Menu

Coefficient of Variation in Maths

Contents hide
1 1.गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics):

1.गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics):

गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths) एक सापेक्ष माप (Relative Measure) है।जैसा कि पूर्व आर्टिकल में बताया जा चुका है कि दो या दो से अधिक श्रेणियों में अपकिरण की मात्रा की तुलना करने के लिए विचरण-गुणांक का प्रयोग किया जाता है।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Standard Deviation in Statistics

2.गणित में विचरण-गुणांक के साधित उदाहरण (Coefficient of Variation in Maths Solved Examples):

Example:1.गणना कीजिए:(i) 40 फर्मों की कुल प्रार्थित पूंजी (ii)प्रमाप विचलन तथा (iii)प्रार्थित पूँजी का विचरण-गुणांक:
(Calculate:(i) Total paid up capital of all 40 firms (ii)Standard deviation and (iii) “Coefficient of variation of the paid up capital):

Capital Rs. in thousanad Firms
1-50 10
51-100 9
101-150 3
150-200 7
201-250 4
251-300 5
301-350 2

Solution:समावेशी श्रेणी को अपवर्जी श्रेणी में परिवर्तित करने पर:
Calculation of Coefficient of Variation by Step Deviation Method(A=175.5,i=50)

Capital M.V.(X) Firms(f) fX dx’ fdx’ fd^{2}x'
0.5-50.5 25.5 10 255 -3 -30 90
50.5-100.5 75.5 9 679.5 -2 -18 36
100.5-150.5 125.5 3 376.5 -1 -3 3
150.5-200.5 175.5 7 1228.5 0 0 0
200.5-250.5 225.5 4 902 4 4 4
250.5-300.5 275.5 5 1377.5 10 10 20
300.5-350.5 325.5 2 651 6 6 18
Total   40 5470   -31 171

(i) 40 फर्मों की कुल प्रार्थित पूँजी=5470

(ii) \bar{X} =A+\frac{\Sigma f d x}{N} \times i \\ =175.5+\frac{(-31)}{40} \times 50 \\ =175.5-38.75 \\ =136.75 \\ \sigma=i \times \sqrt{\frac{\sum f d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\sum f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =50 \sqrt{\frac{171}{40}-\left(\frac{-31}{40}\right)^{2}}\\ =50 \sqrt{4.275-\frac{961}{1600}}\\ =50 \sqrt{4.275-0.600625}\\ =50 \sqrt{3.674375 } \\ =50 \times 1.9168659 \\ \approx 95.843295 \\ \sigma \approx 95.84

(iii)coefficient of variation =\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \\ =\frac{95.84}{13675} \times 100 \\ =70.084 \% \approx 70.08 \%
Example:2.एक फैक्ट्री A व B दो प्रकार के विद्युत बल्बों का उत्पादन करती है।उनके ‘जीवन’ (Life) सम्बन्धी एक प्रयोग के उपलब्ध परिणाम निम्नवत् हैं:
(A factory produces two types of electric lamps, A and B. In an experiment relating to their life, the following results were obtained):

Length of life No. of Lamps No. of Lamps
500-700 5 4
700-900 11 30
900-1100 26 12
1100-1300 10 8
1300-1500 8 6
Total 60 60

विचरण-गुणांक के आधार पर दोनों प्रकार के बल्बों के जीवन की विचरणता की तुलना कीजिए।
(Compare the variability of the two varieties using coefficient of variation):
Solution: Calculation of Coefficient of Variation by Step Deviation Method(A=1000,i=200)

Length of Mid Values dx’ Freq. fdx’ fd^{2} x' Freq. fdx’ fd^{2} x'
Life(hrs) (X)    A A B B
500-700 600 -2 5 -10 20 4 -8 16
700-900 800 -1 11 -11 11 30 -30 30
900-1100 1000 0 26 0 0 12 0 0
1100-1300 1200 1 10 10 10 8 8 8
1300-1500 1400 2 8 16 32 6 12 24
Total     60 5 73 60 -18 78

Lamps A

\bar{X} =A+\frac{\Sigma f d x^{\prime} }{N}\times i \\ =1000+\frac{5}{60} \times 200 \\ =1000+\frac{50}{3} \\ =1000+16.666 \\ \bar{X} \approx 1016.67 \\ \sigma =i \times \sqrt{\frac{\Sigma fd^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =200 \sqrt{\frac{73}{60}-\left(\frac{5}{60}\right)^{2}} \\ =200 \sqrt{1.21666-\frac{25}{3600}} \\=200 \sqrt{1.21666-\frac{25}{3600}} \\ =200 \sqrt{1.21666-0.60694} \\ =200 \times \sqrt{1.20972} \\ =200 \times 1.09987 \\ =200 \times 1.09987 \\ \sigma \approx 219.97

