श्रेणी का अभिसरण का परिचय (Introduction to Convergence of Series):

Convergence of Series

• श्रेणी का अभिसरण का (Convergence of Series):एक अनुक्रम \left\{x_{n}\right\} अभिसारी (Covergent) कहलाता है यदि इसकी सीमा परिमित (finite) हो अर्थात यदि \left\{x_{n}\right\} की सीमा \xi{} परिमित हो तो अनुक्रम \left\{x_{n}\right\}, \xi{} को अभिसृत होता है तथा इसे निम्न प्रकार लिखा जाता है.\lim_{{n}\rightarrow{\infin{}}} x_{n}
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1.अनुक्रम (श्रेणी) [Sequence(Series)]:

• मान लीजिए कि S कोई भी अरिक्त सेट है।एक फ़ंक्शन जिसका डोमेन प्राकृतिक संख्याओं का सेट N है और जिसकी सीमा S का सबसेट है, को सेट S में एक अनुक्रम कहा जाता है।
• दूसरे शब्दों में, एक सेट एस में एक अनुक्रम एक नियम है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को एस का एक अद्वितीय अवयव प्रदान करता है।
• एक अनुक्रम जिसकी सीमा R का सबसेट है, उसे वास्तविक अनुक्रम या वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम कहा जाता है।
• इस प्रश्न में हम केवल वास्तविक अनुक्रमों का हल और अध्ययन करेंगे। इसलिए अनुक्रम शब्द का उपयोग एक वास्तविक अनुक्रम को निरूपित करने के लिए किया जाएगा।
• यदि s एक अनुक्रम है, तो N की छवि s(n) को आमतौर पर s(n) द्वारा दर्शाया जाता है। यह s(n) के प्रतीक द्वारा अनुक्रम को निरूपित करने के लिए प्रथागत है।n की छवि s(n) को अनुक्रम का nवां पद कहा जाता है।s(n)

Convergence of Series

• Let S be any non-empty set.A function whose domain is the set N of natural numbers and whose range is a subset of S, is called a sequence in the set S.
• In other words a sequence in a set S is a rule which assigns to each natural number a unique element of S.
• A sequence whose range is a subset of R is called a real sequence or a sequence of real numbers.
• In this question we will solve and study only real sequences. therefore the term sequence will be used to denote a real sequence.
• If s is a sequence,then the image s(n) of N is usually denoted by s(n). It is customary to denote the sequence s by the symbol s(n).The image s(n) of n is called the nth term of the sequence.

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2.(एक अनुक्रम (श्रेणी) को कई अलग-अलग तरीकों से वर्णित किया जा सकता है [A sequence(series) can be described in several different ways]:

Convergence of Series

• (1.)Listing in order the first few elements of a sequence,till the rule for writing down different elements becomes clear.For example,1,8,27,64,…is the sequence.
• (2.)Defining a sequence by a formula for its nth term.For example,the sequence 1,8,27,64,….can also be written as \left\{1,8,27,.....,n^3,....\right\}.

• (1.)एक अनुक्रम के पहले कुछ अवयवों को सूचीबद्ध करना, जब तक कि विभिन्न अवयवों को लिखने का नियम स्पष्ट नहीं हो जाता है। उदाहरण के लिए, <1,8,27,64,…> अनुक्रम है।

  (2.)एक अनुक्रम को उसके nवें पद के लिए एक सूत्र द्वारा परिभाषित करना। उदाहरण के लिए, अनुक्रम <1,8,27,64,….> को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है \left\{1,8,27,.....,n^3,.....\right\}

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• उपर्युकत आर्टिकल में श्रेणी का अभिसरण का (Convergence of Series) के बारे में बताया गया है.

श्रेणी का अभिसरण का (Convergence of Series):एक अनुक्रम \left\{x_{n}\right\}
अभिसारी (Covergent) कहलाता है यदि इसकी सीमा परिमित (finite) हो अर्थात
यदि \left\{x_{n}\right\} की सीमा \xi{}
परिमित हो तो अनुक्रम \left\{x_{n}\right\}, \xi{} को अभिसृत होता है तथा
इसे निम्न प्रकार लिखा जाता है.\lim_{{n}\rightarrow{\infin{}}} x_{n}