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How to Find Missing Frequencies?

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1.अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?),मध्यका में अज्ञात आवृत्तियाँ (Missing Frequencies in Median):

अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?)किसी आवृत्ति श्रेणी में यदि मध्यका और बहुलक के मान दिए हों और कुछ आवृत्तियाँ अज्ञात हों तो M और Z के सूत्रों का प्रयोग करके ज्ञात आवृत्तियों की सहायता से अज्ञात आवृत्तियाँ ज्ञात की जा सकती है।
(2.)अज्ञात मूल्य अथवा अज्ञात आवृत्तियों का निर्धारण (Location of Missing Size of Frequency):समान्तर माध्य का एक महत्त्वपूर्ण गुण यह है कि यदि \bar{X},N और \sum X में से कोई दो मान ज्ञात हैं तो बाकी तीसरा मान ज्ञात किया जा सकता है अर्थात्

\bar{X}=\frac{\sum X}{N} or \frac{\sum f X}{N}, \sum X or \sum f X=\bar{X} \times N, N=\frac{\sum X}{\bar{X}} or \frac{\sum f X}{\bar{X}}
इन सूत्रों के आधार पर किसी समूह में अज्ञात मूल्य या अज्ञात आवृत्ति का निर्धारण किया जा सकता है।अज्ञात मूल्य को ‘X’,अज्ञात आवृत्ति को ‘f’ मानकर तथा प्रत्यक्ष सूत्र का प्रयोग करके एक सरल समीकरण उपलब्ध कर लिया जाता है जिसके आधार पर ‘X’ या ‘f’ का मान निश्चित किया जाता है।
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2.अज्ञात आवृत्तियों का निर्धारण के उदाहरण (Determination of Missing Frequencies Examples):

Example:1.निम्न श्रेणी में अज्ञात मूल्य का मान ज्ञात कीजिए यदि औसत मजदूरी 68.25 रु. है।
(Find out the missing value in the following series if average wage is Rs. 68.25.)

Wages(Rs.)No. of Workers
5002
5820
6005
6535
708
?10
8016
10004
Total100

Solution:

Wages(Rs.)(x)No. of Workers(f)fx
5002100
58201160
6005300
65352275
708560
x1010x
80161280
10004400
Total1006075+10x

समान्तर माध्य (\bar{X})=\frac{\sum f X}{\sum f} \\ \Rightarrow 68.25=\frac{6075+10 x}{100} \\ \Rightarrow 68.25 \times 100=6075+10 x \\ \Rightarrow 6825=6075+10 x \\ \Rightarrow 10 x=6825-6075 \\ \Rightarrow 10 x=750 \\ \Rightarrow x=\frac{750}{10} \\ \Rightarrow x=75
Example:2.निम्नलिखित आंकड़ों से अज्ञात आवृत्ति की परिगणना कीजिये यदि मध्यका 50 हो।
(From the following data find out the missing frequency if the median 50.):

वर्ग अन्तराल(x)आवृत्ति(f)
10-202
20-308
30-406
40-50?
50-6015
60-7010

Solution:

वर्ग अन्तराल(x)आवृत्ति(f)संचयी आवृत्ति(cf)
10-2022
20-30810
30-40616
40-50x16+x
50-601531+x
60-701041+x
Total41+x 

मध्यका (Median) M=50,मध्यका वर्ग (Median Class) 50-60

l=50, i=60-50=10, f=15, c=16+x \\ \frac{N}{2}=\frac{41+x}{2} \\ M=l+\frac{i}{f}\left(\frac{N}{2}-c\right) \\ 50=50+\frac{10}{15}\left[\frac{4+x}{2}-(16+x)\right] \\50-50=\frac{10}{15}\left(\frac{41+x-32-2 x}{2}\right) \\ 0 \times \frac{15}{10}=\frac{9-x}{2} \\ \Rightarrow 9-x=0 \Rightarrow x=9
Example:3.यदि निम्न समंकों का समान्तर माध्य \bar{X}=115.6 हो तो अज्ञात पद ज्ञात कीजिए:
(If the mean, \bar{X}=115.6 for this series then find out the value of the blank place):

वर्ग अन्तराल(x)आवृत्ति(f)
11025
112?
11313
117?
12014
1258
1286
1302
Total100

Solution:

वर्ग अन्तराल(x)आवृत्ति(f)संचयी आवृत्ति(cf)
110252750
112x112x
113131469
117y117y
120141680
12581000
1286768
1302260
Total1007927+112x+117y

