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Integration Formulas

1.समाकलन सूत्र (Integration Formulas)-

समाकलन सूत्र (Integration Formulas) के द्वारा समाकलन ज्ञात करना सीखेंगे।समाकलन अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया है।अवकलन गणित में हम दिए हुए फलनों के अवकल गुणांक ज्ञात करते हैं जबकि समाकलन गणित में हम वह फलन ज्ञात करते हैं जिसका अवकल गुणांक दिया होता है। इसलिए इसे प्रतिअवकलज (Antiderivative) या पूर्वग (Primitive) भी कहते हैं।
समाकलन सूत्र (Integration Formulas),समाकलन सूत्र (Integration Formula)-
\text{ अवकलन के सूत्र } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{ संगत समाकलन सूत्र } \\ (1) \frac{d}{d x}(c)=0 \quad \quad \quad  \quad \quad \quad \quad \Rightarrow \int 0 \cdot d x=c \\ (2)\frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)=n x^{n-1},  n \neq 0 \quad  \Rightarrow \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c, \quad n \neq-1 \\ (3)\frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x}, x \neq 0  \quad \Rightarrow  \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+c,  x \neq 0 \\ (4) \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Rightarrow \int e^{x} d x=e^{x}+c \\ (5) \frac{d}{d x}\left(a^{x}\right)=a^{x} \log _{e} a \quad \quad \quad \Rightarrow \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log _{c} a}+c \\ (6) \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \quad \quad \quad \quad \Rightarrow \int \cos x d x=\sin x+c \\ (7)\frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x \quad \quad \quad \Rightarrow \int \sin x d x=-\cos x+c \\ (8) \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x \quad \quad \quad\Rightarrow \int \sec ^{2} x d x=\tan x+c \\ (9)\frac{d}{d x}(-\cot x)=cosec^{2} x \quad  \Rightarrow \int cosec^{2} x d x=-\cot x+c \\ (10)\frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x \quad \Rightarrow \int \sec x \tan x d x=\sec x+c \\ (11) \frac{d}{d x}(-cosec x)=cosec x \cot x \Rightarrow \int cosec x \cot x d x=-cosec x+c \\ (12) \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},(|x|<1) \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\sin ^{-1} x+c \\ (13) \frac{d}{d x}\left(\cos ^{-1} x\right)= \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}},(|x|<1) \Rightarrow \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\cos ^{-1} x+c \\ (14) \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} \quad \quad \quad \quad \Rightarrow  \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\tan ^{-1} x+c \\ (15) \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} \quad \quad \quad \Rightarrow \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=-\cot ^{-1} x+c \\ (16)\frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \quad \quad \quad \Rightarrow \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} d x=\sec ^{-1} x+c \\ (17) \frac{d}{d x}\left(-cosec^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \quad \Rightarrow \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-cosec^{-1} x+c \\ (18) \frac{d}{dx}|x|=\frac{|x|} {x},(x \neq 0) \quad \quad \quad \quad \Rightarrow \int \frac{|x|}{x} d x=|x|+c, x \neq 0 \\ (19)\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} d x=\log \left|x+\sqrt{x^{2} +a^{2}}\right|+c \\ (20)\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=\log \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|+c \\ (21)\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+c \\ (22) \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+c \\ (23)\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}} =\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+c (x>a) \\ (24) \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c (x<a) \\ (25)\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+a^{2}}+ \frac{a^{2}}{2} \log \left|x+\sqrt{x^{2}+ a^{2}}\right|+ c \\ = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+a^{2}}+ \frac{a^{2}}{2} sinh ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+ c \\ (26) \int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}}-\frac{a^{2}}{2} \log \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|+c \\ (27) \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c  \\(29) \int \tan x d x=\log (\sec x)+c=-\log \cos x+c \\ (30) \int \cot x d x=\log \sin x+c=-\log cosec x+c \\ (30) \sec x d x=\log (\sec x+\tan x)+c=\log \tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+c \\ (31) cosec x d x=-\log (cosec x+\cot x)+c =\log \tan (\frac{x}{2})+c  \\ \text{ कुछ उचित त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन: } \\ \text{ समाकल्य } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{  प्रतिस्थापन } \\ (i) \sqrt{x^{2}+a^{2}} \text{ या } \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \quad \quad \quad \quad x=a \tan \theta \\ (ii) \sqrt{u^{-}-x^{2}} \text{ या } \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \quad x=a \sin \theta \text{ या } x=a \cos \theta \\ (iii) \sqrt{x^{2}-a^{2}} \text{ या } \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} \quad \quad \quad \quad x=a \sec \theta \\ (iv) \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \text{ या } \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} \quad \quad x=a \cos 2 \theta \text{ या } x=a \cos \theta \\ (v) \sqrt{x+a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad x=a \cos 2 \theta \text{ या } x=a \cos \theta \\ (vi) \sqrt{2 a x-x^{2}} \quad \quad \quad \quad x=2 a \sin ^{2} \theta \text{ या } x=a(l-\cos 2 \theta) \\ (vii) \sqrt{\frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}+x^{2}}} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x^{2}=a^{2} \cos 2 \theta \\ (viii) \sqrt{\frac{x+a}{x}} \text{ या } \sqrt{\frac{x}{x+a}} \quad \quad \quad \quad \quad x=a \tan ^{2} \theta
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2.समाकलन सूत्र के उदाहरण (Integration Formulas Examples)-

निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए:
Example-1.\int\left(5 \cos x-3 \sin x+\frac{2}{\cos ^{2} x}\right) d x
Solution\int\left(5 \cos x-3 \sin x+\frac{2}{\cos ^{2} x}\right) d x \\ I=5 \int \cos x d x-3 \int \sin x d x+2 \int \sec^{2} x d x \\ I=5 \sin x+3 \cos x+2 \tan x + c
Example-2.\int \sec ^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x d x
SolutionI= \int \sec ^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x d x \\ I=\int \frac{1}{\cos ^{2} x} \cdot \frac{1}{\sin ^{2} x} d x \\ I=4 \int \frac{1}{4 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \\ I=4 \int \frac{1}{(2 \sin x \cos x)^{2}} d x \\ I=4 \int \frac{1}{(\sin 2 x)^{2}} d x \\ =4 \int \operatorname{cosec}^{2} 2 x d x \\ =4\left(-\frac{1}{2}\right) \cot ^{2} 2 x d x \\ =-2 \cot ^{2} 2 x+c
निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
Example-3.\frac{e^{\sqrt{x}} \cos e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}
Solution\frac{e^{\sqrt{x}} \cos e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \\ \text{ put } e^{\sqrt{x}}=t \\ \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} d x=d t \\ I=2 \int t \cos t dt \\ I=2 t \int \cos t d t-2 \left[ \int \frac{d}{d t}(t) \int \cos t d t\right] d t \\ =2 t \sin t-2 \int \sin t d t \\ =2 t \sin t+2 \cos t+c \\ =2 \cdot e^{\sqrt{x}} \sin \left(e^{\sqrt{x}}\right)+2 \cos \left(e^{\sqrt{x}}\right)+c
Example-4.\frac{\sin ^{p} x}{\cos ^{p+2} x}
SolutionI =\int \frac{\sin ^{p} x}{\cos ^{p+2} x} d x \\ =\int \frac{\sin ^{p} x}{\cos ^{p} x-\cos ^{2} x} d x \\ =\int-\tan ^{p} x \sec ^{2} x d x \\ \text{put} \tan x=t \Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t \\ I=\int t^{p} d t \\ =\frac{t^{p+1}}{p+1}+c \\ I=\frac{1}{p+1} \tan ^{p+1} x+c
Example-5.\ sin 3 x \sin 2 x
SolutionI=\int \sin 3 x \sin 2 x d x \\ I=\frac{1}{2} \int 2 \sin 3 x \sin 2 x d x \\=\frac{1}{2} \int(\cos x-\cos 5 x) d x \\ =\frac{1}{2} \int \cos x d x-\frac{1}{2} \int \cos 5 x d x \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} \sin x-\frac{1}{10} \sin 5 x+c
Example-6.\int \frac{1}{\sin x \cos ^{3} x} d x
SolutionI =\int \frac{1}{\sin x \cos ^{3} x} d x \\ =\int \frac{1}{(\frac{\sin x}{\cos x}) \cos ^{4} x} d x \\ =\int \frac{\sec ^{4} x}{\tan x} d x \\ =\int \frac{\left(1+\tan ^{2} x\right) \sec ^{2} x}{\tan x} d x \\ \text {put} \tan x=t \Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t \\ I =\int \frac{\left(1+t^{2}\right)}{t} d t \\ =\int \frac{1}{t} d t+\int t d t \\ =\log t+\frac{t^{2}}{2}+c \\ I=\log (\tan x)+\frac{1}{2} \tan ^{2} x+c

