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Derivative of Logarithmic Functions

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1 1.लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions),लघुगुणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation)-

1.लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions),लघुगुणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation)-

प्रारम्भिक फलन y=f(x) के लघुगुणकीय अवकलन को लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions) कहा जाता है।यह अवकलन विधि चर-घातांकीय फलनों को प्रभावी ढ़ंग से ज्ञात करने में सहायक है।
जब फलन चर-घातांकीय रूप में हो तब ऐसे फलन का अवकलन ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम फलन का लघुगुणक लेते हैं तथा इससे प्राप्त परिणाम का अवकलन करते हैं।इसको लघुगुणकीय अवकलन कहते हैं।यदि फलन,गुणनखण्डों का गुणन हो तब भी यह विधि उपयोगी सिद्ध होती है।
लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions) की विधि-
माना कि y=u^{v} , जहां u तथा v,x के फलन हैं।
दोनों तरफ़ लघुगुणक लेने पर-

\log _{e} y=\log _{e} u^{v} \\ \Rightarrow \log _{e} y=v \log _{e} u
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=v \cdot \frac{1}{u}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\log _{e} u \frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y\left\{\frac{v}{u} \frac{d u}{d x}+\log _{e} u \frac{d v}{d x}\right\} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=u^{v}\left\{\frac{v}{u} \frac{d u}{d x}+\log _{e} u \frac{d v}{d x}\right\}
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2.लघुगुणकीय फलनों के अवकलज के उदाहरण (Derivative of Logarithmic Functions Examples),लघुगणकीय अवकलन समस्याएं और हल (Logarithmic Differentiation Problems and Solutions),लघुगणकीय अवकलन कक्षा 12 (Logarithmic Differentiation Class 12)-

निम्नलिखित फलनों से ज्ञात कीजिए:
Example-1.2 x+3 y=\sin y
Solution2 x+3 y=\sin y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

2+3 \frac{d y}{d x}=\cos y \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow 3 \frac{d y}{d x}=\cos y \frac{d y}{d x}=-2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}(3-\cos y)=-2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2}{3-\cos y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2}{\cos y-3}
Example-2.x^{2}+x y+y^{2}=200
Solutionx^{2}+x y+y^{2}=200
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow 2 x+y+x \frac{d y}{d x}+2 y \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}(x+2 y)=-(2 x+y) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(2 x+y)}{x+2 y}
Example-3.\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}
Solution\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}}+\frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{y}}\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=-\sqrt{\frac{y}{x}}
Example-4.\tan (x+y)+\tan (x-y)=4
Solution\tan (x+y)+\tan (x-y)=4
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\sec ^{2}(x+y)\left[1+\frac{d y}{d x}\right]+\sec ^{2}(x-y) \frac{d}{d x}(x-y)=0 \\ \Rightarrow \sec ^{2}(x+y)\left(1+ \frac{d y}{d x}\right)+\sec ^{2}(x-y)\left[1-\frac{d y}{d x}\right]=0 \\ \Rightarrow \sec ^{2}(x+y)+\sec ^{2}(x+y) \frac{d y}{d x}+\sec ^{2}(x-y)-\sec ^{2}(x-y) \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left[\sec ^{2}(x+y)-\sec ^{2}(x-y)\right]=-\left[\sec ^{2}(x+y)+\sec ^{2}(x-y)\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\left[\sec ^{2}(x+y)+\sec ^{2}(x-y)\right]}{\sec ^{2}(x+y)-\sec ^{2}(x-y)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\sec ^{2}(x+y)+\sec ^{2}(x-y)}{\sec ^{2}(x-y)-\sec ^{2}(x+y)}
Example-5.\sin x +2 \cos ^{2} y+x y=0
Solution\sin x+2 \cos ^{2} y+x y=0
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \cos x+4 \cos y \frac{d}{dx}(\cos y)+y+x \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \cos x+4 \cos y(-\sin y) \frac{dy }{d x}+y+x \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}(x-4 \cos y \sin y)=-(y+\cos x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(y+\cos x)}{x-4 \cos y \sin y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(y+\cos x)}{x-2 \sin 2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y+\cos x}{2 \sin 2 y-x}
Example-6.x \sqrt{y}+y \sqrt{x}=1
Solutionx \sqrt{y}+y \sqrt{x}=1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \sqrt{y}+x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}}\left(\frac{d y}{dx}\right)+\sqrt{x}\left(\frac{d y}{d x}\right)+y \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{x}{2 \sqrt{y}}+\sqrt{x}\right)=-\left(\sqrt{y}+\frac{y}{2 \sqrt{x}}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right) \sqrt{x}\left(\frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}}+1\right)=-\sqrt{y}\left(1 +\frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}\right) \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)(\sqrt{x})\left(\frac{5 x+2 \sqrt{y}}{2 \sqrt{y}} \right)=-\sqrt{y}\left(\frac{2 \sqrt{x}+ \sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x}\left(\frac{\sqrt{y}+2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}}\right)

