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Equations Reducible to Exact Differential Equation

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1 1.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि (Methods of Finding out Integrating Factor)-
1.2 3.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण की समस्याएं (Equations Reducible to Exact Differential Equation Problems),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि की समस्याएं (Methods of Finding out Integrating Factor Problems),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण के सवाल और उत्तर (Exact Differential Equation Questions and Answers)-

1.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि (Methods of Finding out Integrating Factor)-

  • यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation)-जो अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण नहीं होते हैं उन्हें साधारणतः x तथा y के विशेष फलनों द्वारा गुणा करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण बनाया जा सकता है। ऐसे विशेष फलनों को समाकलन गुणक (Integrating Factor) कहते हैं।
  • (1.)यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन (Reduction to Exact Differential Equation)यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण समाकलन गुणक (Exact Differential Equation Integrating Factor)-
    जब \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) केवल x का फलन या अचर हो तो समाकलन गुणक ज्ञात करना:
    यदि अवकल समीकरण Mdx+Ndy=0 में
  • \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=f(x)
    हो अर्थात् केवल x का फलन हो (यह एक अचर भी हो सकता है) तो समीकरण का समाकलन-गुणक (I.F.) e^{\int f(x) d x} होगा।
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2.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण के उदाहरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation Examples),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि के उदाहरण (Methods of Finding out Integrating Factor Examples),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन के उदाहरण (Reducible to exact differential equations examples)-

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example-1.\left(y+\frac{1}{3} y^{3}+\frac{1}{2} x^{2}\right) d x+\frac{1}{4}\left(x+x y^{2}\right) d y=0
Solution\left(y+\frac{1}{3} y^{3}+\frac{1}{2} x^{2}\right) d x+\frac{1}{4}\left(x+x y^{2}\right) d y=0 \\ M=y+\frac{1}{3} y^{3}+\frac{1}{2} x^{2}, \quad N=\frac{1}{4}\left(x+x y^{2}\right) \\ \frac{\partial M}{\partial y}=1+y^{2}, \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{1}{4}\left(1+y^{2}\right) \\ \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) =\frac{4}{x+x y^{2}}\left(1+y^{2}-\frac{1}{4}\left(1+y^{2}\right)\right) \\=\frac{4}{x\left(1+y^{2}\right)} \cdot \frac{3}{4}\left(1+y^{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) =\frac{3}{x}
अतः समाकलन गुणक (Integrating Factor)[I.F.]=e^{\int \frac{3}{x} d x=e^{3 \log x}} \\=x^{3}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण को x^{3}से गुणा करने पर-

\left(x^{3} y+\frac{1}{3} x^{3} y^{3}+\frac{1}{2} x^{5}\right) d x+\frac{1}{4}\left(x^{4}+x^{4} y^{2}\right) d y=0 \\M=x^{3} y+\frac{1}{3} x^{3} y^{3}+\frac{1}{2} x^{5}, \quad N=\frac{1}{4}\left(x^{4}+x^{4} y^{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=x^{3}+x^{3} y^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=x^{3}+x^{3} y^{2} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1) U(x, y)=\int M d x=\int\left(x^{3} y+\frac{1}{3} x^{3} y^{3}+\frac{1}{2} x^{5} \right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{1}{4} x^{4} y+\frac{x^{4} y^{3}}{12}+\frac{x^{6}}{12} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{x^{4} y^{2}}{4} \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{4} x^{4} y^{2}-\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{4} x^{4} y^{2} \\ =0 \\ (4) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 0 d y=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V (y)=C_{1} \\ \Rightarrow \frac{1}{4} x^{4} y+\frac{1}{12} x^{4} y^{3}+\frac{1}{12} x^{6}=C_{1} \\ \Rightarrow 3 x^{4} y+x^{4} y^{3}+x^{6}=C
Example-2.\left(x^{2}-2 x+2 y^{2}\right) d x+2 x y d y=0
Solution\left(x^{2}-2 x+2 y^{2}\right) d x+2 x y d y=0 \\ M=x^{2}-2 x+2 y^{2}, N=2 x y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=4 y \quad, \frac{\partial N}{\partial x}=2 y \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) =\frac{1}{2 x y}(4 y-2 y) \\ =\frac{1}{2 x y}(2 y) \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) =\frac{1}{x}
अतः समाकलन गुणक (Integrating Factor)[I.F.]=e^{\int \frac{1}{x} d x} \\ =e^{\log x} \\ I.F=x
अतः दिए हुए अवकल समीकरण को x से गुणा करने पर-