Example-7.\frac{\sin x}{\sin (x-a)}
SolutionI=\frac{\sin x}{\sin (x-a)} \\ \text { Put } x-a=t \Rightarrow d x=d t \\ \Rightarrow I=\int \frac{\sin (a+t)}{\sin t} d t \\ =\int \frac{\sin a \cos t+\cos a \sin t}{\sin t} dt \\ =\int \sin a \frac{\cos t}{\sin t} d t+\int \cos a \frac{\sin t}{\sin t} d t \\ =\sin a \int \cot t d t+\cos a \int td t \\ =\sin a \log \sin t+\cos a \cdot t+c \\ =\sin a \log \sin (x-a) \mid+(x-a) \cos a+c \\ I=\sin a \log (\sin |x-a|)+(x-a) \cos a+c
Example-8.\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-b^{2} x^{2}}}
SolutionI =\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-b^{2} x^{2}}} d x \\ I =\int \frac{1}{b \sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^{2}-x^{2}}} d x \\ I=\frac{1}{b} \sin ^{-}\left(\frac{x}{a / b}\right)+c \\ I =\frac{1}{b} \sin ^{-1}\left(\frac{b x}{a}\right)+c
Example-9.\int \frac{1+\tan ^{2} x}{\sqrt{\tan ^{2} x+3}} d x
SolutionI =\int \frac{1+\tan ^{2} x}{\sqrt{\tan ^{2} x+3}} d x \\ =\int \frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan ^{2} x+3}} d x \\ \text { put } \tan x=t \Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t \\ I=\int \frac{d t}{\sqrt{t^{2}+(\sqrt 3)^{2}}} \\ I=\log \mid t+\sqrt{t^{2}+3 \mid}+C \\ \Rightarrow I=\log \left|\tan x+\sqrt{\tan ^{2} x+3}\right|+C
Example-10. \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 a x+b^{2}}}
SolutionI=\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 a x+b^{2}} d x} \\ \Rightarrow I=\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 a x+a^{2}+b^{2}-a^{2}} d x} \\ =\int \frac{1}{\sqrt{(x+a)^{2}+\left(\sqrt{b^{2}-a^{2}}\right)^{2}}} d x \\ I =\log \mid x+a+\sqrt{x^{2}+2 a x+b^{2}} \mid+c
Example-11.\int \frac{1}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2}}
SolutionI=\int \frac{1}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2}} d x \\ \text { Put } x=a \tan \theta \Rightarrow d x=a \sec^{2} \theta d \theta \\ I =\int \frac{1}{\left(a^{2}+a^{2} \tan ^{2} \theta\right)^{3 / 2}} \text { a see }^{2} \theta d \theta \\ =\int \frac{1}{a^{3}\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{3 / 2}} \cdot a \sec^{2} \theta d \theta \\ =\frac{1}{a^{2}} \int \frac{1}{\left(\sec ^{2} \theta\right)^{3 / 2}} \operatorname{cec}^{2} \theta d \theta \\ =\frac{1}{a^{2}} \int \frac{1}{\sec ^{3} \theta} \sec ^{2} \theta d \theta \\ =\frac{1}{a^{2}} \int^{\prime} \frac{1}{\sec \theta} d \theta \\ =\frac{1}{a^{2}} \int \cos \theta d \theta \\ =\frac{1}{a^{2}} \sin \theta+c \\ =\frac{1}{a^{2}} \sin \frac{x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} \\ \Rightarrow I=\frac{x}{a^{2} \sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x+c
Example-12. \frac{x^{2}}{(x+1)(x-2)(x-3)}
SolutionI= \int \frac{x^{2}}{(x+1)(x-2)(x-3)} dx \\ \frac{x^{2}}{(x+1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3} \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{(x+1)(x-2)(x-3)}=\frac{A(x-2)(x-3)+3(x+1)(x-3)+c(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-2)(x-3)} \\ \Rightarrow x^{2}=A(x-2)(x-3)+B(x+1)(x-0)+C(x+1)(x-2) \\ \text { put } x=2 \Rightarrow A(2+1)(2-3)=2^{2} \\ \Rightarrow B(-3)=4 \Rightarrow B=-\frac{4}{3} \\  \text { put } x=3 \Rightarrow C\left(3+1)(3-2)=3^{2}\right. \Rightarrow 4 C=9 \\ \Rightarrow C=\frac{9}{4} \\ \text { put } x=-1 \Rightarrow A(-1-2)(-1-3)=(-1)^{2} \\ \Rightarrow 12 A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{12} \\ I =\int\left[\frac{1}{12(x+1)}-\frac{4}{3(x-2)}+\frac{9}{4(x-3)}\right] d x \\ I=\frac{1}{12} \int \frac{1}{x+1} d x-\frac{4}{3} \int \frac{1}{x-2} d x+\frac{9}{4} \int \frac{1}{x-3} d x \\ \Rightarrow I=\frac{1}{12} \log |x+1|-\frac{4}{3} \log |x-2|+\frac{9}{4} \log |x-3|+c