Coefficient of variation =\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \\ =\frac{219.97}{1016.67} \times 100 \\=21.63 \%

Lamp B

\bar{X}=A+\frac{\sigma f dx^{\prime}}{N} \times i \\ =1000+\frac{(-18)}{60} \times 200 \\ =1000-60 \\ \bar{X} =940 \\ \sigma =i \times \sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =200 \sqrt{\frac{78}{60}-\left(\frac{-18}{60}\right)^{2}} \\ =200 \sqrt{1.3-\frac{324}{3600}}\\ =200 \sqrt{1.3-0.09} \\ =200 \sqrt{1.21} \\ =200 \times 1.1 \\ \sigma=220

coefficient of variation =\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \\ = \frac{220}{940} \times 100 \\ \approx 23.40 \%

Example:3.माना कि दो उत्पादकों A और B द्वारा निर्मित पाॅलिथीन की थैलियों के प्रतिदर्श का परीक्षण एक प्रत्याशित क्रेता द्वारा उनके विस्फोटन दबाव (bursting pressure) हेतु किया गया जिसके परिणाम निम्नवत् हैं:
(Suppose that samples of polythene bags from two manufacturers, A and B are tested by a prospective buyers for bursting pressure, with the following results):

Brusting Pressure No. of Bags(A) No. of Bages(B)
5.0-9.9 2 9
10.0-14.9 9 11
15.0-19.9 29 18
20.0-24.9 54 32
25.0-29.9 11 27
30.0-34.9 5 13
Total 110 110

कौनसी थैलियों का औसत दबाव अधिक है?किसका दबाव अधिक समान है? यदि दौनों का मूल्य समान हो तो किस उत्पादक की थैलियाँ क्रेता द्वारा अधिक पसन्द की जाएगी तथा क्यों?
(Which of the bags has the highest average bursting pressure? Which has more uniform pressure? If prices are the same which manufacturer’s bags would be preferred by the buyer and why?)
समावेशी श्रेणी को अपवर्जी श्रेणी में परिवर्तित करना होगा।
Solution:Calculation table of Coefficient of Variation by Step Deviation Method(A=17.45,i=5)

Bursting Mid Value dx’ Freq. fdx’ fd^{2} x' Freq. fdx’ fd^{2} x'
Pressure X   A A B B
4.95-9.95 7.45 -2 2 -4 8 9 -18 36
9.95-14.95 12.45 -1 9 -9 9 11 -11 11
14.95-19.95 17.45 0 29 0 0 18 0 0
19.95-24.95 22.45 1 54 54 54 32 32 32
24.95-29.95 27.45 2 11 22 44 27 54 108
29.95-34.95 32.45 3 5 15 45 13 39 117
      110 78 160 110 96 304

Bags A

\bar{X}=A+\frac{\Sigma fdx^{\prime}}{N} \times i\\ =17.45+\frac{78}{110} \times 5\\ =17.45+3.545\\ =20.995\\ \bar{X} \approx 21 lbs

\sigma =i \times \sqrt{\frac{\Sigma fd^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =5 \sqrt{\frac{160}{110}-\left(\frac{78}{110}\right)^{2}}\\ =5 \sqrt{1.4545-\frac{6084}{12100}}\\ =5 \sqrt{1.4545-0.5028}\\ =5 \sqrt{0.9517}\\ =5 \times 0.9755 \\ \sigma \approx 4.88 lbs

coefficient of variation=\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100=\frac{4.88}{21} \times 100=23.24 \%

Bag B

\bar{X}=A+\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N} \times i\\ =17.45+\frac{96}{110} \times 5 \\ =17.45+4.363\\ \bar{X} \approx 21.81\\ \sigma =i \times \sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =5 \sqrt{\frac{304}{110}-\left(\frac{96}{110}\right)^{2}}\\ =5 \sqrt{2.7636-\frac{9216}{12100}}\\ =5 \sqrt{2.7636-0.76165}\\ =5 \times \sqrt{2.00195} \\ =5 \times 1.4149 \\ \sigma \approx 7.07 lbs

coefficient of variation =\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{7.07}{21.81} \times 100 \\ =\frac{707}{21.81} \\ =32.416 \% \\ \approx 32.42 \%