\left(x^{3}-2 x^{2}+2 x y^{2}\right) d x+2 x^{2} y d y=0 \\ M=x^{3}-2 x^{2}+2 x y^{2}, \quad N=2 x^{2} y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=4 x y, \frac{\partial N}{\partial x}=4 x y \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int\left(x^{3}-2 x^{2}+2 x y^{2}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{2 x^{3}}{3} +x^{2} y^{2}\right] \\ (2) \frac{\partial v}{\partial y}=2 x^{2} y \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{2} y-2 x^{2} y=0 \\ (4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 0 d y=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{4}-\frac{2 x^{3}}{3}+x^{2} y^{2}=C

  • उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि (Methods of Finding out Integrating Factor) को समझ सकते हैं।

Example-3.\left(3 x y-2 a y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-2 a y x\right) d y=0
Solution\left(3 x y-2 a y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-2 a y x\right) d y=0 \\M =3 x y-2 a y^{2}, \quad N=x^{2}-2 a y x \\ \frac{\partial M}{\partial y} =3 x-4 a y, \frac{\partial N}{\partial x}=2 x-2 a y \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac {\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) =\frac{1}{x^{2}-2 a y x}(3 x-4 a y-2 x+2 a y) \\ =\frac{1}{x(x-2 a y)}(x-2 a y) \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)= \frac{1}{x}
अतः समाकलन गुणक (Integrating Factor)[I.F.]=e^{\int \frac{1}{x} d x} \\ =e^{\log x} \\ I \cdot F \cdot =x
अतः दिए हुए अवकल समीकरण को x से गुणा करने पर-

\left(3 x^{2} y-2 a x y^{2}\right) d x+\left(x^{3}-2 a x^{2} y\right) d y=0 \\ M=3 x^{2} y-2 a x y^{2}, \quad N=x^{3}-2 a x^{2} y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=3 x^{2}-4 a x y, \frac{\partial N}{\partial x}=3 x^{2}-4 a x y \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int\left(3 x^{2} y-2 a x y^{2}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=x^{3} y-a x^{2} y^{2} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}=x^{3}-2 a x^{2} y \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y} =x^{3}-2 a y x^{2}-x^{3}+2 a x^{2} y \\ =0 \\ (4) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 0 d y=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow x^{3} y-a x^{2} y^{2}=c

  • उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि (Methods of Finding out Integrating Factor) को समझ सकते हैं।

Example-4.\left(x^{2}+y^{2}+2 x\right) d x+2 y d y=0
Solution\left(x^{2}+y^{2}+2 x\right) d x+2 y d y=0 \\ M =x^{2}+y^{2}+2 x, \quad N=2 y \\ \frac{\partial M}{\partial y} =2 y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) =\frac{1}{2 y}(2 y-0)=1
अतः समाकलन गुणक (Integrating Factor)[I.F.]=e^{\int 1 \cdot d x}=e^{x}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण को e^{x}से गुणा करने पर-

e^{x}\left(x^{2}+y^{2}+2 x\right) d x+e^{x} 2 y d y=0 \\ M=e^{x} x^{2}+e^{x} y^{2}+e^{x} 2 x, N=e^{x} 2y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 e^{x} y , \quad \frac{\partial N}{\partial x}=2 e^{x} y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(e^{x} x^{2}+e^{x} y^{2}+2 x e^{x}\right) d x \\ = e^{x} x^{2}-\int 2 x \cdot e^{x} d x+e^{x} y^{2}+\int 2 x e^{x} d x \\ \Rightarrow U(x,y)=e^{x} x^{2}+e^{x} y^{2} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}=2 y e^{x}\\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y}=2 e^{x} y-2 y e^{x}=0 \\ (4) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ \Rightarrow V(y)=\int 0 d y=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow e^{x} x^{2}+e^{x} y^{2}=c \\ \Rightarrow e^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=c
Example-5.\left(x^{2}+y^{2}+1\right) d x-2 x y d y=0
Solution\left(x^{2}+y^{2}+1\right) d x-2 x y d y=0 \\ M=x^{2}+y^{2}+1, \quad N=-2 x y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=-2 y \\ \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac{1}{-2 x y}(2 y+2 y) \\ =\frac{1}{(-2 x y)} \cdot 4 y \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=-\frac{2}{x}
अतः समाकलन गुणक (Integrating Factor)[I.F.]=e^{-\frac{2}{x} d x}=e^{\int-2 \log x} \\ \Rightarrow I.F.=\frac{1}{x^{2}}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण को \frac{1}{x^{2}}से गुणा करने पर-

