta-\frac{m \pi}{n}\right)=\frac{a}{n \cos m \pi}
Example:2. r=a \sec \theta+b \tan \theta
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r=a \sec \theta+b \tan \theta \\ \frac{1}{r}=\frac{1}{a \sec \theta+b \tan \theta} \\ \Rightarrow f(\theta)= \frac{1}{a \sec \theta+b \tan \theta} \\ f(\theta)=0  सेः

\frac{1}{a \sec \theta+b \tan \theta}=0 \\ \Rightarrow \frac{\cos \theta}{a+b \sin \theta}=0 \\ \Rightarrow \cos \theta=0 \\ \Rightarrow \theta=\alpha= m \pi+\frac{\pi}{2}
पुनः f^{\prime}(\theta)=-\frac{\left(a \sec \theta \tan \theta+b \sec ^2 \theta\right)}{(a \sec \theta+b \tan \theta)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\theta)=-\frac{(a \sin \theta+b)}{(a+b \sin \theta)^2} \\ f^{\prime}(\alpha)=\frac{-\left[a \sin \left(m \pi+\frac{\pi}{2}\right)+b\right] }{\left[a+b \sin \left(m \pi+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{2} } \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=-\frac{1}{(a \pm b)}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः

r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ r \sin \left[\theta-\left(m \pi+\frac{\pi}{2}\right)\right] =\frac{1}{\frac{1}{-(a \pm b)}} \\ \Rightarrow \pm r \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-(a \pm b) \\ \Rightarrow r \cos \theta=-(a \pm b)
Example:3. r=a \tan \theta 
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r=a \tan \theta \\ \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{1}{a} \cot \theta \\ f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{1}{a} \cot \theta \\ \Rightarrow f(\theta)=0 सेः

\frac{1}{a} \cos \theta=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=\infty \\ \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}+m \pi
पुनः f^{\prime}(\theta)=-\frac{1}{a} \operatorname{cosec}^2 \theta \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=-\frac{1}{a} \operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{2}+m \pi \right) \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=-\frac{1}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः

r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin \left[\theta-\left(\frac{\pi}{2}+m \pi\right ) \right]=\frac{1}{-\frac{1}{a}} \\ \Rightarrow \pm r \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a \\ \Rightarrow r \cos \theta= \pm a
Example:4. r=\frac{a}{\left(\frac{1}{2}\right)-\cos \theta}
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r=\frac{a}{\left(\frac{1}{2}\right)-\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{\frac{1}{2}-\cos \theta}{a} \\ f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{\frac{1}{2}-\cos \theta}{a} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1-2 \cos \theta}{2 a} \\ f(\theta)= 0 सेः

\frac{1-2 \cos \theta}{2a}=0 \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \theta=2 \mathrm{m \pi} \pm \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=\alpha=2 \mathrm{m \pi} \pm \frac{\pi}{3}
पुनः f^{\prime}(\theta)=\frac{\sin \theta}{a} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=\frac{1}{a} \sin [2 m \pi \pm \frac{\pi}{3}] \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)= \pm \frac{1}{a} \sin \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)= \pm \frac{\sqrt{3}}{2 a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः

r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin [\theta-(2 m \pi \pm \frac{\pi}{3})]=\frac{1}{ \pm \frac{\sqrt{3}}{2 a}} \\ \Rightarrow r \sin [2 m \pi \pm \frac{\pi}{3}-\theta]= \pm \frac{2 a}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow r \sin \left(\frac{\pi}{3} \pm \theta\right)= \pm \frac{2 a}{\sqrt{3}}
Example:5. r \sin 2 \theta=a
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r \sin 2 \theta=a \\ \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{\sin 2 \theta}{a} \\ f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{\sin 2 \theta}{a} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{\sin 2 \theta}{a} \\ f(\theta)=0 सेः

\frac{\sin 2 \theta}{a}=0 \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=\sin 0 \\ \Rightarrow 2 \theta=m \pi \\ \Rightarrow \theta=\alpha=\frac{m \pi}{2}
पुनः  f^{\prime}(\theta)=\frac{2 \cos 2 \theta}{a} \\ f^{\prime}(\alpha)=\frac{2 \cos m \pi}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः

r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin \left(\theta-\frac{m \pi}{2}\right)=\frac{1}{\frac{2 \cos m \pi}{a}} \\ \Rightarrow r \sin \left(\theta-\frac{m \pi}{2}\right)=\frac{a}{2 \cos m \pi}
Example:6. r \sin \theta=2 \cos 2 \theta
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r \sin \theta=2 \cos 2 \theta \\ \Rightarrow \frac{1}{r}= \frac{\sin \theta}{2 \cos 2 \theta} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{\sin \theta}{2 \cos 2 \theta} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{\sin \theta}{2 \cos 2 \theta} \\ f(\theta)=0  सेः

