1.वक्रता-केन्द्र के निर्देशांक (Coordinate of Centre of Curvature),ध्रुवी समीकरणों के लिए वक्रता-त्रिज्या (Radius of Curvature for Polar Equations):

Coordinate of Centre of Curvature

वक्रता-केन्द्र के निर्देशांक (Coordinate of Centre of Curvature) ज्ञात करने के अतिरिक्त इस आर्टिकल में ध्रुवी समीकरणों के लिए वक्रता-त्रिज्या,पदिक समीकरणों की वक्रता त्रिज्या ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.वक्रता-केन्द्र के निर्देशांक पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Coordinate of Centre of Curvature):

Example:1.निम्न पदिक समीकरण वाले वक्रों के किसी भी बिन्दु पर वक्रता-त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
(Find the radius of curvature at any point on the curves whose pedal equations are the following):
Example:1(c). p=r \sin \alpha
Solution: p=2 \sin \alpha \\ \frac{d p}{d r}=\sin \alpha \Rightarrow \frac{d r}{d p}= \operatorname{cosec} \alpha
वक्रता त्रिज्या (\rho)=r \frac{d r}{d p} \\ \Rightarrow \rho=r \operatorname{cosec} \alpha
Example:1(d). r^3=a^2 p(द्विपाशी)
Solution: r^3=a^2 p
r के सापेक्ष अवकलन करने पर:

3 r^2=a^2 \frac{d p}{d r} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d p}=\frac{a^2}{3 r^2}
वक्रता त्रिज्या (\rho) =r \frac{d r}{d p} \\ =r \cdot \frac{a^2}{3 r^2} \\ \Rightarrow \rho =\frac{a^2}{3 r}
Example:1(e). a^m p=r^{m+1}
Solution: a^m p=r^{m+1} \\ a^m \frac{d p}{d r}=(m+1) r^m \\ \Rightarrow \frac{d r}{d p}=\frac{a^m}{(m+1) r^m}
वक्रता त्रिज्या (\rho) =r \frac{d r}{d p} \\ =r \frac{a^m}{(m+1) r^m} \\ \Rightarrow \rho =\frac{a^m}{(m+1) r^{m-1}}
Example:1(f). p r=a^2
Solution: p r=a^2 \\ \Rightarrow p =\frac{a^2}{r} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d r} =-\frac{a^2}{r^2} \\ \frac{d r}{d p} =-\frac{r^2}{a^2}
वक्रता त्रिज्या (\rho) =r \frac{d r}{d r} \\ =r\left(-\frac{r^2}{a^2}\right) \\ =-\frac{r^3}{a^2} \\ \Rightarrow \rho=\frac{r^3}{a^2} (संख्यात्मक मान)
Example:2.निम्न ध्रुवी समीकरण वाले वक्रों के किसी बिन्दु पर वक्रता-त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
(Find the radius of curvature at any point on the curves whose polar equations are the following):
Example:2(b). r=a(1-\cos \theta)
Solution: r=a(1-\cos \theta) \\ \frac{d r}{d \theta}=a \sin \theta \\ \frac{d^2 r}{d \theta^2}=a \cos \theta \\ \rho=\frac{\left[r^2+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2\left(\frac{d r}{d \theta} \right)^2+r \frac{d^2 r}{d \theta^2}} \\ =\frac{\left[r^2+a^2 \sin ^2 \theta\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2 a^2 \sin ^2 \theta-r \cdot a \cos \theta} \\ =\frac{\left[r^2+a^2\left(1-\cos ^2 \theta\right) \right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2 a^2\left(1-\cos ^2 \theta\right)-a r(1-\frac{r}{a})}  \\ =\frac{\left[r^2+ a^2 \left(1-\left(1-\frac{r}{a}\right)^2\right)\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2 a^2\left(1-\left(1-\frac{r}{a}\right)^2 \right)-a r+r^2} \\= \frac{\left[r^2+a^2\left(1-1+\frac{2 r}{a}-\frac{r^2}{a^2}\right) \right]^{\frac{3}{2}}}{2 r^2+2 a^2\left(1-1+\frac{2 r}{a}-\frac{r^2}{a^2}\right)-a r} \\= \frac{\left[r^2+2 a r-r^2\right]^{\frac{3}{2}}}{2 r^2+4 ar-2 r^2-a r} \\ =\frac{(2 a r)^{\frac{3}{2}}}{3 a r} \\ =\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{a r}}{3} \\ \Rightarrow \rho=\frac{2}{3} \sqrt{(2 a r)}
Example:2(c). r \cos 2 \theta=a
Solution: r \cos 2 \theta=a \\ r=\frac{a}{\cos 2 \theta}=a \sec 2 \theta \cdots(1)
r के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d r}{d \theta}=2 a \sec 2 \theta \tan 2 \theta \\ \frac{d^2 r}{d \theta^2}=4 a \sec 2 \theta \tan ^2 2 \theta+4 a \sec ^3 2 \theta \\ \frac{d r}{d \theta}=2 a \sec 2 \theta \tan 2 \theta \\ \left(\frac{d r}{d \theta} \right)^2=4 a^2 \sec ^2 2 \theta \tan ^2 2 \theta \\ =4 a^2 \sec ^2 2 \theta\left(\sec ^2 2 \theta-1\right) \\ =4 a^2\left(\frac{r^2}{a^2}\right)\left(\frac{r^2}{a^2}-1\right) \quad\left[\because \sec \theta=\frac{r}{a}\right] \\ \left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2=\frac{4 r^4}{a^2}-4 r^2 \\ \frac{d^2 r}{d \theta^2} =4 a \sec 2 \theta \tan ^2 2 \theta+4 a \sec ^3 2 \theta \\ =4 a\left(\frac{r}{a}\right)\left(\sec ^2 2 \theta-1\right)+4 a\left(\frac{r}{a}\right)^3 \\ =4 r\left(\frac{r^2}{a^2}-1\right)+\frac{4 r^3}{a^2} \\ =\frac{4 r^3}{a^2}-4 r+\frac{4 r^3}{a^2} \\ \Rightarrow \frac{d^2 r}{d \theta^2}=\frac{8 r^3}{a^2}-4 r \\ \rho= \frac{\left[r^2 +\left(\frac{d r}{d \theta}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2\left(\frac{d r}{d \theta} \right)^2-r \frac{d^2 r}{d \theta^2}} \\ =\frac{\left[r^2+\frac{4 r^4}{a^2}-4 r^2\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2\left(\frac{4 r^4}{a^2}-4 r^2\right)-r\left(\frac{4 r^3}{a^2}-4 r+\frac{4 a^3}{a^2}\right)} \\ =\frac{\left(\frac{4 r^4-3 r^2 a^2}{a^2}\right)^{\frac{3}{2}}}{r^2+\frac{8 r^4}{a^2}-8 r^2-\frac{8 r^4}{a^2}{}+4 r^2} \\ =\frac{r^3\left(4 r^2-3 a^2\right)^{\frac{3}{2}}}{-3r^2 a^3} \\ \Rightarrow \rho=\frac{r\left(4 r^2-3 a^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3 a^3} (संख्यात्मक मान)