68+x+y=100 \\ \Rightarrow x+y=100-68\\ \Rightarrow x+y=32 \cdots(1)
समान्तर माध्य (\bar{X})=\frac{\sum f X}{\sum f}\\ 115.6=\frac{7927+112 x+117 y}{100}\\ \Rightarrow 115.6 \times 100=7927+112x+117 y \\ \Rightarrow 11560-7927=112 x+117 y\\ \Rightarrow 112 x+117 y=3633 \cdots(2)
समीकरण (1) को 117 से गुणा करने पर:
117 x+117 y=3744 \cdots(3)\\ \begin{array}{cc}117 x+117 y=3744 \ldots(3) \\ 112 x+117 y=3633 \ldots(2) \\ -\quad- \quad- \text { घटाने पर } \\ \hline \Rightarrow 5 x=111 \end{array} \\ \Rightarrow x=\frac{111}{5} \\ \Rightarrow x=22.2 \Rightarrow x \approx 22
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

22+y=32 \\ \Rightarrow y=32-22 \\ y=10
अज्ञात आवृत्ति (Missing Frequency) 22 तथा 10
Example:4.अज्ञात आवृत्तियाँ ज्ञात कीजिए यदि मध्यका 50रु. तथा परिवारों की संख्या (N)=100 है:
(Find out the missing frequencies, if median is Rs. 50 and total number of families are 100):

व्यय(Expenditure in Rs.)परिवारों की संख्या (No. of families)
0-2014
20-40?
40-6024
60-80?
80-10016

Solution:

व्यय(Expenditure in Rs.)परिवारों की संख्या (No. of families)संचयी आवृत्ति (cf)
0-201414
20-40x14+x
40-602438+x
60-80y38+x+y
80-1001654+x+y
Total54+x+y=100 

मध्यका (M)=50,अतः मध्यका वर्ग 40-60,l=40, i=60-40=20,f=24 \\ \frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50, c=14+x \\ M=l+\frac{i}{f}\left(\frac{N}{2}-c\right) \\ 50=40+\frac{20}{24}(50-14-x) \\ 50-40=\frac{5}{6}(36-x) \\ 10 \times \frac{6}{5}=36-x \\ 12=36-x \Rightarrow x=36-12 \\ \Rightarrow x=24 \\ 54+x+y=100 \Rightarrow x+y=100-54\\ \Rightarrow 24+y=46 \\ \Rightarrow y=46-24\\ \Rightarrow y=22, x=24
अतः अज्ञात आवृत्तियाँ (Missing Frequencies) 24 तथा 22 है।

Example:5.एक अपूर्ण वितरण निम्न प्रकार दिया गया है:
(An incomplete distribution is given as follows)

VariableFrequency
300-3255
325-35017
350-37580
375-400?
400-425326
425-450?
450-47588
475-5009
Total1000

(i)आपको यह ज्ञात करना है कि यदि मध्यका मूल्य 413.11 है तो अज्ञात आवृत्तियों की गणना कीजिए।
(If you are given that the median is 413.11 then find out missing frequencies.)
(ii)पूर्ण की गई सारणी से बहुलक ज्ञात कीजिए।
(Calculate Mode of the completed table.)
Solution:- Assume the missing frequencies of the class 375-400 be x and class 425-450 be y.

VariableFrequencycf
300-32555
325-3501722
350-37580102
375-400x102+x
400-425326428+x
425-450y428+x+y
450-47588516+x+y
475-5009525+x+y
Total525+x+y=1000 

(i) 525+x+y=1000 \\ x+y=1000-525 \\ \Rightarrow x+y=475 \cdots(1)
मध्यका (M)=413.11,अतः मध्यका वर्ग 400-425

x=400, i=425-400=25, f=326\\ \frac{N}{2}=\frac{1000}{2}=500, c=102+x \\ M=l+\frac{i}{f}\left(\frac{N}{2}-c\right)\\ 413.11=400+\frac{25}{326}(500-102-x)\\ 413.11-400=\frac{25}{326}(398-x)\\ 13.11 \times \frac{326}{25}=398-x\\ \Rightarrow 170.9544=398-x \\ \Rightarrow x=398-170.9544\\ \Rightarrow x=227.0456 \\ \Rightarrow x \approx 227
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
227+y=475
y=248
अतः x=227 (375-400) तथा y=248 (425-450)
(ii)सबसे अधिक बारम्बारता वर्ग 400-425 की 326 है।अतः बहुलक वर्ग 400-425, \quad f_{0}=227, \quad f_{1}=326, f_{2}=248, l=400, i=425-400=25
बहुलक Z=l+\frac{f_{1}-f o}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i \\ =400+\frac{326-227}{2 \times 326-227-248} \times 25 \\ =400+\frac{95}{652-475} \times 25 \\ =400+ \frac{2475}{177} \\ =400+13.98 \\ \Rightarrow Z=413.98
Example:6.निम्नलिखित अपूर्ण आवृत्ति बंटन में अज्ञात आवृत्तियों का मान ज्ञात कीजिए यदि मध्यका 27 तथा बहुलक 26 हो:
(Find out the missing frequencies in the following incomplete frequency distribution if median is 27 and mode 26):