\frac{\sin \theta}{2 \cos 2 \theta}=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=0 \\ \Rightarrow \theta=m \pi \\ \Rightarrow \theta=\alpha=m \pi 
पुनः f^{\prime}(\theta)=\frac{\cos 2 \theta \cdot \cos \theta-\sin \theta(-2 \sin 2 \theta)}{2 \cos ^2 2 \theta} \\ =\frac{\cos 2 \theta \cos \theta+2 \sin \theta \sin 2 \theta}{2 \cos ^2 2 \theta} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=\frac{\cos 2 m \pi \cos m \pi+2 \sin m \pi \sin 2 m \pi}{2 \cos ^2 2 m \pi} \\ \sin m \pi=\sin 2 m \pi=0, \cos 2 m \pi=1 \\ f^{\prime}(\alpha)=\frac{\cos m \pi}{2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=\frac{(-1)^m}{2}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः

Asymptotes of Polar Curves

Example:7. r=a \operatorname{cosec} \theta+b
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r=a \operatorname{cosec} \theta+b \\ \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{1}{a \operatorname{cosec} \theta+b} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{1}{a \operatorname{cosec} \theta+b} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{a \operatorname{cosec} \theta+b} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{\sin \theta}{a+b \sin \theta} \\ f(\theta)=0 सेः
\frac{\sin \theta}{a+b \sin \theta}=0 \\ \sin \theta=0 \\ \Rightarrow \theta=\alpha=m \pi
पुनः f^{\prime}(\theta)=\frac{(a+b \sin \theta) \cos \theta-\sin \theta(b \cos \theta)}{(a+b \sin \theta)^2} \\ =\frac{a \cos \theta+b \sin \theta \cos \theta-b \sin \theta \cos \theta}{(a+b \sin \theta)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\theta) =\frac{a \cos \theta}{(a+b \sin \theta)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha) =\frac{a \cos m \pi}{(a+b \sin m \pi)^2} \\ =\frac{(-1)^m a}{a^2} \quad \left[\because \cos m \pi=(-1)^m\right] \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha) =\frac{(-1)^m}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः

\Rightarrow r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin (\theta-m \pi)=\frac{1}{\frac{(-1)^m}{a}} \\ \Rightarrow-r \sin (m \pi-\theta)=\frac{a}{(-1)^m} \\ \Rightarrow-(-1)^{m-1} \sin \theta=\frac{a}{(-1)^m}\left[\because \sin (m \theta-\theta)=(-1)^{m-1} \sin \theta\right] \\ \Rightarrow(-1)^m r \sin \theta=\frac{a}{(-1)^m} \\ \Rightarrow r \sin \theta=\frac{a}{(-1)^{2 m}} \\ \Rightarrow r \sin \theta=a
Example:8. \frac{2}{r}=1+2 \sin \theta 
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
\frac{2}{r}=1+2 \sin \theta \\ \Rightarrow \quad \frac{1}{r}=\frac{1+2 \sin \theta}{2} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{1+2 \sin \theta}{2} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1+2 \sin \theta}{2} \\ f(\theta)=0 सेः

=\frac{1+2 \sin \theta}{2}=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \theta=m \pi-(-1)^m \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=\alpha =m \pi-(-1)^{m} \frac{\pi}{6}
पुनः f^{\prime}(\theta)=\cos \theta \\ f^{\prime}(\alpha)=\cos \left[m \pi-(-1)^m \frac{\pi}{6}\right] \\ f^{\prime}(\alpha)=(-1)^m\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः

r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin \left[\theta-m \pi+(-1)^m \frac{\pi}{6}\right]=\frac{1}{(-1)^m \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ \Rightarrow - r \sin \left[m \pi-\left\{\theta+(-1)^m \frac{\pi}{6}\right\}\right]=\frac{2}{(-1)^m \sqrt{3}} \\ \Rightarrow-(-1)^{m-1} \sin (\theta \pm \frac{\pi}{6})=\frac{2}{(-1)^m \sqrt{3}} \\ \Rightarrow(-1)^m \sin (\theta \pm \frac{\pi}{6})=\frac{2}{(-1)^{m} \sqrt{3}} \\ \Rightarrow \sin (\theta \pm \frac{\pi}{6})=\frac{2}{\sqrt{3}}
Example:9. r=\frac{a \theta}{\theta-1}
Solution:दिए हुए वक्र का समीकरण हैः
r=\frac{a \theta}{\theta-1} \\ \Rightarrow \frac{1}{r} =\frac{\theta-1}{a \theta} \\ \Rightarrow f(\theta)=\frac{1}{r} =\frac{\theta-1}{a \theta} \\ \Rightarrow f(\theta) =\frac{\theta-1}{a \theta} \\ f(\theta)=0 सेः

