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Euler theorem of homogeneous functions

1.समघात फलनों पर आयलर प्रमेय का परिचय (Introduction to Euler theorem of homogeneous functions)-

समघात फलनों पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous functions) का अध्ययन करने से पहले हमें समघात फलन को जानना आवश्यक है।
समघात फलन (Homogeneous functions)-
(1.)दो या दो से अधिक चरों का फलन f,एक ऐसा व्यंजक हो कि इसके प्रत्येक पद में चरों (जैसे x,y,z इत्यादि) की घातों का योग सदैव समान रहता है तो ऐसे फलन को समघात फलन कहते हैं।
(2.)वह फलन f(x,y,z,…….)जिसके प्रत्येक चर x,y,z,….को चर mx,my,……..से प्रतिस्थापित करने पर फलन को
{ m }^{ n }f(x,y,z,…….) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां पर n धनात्मक पूर्णांक है।
फलन sin\left( \frac { x }{ y } \right) +\frac { x }{ y } और { x }^{ 2 }log\frac { x }{ y } +{ y }^{ 2 }समघात फलन हैं।
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2.समघात फलनों पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous functions)-

प्रकथन (statement): यदि f(x,y) चरों x तथा y का n घाती समघात फलन हो,तो
(If f(x,y) be a homogeneous function of x and y of degree n then.)

x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } =nf
प्रमाण (Proof): चूंकि फलन f(x,y), n घात का समघात फलन है, इसलिए इस फलन को { x }^{ n }F\left( \frac { y }{ x } \right) के रूप में लिखा जा सकता है, अतः
f(x,y)={ x }^{ n }F\left( \frac { y }{ x } \right)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { \partial f }{ \partial x } =n{ x }^{ n-1 }F\left( \frac { y }{ x } \right) +{ x }^{ n }F^{ \prime }\left( \frac { y }{ x } \right) \left( -\frac { y }{ { x }^{ 2 } } \right) ....(1)
इसी प्रकार\frac { \partial f }{ \partial y } =\frac { \partial }{ \partial y } \left[ { x }^{ n }F\left( \frac { y }{ x } \right) \right] ={ x }^{ n }F^{ \prime }\left( \frac { y }{ x } \right) \left( \frac { 1 }{ { x } } \right) ....(2)
समीकरण (1) तथा (2) को क्रमशः x तथा y से गुणा कर योग करने पर-

x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } ={ x }^{ n }F\left( \frac { y }{ x } \right) =nf
व्यापकीकरण (Generalization): यदि f\left( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ .......x }_{ m } \right) चरों { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ .......x }_{ m }का n घात का समघात फलन हो तो
(If f\left( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ .......x }_{ m } \right) be a homogeneous function of variables { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ .......x }_{ m }of degree n ,then)

{ x }_{ 1 }\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ 1 } } +{ x }_{ 2 }\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ 2 } } +........{ ..+x }_{ m }\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ m } } =nf
प्रमाण (Proof): यहां f\left( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ .......x }_{ m } \right) ={ { x }_{ 1 } }^{ n }\phi \left( u,v,w...... \right) जहांu=\frac { { x }_{ 2 } }{ { x }_{ 1 } } ,v=\frac { { x }_{ 3 } }{ { x }_{ 1 } }
इत्यादि तो\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ 1 } } =n{ { x }_{ 1 } }^{ n-1 }\phi \left( u,v,w...... \right) +{ { x }_{ 1 } }^{ n }\left\{ \frac { \partial \phi }{ \partial u } .\frac { \partial u }{ \partial { x }_{ 1 } } +\frac { \partial \phi }{ \partial v } .\frac { \partial v }{ \partial { x }_{ 1 } } +...... \right\}
परन्तु \frac { \partial u }{ \partial { x }_{ 1 } } =-\frac { { x }_{ 2 } }{ { { x }_{ 1 } }^{ 2 } } \quad \quad \frac { \partial v }{ \partial { x }_{ 1 } } =-\frac { { x }_{ 3 } }{ { { x }_{ 1 } }^{ 2 } } इत्यादि।
अतः\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ 1 } } =n{ { x }_{ 1 } }^{ n-1 }\phi \left( u,v,w...... \right) +{ { x }_{ 1 } }^{ n }\left\{ -\frac { \partial \phi }{ \partial u } .\frac { { x }_{ 2 } }{ { { x }_{ 1 } }^{ 2 } } -\frac { \partial \phi }{ \partial v } .\frac { { x }_{ 3 } }{ { { x }_{ 1 } }^{ 2 } } -...... \right\} \\ =n{ { x }_{ 1 } }^{ n-1 }\phi \left( u,v,w...... \right) +{ { x }_{ 1 } }^{ n-2 }\left\{ -{ x }_{ 2 }\frac { \partial \phi }{ \partial u } -{ x }_{ 3 }\frac { \partial \phi }{ \partial v } -...... \right\}
या\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ 1 } } =n{ { x }_{ 1 } }^{ n-1 }\phi -{ { x }_{ 1 } }^{ n-2 }\left\{ { x }_{ 2 }\frac { \partial f }{ \partial u } +...... \right\}
इसी प्रकार\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ 2 } } ={ { x }_{ 1 } }^{ n }\frac { \partial \phi }{ \partial u } .\frac { \partial u }{ \partial { x }_{ 2 } } ={ { x }_{ 1 } }^{ n }\frac { \partial \phi }{ \partial u } .\frac { 1 }{ { x }_{ 1 } } ={ { x }_{ 1 } }^{ n-1 }\frac { \partial \phi }{ \partial u }
उपर्युक्त समीकरणों को क्रमशः से गुणा कर योग करने पर-