(1) व (2) से 

\rho=\frac{r}{3 a^3} \times \frac{a^3 r^3}{p^3} \\ \Rightarrow \rho=\frac{r^4}{3 p^3}
Example:2(e). r=a(2 \cos \theta-1)
Solution: r=a(2 \cos \theta-1) \cdots(1) \\ \frac{d r}{d \theta}=-2 \sin \theta \\ \frac{d^2 r}{d \theta^2}=-2 a \cos \theta \\ \rho=\frac{\left[r^2+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+ 2\left( \frac{d r}{d \theta}\right)^2-r \frac{d^2 r}{d \theta^2}} \\ =\frac{\left[r^2+4 a^2 \sin ^2 \theta \right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2 \times 4 a^2 \sin ^2 \theta-r(-2 a \cos \theta)} \\ =\frac{\left[r^2+4 a^2\left(1-\cos ^2 \theta\right)\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+8 a^2\left(1-\cos ^2 \theta\right)+2 a r \cos \theta} \\ \left[\cos \theta=\frac{1}{2}\left(\frac{r}{a}+1\right),(1) \text { से }\right] \\ =\frac{\left[r^2+4 a^2 \left(1-\frac{1}{4}\left(\frac{r}{a}+1\right)^2\right)\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+8 a^2-8 a^2 \times \frac{1}{4} \left(\frac{r}{a}+1\right)^2+2 a r \left(\frac{r}{a}+1\right)} \\ =\frac{\left[r^2+4 a^2-a^2\left(\frac{r^2}{a^2}+\frac{2 r}{a}+1\right)\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+8 a^2-2 a^2\left(\frac{r^2}{a^2}+\frac{2 r}{a}+1 \right) +\frac{\left(2r^2+2 a r\right)}{2}} \\ =\frac{\left(r^2+4 a^2-r^2-2 a r-a^2\right)^{\frac{3}{2}}}{r^2+8 a^2-2 r^2-4 a r-2 a^2+r^2+a r} \\ =\frac{\left(3 a^2-2 a r\right)^{\frac{3}{2}}}{-3 a r+6 a^2} \\=\frac{a^{\frac{3}{2}}(3 a-2 r)^{\frac{3}{2}}}{3 a(2 a-r)} \\=\frac{a^{\frac{1}{2}}(3 a-2 r)^{\frac{3}{2}}}{3 a(2 a-r)} \\ \Rightarrow \rho=\frac{a^{\frac{1}{2}}(3 a-2 r)^{\frac{3}{2}}}{3 a(2 a-r)}
Example:3(c).निम्न वक्र के बिन्दु (p, \psi) पर वक्रता त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
(Find the radius of curvature at any point (p, \psi) on the following curves):

p \sin \psi=a
Solution: p \sin \psi=a \\ \Rightarrow p=a \operatorname{cosec} \psi \cdots(1)\\ \frac{d p}{d \psi}=-a \operatorname{cosec} \psi \cot \psi \cdots(2) \\ \frac{d p}{d \psi} =-a \times \frac{p}{a} \times \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \psi-1} \\ =-p \sqrt{\frac{p^2}{a^2}-1} \\ \frac{d p}{d \psi} =\frac{-p}{a} \sqrt{p^2-a^2}
पुन: (2) का अवकलन करने पर:

Coordinate of Centre of Curvature

Example:7.निम्न वक्रों के सम्मुख प्रदर्शित बिन्दुओं पर वक्रता-केन्द्रों को ज्ञात कीजिए:
(Find the centre of curvature of the following curves at the point indicated against them):

Example:7(a). y=x^3+2 x^2+x-1,(0,1)
Solution: y=x^3+2 x^2+x-1,(0,1) \\ \frac{d y}{d x}=y_1=3 x^2+4 x+1 \\ y_{1(0,1)}=1 \\ \frac{d^2 y}{d x^2}=y_2=6 x+4 \\ y_{2(0,1)}=4 \\ \overline{x} =x-y_1 \frac{\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =0-\frac{1\left(1+1^2\right)}{4} \\ \Rightarrow \overline{x} =-\frac{1}{2} \\ \overline{y}= y+ \frac{\left(1+ y_1^2\right)}{y_2} \\ =1+\frac{\left(1+1^2\right)}{4} \\ =\frac{4+2}{4} \\ y_2=\frac{3}{2}
वक्रता केन्द्र के निर्देशांक

(\overline{x}, \overline{y})=\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)
Example:7(c). x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} ;(x,y)
Solution: x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3} y^{-\frac{1}{3}} \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y_1=-\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}}
पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^2 y}{d x^2} =y_2=-\frac{\left[\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d y}{d x} y^{-\frac{2}{3}}-y^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}\right]}{x^{\frac{2}{3}}} \\ =-\frac{\left[-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} \times \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} y^{-\frac{2}{3}}-\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3}} x^{-\frac{2}{3}}\right]}{x^{\frac{2}{3}}} \\ =\frac{\left(\frac{1}{3} y^{-\frac{1}{3}}+\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3}} x^{-\frac{2}{3}}\right)}{x^{\frac{2}{3}}} \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}=y_2=\frac{1}{3}\left(\frac{y^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{1}{3}}}\right) \\=\frac{a^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{1}{3}}} \\ \bar{x}=x-\frac{y_1\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =x+\frac{(y)^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{\left(1+ \frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)}{\frac{1}{3}\left(\frac{a^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{1}{3}}}\right)} \\ =x+\frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{\left(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}\right)}{x^{\frac{2}{3}} a^{\frac{2}{3}}} \\ \Rightarrow \bar{x}=x+3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} \\ \bar{y} =y+\frac{\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =y+\frac{\left(1+ \frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}\right)}{\frac{a^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{1}{3}}}} \\ =y+\frac{3 x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{1}{3}}\left(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}\right)}{x^{\frac{2}{3}} a^{\frac{2}{3}}} \\ =y+3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}} \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}} \\ \Rightarrow \bar{y} =y+3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}
वक्रता केन्द्र के निर्देशांक

(\bar{x}, \bar{y}) \\ =\left(x+3 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}, y+3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}\right)
Example:7(d). x y=c^2,(x, y)
Solution: x y=c^2,(x, y) \\ y+x \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y_1=-\frac{y}{x} \\ \frac{d^2 y}{d x^2}=-\frac{\left(x \frac{d y}{d x}-y \cdot 1\right)}{x^2} \\ =\frac{-\left(x \times-\frac{y}{x}-y\right)}{x^2} \\ =\frac{2 y}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}=y_2=\frac{2 y}{x^2} \\ \overline{x}=x-\frac{y_1\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =x+\frac{\frac{y}{x}\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)}{\frac{2 y}{x^2}} \\ =x+\frac{x}{2}\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) \\ =x+\frac{1}{2 x}\left(x^2+y^2\right) \\ =x+\frac{x}{2}+\frac{y^2}{2 x} \\ \Rightarrow \bar{x}=\frac{3}{2} x+\frac{c^4}{2 x^3}\left[\because y=\frac{c^2}{x}\right] \\ \overline{y}=y+\frac{\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ \overline{y}=y+\frac{\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =y+\frac{1+\frac{y^2}{x^2}}{\frac{2 y}{x^2}} \\ =y+\frac{x^2}{2 y}\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) \\=y+\frac{x^2}{2 y}+\frac{y}{2} \\ =\frac{3}{2} y+\frac{x^2}{2 y} \\ =\frac{3}{2} \times \frac{c^2}{x} +\frac{x^2 \times x}{2 c^2} \left[\because y=\frac{c^2}{x}\right] \\ \Rightarrow \overline{y}=\frac{3 c^2}{2 x}+\frac{1}{2} \frac{x^3}{c^2}
अतः वक्रता केन्द्र के निर्देशांक