A is more uniform.
Example:4.निम्नलिखित आवृत्ति वितरण से समान्तर माध्य,प्रमाप विचलन तथा विचरण-गुणांक की गणना कीजिए:
(From the following frequency distribution calculate arithmetic mean,standard deviation and coefficient of variation):

Years No. of Teachers
14-20 1
9-13 1
6-8 3
4-5 6
3 5
2 2
1 1
0 1
Total 20

Solution:Calculation Table of Coefficient of Variation by Short-cut Method

Years Mid value(X) No. of teachers(f) dx(A=7) fdx fd^{2}x'
14-20 17 1 10 10 100
9-13 11 1 4 4 16
6-8 7 3 0 0 0
4-5 4.5 6 -2.5 -15 37.5
3 3 5 -4 -20 80
2 2 2 -5 -10 50
1 1 1 -6 -6 36
0 0 1 -7 -7 49
Total   20   -44 368.5
\bar{X} =A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =7-\frac{44}{20} \\ =7-2.2 \\ \bar{X} =4.8 \\ \sigma =\frac{1}{N} \sqrt{N-\Sigma f d^{2} x-\left(\Sigma f d x\right)^{2}} \\ =\frac{1}{20} \sqrt{20 \times 368.5-(-44)^{2}} \\ =\frac{1}{20} \sqrt{7370-1936} \\ =\frac{1}{20} \times \sqrt{5434} \\ =\frac{1}{20} \times 73.715669 \\ =3.685 \\ \sigma \approx 3.69

coefficient of variation =\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{3.69}{4.8} \times 100 \\ =76.88 \%
Example:5.निम्नलिखित समंकों का समान्तर माध्य, प्रमाप विचलन तथा विचरण-गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following data calculate mean,standard deviation and coefficient of variation):

Income (Rs.) No. of Persons
100-200 15
100-300 33
100-400 63
100-500 83
100-600 100

Solution:Calculation Table of Coefficient of Variation by Alternate Method

Income(Rs.) Mid Value(X) No. of Persons(f) X^{2} fx fX^{2}
       
100-200 150 15 22500 2250 337500
200-300 250 18 62500 45000 1125000
300-400 350 30 122500 10500 3675000
400-500 450 20 202500 9000 4050000
500-600 550 17 303500 9350 5142500
Total   100 712500 35600 14330000
\bar{X}=\frac{\Sigma fx}{N} \\ =\frac{35600}{100} \\ \bar{X}=356 \\ \sigma =\sqrt{\frac{\Sigma f X^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}} \\ =\sqrt{\frac{14330000}{100}-(356)^{2}} \\ =\sqrt{143300-126736}\\ =\sqrt{16564}\\ \sigma=128.7012\\ \sigma \approx 128.70

coefficient of variation =\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \\ =\frac{128.70}{356} \times 100 \\ \approx 36.15 \%
Example:6.निम्न समंकों के लिए समान्तर माध्य,माध्य विचलन तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(From the following data, calculate mean, mean deviation and standard deviation):

Class Frequency
1-4 2
5-8 3
9-12 6
13-16 6
17-20 9
21-24 15
25-28 12
29-32 10
33-36 7
37-40 6

Solution:Calculation Table of Mean Deviation and Standard Deviation

Class(X) Mid Value  Frequency(f) fx
0.5-4.5 2.5 2 5
4.5-8.5 6.5 3 19.5
8.5-12.5 10.5 6 63
12.5-16.5 14.5 6 87
16.5-20.5 18.5 9 166.5
20.5-24.5 22.5 15 337.5
24.5-28.5 26.5 12 318
28.5-32.5 30.5 10 305
32.5-36.5 34.5 7 241.5
36.5-40.5 38.5 6 231
Total   76 1774

and

deviation(A=18.5) fdx fd^{2}x' deviation from 23.34 f|d\bar{X}|
-16 -32 512 20.84 41.68
-12 -36 432 16.84 50.52
-8 -48 384 12.84 77.04
-4 -24 96 8.84 53.04
0 0 0 4.84 43.56
4 60 240 0.84 12.6
8 96 768 3.16 37.92
12 120 1440 7.16 71.60
16 112 1792 11.16 78.12
20 120 2400 15.16 90.96
  368 8064   557.04
\bar{X} =\frac{\Sigma f X}{N} \\ =\frac{1774}{76}=23.342 \\ \bar{x} \approx 23.34

M.D.