{ x }_{ 1 }\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ 1 } } +{ x }_{ 2 }\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ 2 } } +..........+n{ { x }_{ 1 } }^{ n }\phi =nf

3.समघात फलनों पर आयलर प्रमेय से संबंधित सवाल ( Euler theorem of homogeneous functions)-

इन सवालों के हल द्वारा समघात फलनों पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous functions) का प्रयोग करके आयलर प्रमेय को समझाया गया है।
Question-1. यदि (If)u=\frac { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } तो सिद्ध कीजिए (then prove that){ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =2u
Solution-u=\frac { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \\ u=\frac { { x }^{ 2 }\left( \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \right) }{ 1+\left( \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \right) }
फलन u, दो घात का समघात फलन है, अतः आयलर प्रमेय से-

x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =2u.....(1)

समीकरण (1) का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { \partial u }{ \partial x } +x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =2\frac { \partial u }{ \partial x } ......(2)
पुनः समीकरण (1) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =2\frac { \partial u }{ \partial y } .......(3)
समीकरण (2) को x तथा समीकरण (3) को y से गुणा करके योग करने पर-

x\frac { \partial u }{ \partial x } +{ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =2x\frac { \partial u }{ \partial x } +2y\frac { \partial u }{ \partial y } \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =2u

उपर्युक्त उदाहरण को समघात फलनों पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous functions) से समझा जा सकता है।

Question-2.यदि u=f(x,y,z),चरों x,y,z का n घात का समघात फलन है,तो सिद्ध कीजिए कि
(If u=f(x,y,z) is a homogeneous function of x,y,z of degree n,prove that)x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } +z\frac { \partial f }{ \partial z } =nf
Solution- u=f(x,y,z)
मानाu=f(x,y,z)={ x }^{ n }\phi \left( \frac { y }{ x } ,\frac { z }{ x } \right) \\u={ x }^{ n }\phi \left( \frac { y }{ x } ,\frac { z }{ x } \right) ={ x }^{ n }\phi \left( u,v \right)
माना\frac { y }{ x } =u,\frac { z }{ x } =v\\ \frac { \partial u }{ \partial x } =-\frac { y }{ { x }^{ 2 } } ,\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ x } ,\frac { \partial u }{ \partial z } =0\\ v=\frac { z }{ x } \\ \frac { \partial v }{ \partial x } =-\frac { z }{ { x }^{ 2 } } ,\frac { \partial v }{ \partial y } =0,\frac { \partial v }{ \partial z } =\frac { 1 }{ x } \\ u={ x }^{ n }\phi \left( u,v \right) \\ \frac { \partial u }{ \partial x } =n{ x }^{ n-1 }\phi \left( u,v \right) +{ x }^{ n }\left\{ \frac { \partial \phi }{ \partial u } .\frac { \partial u }{ \partial x } +\frac { \partial \phi }{ \partial v } .\frac { \partial v }{ \partial x } \right\} \\ \frac { \partial u }{ \partial x } =n{ x }^{ n-1 }\phi \left( u,v \right) +{ x }^{ n }\left\{ \frac { \partial \phi }{ \partial u } .\left( -\frac { y }{ { x }^{ 2 } } \right) +\frac { \partial \phi }{ \partial v } .\left( -\frac { z }{ { x }^{ 2 } } \right) \right\} \\ \frac { \partial u }{ \partial x } =n{ x }^{ n-1 }\phi \left( u,v \right) -{ x }^{ n-2 }\left\{ y\frac { \partial \phi }{ \partial u } +z\frac { \partial \phi }{ \partial v } \right\} .......(1)
इसी प्रकार\frac { \partial u }{ \partial y } ={ x }^{ n }\left\{ \frac { \partial \phi }{ \partial u } .\frac { \partial u }{ \partial y } +\frac { \partial \phi }{ \partial v } .\frac { \partial v }{ \partial y } \right\} \\ \frac { \partial u }{ \partial y } ={ x }^{ n }\left\{ \frac { \partial \phi }{ \partial u } .\left( \frac { 1 }{ x } \right) +\frac { \partial \phi }{ \partial v } .\left( 0 \right) \right\} \\ \frac { \partial u }{ \partial y } ={ x }^{ n-1 }\frac { \partial \phi }{ \partial u } ......(2)\\ \frac { \partial u }{ \partial z } ={ x }^{ n }\left\{ \frac { \partial \phi }{ \partial u } .\frac { \partial u }{ \partial z } +\frac { \partial \phi }{ \partial v } .\frac { \partial v }{ \partial z } \right\} \\ \frac { \partial u }{ \partial z } ={ x }^{ n }\left\{ \frac { \partial \phi }{ \partial u } .\left( 0 \right) +\frac { \partial \phi }{ \partial v } .\left( \frac { 1 }{ x } \right) \right\} \\ \frac { \partial u }{ \partial z } ={ x }^{ n-1 }\frac { \partial \phi }{ \partial v } ......(3)
समीकरण (1),(2),(3) को क्रमशः x,y,z से गुणा करके जोड़ने पर-

