Inverse Trigonometric Functions 12th
1.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions 12th),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान (Principal Value of Trigonometric Functions):
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions 12th) के इस आर्टिकल में प्रतिलोम फलनों के मुख्य मान ज्ञात करना सीखेंगे।निम्नलिखित सारणी में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों (मुख्य मानीय शाखाओं) को उनके प्रान्तों तथा परिसरों के साथ प्रस्तुत किया गया है।
\begin{array}{||l|l|l||} \hline \text{ फलन } & \text{ प्रान्त } & \text{ मुख्यमान }\\ \hline y=\sin ^{-1} x & {[-1,1]} & {\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]} \\ y=\cos ^{-1} x & {[-1,1]} & {[0, \pi]} \\ y=\tan ^{-1} x & (-\infty, \infty) & \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ y=\cot ^{-1} x & (-\infty, \infty) & (0, \pi) \\ y=\sec ^{-1} x & R-(-1,1) & (0, \pi]-\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ y=\operatorname{cosec}^{-1} x & R-(-1,1) & \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]-\{0\} \\ \hline \end{array}
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2.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Inverse Trigonometric Functions 12th):
निम्नलिखित के मुख्यमानों को ज्ञात कीजिए:
Example:1. \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)
Solution: \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)
माना \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=y \\ \Rightarrow y=\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \\ \Rightarrow \sin y=-\frac{1}{2} \\ \sin ^{-1} x की मुख्य शाखा का परिसर \left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] होता है।
\Rightarrow \sin y=-\sin \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \sin y=\sin (-\frac{\pi}{6}) \\ \Rightarrow y=-\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}
Example:2. \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
Solution: \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
माना \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=y \\ \Rightarrow \cos y=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos ^{-1} x की मुख्य शाखा का परिसर \left[0,\pi \right] होता है।
\Rightarrow \cos y=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow y=\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}
Example:3. \operatorname{cosec}^{-1}(2)
Solution: \operatorname{cosec}^{-1}(2)
माना y=\operatorname{cosec}^{-1}(2) \\ \Rightarrow \operatorname{cosec} y=2 \\ \operatorname{cosec}^{-1} x की मुख्य शाखा का परिसर \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] होता है।
\Rightarrow \operatorname{cosec} y=\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{6}) \\ \Rightarrow y=\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \operatorname{cosec}^{-1}(2)=\frac{\pi}{6}
Example:4. \tan ^{-1}(-\sqrt{3})
Solution: \tan ^{-1}(-\sqrt{3})
माना y=\tan ^{-1}(-\sqrt{3}) \\ \Rightarrow \tan y=-\sqrt{3} \\ \tan ^{-1} x की मुख्य शाखा का परिसर \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] होता है।
\Rightarrow \tan y=-\tan (\frac{\pi}{3}) \\ \Rightarrow \tan y=\tan (-\frac{\pi}{3}) \\ \Rightarrow y=-\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}
Example:5. cos^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right)
Solution: cos^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right)
माना y=\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \\ \Rightarrow \cos y=-\frac{1}{2} \\ cos^{-1} x की मुख्य शाखा का परिसर \left[0,\pi \right] होता है।
\cos y =-\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ \Rightarrow \cos y =\cos\left ( \pi-\frac{\pi}{3} \right ) \\ \Rightarrow \cos y=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \\ \Rightarrow y=\frac{2 \pi}{3} \\ \Rightarrow \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2 \pi}{3}
Example:6. \tan ^{-1}(-1)
Solution: \tan ^{-1}(-1)
माना y=\tan ^{-1}(-1) \\ \Rightarrow \tan y=-1 \\ \tan ^{-1} x की मुख्य शाखा का परिसर \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] होता है।
\Rightarrow \tan y=-\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow \tan y=\tan (-\frac{\pi}{4}) \\ \Rightarrow y=-\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}
Example:7. sec^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)
Solution: sec^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)
माना y=\sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \\ \Rightarrow \sec y=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \\ sec^{-1} x की मुख्य शाखा का परिसर \left[0,\pi \right]-\{\frac{\pi}{2}\} होता है।
\Rightarrow \sec y=\sec \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow y=\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \sec \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}
Example:8. \cot^{-1} (\sqrt{3})
Solution: \cot^{-1} (\sqrt{3})
माना y=\cot ^{-1}(\sqrt{3}) \\ \Rightarrow \cot y=\sqrt{3}\\ cot^{-1} x की मुख्य शाखा का परिसर \left[0,\pi \right] होता है।
\Rightarrow \cot y=\cot (\frac{\pi}{6}) \\ \Rightarrow y=\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \cot^{-1} (\sqrt{3})=\frac{\pi}{6}
Example:9. \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
Solution: \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