\delta \bar{X}=\frac{\sum|d \bar{x}|}{N} \\ =\frac{557.04}{76} \\ =7.3294 \\ \delta \bar{x} \approx 7.3294 \\ \delta \bar{x} =\frac{\sum|d \bar{x}|}{N} \\ =\frac{557.04}{76} \\ =7.3294 \\ \delta \bar{x} \approx 7.3294 \\ \sigma =\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2}x}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x}{N}\right)^{2}} \\ =\sqrt{\frac{8064}{76}-\left(\frac{368}{76}\right)^{2}} \\ =\sqrt{106.10526-\frac{135424}{5776}} \\ =\sqrt{106.10526-23 \cdot 44598} \\ =\sqrt{82.65928} \\ =9.0917 \\ \sigma \approx 9.09
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.गणित में विचरण-गुणांक पर आधारित सवाल (Questions Based on Coefficient of Variation in Maths):

(1.)नीचे दिए गए आंकड़ों का समान्तर माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(From the following data compute the arithmetic mean and standard deviation):

Age group No. of students
less than 20 20
20-25 26
25-30 44
30-35 60
35-40 101
40-45 109
45-50 84
50-55 66
55 and above 10

(2.)निम्न सारणी से प्रमाप विचलन और विचरण-गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following data find the standard deviation and coefficient of variance):

Wages(less than) No. of persons
10 12
20 30
30 65
40 107
50 157
60 202
70 222
80 230

उत्तर (Answers):(1) \bar{X}=39.51 years ,\sigma=9.57 years

(2)\sigma=17.26,C.V.=42.70 %
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Coefficient of Variation in hindi

4.गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.प्रमाप विचलन हमेशा समान्तर माध्य से ही क्यों निकाला जाता है? (Why standard deviation is always calculated by using arithmetic mean?):

उत्तर:किसी समंक श्रेणी के यथोचित विश्लेषण के लिए समान्तर माध्य को आदर्श माना जाता है अतः प्रमाप विचलन हमेशा समान्तर माध्य से ही निकाला जाता है।

प्रश्न:2.प्रसरण से क्या आशय है? (What do you mean by variance?):

उत्तर:किसी समंक श्रेणी का प्रसरण निकालने हेतु उस समूह के समान्तर माध्य से विभिन्न पद मूल्यों के विचलन ज्ञात किए जाते हैं। माध्य विचलन की भाँति विचलन लेते समय बीजगणितीय चिन्हों को छोड़ा नहीं जाता है। इन विचलनों के वर्ग ज्ञात कर लिए जाते हैं। प्राप्त वर्गों के योग में कुल पदों की संख्या का भाग देने पर जो मूल्य आता है उसे अपकिरण की द्वितीय घात या विचरणांक अथवा प्रसरण (variance) कहते हैं।संक्षिप्त रूप में कहें तो प्रसरण किसी श्रेणी के प्रमाप विचलन का वर्ग \sigma^{2} होता है। इसे द्वितीय घात का अपकिरण (Second Moment of Dispersion) भी कहते हैं।

प्रश्न:3.प्रमाप विचलन अपकिरण के अन्य मापों की तुलना में अधिक अच्छा क्यों माना जाता है?इसका प्रमुख दोष क्या है? (Explain why the standard deviation is regarded as superior to other measures of dispersion? what is its chief defect?):

उत्तर:अपकिरण का यह माप गणितीय नियमों पर आधारित है तथा अधिकांश दोषों से मुक्त है अतः अधिकतर प्रमाप विचलन (Standard Deviation) को ही प्रयुक्त करना श्रेयस्कर होता है।
दोष:प्रमाप विचलन की गणना क्रिया अपेक्षाकृत कठिन एवं जटिल है। सामान्य व्यक्ति इसे सरलता से ज्ञात नहीं कर सकता है क्योंकि विचलनों के वर्ग तथा फिर उसके औसत का वर्गमूल ज्ञात करना सरल गणितीय क्रिया नहीं है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

No. Social Media Url
1. Facebook click here
2. you tube click here
3. Instagram click here
4. Linkedin click here
5. Facebook Page click here
6. Twitter click here

Coefficient of Variation in Maths

गणित में विचरण-गुणांक
(Coefficient of Variation in Maths)

Coefficient of Variation in Maths

गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths) एक सापेक्ष माप
(Relative Measure) है। जैसा कि पूर्व आर्टिकल में बताया जा चुका है

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *