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Circumference and Area of the Circle

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1 1.वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (Circumference and Area of the Circle,Circumference and area of circle)-

1.वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (Circumference and Area of the Circle,Circumference and area of circle)-

वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (Circumference and Area of the Circle) में वृत्त और वृत्ताकार आकृतियों की लंबाई और क्षेत्रफल का अध्ययन करेंगे।

(1.)वृत्त की परिधि (Circumference of a Circle), वृत्त की परिधि का अर्थ (Circumference of circle meaning)-

वृत्त एक समतल ज्यामितीय आकृति है जिसका प्रत्येक बिंदु उसी समतल के एक निश्चित बिन्दु से सदैव समान अचर दूरी पर रहता है।यह निश्चित बिन्दु वृत्त का केंद्र है और अचर दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहते हैं।त्रिज्या का दो गुना व्यास होता है।वृत्त का एक चक्कर लगाने पर चलित दूरी वृत्त का परिमाप या परिधि कहलाती है।चित्र में वृत्त का केंद्र O है और केंद्र के चारों ओर एक गहरी गोल रेखा खींची गई है वह वृत्त की परिधि है।

परिधि पर स्थित दो बिन्दुओं A और B को मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत्त के केंद्र O से गुजरता है अतः OA त्रिज्या और AB वृत्त का व्यास कहलाता है।वृत्त की त्रिज्या को अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर r से दर्शाते हैं।

चित्र में एक वृत्ताकार चकती में एक वृत्ताकार चकती की रिम पर एक बिंदु C लेकर एक समतल पृष्ठ पर इस प्रकार रखते हैं बिंदु C पृष्ठ की रेखा के बिंदु को स्पर्श करें।अब समतल पृष्ठ पर चकती को सावधानीपूर्वक इस प्रकार लुढ़काया कि बिन्दु C पुनः समतल को बिंदु B पर स्पर्श करता है।यदि रेखाखंड AB की लंबाई को नापें तो यह चकती की परिधि के बराबर प्राप्त होती है।यहां यह उल्लेखनीय है कि वृत्त और वृत्त की परिधि समानार्थी नहीं है।वृत्त समतल में बनी एक आकृति है जबकि वृत्त की परिधि एक लंबाई है।
किसी भी वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात एक निश्चित अचर राशि होती है।इस अनुपात की अचर राशि को ग्रीक अक्षर π द्वारा प्रदर्शित करते हैं।
अतः \pi=\frac {\text {परिधि}}{\text { व्यास }} \\ \text { परिधि }=\pi \times व्यास \\=\pi \times 2r \\ =2 \pi r
महान् भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट ने (499 A.D.) ने π का सन्निकट मान दिया था।उन्होंने ज्ञात किया कि ऐसे वृत्त की परिधि 62,832 इकाई है जिसका व्यास 20,000 इकाई है। इस प्रकार \pi=3.1416 (लगभग) दशमलव के 4 अंकों तक हमें ज्ञात होता है। महान् गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजम् (1887-1928) की एक सर्वसमिका का उपयोग करके गणितज्ञों ने π का मान दशमलव के लाखों अंक तक निकालने में सफलता प्राप्त की है।π एक अपरिमेय संख्या है ,अतः इसका दशमलव में निरूपण अनावर्त (non-repeating) और अनवसानी (non terminating) है। व्यावहारिक रूप में π का सन्निकट \frac {22}{7} मान या 3.14 लेते हैं।

(2.) वृत्त का क्षेत्रफल (Area of a Circle),एक वृत्त का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? (How to find the area of a circle)-

किसी वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए के वृत्त के अंतर्गत एक n भुजाओं वाले समबहुभुज की रचना करते हैं। चित्र में वृत्त का केंद्र O है और ABCDEFG…. समबहुभुज है। समबहुभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र O से मिलाने पर सर्वांगसम त्रिभुज प्राप्त होते हैं।वृत्त के केंद्र O से भुजा AB पर लम्ब OP डाला।