\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x-\frac{2 y}{x} d y=0 \\ M=1+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}, \quad N=-\frac{2 y}{x} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{2 y}{x^{2}}, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{2 y}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\left[x-\frac{y^{2}}{x}-\frac{1}{x}\right] \\ \text { (2.) } \frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{2 y}{x} \\ (3.) N-\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{2 y}{x}+\frac{2 y}{x}=0 \\ (4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ \Rightarrow V(y)=\int 0 d y=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow x-\frac{y^{2}}{x}-\frac{1}{x}=c \\ \Rightarrow x^{2}-y^{2}-1=c x
Example-6.\left(x^{3} e^{x}-m y^{2}\right) d x+m x y d y=0
Solution\left(x^{3} e^{x}-m y^{2}\right) d x+m x y d y=0 \\ M=x^{3} e^{x}-m y^{2}, \quad M=m x y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=-2 m y \quad , \frac{\partial N}{\partial x}=m y \\ \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac{1}{m n y}(-2 m y-m y) \\ =\frac{1}{m x y}(-3 m y) \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) =-\frac{3}{x}
अतः समाकलन गुणक (Integrating Factor)[I.F.]= e^{\int-\frac{3}{x} d x} \\ =e^{-3 \log x} \\ \Rightarrow I.F. =\frac{1}{x^{3}}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण को \frac{1}{x^{3}}से गुणा करने पर-

\left(e^{x}-\frac{m y^{2}}{x^{3}}\right) d x+\frac{m y}{x^{2}} d y=0 \\ M=e^{x}-\frac{m y^{2}}{x^{3}}, \quad N=\frac{m y}{x^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{2 m y}{x^{3}}, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{2 m y}{x^{3}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

\text { (1.) } U\left(x, y\right) =\int M d x \\ =\int\left(e^{x}-\frac{m y^{2}}{x^{3}}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =e^{x}+\frac{m y^{2}}{2 x^{2}} \\ \text { (2.) } \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{m y}{x^{2}} \\ (3.) M-\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{m y}{x^{2}}-\frac{m y}{x^{2}}=0 \\ (4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ \Rightarrow V(y)=\int 0 d y=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=C \\ \Rightarrow e^{x}+\frac{m y^{2}}{2 x^{2}}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि (Methods of Finding out Integrating Factor) को समझ सकते हैं।
Example-7.\left(x e^{x} y^{2}-3 x+2 y\right) d x+\left(x^{2} y e^{x}-2\right) d y=0
Solution\left(x e^{x} y^{2}-3 x+2 y\right) d x+\left(x^{2} y e^{x}-2\right) d y=0 \\ M=x e^{x} y^{2}-3 x+2 y \quad, N=x^{2} y e^{x}-2 \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 x e^{x} y+2, \frac{\partial N}{\partial x}=2 x y e^{x}+x^{2} y e^{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) =\frac{1}{x^{2} y e^{x}-2}\left(2 x e^{x} y+2-2 x y e^{x}-x^{2} y e^{x}\right) \\ =\frac{1}{x^{2} y e^{x}-2}\left(2-x^{2} y e^{x}\right) \\ =-\frac{1}{(x^{2} y e^{x}-2)} \left(x^{2} y e^{x}-2\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=-1
अतः समाकलन गुणक (Integrating Factor)[I.F.]=e^{\int(-1) d x}=e^{-x}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण को e^{-x} से गुणा करने पर-

\left(x y^{2}-3 x e^{-x}+2 y-x\right) d x+\left(x^{2} y-2 e^{-x}\right) d y=0 \\ M=x y^{2}-3 x e^{-x}+2 y e^{-x}, \quad N=x^{2} y-2 e^{-x} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 x y+2 \bar{e}^{-x}, \frac{\partial N}{\partial x}=2 x y+2 e^{-x} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

\text { (1.) } U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(x y^{2}-3 x e^{-x}+2 y-x\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\frac{x^{2} y^{2}}{2}+\frac{3}{2} x e^{-x}+3 e^{-x}-2 y e^{-x} \\ \text { (2.) } \frac{\partial u}{\partial y}=x^{2} y-2 e^{-x} \\ (3.) N-\frac{\partial U}{\partial y}=x^{2} y-2 e^{-x}-x^{2} y+2 e^{-x}=0 \\ (4) V(y)=\int\left(x-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ \Rightarrow v(y)=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+v(y)=c \\ \Rightarrow \frac{1}{2} x^{2} y^{2}+3 x^{2} e^{-x}+3 e^{-x}-2 y e^{-x}=c_{1} \\ \Rightarrow e^{x} x^{2} y^{2}+6 x+6-4 y=-c e^{x} \\ \Rightarrow e^{x}\left(x^{2} y^{2}+c\right)=4 y-6 x-6

