उत्तर:(1.)दी हुई द्वि-चर सारणी में चार खाने (Columns) दायीं ओर तथा तीन पंक्तियाँ (Rows) नीचे की ओर बनाई जाती है।दायीं ओर से खाने में प्रथम खाना Y के कल्पित माध्य से ज्ञात किए गए विचलनों (dy) के लिए,द्वितीय व तृतीय खाना fdy तथा fd^{2}y के लिए तथा चतुर्थ खाना fdxdy के लिए बनाया जाता है।इसी प्रकार नीचे की ओर तीन पंक्तियाँ क्रमशः dx,fdx,fd^{2}x व के लिए बनाई जाती है।
(2.)X तथा Y के मध्य-बिन्दुओं (Mid-Values) में से किसी एक मध्य-मूल्य को कल्पित माध्य मानकर विचलन (dx व dy) ज्ञात किए जाते हैं।यदि वर्गान्तर समान हो या मूल्यों में अन्तर समान हो तो उभयनिष्ठ गुणक (Common factor) निकालकर पद-विचलन ज्ञात करना अधिक सरल रहता है।X श्रेणी में पद-विचलन निकालने के लिए X-श्रेणी में वर्ग-विस्तार आपस में समान होने चाहिए।इसी प्रकार Y श्रेणी में पद विचलनों को निकालने के लिए Y-श्रेणी में वर्ग-विस्तार आपस में समान होने चाहिए।X-श्रेणी में यदि 5-5 का तथा Y श्रेणी में यदि 7-7 का या 10-10 का वर्ग विस्तार हो तो भी पद-विचलन रीति का प्रयोग किया जा सकता है।इसी प्रकार किसी एक श्रेणी अर्थात् X या Y में समान वर्ग-विस्तार तथा दूसरे में असमान वर्ग-विस्तार होने पर केवल वर्ग-विस्तार वाली श्रेणी में पद विचलनों का प्रयोग किया जा सकता है।
(3.)दोनों श्रेणियों के विचलनों (dx तथा dy) को सम्बन्धित आवृत्तियों से गुणा करके गुणनफल सम्बन्धित खानों एवं पंक्तियों में लिखे जाते हैं।इन गुणनफलों का योग क्रमशः \Sigma fdy तथा \Sigma fdx होता है।
(4.)fdx को सम्बन्धित dx से गुणा करके इन गुणाओं का योग \Sigma fd^{2}x तथा \Sigma fd^{2}y होता है।
(5.)द्विचर सारणी के जिन-जिन कोष्ठों (cells) में आवृत्तियाँ होती हैं उनके तत्सम्बन्धी dx,dy व f(cell frequency) को आपस में गुणा कर fdxdy ज्ञात कर लिए जाते हैं।यह गुणनफल तृतीय पंक्ति में लिखा जाता है जिसका योग होता है।
(6.)निम्न में से किसी एक सूत्र का प्रयोग किया जाएगाः
प्रथम सूत्रः r=\frac{\Sigma f dx dy \cdot N-\left(\bar{x}-A_x\right)\left(\bar{Y}-A_y\right)}{N \sigma_{x} \sigma_{y}}
सूत्र में प्रयुक्त कोष्ठ आवृत्तियों तथा तत्सम्बन्धी X व Y श्रेणियों के कल्पित माध्य से विचलनों (dx व dy) के गुणनफल के योग से है।अन्य सभी चिन्हों का अर्थ पूर्व-वर्णित सूत्रों के अनुसार ही है।
इस उपर्युक्त सूत्र से अन्य सूत्र ज्ञात किए जा सकते हैं जो निम्न प्रकार हैंः
द्वितीय सूत्रः r=\frac{\Sigma f d x d y-N\left(\frac{\Sigma f d x}{N}\right) \left(\frac{\Sigma f dy}{N} \right)}{N \sqrt{\left[\frac{\Sigma f d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma f dx}{N}\right)^2\right]} \sqrt{\left[\frac{\Sigma f d^2 y}{N}-\left(\frac{\Sigma f dy}{N}\right)^2\right]}}
तृतीय सूत्रः r=\frac{\Sigma f d x d y-\frac{\Sigma f d x \cdot \Sigma f dy}{N}}{\sqrt{\left[\Sigma f d^2 x-\left(\frac{\Sigma f dx}{N}\right)^{2}\right]\left[\Sigma f d^2 y-\left(\frac{\Sigma f dy}{N}\right)^{2}\right]}}
चतुर्थ सूत्रः r=\frac{N \cdot \Sigma f d x d y-\Sigma f d x \cdot \Sigma f dy}{\sqrt{\left[N \times \Sigma f d^2 x-(\Sigma f dx)^2\right]\left[N \times \Sigma f d^2y-(\Sigma f dy)^2\right]}}

उत्तर:सम्भाव्य विभम्र के प्रमुखतः निम्न दो उपयोग हैंः
(1.)सीमा निर्धारण (Determination of Limits):सहसंबंध गुणांक की सम्भाव्य विभम्र के माध्यम से दो सीमाएँ (r \pm P.E.)ज्ञात हो जाती है जिनमें अन्य दैव प्रतिदर्शों के निकाले गए या संपूर्ण समग्र के आधार पर निकाले गए सहसंबंध गुणांक के पाए जाने की 50% संभावना होती है।
(2.)सहसंबंध गुणांक का निर्वचन (Interpretation of Coefficient of Correlation):संभाव्य विभ्रम के आधार पर कार्ल पियर्सन के सहसंबंध गुणांक का निर्वाचन निम्न नियमों के अनुसार किया जाता हैः
(i) यदि सहसंबंध गुणांक सम्भाव्य विभम्र से कम है (r<6 P.E.)तो दोनों श्रेणियों में सहसंबंध सार्थक (significant) या अर्थपूर्ण होता है।दूसरे शब्दों में सहसम्बन्ध गुणांक के सम्भाव्य विभम्र के छः गुने से अधिक होने पर यह कहा जा सकता है कि दोनों श्रेणियों में सहसंबंध निश्चित रूप से विद्यमान है।सहसम्बन्ध सम्भाव्य विभम्र के छः गुने से जितना अधिक होगा वह उतना ही अधिक सार्थक या अर्थपूर्ण होगा।यदि सहसंबंध गुणांक सम्भाव्य विभम्र के छः गुने से अधिक नहीं है (r>6 P.E.) तो सहसम्बन्ध अधिक नहीं माना जाता है।
(iii)यदि सहसम्बन्ध गुणांक 0.3 से भी कम है ताकि इसका संभाव्य विभ्रम अपेक्षाकृत कम है तो सहसम्बन्ध की मात्रा नगण्य (Not marked) समझनी चाहिए।
(iv)यदि सहसम्बन्ध गुणांक +0.5 या अधिक है तो सहसम्बन्ध का अस्तित्व लगभग निश्चित समझना चाहिए।
उपर्युक्त नियमों को ध्यान में रखते हुए ही सहसंबंध गुणांक एवं संभाव्य विभ्रम के संबंध का अध्ययन करके यह निष्कर्ष निकालना चाहिए कि सहसंबंध अर्थपूर्ण है अथवा नहीं।

उत्तर:सम्भाव्य विभ्रम की परिसीमाएं (Limitations of Probable Error):संभाव्य विभ्रम का प्रयोग केवल निम्नलिखित परिस्थितियों में उचित रहता हैः
(1.)जब पद-युग्मों की संख्या पर्याप्त हो
(2.) जब सहसंबंध गुणांक दैव प्रतिचयन के आधार पर चुने गए मूल्य से ज्ञात किया गया है तथा
(3.)श्रेणी सममित अर्थात् प्रसामान्य (symmetrical) हो।
आर्थिक सामाजिक एवं व्यवसायिक क्षेत्रों में अधिकतर उपर्युक्त परिस्थितियां पूरी नहीं होती।इन क्षेत्रों में सम्भाव्य विभम्र का प्रयोग उचित नहीं समझा जाता है।इसके अतिरिक्त सम्भाव्य विभम्र के माध्यम से सहसंबंध गुणांक की 50% उपस्थिति की सम्भावना ही निश्चित होती है,अतः “यह न तो विभ्रम है और न पूर्णरूप से सम्भाव्य ही है।”

उत्तर:प्रमाप विभ्रम (Standard Error)
चूँकि सम्भाव्य विभ्रम सहसंबंध गुणांक की 50% संभावना की सीमा ही निर्धारित करती है तथा व्यावसायिक एवं सामाजिक क्षेत्रों में इसका प्रयोग उचित नहीं समझा जाता है।आशुनिक सांख्यिकी में सम्भाव्य विभम्र के स्थान पर प्रभाप विभ्रम का प्रयोग उचित समझा जाता है।प्रमाप विभ्रम सम्भाव्य विभ्रम का लगभग \frac{3}{2} होता है।
सूत्रानुसारः r=\frac{1-r^{2}}{N}
प्रतिदर्श (sample) के आधार पर सहसम्बन्ध गुणांक की सम्पूर्ण समग्र के लिए सीमायें निर्धारित करने के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता हैः
r \pm 3 S.E.of r
यदि प्रतिदर्श छोटा हो तो सम्भाव्य विभम्र तथा प्रमाप विभ्रम की सार्थकता सही जाँच नहीं की जा सकती।बड़े प्रतिदर्श में ही इसका प्रयोग उचित समझा जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक (Coefficient of Correlation),वर्गीकृत श्रेणी में कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन (Calculation of Karl Pearson Coefficient of Correlation in Grouped Series) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।