x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } +z\frac { \partial u }{ \partial z } =n{ x }^{ n }\phi \left( \frac { y }{ x } ,\frac { z }{ x } \right) -{ x }^{ n-1 }\left\{ y\frac { \partial \phi }{ \partial u } +z\frac { \partial \phi }{ \partial v } \right\} +{ x }^{ n-1 }\left( y\frac { \partial \phi }{ \partial u } \right) +{ x }^{ n-1 }\left( z\frac { \partial \phi }{ \partial v } \right) \\ =n{ x }^{ n }\phi \left( \frac { y }{ x } ,\frac { z }{ x } \right) +{ x }^{ n-1 }\left\{ -y\frac { \partial \phi }{ \partial u } -z\frac { \partial \phi }{ \partial v } +y\frac { \partial \phi }{ \partial u } +z\frac { \partial \phi }{ \partial v } \right\} \\ =n{ x }^{ n }\phi \left( \frac { y }{ x } ,\frac { z }{ x } \right) \\ =nf

 उपर्युक्त उदाहरण को समघात फलनों पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous functions) से समझा जा सकता है।
Question-3. यदि (If)u=\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \right) } तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that){ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =-\frac { 1 }{ 4 } \frac { sinu.cos2u }{ { cos }^{ 3 }u }
Solution-u=\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \right) } \\ sinu=\frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } =f
f या \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \left( 1-\frac { 1 }{ 2 } \right) अर्थात् \frac { 1 }{ 2 } घात का समघात फलन है। अतः आयलर प्रमेय से-

x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } f\\ x\frac { \partial }{ \partial x } \left( sinu \right) +y\frac { \partial }{ \partial y } \left( sinu \right) =\frac { 1 }{ 2 } sinu\\ x.cosu\frac { \partial u }{ \partial x } +y.cosu\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } sinu\\ x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } tanu.....(1)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { \partial u }{ \partial x } +x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =\frac { 1 }{ 2 } { sec }^{ 2 }u\frac { \partial u }{ \partial x } ......(2)
पुनः समीकरण (1) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } { sec }^{ 2 }u\frac { \partial u }{ \partial y } ......(3)
समीकरण (2) को x से तथा समीकरण (3) को y से गुणा करके जोड़ने पर-

x\frac { \partial u }{ \partial x } +{ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } { sec }^{ 2 }u\left( x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } \right) \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } tanu+{ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } { sec }^{ 2 }u.\frac { 1 }{ 2 } tanu\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } { sec }^{ 2 }u.\frac { 1 }{ 2 } tanu-\frac { 1 }{ 2 } tanu\\ =\frac { 1 }{ 4 } \frac { sinu }{ { cos }^{ 3 }u } -\frac { sinu }{ 2cosu } \\ =\frac { sinu-2{ cos }^{ 2 }u.sinu }{ 4{ cos }^{ 3 }u } \\ =-\frac { 1 }{ 4 } \frac { sinu }{ { cos }^{ 3 }u } \left( 2{ cos }^{ 2 }u-1 \right) \\ =-\frac { 1 }{ 4 } \frac { sinu.cos2u }{ { cos }^{ 3 }u }
इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघात फलनों पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous functions) को ठीक प्रकार से समझा जा सकता है।

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