Example-8.\left(20 x^{2}+8 x y+4 y^{2}+3 y^{3}\right) y d x+4\left(x^{2}+x y+y^{2}+y^{3}\right) x d y=0
Solution-\left(20 x^{2}+8 x y+4 y^{2}+3 y^{3}\right) y d x+4\left(x^{2}+x y+y^{2}+y^{3}\right) x d y=0 \\ M=20 x^{2} y+8 x y^{2}+4 y^{3}+3 y^{4} N=4 x^{3}+4 x^{2} y+4 x y^{2}+4 x y^{3} \\ \frac{\partial m}{\partial y}=20 x^{2}+16 x y+12 y^{2}+12 y, \frac{\partial N}{\partial x}=12 x^{2}+8 x y+4 y^{2}+4 y^{3} \\ \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac{1}{4\left(x^{2}+x y+y^{2}+y 3\right) x}\left[20 x^{2}+16 x y+12 y^{2}+12 y^{3}-12 x^{2}-8 x y-4 y^{2}-4 y^{3}\right]\\=\frac{1}{4 x\left(x^{2}+x y+y^{2}+y^{3}\right)}\left(8 x^{2}+8 x y+8 y^{2}+4 y^{3}\right) \\=\frac{8\left(x^{2}+x y+y^{2}+y^{3}\right)}{4 x\left(x^{2}+x y+y^{2}+y^{3}\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac{2}{x}
अतः समाकलन गुणक (Integrating Factor)[I.F.]=e^{\int \frac{2}{x} d x} \\=e^{2 \log x} \\ \Rightarrow I \cdot F =x^{2}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण को x^{2} से गुणा करने पर-

\left(20 x^{4} y+8 x^{3} y^{2}+4 x^{2} y^{3}+3 x^{2} y^{4}\right) d x+\left(4 x^{5}+4 x^{4} y+4 x^{3} y^{2}+4 x^{3} y^{3}\right) d y=0 \\ M=20 x^{4} y+8 x^{3} y^{2}+4 x^{2} y^{3}+3 x^{2} y^{4}, N=4 x^{5}+4 x^{4} y+4 x^{3} y^{2}+4 x^{3} y^{3} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=20 x^{4}+16 x^{3} y+12 x^{2} y^{2}+12 x^{2} y^{3} \quad , \frac{\partial N}{\partial x}=20 x^{4}+16 x^{3} y+12 x^{2} y^{2}+12 x^{2} y^{3} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

\text { (1.) } U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(20 x^{4} y+8 x^{3} y^{2}+4 x^{2} y^{3}+3 x^{2} y^{4}\right) d x \\ \Rightarrow U\left(x, y\right) =4 x^{5} y+2 x^{4} y^{2}+\frac{4 }{3}x^{3} y^{3}+x^{3} y^{4} \\ \text { (2) } \frac{\partial U}{\partial y}= 4 x^{5}+4 x^{4} y+4 x^{3} y^{2}+4 x^{3} y^{3} \\ (3) N-\frac{\partial u}{\partial y} =4x^{5}+4 x^{4} y+4 x^{3} y^{2}+4 x^{3} y^{3}-4 x^{5} \\ -4 x^{4} y-4 x^{3} y^{2}-4 x^{3} y^{3} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y}=0 \\ V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y) =0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

  • U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow 4 x^{5} y+2 x^{4} y^{2}+\frac{4}{3} x^{3} y^{3}+x^{3} y^{4}=c \\ \Rightarrow \left(4 x^{5}+2 x^{4} y+\frac{4}{3} x^{3} y^{2}+x^{3} y^{3}\right) y=c
  • उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि (Methods of Finding out Integrating Factor) को समझ सकते हैं।

3.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण की समस्याएं (Equations Reducible to Exact Differential Equation Problems),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि की समस्याएं (Methods of Finding out Integrating Factor Problems),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण के सवाल और उत्तर (Exact Differential Equation Questions and Answers)-

हल कीजिए (Solve):

(1) \left( x^{3}+x y^{4}\right) d x+2 y^{3} d y=0 \\ (2.) \left(x^{2}+y^{2}\right) d x-2 x y d y=0 \\ (3.) \left(x^{2}+y^{2}+x\right) d x+x y d y=0 \\ (4.) \left(x^{3}-2 y^{2}\right) d x+2 x y d y=0 \\ (5) \left(2 x^{3} y^{2}+4 x^{2} y+2 x y^{2}+x y^{4}+2 y\right) d x+2\left(y^{3}-x^{2} y+x\right) d y=0
उत्तर (Answers):