Example-7.\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x y
Solution\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x y
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\Rightarrow \log \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=\log (x y) \\ \Rightarrow 2 \log \left(x^{2}+y^{2}\right)=\log x+\log y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \cdot\left(2 x+2 y \frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{4 x}{x^{2}+y^{2}}+\frac{4 y}{x^{2}+y^{2}}\left(\frac{d y}{dx}\right)-\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{4 y}{x^{2}+y^{2}}-\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{x}-\frac{4 x}{x^{2}+y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{4 y^{2}-x^{2}-y^{2}}{y\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) =\frac{x^{2}+ y^{2}-4 x^{2}}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{3 y^{2}-x^{2}}{y\left(x^{2}+ y^{2}\right)} \right)=\frac{y^{2}-3 x^{2}}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y\left(y^{2}-3 x^{2}\right)}{x\left(3 y^{2}-x^{2}\right)}
Example-8.y=x^{y}
Solutiony=x^{y}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\Rightarrow \log y=\log x^{y} \\ \Rightarrow \log y=y \log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\log x \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \quad \frac{1}{y} d y-\log x \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{y}-\log x\right) \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \quad\left(\frac{1-y \log x}{y}\right) \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}}{x(1-y \log x)}
Example-9.x^{a} \cdot y^{b}=(x-y)^{a+b}
Solutionx^{a} \cdot y^{b}=(x-y)^{a+b}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\Rightarrow \log \left(x^{a} \cdot y^{b}\right)=\log (x-y)^{a+b} \\ \Rightarrow \log x^{a}+\log y^{b}=(a+b) \log (x-y) \\ \Rightarrow a \log x+b \log y=(a+b) \log (x-y)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=(a+b) \cdot \frac{1}{(x-y)}\left[1-\frac{d y}{d x}\right] \\ \Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}\left(\frac{d y}{dx}\right)=\frac{a+b}{x-y}-\left(\frac{a+b}{x-y}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow \frac{b}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(\frac{a+b}{x-y}\right) \frac{d y}{x}=\frac{a+b}{x-y}-\frac{a}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left[\frac{b}{y}+\frac{a+b}{x-y}\right]=\frac{a x+b x-a x+a y}{x(x-y)} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)\left[\frac{b x-b y+a y+b y}{y(x-y)}\right]=\frac{b x+a y}{x(x-y)} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)\left[\frac{b x+a y}{y(x-y)}\right]=\frac{b x+a y}{x(x-y)} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{y}{x}
Example-10.e^{x}+e^{x^{2}}+\cdots+e^{x^{5}}
Solutione^{x}+e^{x^{2}}+\cdots+e^{x^{5}}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d y}{d x}=e^{x}+e^{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+e^{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) +e^{x^{4}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x^{4}\right)+e^{x^{5}} \cdot \frac{d}{d x}\left(x^{5}\right)\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =e^{x}+e^{x^{2}} \cdot 2 x+e^{x^{3}} 3x^{2}+e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}+e^{x^{5}} \cdot 5 x^{4} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =e^{x}+2 x e^{x^{2}}+3 x^{2} e^{x^{3}}+4 x^{3} e^{x^{4}}+5 x^{4} e^{x^{5}}
Example-11.\sqrt{e^{\sqrt{x}}}
Solutiony=\sqrt{e^{\sqrt{x}}}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\Rightarrow \log y=\log \left(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\right) \\ \Rightarrow \log y=\frac{1}{2} \log \left(e^{\sqrt{x}} \right) \\ \Rightarrow \log y=\frac{\sqrt{x}}{2} \log _{e} e \\ \Rightarrow \log y=\frac{\sqrt{x}}{2}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{4 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{e^{\sqrt{x}}}}{4 \sqrt{x}}
Example-12.\frac{\cos x}{\log x}, x>0
Solutiony=\frac{\cos x}{\log x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\left(\frac{d y}{d x}\right) =\frac{\log x \frac{d}{d x}(\cos x)-\cos x \frac{d}{d x}(\log x)}{(\log x)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}= \frac{(\log x)(-\sin x)-\cos x \cdot \frac{1}{2 x}}{(\log x)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{(x \sin x \log x+\cos x)}{x(\log x)^{2}}
Example-13.y={{{\sqrt{x}^{\sqrt{x}}}^{\sqrt{x} \cdots}}^{\infty}}
Solutiony={{{\sqrt{x}^{\sqrt{x}}}^{\sqrt{x} \cdots}}^{\infty}} \\ \Rightarrow y=\sqrt{x^{y}} \\ \Rightarrow y=x^{\frac{y}{2}}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\Rightarrow \log y= \frac{y}{2} \log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