(\bar{x}, \bar{y}) \\ =\left(\frac{3}{2} x+\frac{c^4}{2 x^3} , \frac{3 c^2}{2 x}+\frac{x^3}{2 c^2}\right)
Example:7(e). \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a},\left(\frac{a}{4}, \frac{a}{4}\right)
Solution: \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a},\left(\frac{a}{4}, \frac{a}{4}\right) \\ \frac{1}{2 \sqrt{x}}+\frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right) =y_{1 {\left(\frac{a}{4},\frac{a}{4} \right)}}=-\frac{\sqrt{\frac{a}{4}}}{\sqrt{\frac{a}{4}}} \\ y_1=-1 \\ \frac{d^2 y}{d x^2} =-\frac{\left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{d y}{d x}-\sqrt{y} \cdot \frac{1}{2 x}\right)}{x}\\ =\frac{-\left(\frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} \times-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}\right)}{x} \\ =-\frac{\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}\right)}{x} \\ \Rightarrow \left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)= y_{2\left(\frac{a}{4},\frac{a}{4} \right)}=\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{\frac{a}{4}}}{2 \sqrt{\frac{a}{4}}} \right)}{\frac{a}{4}} \\ \Rightarrow y_2=\frac{4}{a} \\ \bar{x}=x-\frac{y_1\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ \bar{x} =x-\frac{y_1\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =\frac{a}{4}-\frac{(-1)\left(1+(-1)^2\right)}{\frac{4}{a}} \\ =\frac{a}{4}+\frac{2 \times a}{4} \\ \Rightarrow \bar{x}=\frac{3 a}{4} \\ \bar{y} =y+\frac{\left(1+y_{1}^2\right)}{y 2} \\ =\frac{a}{4}+\frac{\left(1+(-1)^2\right)}{\frac{4}{a}} \\=\frac{a}{4}+\frac{a}{4} \times 2 \\ \Rightarrow \bar{y} =\frac{3 a}{4}
वक्रता केन्द्र के निर्देशांक=(\bar{x}, \bar{y}) \\ =\left(\frac{3a}{4}, \frac{3a}{4}\right)
Example:7(e). y^2=4 a x,(x, y)
Solution: y^2=4 a x,(x, y) \\ 2 y \frac{d y}{d x}=4 a \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 a}{y} \\ \left(\frac{d y}{d y}\right)=y_1=\frac{2 a}{y} \\ \frac{d^2 y}{d x^2}=-\frac{2 a}{y^2} \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}=y_2=-\frac{2 a}{y^2} \times \frac{2 a}{y} \\ \Rightarrow y_{2}=-\frac{4a^2}{y^3}\\ \Rightarrow \bar{x}=x-\frac{y_1 \left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =x-\frac{\frac{2 a}{y}\left(1+\frac{4 a^2}{y^2}\right)}{-\frac{4 a^2}{y^3}} \\=x+y^2\left(1+\frac{4 a^2}{4 a x}\right) \\ =x+\frac{y^2}{2 a} \frac{(x+a)}{x} \\ =x+\frac{4 a x}{2 a} \frac{(x+a)}{x} \\ =x+2 x+2 a \\ \Rightarrow \bar{x} =3 x+2 a \\ \bar{y} =y+\frac{\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =\frac{y+\left(1+\frac{4 a^2}{y^2}\right)}{-\frac{4 a^2}{y^3}} \\ =y-\frac{y^3}{4 a^2}\left(1+\frac{4 a^2}{4 a x}\right) \\ =y-\frac{4 a x \cdot y}{4 a^2}\left(\frac{x+a}{x}\right) \\ =y-\frac{y}{a}(x+a) \\ =y-\frac{x y}{a}-y \\ =-\frac{x y}{a}=-\frac{x}{a} 2 \sqrt{a x} \\ \bar{y}=-2 a^{-\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}
वक्रता केन्द्र के निर्देशांक=(\bar{x}, \bar{y}) \\ =\left(3 x+2 a,-2 a^{-\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}\right)
Example:7(h). x^2= 4ay, (x, y)
Solution: x^2=4 a y,(x, y) \\ \frac{d y}{d x}=\frac{x}{2 a} \\ \Rightarrow y_1=\frac{x}{2 a} \\ \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{1}{2 a} \\ \Rightarrow y_2=\frac{1}{2 a} \\ \bar{x}=x-\frac{y_1\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =x-\frac{x}{2 a} \cdot \frac{\left(1+\frac{x^2}{4 a^2}\right)}{\frac{1}{2 a}} \\ =x-x\left(1+\frac{x^2}{4 a^2}\right) \\ \Rightarrow \bar{x}=-\frac{x^3}{4 a^2} \\ \bar{y}=y+\frac{\left(1+y_1^2\right)}{y_2}\\ =y+\frac{\left(1 +\frac{x^2}{4 a^2}\right)}{\frac{1}{2 a}} \\ =y+2 a\left(1+\frac{x^2}{4 a^2}\right) \\ \bar{y} =y+2 a+ \frac{x^2}{2 a}=\frac{x^2}{4 a+2 a+\frac{x^2}{2 a}} \\ \Rightarrow \bar{y} =\frac{3 x^2}{4 a}+2 a
वक्रता केन्द्र के निर्देशांक=(\bar{x}, \bar{y}) \\ =\left(-\frac{x^3}{4 a^2}, 2 a+\frac{3 x^2}{4 a}\right)
Example:7(i). y=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right),(x,y)
Solution: y=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right),(x, y) \\ \frac{d y}{d x}=\sinh \left(\frac{x}{c}\right) \Rightarrow y_1=\sinh \left(\frac{x}{c}\right) \\ \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{1}{c} \cosh \left(\frac{x}{c}\right) \Rightarrow y_2=\frac{1}{c} \cosh \left(\frac{x}{c}\right) \\ \bar{x}=x-\frac{y_1\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =x-\frac{\sinh \left(\frac{x}{c}\right)\left(1+\sinh ^2\left(\frac{x}{c}\right)\right)}{\frac{1}{c} \cosh \left(\frac{x}{c}\right)} \\ =x-\frac{c \sinh \left(\frac{x}{c}\right) \cdot \cosh ^2\left(\frac{x}{c}\right)}{\cosh \left(\frac{x}{c} \right)} \left[\because \cosh ^2 \left(\frac{x}{c}\right)-\sinh^2 \left(\frac{x}{c}\right) =1\right] \\ \Rightarrow \bar{x}=x-c \sinh \left(\frac{x}{c}\right) \cosh \left(\frac{x}{c}\right) \\ =x-c \times \frac{y}{c}\left(\frac{y^2}{c^2}-1\right)^{\frac{1}{2}} \\ =x-y\left(\frac{y^2}{c^2}-1\right)^{\frac{1}{2}} \\ \begin{Bmatrix} \because \cosh \frac{x}{c}=\frac{y}{c}, \cosh ^2 \frac{x}{c}=\frac{y^2}{c^2} \\ 1+\sinh ^2 \left(\frac{x}{c}\right)= \frac{y^2}{c^2} \Rightarrow \sinh \left(\frac{x}{c}\right)=\left(\frac{y^2}{c^2}-1 \right)^{\frac{1}{2}} \end{Bmatrix} \\ \bar{y} =y+\frac{\left(1+y_1{ }^2\right)}{y_2} \\ =y+\frac{\left(1+\sinh ^2 \left(\frac{x}{c}\right)\right)}{\frac{1}{c} \cosh h^2 \left(\frac{x}{c}\right)} \\ =y+c \frac{\cosh^2 \left(\frac{x}{c} \right)}{\cosh \left(\frac{x}{c}\right)} \\ =y+c \cosh \left(\frac{x}{c}\right)=y+c \cdot \frac{y}{c} \\ \Rightarrow \bar{y}=2 y
वक्रता केन्द्र के निर्देशांक=(\bar{x}, \bar{y}) \\ \left(x-y\left(\frac{y^2}{c^2}-1\right), 2 y\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वक्रता-केन्द्र के निर्देशांक (Coordinate of Centre of Curvature),ध्रुवी समीकरणों के लिए वक्रता-त्रिज्या (Radius of Curvature for Polar Equations) को समझ सकते हैं।