वर्गान्तर
(Class-Interval)
0-1010-2020-3030-4040-50
आवृत्ति
(Frequency)
3?2012?

Solution: Calculation of Missing Frequency

वर्गान्तर(Class-Interval)आवृत्ति(Frequency)संचयी आवृत्ति (cf)
0-1033
10-20x3+x
20-302023+x
30-401235+x
40-50y35+x+y
Total35+x+y 

मध्यका (M) 27 है अतः मध्यका वर्ग 20-30 है।

l=20, i=30-20=10, f=20, c=3+x \\ \frac{N}{2} =\frac{35+x+y}{2} \\ M=\ell+\frac{i}{f}\left(\frac{N}{2}-c\right)\\ 27=20+\frac{10}{20}\left(\frac{35+x+y}{2}-3-x\right)\\ \Rightarrow 27-20=\frac{1}{2}\left(\frac{35+x+y-6-2 x}{2}\right)\\ \Rightarrow 7 \times 4=29+y-x\\ \Rightarrow 28=29+y-x\\ \Rightarrow x-y=29-28\\ \Rightarrow x-y=1 \quad \cdots(1)
बहुलक (Z) 26 है अतः बहुलक वर्ग 20-30 है।

l=20, i=30-20=10 ,f_{0}=x, f_{1}=20, f_{2}=12 \\ Z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i\\ 26=20+\frac{20-x}{2 \times 20-x-12} \times 10\\ \Rightarrow 26-20=\frac{(20-x) 10}{40-x-12}\\ \Rightarrow 6=\frac{(20-x) 10}{28-x}\\ \Rightarrow 168-6 x=200-10 x\\ \Rightarrow-6 x+10x=200-168\\ \Rightarrow 4 x=32\\ \Rightarrow x= \frac{32}{4} \\ \Rightarrow x=8
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
8-y=1\\ \Rightarrow -y=1-8\\ \Rightarrow-y=-7\\ \Rightarrow y=7\\ N=35+x+y\\ =35+8+7\\ \Rightarrow N=50
N=50,अज्ञात आवृत्तियाँ 8 (वर्ग 10-20) तथा 7 (वर्ग 40-50)
Example:7.निम्न बंटन से अज्ञात आवृत्ति ज्ञात कीजिए:
(Find the missing frequency in the following series):

Class0-1010-2020-3030-4040-50
Frequency5?15166

समान्तर माध्य 27 है।
(The arithmetic mean is 27)
Solution:माना वर्ग 10-20 की अज्ञात आवृत्ति x है।
Calculation of Missing Frequency

ClassMid Value(X)Frequency(f)fX
0-105525
10-2015x15x
20-302515375
30-403516560
40-50456270
Total 42+x1230+15x

समान्तर माध्य (\bar{X})=\frac{\sum fX}{\sum f} \\ 27=\frac{1230+15 x}{42+x} \\ \Rightarrow 27(42+x)=1230+15 x \\ \Rightarrow 1134+27 x=1230+15 x \\ \Rightarrow 27 x-15 x=1230-1134 \\ \Rightarrow 12 x=96 \\ \Rightarrow x=\frac{96}{12}=8
Example:8.एक थोड़े असममित बंटन में समान्तर माध्य 24.6 और भूयिष्ठक 26.1 है।मध्यका ज्ञात कीजिए।
(In a moderately distribution, arithmetic mean is 24.6 and mode is 26.1.Find the values of the median.)
Solution: \bar{X}=24.6, Z=26.1\\ M=?\\ 3 M=2 \bar{X}+Z\\ 3 M=2(24.6)+26 \cdot 1\\ M=\frac{49.2+26.1}{3}\\ M=\frac{753}{3}=25.1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?),मध्यका में अज्ञात आवृत्तियाँ (Missing Frequencies in Median) को समझ सकते हैं।

3.अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें के सवाल (How to Find Missing Frequencies? Questions):

(1.)निम्न बंटन से अज्ञात आवृत्ति ज्ञात कीजिए यदि N=100 और मध्यका 30 है।
(Find the missing frequency in the following distribution,if N is 100 and median is 30.)