 \frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{y}{2 x}+\log x \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}-\frac{1}{2} \frac{d y}{d x} \log x=\frac{y}{2 x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{2} \log x\right)=\frac{y}{2 x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{2-y \log x}{2 y}\right)=\frac{y}{2 x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}}{x(2-y \log x)}
Example-14.y \sqrt{1-x^{2}}=\sin ^{-1} x
Solutiony \sqrt{1-x^{2}}=\sin ^{-1} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

y \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\left(1-x^{2}\right)}}(-2 x)+\sqrt{1-x^{2}} \cdot\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{x y}{\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{x y}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1+x y}{1-x^{2}}
Example-15.y \sqrt{1+x}=\sqrt{1-x}
Solutiony \sqrt{1+x}=\sqrt{1-x}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log [y \sqrt{1+x}]=\log \sqrt{1-x} \\ \Rightarrow \log y+\log \sqrt{1+x}=\frac{1}{2} \log (1-x) \\ \Rightarrow \log y+\frac{1}{2} \log (1+x)=\frac{1}{2} \log (1-x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{1}{y}\left(\frac{d y}{dx}\right)+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x}=\frac{1}{2(1-x)}(-1) \\ \Rightarrow \frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\frac{1}{2(1-x)}-\frac{1}{2(1+x)} \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\frac{[1+x+1-x]}{2\left(1-x^{2}\right)} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\frac{2 y}{2\left(1-x^{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x^{2}-1}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions),लघुगुणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) को समझ सकते हैं।

3.लघुगुणकीय फलनों के अवकलज की समस्याएं (Derivative of Logarithmic Functions Problems)-

निम्न फलनों के x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए:

(1)\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x \\ (2)(\log x)^{\cos x} \\ (3)\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}} \\ (4)x^{y}=y^{x} \\ (5)y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}} \\ (6) (\cos x)^{y}=(\sin y)^{x}
उत्तर (Answers):

(1) -\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x(\tan x+2 \tan 2 x+3 \tan 3 x) \\ (2)(\log x)^{\cos x}\left[\frac{\cos x}{x \log x}-\sin x \log (\log x)\right] \\ (3) \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\left[\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-2)}-\frac{1}{(x-3)}-\frac{1}{(x-4)}-\frac{1}{(x-5)}\right] \\ (4) \frac{y(x \log y-y)}{x(y \log x-x)} \\ (5) \frac{1}{2 y-1} \\ (6) \frac{\log (\sin y)+y \tan x}{\log (\cos x)-x \cot y}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions),लघुगुणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

प्रश्न:1.हम लॉगरिथमिक अवकलन का उपयोग क्यों करते हैं? (Why do we use logarithmic differentiation?)