3.वक्रता-केन्द्र के निर्देशांक के सवाल (Coordinate of Centre of Curvature Questions):

Coordinate of Centre of Curvature

(1.)वक्र a^2 y=x^3 के वक्रता केन्द्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:
(Find the coordinates of the centre of curvature of the curve a^2 y=x^3):
(2.)परवलय y^2=4a x के बिन्दु \left(at^2,2at \right) पर वक्रता केन्द्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:
(Find the coordinates of the centre of curvature at the point on the parabola y^2=4a x)
उत्तर (Answers):(1.) \overline{x}=\frac{x}{2}\left(1-\frac{9 x^4}{a^2}\right), \overline{y}=\frac{5 x^3}{2 a^2}+\frac{a^2}{6 x}
(2.) \overline{x}=a\left(3 t^2+2\right) ; \overline{y}=-2 at^2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वक्रता-केन्द्र के निर्देशांक (Coordinate of Centre of Curvature),ध्रुवी समीकरणों के लिए वक्रता-त्रिज्या (Radius of Curvature for Polar Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वक्रता-केन्द्र के निर्देशांक (Frequently Asked Questions Related to Coordinate of Centre of Curvature),ध्रुवी समीकरणों के लिए वक्रता-त्रिज्या (Radius of Curvature for Polar Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वक्रता-केन्द्र के निर्देशांक (Coordinates of Centre of Curvature) ज्ञात करने के अतिरिक्त
इस आर्टिकल में ध्रुवी समीकरणों के लिए वक्रता-त्रिज्या,पदिक समीकरणों की वक्रता त्रिज्या
ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।