Example-13.\frac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}
SolutionI=\int \frac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} d x \\ \frac{1}{(x+)^{2}(x-2)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{c}{x-2} \\ \frac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} =\frac{A(x-1)(x-2)+B(x-2)+C(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}(x-2)} \\ \Rightarrow 1= A(x-1)(x-2)+B(x-2)+\left (x-1)^{2}\right.\\ \text { Put } x=1 \Rightarrow B(1-2)=1 \Rightarrow B=-1 \\ \text { put } x=2 \Rightarrow C(2-1)^{2}=1 \Rightarrow C=1 \\ \text { put } x=0 \Rightarrow 2 A-2 B+C=1 \\ \Rightarrow 2 A-2(-1)+1=1 \\ \Rightarrow 2 A=-2 \Rightarrow A=-1 \\ I =\int\left[-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x-2}\right] d x \\ =-\int \frac{1}{x-1} d x-\int \frac{1}{(x-1)^{2}} d x+ \int \frac{1}{x-2} d x \\ I=-\log|x-1|+\frac{1}{x-1}+\log |x-2|+c \\ I=\log |\frac{x-2}{x-1}|+\frac{1}{x-1}+c
Example-14.\frac{x-1}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}
SolutionI=\int \frac{x-1}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x \\ \frac{x-1}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{\left(x^{2}+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{x-1}{(x+1)\left(x^{2} + 1\right)}= \frac{A\left(x^{2}+1\right) +(Bx+C)(x+1)} {(x+1) \left(x^{2}+1\right)} \\ \Rightarrow x-1=A\left(x^{2} +1\right)+(Bx+C)(x+1) \\  \text { put } x=-1 \Rightarrow A(1+1)=-2 \Rightarrow A=-1 \\ \text { put } x=0 \Rightarrow A+C=-1 \Rightarrow-1+c=-1 \Rightarrow C=0 \\ \text { put } x=1 \Rightarrow  A(2)+(B+C)(2)=0 \\ \Rightarrow -2+2 B=0 \Rightarrow B=1 \\ I=\int\left(-\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x^{2}+1}\right) d x \\ I=-\int \frac{1}{x+1} d x+\int \frac{x}{x^{2}+1} d x \\ \Rightarrow I=-\log |x+1|+\frac{1}{2} \log \left|x^{2}+1\right|+C \\ \Rightarrow t=\log \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{|x+1|}+c
Example-15.\frac{\cos x}{\sin ^{2} x +4 \sin x+5}
SolutionI=\int \frac{\cos x}{\sin ^{2} x +4 \sin x+5} d x \\ \text { put } \sin x=t \Rightarrow \cos x d x=d t \\ I =\int \frac{d t}{t^{2}+4 t+5} \\ =\int \frac{d t}{t^{2}+4 t+4+1} \\ \Rightarrow I=\int \frac{1}{(t+2)^{2}+1^{2}} d t \\ \Rightarrow I=\tan ^{-1}(t+2)+c \\ \Rightarrow I=\tan ^{-1}(\sin x+2)+c
Example-16.\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}}
SolutionI=\int \frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}} d x \\ x+3=A \frac{d}{d x}\left(x^{2}+2 x+2\right)+B \\ \Rightarrow x+B=A \quad(2 x+2)+B \\ \Rightarrow \text { put } x=-1 \Rightarrow B=2 \\ \text { put } x=0 \Rightarrow 2 A+B=3 \\ \Rightarrow  2 A+2=3  \Rightarrow A=0 \\ I =\int \frac{\frac{1}{2}(2 x+2)+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}} d x \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{2 x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}} d x+2 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}} d x \\ I =I_{1}+I_{2} ....(1) \\ I_{1}=\frac{1}{2} \int \frac{2 x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}} d x \\ \text { put } x^{2}+2 x+2=t \Rightarrow(2 x+2) d x=d t \\ I_{1} =\frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t}} \\ =\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t}=\sqrt{t} \\ I_{1} =\sqrt{x^{2}+2 x+2} \\ I_{2} =2 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}} d x \\ I_{1}=\sqrt{x^{2}+2 x+2} \\ I_{2} =2 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}} dx \\ =2 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x+1+1}} dx \\ I_{2}=2 \int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}+1^{2}}} d x \\ =2 \log 1(x+1)+\sqrt{x^{2}+2 x+2} \\ I_{1} \text { व } I_{2} \text { का मान समीकरण (1) में रखने पर- }  \\ I=\sqrt{x^{2}+2 x+2}+2 \log \left|(x+1)+\sqrt{x^{2}+2 x+2}\right|+c
Example-17.e^{x}[\log (\sec x+\tan x)+\sec x]
SolutionI=\int e^{x}[\log (\sec x+\tan x)+\sec x] d x \\ I=\int e^{x} \log (\sec x+\tan x) d x+\int e^{x} \sec x d x \\ =\int e^{x} \log (\sec x+\tan x) d x+e^{x} \sec x d x-\int [\frac{d}{dx}e^{x} \int \sec x d x ]d x \\ =\int e^x { \log (\sec x+\tan x) d x+e^{x} \log (\sec x+\tan x)}-\int e^{x} \log (\sec x+\tan x) dx + c\\ I=e^{x} \log (\sec x+\tan x)+c
Example-18.e^{x} \left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right)
SolutionI=\int e^{x}\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right) d x \\ I=\int e^{x}\left[\frac{\sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac{x}{2} \right)}\right] d x \\ I=\int e^{x} \frac{(\sin x-\cos \frac{x}{2})^{2}}{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}} d x \\ I = \frac{1}{2} \int e^{x}(1-\cot \frac{x}{2})^{2} \\ I=\frac{1}{2} \int e^{x} d x+\int e^{x} \cot \frac{x}{2} d x+\frac{1}{2} \int e^{x} \cot ^{2} \frac{x}{2} d x \\ I=\frac{1}{2} \int e^{x} d x-\cot \frac{x}{2} \int e^{x} d x+\int\left[\frac{d}{d x}(\cot \frac{x}{2}) \int e^{x} d x\right] d x+\frac{1}{2} \int e^{x}dx \\ I=\frac{1}{2} \int e^{x} d x-e^{x} \cot \frac{x}{2}-\frac{1}{2} \int e^{x} cosec^{2} \frac{x}{2} +\frac{1}{2} \int e^{x} cosec^{2} \frac{x}{2} d x-\frac{1}{2} \int e^{x} d x+c \\ I=-e^{x} \cot \frac{x}{2}+c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समाकलन सूत्रों (Integration Formulas) को समझ सकते हैं।

3.समाकलन सूत्र की समस्याएं (Integration Formulas Problems)-

(1.) \frac{1}{x^{2}+6 x+8} \\(2)\frac{1}{\sqrt{2 x^{2}-x+2}} \\(3)\frac{8}{(x+2)\left(x^{2}+4\right)} \\ (4) \frac{(1-\cos x)}{\cos x(1+\cos x)} \\ (5) \frac{1}{9 x^{2}-12 x+8} \\ (6)\frac{1}{3+2 x-x^{2}} \\ (7)tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} (संकेत x=\cos \theta)\\ (8) x^{2} \tan ^{-1} x

Answer:-(1)\tan^{-1}(x+3)+c \\ (2) \frac{1}{\sqrt{2}} \log |\frac{x-1}{4}|+ \sqrt{x^{2}-\frac{x}{2} +1} +c \\ (3.) \log |x+2|-\frac{1}{2} \log \left(x^{2}+4\right)+\tan ^{-1}(x / 2)+c \\ (4.) \log |\sec x+\tan x|-2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)+c \\ (5)\frac{1}{6} \tan ^{-1}\left(\frac{3 x-2}{2}\right)+c \\ (6.) \frac{1}{4} \log | \frac{x+1}{3-x}|+c \\ (7) \frac{1}{2}\left[x\right. cos^{-1} \left.x-\sqrt{1-x^{2}}\right]+c \\ (8) \frac{x^{3}}{3} \tan^{-1} x-\frac{x^{6}}{6}+\frac{1}{6} \log \left(1+x^{2}\right)+c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समाकलन सूत्रों (Integration Formulas) को ठीक से समझा जा सकता है।

4.समाकलन से हमारा क्या अभिप्राय है? (What do we mean by integration?),समाकलन का अर्थ हिन्दी में (Integration meaning in hindi),समाकलन हिन्दी में (Integration in hindi)-

समाकलन तब होता है जब अलग-अलग लोगों या चीजों को एक साथ लाया जाता है,जैसे कि नए मिडिल स्कूल में जिले के सभी प्राथमिक स्कूलों के छात्रों का समाकलन, या सभी स्की ढलानों पर स्नोबोर्डिंग का समाकलन।आप शब्द को अलग-अलग जान सकते हैं, जिसका अर्थ है “अवकलन करना।”समाकलन करना इसके विपरीत है।

5.गणित में समाकलन क्या है? (What is a integration in math?)-

समाकलन, गणित में, फ़ंक्शन g (x) को ज्ञात करने की तकनीक, जिसका अवकलज Dg (x),दिए गए फ़ंक्शन f (x) के बराबर है।यह समाकल संकेत “∫”,जैसा कि ∫f(x) में दर्शाया गया है,आमतौर पर फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन समाकल भाग कहा जाता है।

6.हम समाकलन का उपयोग क्यों करते हैं? (Why do we use integration?)-

इंटीग्रल्स ज्ञात करने की प्रक्रिया को इंटीग्रेशन कहा जाता है।अवकलन के साथ, समाकलन कैलकुलस की एक मौलिक प्रक्रिया है, और गणित और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करता है जिसमें एक स्वेच्छ आकार, एक वक्र की लंबाई और एक ठोस का आयतन शामिल है।

7.आप समाकलन की गणना कैसे करते हैं? (How do you calculate integration?),समाकलन प्रतीक (Integration symbol)-

∫f (x) dx = F (x) + C, यदि F’x (x) = f (x)।इस परिभाषा में, ∫ को समाकल प्रतीक (integration symbol) कहा जाता है,f (x) को इंटीग्रांड कहा जाता है,x को समाकलन का चर कहा जाता है, dx को चर x का अवकलज कहा जाता है और C को समाकल का स्थिरांक कहा जाता है।

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