MarksNo. of Students
0-1010
10-20?
20-3025
30-4030
40-50?
50-6010

(2.)निम्नलिखित आवृत्ति वितरण के बहुलक एवं मध्यका क्रमशः 25.55 तथा 25 है।अज्ञात आवृत्तियों को ज्ञात कीजिए:
(Mode and median of the frequency distribution are 25.55 and 25 respectively.Find out the missing frequencies):

Central Size515253545
Frequency5?20?3

उत्तर (Answers):(1.)34 (35-40 class),45 (50-60 class)
(2.)प्रथम अज्ञात आवृत्ति 10 तथा द्वितीय अज्ञात आवृत्ति 12 है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?),मध्यका में अज्ञात आवृत्तियाँ (Missing Frequencies in Median) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

(1.)समान्तर माध्य ज्ञात करने हेतु न तो श्रेणी के मूल्यों को एडजस्ट करने की आवश्यकता है और न ही वर्गान्तर समान करना होता है।समावेशी श्रेणी (Inclusive Series) को अपवर्जी श्रेणी (Exclusive Series) में परिवर्तन भी नहीं करना चाहिए।यदि संचयी आवृत्ति दी हो तो सर्वप्रथम साधारण आवृत्तियाँ ज्ञात कर लेना चाहिए।
(2.)मध्यका (Median) की गणना करना:(i)अवर्गीकृत या व्यक्तिगत अथवा सतत चर श्रेणी में मूल्यों को आरोही (अथवा अवरोही) क्रम में रखना आवश्यक होता है।खण्डित श्रेणी प्राय:आरोही या अवरोही क्रम में दी हुई होती है।यदि नहीं है तो उसे भी रख लेना चाहिए।
(ii)खण्डित चर में संचयी आवृत्तियाँ ‘से कम’ ज्ञात करना चाहिए।
(iii)मध्यका हेतु यह आवश्यक नहीं है कि विभिन्न वर्गों के वर्गान्तर समान हों।
(iv)समावेशी श्रेणी को अपवर्जी श्रेणी में परिवर्तन करना आवश्यक होता है।इसी प्रकार विभाजन मूल्यों (यथा चतुर्थक, दशमक,दशमक आदि) आदि का निर्धारण करेंगे।

Also Read This Article:-How to Find Mean Mode and Median?

5.अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अज्ञात आवृत्ति कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find missing frequency?):

उत्तर:यदि प्रश्न में किसी मूल्य की आवृत्ति ज्ञात न हो किन्तु श्रेणी का समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक दे रखे हों तो इनके सूत्र में दिए हुए मूल्य को रखकर अज्ञात आवृत्ति या अज्ञात आवृत्तियों को ज्ञात किया जा सकता है।

प्रश्न:2.बहुलक (भूयिष्ठक) की गणना कैसे करते हैं? (How do you calculate mode?):

उत्तर:(i)व्यक्तिगत श्रेणी में निरीक्षण द्वारा सबसे अधिक बार आया हुआ चर बहुलक होता है।
(ii)समावेशी सतत चर है तो उसे अपवर्जी चर में परिवर्तित करना आवश्यक है।
(iii)सभी वर्गों के अन्तर समान होने चाहिए।यदि असमान हैं तो उन्हें संशोधन कर समान बना लें।यदि सभी वर्गों को समान बनाना सम्भव नहीं है तो असमान वर्गों के आधार पर ही बहुलक का निर्धारण कर लें।

प्रश्न:3.समान्तर माध्य में अज्ञात मूल्य कैसे ज्ञात किया जाता है? (How is missing value determined in arithmetic mean?):

उत्तर:समान्तर माध्य का महत्त्वपूर्ण गुण यह है कि यदि \bar{X},N और \sum X में से कोई दो मान ज्ञात हों तो तीसरा मान सूत्र की सहायता से ज्ञात किया जा सकता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?),मध्यका में अज्ञात आवृत्तियाँ (Missing Frequencies in Median) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें?
(How to Find Missing Frequencies?)

How to Find Missing Frequencies?

अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?)किसी आवृत्ति श्रेणी में यदि मध्यका
और बहुलक के मान दिए हों और कुछ आवृत्तियाँ अज्ञात हों तो M और Z के सूत्रों का प्रयोग करके ज्ञात आवृत्तियों
की सहायता से अज्ञात आवृत्तियाँ ज्ञात की जा सकती है।

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