उत्तर-हम दोनों पक्षों के लघुगणकों को ले कर कुछ चीजों को सरल बना सकते हैं।बेशक,यह वास्तव में सरल नहीं है।इसलिए, जैसा कि पहले उदाहरण से पता चला है कि हम गुणन नियम और / या भागफल नियम का उपयोग करने से बचने के लिए लॉगरिदमिक अवकलन का उपयोग कर सकते हैं।हम फलनों का अवकलन करने के लिए लॉगरिदमिक अवकलन का भी उपयोग कर सकते हैं।

प्रश्न:2.लॉग 2 का अवकलन क्या है? (What is the differentiation of log 2?)

उत्तर-log 2 एक अचर राशि है और अचर राशि का अवकलन शून्य होता है।

प्रश्न:3. क्या लघुगुणक चरघातांकीय के समान है? (Is logarithmic the same as exponential?)

उत्तर-लॉगरिदमिक फंक्शन: कोई भी फंक्शन जिसमें एक स्वतंत्र वैरिएबल एक लॉगरिदम के रूप में दिखाई देता है।एक लघुगणक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम एक घातीय फ़ंक्शन है और इसके विपरीत।लघुगणक: किसी संख्या का लघुगणक वह घातांक होता है जिसके द्वारा उस संख्या को उत्पन्न करने के लिए किसी अन्य निश्चित मान,आधार को उठाना पड़ता है।

प्रश्न:4.लॉगरिदमिक अवकलन से dy/dx ज्ञात करें (logarithmic differentiation to find dy/dx)

उत्तर-पहले लघुगणक और फिर अवकलन करके फलनों को अवकलन करने की विधि को लघुगणक अवकलन कहा जाता है।इस विधि पर अधिक विस्तार से विचार करें।lny=lnf (x)।इसके बाद,हम इस नियम को श्रृंखला नियम का उपयोग करके अवकलन करते हैं और यह ध्यान में रखते हुए कि y,x का एक फलन है।

प्रश्न:5.लघुगुणकीय अवकलन से अवकलज ज्ञात करें (logarithmic differentiation to find the derivative)

उत्तर-यह तब भी उपयोगी हो सकता है जब चर या फलनों की घात के लिए उठाए गए फलनों पर लागू किया जाता है। लॉगरिदमिक अवकलन श्रृंखला के नियम के साथ-साथ लॉगरिथम (विशेष रूप से, प्राकृतिक लॉगरिथम, या आधार e के लिए लॉगरिथम) के गुणों को योग में और विभाजनों व्यवकलन में बदलने के लिए निर्भर करता है।

प्रश्न:6.लघुगुणकीय अवकलन सूत्र (logarithmic differentiation formulas)

उत्तर-लॉगरिदमिक अवकलन में उन्हीं अवकलन के नियमों श्रृंखला नियम,गुणनफल नियम तथा भागफल नियमों का पालन किया जाता है।

प्रश्न:7.लघुगुणकीय अवकलन चरण (logarithmic differentiation steps)

उत्तर-हम उन स्थितियों में लॉगरिदमिक अवकलन का उपयोग करते हैं,जहां फ़ंक्शन को अलग से अवकलन करने की तुलना में फ़ंक्शन के लॉगरिथम के द्वारा अवकलन करना आसान होता है।
बस नीचे दिए गए पांच चरणों का पालन करें:
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लॉग लें।
समीकरणों को सरल बनाने के लिए लॉग गुणधर्मों का उपयोग करें।
अस्पष्ट फलनों का अवकलन और अन्य अवकलन के नियमों का उपयोग करके दोनों पक्षों का अवकलन करें।
dy/dx के लिए हल करें।
y को f (x) से बदलें।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions),लघुगुणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) को भली-भांति समझ सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा लघुगुणकीय फलनों के अवकलज (Derivative of Logarithmic Functions),लघुगुणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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