माना y=\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ \Rightarrow \cos y=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos ^{-1} x की मुख्य शाखा का परिसर \left[0,\pi \right] होता है।
\Rightarrow \cos y=-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow \cos y=\cos (\pi-\frac{\pi}{4}) \\ \Rightarrow \cos y=\cos \frac{3 \pi}{4} \\ \Rightarrow y=\frac{3 \pi}{4} \\ \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)=\frac{3 \pi}{4}
Example:10. \operatorname{cosec}^{1}(-\sqrt{2})
Solution: \operatorname{cosec}^{1}(-\sqrt{2})
माना y=\operatorname{cosec}^{1}(-\sqrt{2}) \\ \Rightarrow \operatorname{cosec} y=-\sqrt{2} \\ \operatorname{cosec}^{1} x की मुख्य शाखा का परिसर \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]-\{0\} होता है।
\Rightarrow \operatorname{cosec} y=-\operatorname{cosec} \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \operatorname{cosec} y=\operatorname{cosec}(-\frac{\pi}{4}) \\ \Rightarrow y=-\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \operatorname{cosec}(-\sqrt{2})=-\frac{\pi}{4}
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिएः
Example:11. \tan ^{-1}(1)+\cos ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)
Solution: \tan ^{-1}(1)+\cos ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{3}+\left(-\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \frac{3 \pi+8 \pi-2 \pi}{12} \\ \Rightarrow \frac{9 \pi}{12} \\ \Rightarrow \frac{3 \pi}{4}
Example:12. \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)
Solution: \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{\pi}{3}+2 \times \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}
Example:13.यदि \sin ^{-1} x=y तो
(A) 0 \leq y \leq \pi (B) –\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}
(C) 0<y<\pi (D) –\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}
Solution: \sin ^{-1} x का मुख्य मान शाखा \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] है।
y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \\ \Rightarrow \frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}
अतः विकल्प (B) सही है।
Example:14. \tan ^{-1}(\sqrt{3})-\sec ^{-1}(-2) का मान बराबर है
(A) \pi (B) -\frac{\pi}{3} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{2 \pi}{3}
Solution: \tan ^{-1}(\sqrt{3})-\sec ^{-1}(-2) \\ \Rightarrow \frac{\pi}{3}-(\pi-\frac{\pi}{3}) \\ \Rightarrow \frac{\pi}{3}-\frac{2 \pi}{3} \\ \Rightarrow \frac{\pi-2 \pi}{3} \\ \Rightarrow-\frac{\pi}{3}
अतः सही विकल्प (B) है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions 12th),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान (Principal Value of Trigonometric Functions) को समझ सकते है।
3.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 की समस्याएँ (Inverse Trigonometric Functions 12th Problems):
मान ज्ञात कीजिएः
(1.) \sin \left\{\sin ^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{\pi}{6}\right\}
(2.) \cos \left\{\frac{\pi}{2}-\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}
(3.)मुख्य मान ज्ञात करोः \operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)
उत्तर (Answers): (1.) –\frac{1}{2} (2.) \frac{1}{2} (3.) \frac{\pi}{3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions 12th),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान (Principal Value of Trigonometric Functions) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Inverse Trigonometric Functions 12th),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान (Principal Value of Trigonometric Functions) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्नः1.प्रतिलोभ त्रिकोणमितीय फलन का क्या महत्त्व है? (What is the Significance of Inverse Trigonometric Functions?):
उत्तर:प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन,कलन (Calculus) में एक महत्त्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं क्योंकि उसकी सहायता से अनेक समाकल (Integrals) परिभाषित होते हैं।प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की संकल्पना का प्रयोग विज्ञान तथा अभियान्त्रिकी (Engineering) में भी होता है।
प्रश्न:2.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान से क्या तात्पर्य है? (What Does the Inverse Trigonometric Function Mean by the Principal Value?):
उत्तरःकिसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान जो उसकी मुख्य शाखा में स्थित होता है प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान (Principal Value) कहलाता है।
प्रश्न:3.फलन की मुख्य शाखा से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by the Principal Branch of the Function?):
उत्तर:(1.)सारणी में दिए गए मुख्यमान ही मुख्य शाखा है।
(2.)जब कभी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की किसी शाखा विशेष का उल्लेख न हो तो हमारा तात्पर्य उस फलन की मुख्य शाखा से होता है।
(3.)\sin ^{-1} x से (\sin x)^{-1} कई भ्रांति नहीं होनी चाहिए।वास्तव में (\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x} और यह तथ्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी सत्य होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions 12th),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान (Principal Value of Trigonometric Functions) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 (Inverse Trigonometric Functions 12th) के इस
आर्टिकल में प्रतिलोम फलनों के मुख्य मान ज्ञात करना सीखेंगे।
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Satyam
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