\frac{\theta-1}{a \theta}=0 \Rightarrow \theta=1 \\ \Rightarrow \theta=\alpha=1
पुनः f^{\prime}(\theta) =\frac{1}{a}\left[\frac{\theta \cdot(1)-(\theta-1) \cdot 1}{\theta^{2}}\right] \\ =\frac{1}{a}\left[\frac{\theta-\theta+1}{\theta^2}\right] \\ \Rightarrow f^{\prime}(\theta) =\frac{1}{a \theta^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha) =\frac{1}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः

r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin (\theta-1)=\frac{1}{\frac{1}{a}} \\ \Rightarrow-r \sin (1-\theta)=a
निम्न वक्रों की ध्रुवीय अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the circular asymptotes of the following curves):
Example:10. r=\frac{a \theta+b}{\theta+c}
Solution: r=\frac{a \theta+b}{\theta+c}
दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैंः

r= \frac{a+\frac{b}{\theta}}{1+\frac{c}{\theta}}=f(\theta) माना
अब \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=\lim _{\theta \rightarrow \infty}\left(\frac{a+\frac{b}{\theta}}{1+\frac{c}{\theta}}\right) \\ \Rightarrow \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=a
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः
r=a
Example:11. r=\frac{\theta+\cos \theta}{\theta+\sin \theta}
Solution: r=\frac{\theta+\cos \theta}{\theta+\sin \theta}
दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैंः

r=\frac{1+\frac{\cos \theta}{\theta}}{1+\frac{\sin \theta}{\theta}}=f(\theta) माना 
अब \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=\lim _{\theta \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\frac{\cos \theta}{\theta}}{1+\frac{\sin \theta}{\theta}}\right) \\ =\frac{1+\lim _{\theta \rightarrow \infty} \left( \frac{\cos \theta}{\theta}\right)}{1+\lim _{\theta \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \theta}{\theta}\right)} \\ =\frac{1+0}{1+0} \\ \Rightarrow \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=1
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः
r=1
Example:12. r \theta \tan \left(\frac{n}{\theta}\right)=a
Solution: r=\frac{a}{\theta \tan \left(\frac{n}{\theta}\right)} \\ f(\theta)=\frac{a}{\theta \tan \left( \frac{n}{\theta}\right)} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} f(\theta) =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{\theta \left[\frac{n}{\theta}+\frac{n^3}{3 \theta^3}+\frac{2}{15} \frac{n^5}{\theta^5}+\cdots\right]} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{\theta \cdot \frac{n}{\theta}\left(1+\frac{n^2}{3 \theta^2}+\frac{2}{15} \frac{n^4}{\theta^4}+\cdots\right)} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{n\left(1+\frac{n^2}{3 \theta^2} +\frac{2}{15} \frac{n^4}{\theta^4}+\cdots\right)} \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} f(\theta) =\frac{a}{n}
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः r=\frac{a}{n}
Example:14. r(\theta-1)=a \theta
Solution: r(\theta-1)=a \theta
दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैंः

r=\frac{a \theta}{\theta-1}=f(\theta) माना 
अब f(\theta) =\frac{a \theta}{\theta-1} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} f(\theta) =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a \theta}{\theta\left(1-\frac{1}{\theta}\right)} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{\left(1-\frac{1}{\theta}\right)} \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} f(\theta)=a
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः
r=a
Example:15. a^2\left(a r-r^2\right)=a^2
Solution: a^2\left(a r-r^2\right)=a^2
दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैंः

a r-r^2=\frac{a^2}{\theta^2} \\ \Rightarrow r^2-a r+\frac{a^2}{\theta^2}=0 \\ \Rightarrow r=\frac{a \pm \sqrt{a^2-\frac{4 a^2}{\theta^2}}}{2}=f(\theta) माना 
अब \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=\lim _{\theta \rightarrow \infty}\left[\frac{a \pm \sqrt{a^2-\frac{4 a^2}{\theta^2}}}{2}\right] \\ \Rightarrow \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=\frac{a \pm a}{2} \\ \Rightarrow \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=a
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः
r=a
Example:16. r \left(\theta^2-1\right)=a \theta^2
Solution: r \left(\theta^2-1\right)=a \theta^2
दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैंः

r=\frac{a \theta^2}{\theta^2-1}=f(\theta) माना 
अब f(\theta)= \frac{a \theta^2}{\theta^2-1} \\ \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta) =\lim _{\theta \rightarrow \infty} \frac{a \theta^2}{\theta^2\left(1-\frac{1}{\theta^2}\right)} \\ =\lim _{\theta \rightarrow \infty} \frac{a}{\left(1-\frac{1}{\theta^2}\right)} \\ \Rightarrow \lim _{\theta \rightarrow \infty} f(\theta)=a
अभीष्ट वृत्तीय अनन्तस्पर्शीः r=a
सरल रेखीय अनन्तस्पर्शी के लिएः
\frac{1}{r} =\frac{\theta^2-1}{a \theta^2} \\ \Rightarrow f(\theta) =\frac{1}{r}=\frac{\theta^2-1}{a \theta^2} \\ \Rightarrow f(\theta) =\frac{\theta^2-1}{a \theta^2} \\ f(\theta)=0 सेः

\frac{\theta^2-1}{\theta^2}=0 \\ \Rightarrow \theta^2-1=0 \\ \Rightarrow \theta= \pm 1 \\ \Rightarrow \theta=\alpha= \pm 1
पुनः f^{\prime}(\theta)=\frac{1}{a}\left[\frac{\theta^2 \cdot 2 \theta-\left(\theta^2-1\right) \cdot 2 \theta}{\theta^4}\right] \\ =\frac{1}{a}\left[\frac{2 \theta^3-2 \theta^3+2 \theta}{\theta^4}\right] \\ =\frac{1}{a}\left[\frac{2 \theta}{\theta^4}\right] \\ \Rightarrow f^{\prime}(\theta)=\frac{2}{a \theta^3} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)=\frac{2}{a( \pm 1)^3} \\ \Rightarrow f^{\prime}(\alpha)= \pm \frac{2}{a}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः

r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \\ \Rightarrow r \sin [\theta-( \pm 1)]=\frac{1}{\left( \pm \frac{2}{a}\right)} \\ \Rightarrow r \sin (\theta \mp 1)= \pm \frac{a}{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves),अवकल गणित में ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।

3.ध्रुवीय वक्रों के अनन्तस्पर्शी पर आधारित सवाल (Questions Based on Asymptotes of Polar Curves):

Asymptotes of Polar Curves

निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the asymptotes of the following curves):

(1.) r \cos \theta=a \sin ^2 \theta
(2.) r=a(\sec \theta+\cos \theta)
(3.)वक्र की वृत्तीय अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the circular asymptotes of the curve):

r=\frac{3 \theta^2+2 \theta+1}{2 \theta^2+\theta+1}
उत्तर (Answers):(1.) r \cos \theta=a
(2.) r \cos \theta=a
(3.) r=\frac{3}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves),अवकल गणित में ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सरल रेखीय अनन्तस्पर्शी (Rectilinear Asymptotes):

यदि वक्र के समीकरण का रूप \frac{1}{r}=f(\theta) हो तथा f(\theta)=0 का एक मूल \alpha हो तो इस वक्र का एक अनन्तस्पर्शी r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} होता है।
(If the equation of the polar curve is of the form \frac{1}{r}=f(\theta) and if \alpha be a root of f(\theta)=0, then the equation of one of the asymptote of the curve is given by r \sin (\theta-\alpha)=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}.)
उपपत्ति (Proof):दिया हुआ वक्र का समीकरण हैः

Asymptotes of Polar Curves

माना P\left(r,\theta\right ) वक्र पर कोई एक बिन्दु है।OP ध्रुवान्तर रेखा के लम्बवत OT रेखा खींची जो P पर स्पर्श रेखा को T पर मिलती है।इससे स्पष्ट है कि ध्रुवीय अधःस्पर्शी=OT=r^2 \frac{d \theta}{d r}
माना कि \alpha, f(\theta)=0
का एक मूल अर्थात् f(\alpha)=0
अतः जब \theta \rightarrow \infty, f(\theta) \rightarrow 0 तथा r \rightarrow \infty
अतः PT अनन्तस्पर्शी की ओर प्रवृत्त होगी और

OT \rightarrow\left(r^2 \frac{d \theta}{d r}\right)_{\theta=\alpha}
साथ ही OP तथा PT समान्तर होने की प्रवृत्ति में हो जाएगी तथा OTP की प्रावृत्त \frac{\pi}{2} (जैसा कि चित्र में dotted रेखा द्वारा दिखाया गया है)।

5.ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Frequently Asked Questions Related to Asymptotes of Polar Curves),अवकल गणित में ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

ध्रुवीय वक्रों की अनन्तस्पर्शी (Asymptotes of Polar Curves) के इस आर्टिकल में सरल रेखीय
अनन्तस्पर्शी तथा वृत्तीय अनन्तस्पर्शी का अध्ययन करेंगे।