(1.) \frac{e^{x^{2}}}{2}\left(x^{2}+y^{4}-1\right)=c \\ (2.) x^{2}-y^{2}=c x \\ (3.) \frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} x^{2} y^{2}+\frac{1}{3} x^{3}=c \\ (4.) x+\frac{y^{2}}{x^{2}}=c \\ (5) \left(2 x^{2} y^{3}+4 x y+y^{4}\right) e^{x}=c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि (Methods of Finding out Integrating Factor) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.आप अवकल समीकरण का यथातथ (यथार्थ) हल कैसे ज्ञात कर सकते हैं? (How do you find the exact solution of a differential equation?)-

  • पहले यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) के लिए परीक्षण का उपयोग करके यथातथ (यथार्थ) है: ∂Q/∂x =∂P/∂y।फिर हम दो अवकल समीकरणों की प्रणाली लिखते हैं जो फ़ंक्शन u(x, y) को परिभाषित करते हैं u(x,y): ∫[∂u/∂x=P(x, y) ∂u/∂y=Q(x, y)।इसके पश्चात् v(y) का मान ज्ञात करते हैं।u(x,y) तथा v(y) की सहायता से अवकल समीकरण का हल ज्ञात करते हैं।

5.कब एक अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) होता है? (When a differential equation is exact?)-

  • एक बार एक अवकल समीकरण Mdx + Ndy = 0 यथातथ (यथार्थ) होने के लिए निर्धारित किया जाता है, शेष कार्य केवल f(x, y) को खोजने के लिए होता है जैसे कि f_{x} = M और f_{y} = N।
    यथातथ (यथार्थ) अवकली समीकरण को हल करने का एल्गोरिथम यह है कि पहले यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) के लिए परीक्षण का उपयोग करके यथातथ (यथार्थ) है। अतः यथातथ अवकल होने के लिए निम्न परीक्षण करना आवश्यक है: ∂Q/∂x=∂P/∂y।फिर हम दो अवकल समीकरणों की प्रणाली लिखते हैं जो फ़ंक्शन u(x, y) को परिभाषित करते हैं u(x,y): ∫ ∂u/∂x=P(x, y) ∂u/∂y=Q(x, y)।

6.आप एक अयथातथ(अयथार्थ) अवकल समीकरण के समाकलन-गुणक को कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the integrating factor of a non exact differential equation?)-

  • यदि अवकल समीकरण लिखित रूप में यतातथ (यथार्थ) नहीं है,तो एक फ़ंक्शन μ(x, y) मौजूद है जिससे कि अवकल समीकरण के दोनों पक्षों को μ से गुणा करके प्राप्त समकक्ष समीकरण, यथातथ (यथार्थ) है।ऐसे फ़ंक्शन μ को मूल समीकरण का एक समाकलन-गुणक (Integrating Factor) कहा जाता है और यह मौजूद होने की गारंटी है यदि दिए गए अवकल समीकरण का वास्तव में हल है।
  • समाकलन-गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करने की कई विधियां हैं जिसमें कुछ विधियों को उदाहरणों के द्वारा समझाया गया है।इसी प्रकार इस आर्टिकल में भी एक विधि के द्वारा अतथातथ (अयथार्थ) अवकल समीकरणों का समाकलन-गुणक ज्ञात करके उन्हें यतातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन किया गया है।

7.आप अवकल समीकरणों को समाकलन गुणक से कैसे हल करते हैं? (How do you solve differential equations integrating factors?)-

  • इंटीग्रेटिंग फैक्टर का उपयोग करके फर्स्ट-ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन को हल करना
    अवकल समीकरण फॉर्म के साथ दिए गए समीकरण की तुलना करें और P(x) का मान ज्ञात करें।
    उपयुक्त विधि द्वारा समाकलन-गुणक (Integrating Factor) μ की गणना करें।
    इस तरह से दोनों तरफ समाकलन-गुणक (Integrating Factor) के साथ अवकल समीकरण को गुणा करें;μ dy/dx +μP(x)y = μQ(x)

8.यथातथ(यथार्थ) अवकल समीकरण की शर्त (Exact Differential Equation Condition)-

  • एक प्रथम-क्रम अवकल समीकरण (एक चर का) एक यथातथ या एक यथातथ अवकल के रूप में जाना जाता है अगर यह एक साधारण अवकलन का परिणाम है। समीकरण P(x, y) y′+ Q(x, y)= 0, या समकक्ष वैकल्पिक संकेतन P(x, y) dy+ Q(x, y)dx = 0 में, यथातथ है यदि P_{x}(x,y) = Q_{y} (x, y)
  • उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर, उदाहरणों तथा सवालों को हल करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation),समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि (Methods of Finding out Integrating Factor) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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