समबहुभुज का क्षेत्रफल=n× \triangle AOB \text { का क्षेत्रफल } \\ n \times \frac {1}{2} \times AB \times OP \\ \frac {1}{2}  \times OP \times (n.AB ) \\ \frac {1}{2}  \times OP \times \text { (समबहुभुज का परिमाप) }
अब यदि समबहुभुज की भुजाओं की संख्या बढ़ाते जाए तो सीमांत स्थिति में बहुभुज की प्रत्येक भुजा वृत्त की त्रिज्या होगी। समबहुभुज का परिमाप वृत्त की परिधि के बराबर होगा।
वृत्त का क्षेत्रफल=\frac {1}{2} \times r \times \text { (वृत्त की परिधि) } \\=\frac {1}{2} \times r \times (2 \pi r) \\ =\pi r^{2}
अतःवृत्त का क्षेत्रफल (Area of Circle)=\pi r^{2}
वृत्त का व्यास वृत्त को दो समान भागों में विभाजित करता है।अतः अर्द्धवृत्त का परिमाप=\pi r +2r
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल=\frac {1}{2} \pi r^{2}

(3.)वलयिका का क्षेत्रफल (Area of Annullus)-

चित्र में एक वलयिका का केंद्र O है और जिसकी बाह्य r_{1} \text { और } r_{2} (r_{1}>r_{2}) अन्त:त्रिज्याएं क्रमशः r_{1} \text { और } r_{2} है।

वलयिका का क्षेत्रफल=दोनों वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल
=बड़े वृत्त का क्षेत्रफल-छोटे वृत्त का क्षेत्रफल

=\pi r_{1}^{2}-\pi r_{2}^{2} \\ \pi (r_{1}^{2}-r_{2}^{2}) \\ =\pi \times \text {(त्रिज्याओं के वर्गों का अंतर)} \\ \text {अतः वलयिका का क्षेत्रफल }=\pi (r_{1}^{2}-r_{2}^{2})
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2.वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल के उदाहरण (Circumference and Area of the Circle Examples)-

Example-1.एक वृत्त की त्रिज्या 3.5 सेमी है।वृत्त की परिधि तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution-वृत्त की त्रिज्या (r)=3.5 सेमी
वृत्त की परिधि =2 \pi r \\ 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 =22 सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल=\pi r^{2} \\ \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \\ 38.5 वर्ग सेमी
Example-2.एक वृत्त की परिधि 44 मीटर है।वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution-वृत्त की परिधि=2 \pi r \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r=44 \\r= \frac {44 \times 7 }{2 \times 22 } \\ r=7 \text { मीटर }
वृत्त का क्षेत्रफल=\pi r^{2} \\ \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \\=154 वर्ग मीटर
Example-3.एक अर्द्धवृत्ताकार प्लाॅट की त्रिज्या 21 मीटर है।इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution-r=21 मीटर
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल=\frac {1}{2} \pi r^{2} \\ \frac {1}{2} \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \\ =693 वर्ग मीटर
अर्द्धवृत्त का परिमाप=अर्द्धवृत्त की परिधि+अर्द्धवृत्त का व्यास =\pi r+2r \\ =\frac{22}{7} \times 21+2 \times 21 \\=66+42
=108 मीटर

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (Circumference and Area of the Circle,Circumference and area of circle) को समझ सकते हैं।
Example-4.100 चक्कर में एक स्कूटर का पहिया 88 मीटर की दूरी तय करता है।इस पहिये की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Solution-पहिए द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी=\frac {\text { चली गई दूरी }}{\text { चक्करों की संख्या }} \\= \frac { \text { 88 मीटर } }{100}  \\ =\frac { 88 \times 100 }{100}  \text { सेमी }
=88सेमी
पहिए द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी=वृत्त (पहिया) की परिधि
2 \pi r =88 \text { सेमी } \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r=88 \text { सेमी } \\ \Rightarrow r=\frac {88 \times 7}{2 \times 22} \\ \Rightarrow r=14 \text { सेमी }
Example-5.एक वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है।इसकी परिधि ज्ञात कीजिए।
Solution-प्लेट (वृत्त) का क्षेत्रफल=\pi r^{2} \\ \Rightarrow  \frac{22}{7} \times r^{2} =154 \\ \Rightarrow r^{2} =\frac{154 \times 7}{22} \\ \Rightarrow r^{2}=7 \times 7 \\ \Rightarrow r=\sqrt{7 \times 7} \\ \Rightarrow r=7 \text { सेमी }
प्लेट की परिधि=2 \pi r  \\ 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \\  =44 \text { सेमी }
Example-6.एक वृत्त की परिधि एक वर्ग के परिमाप के बराबर है।यदि वर्ग का क्षेत्रफल 484 वर्ग मीटर हो तो वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution-माना वर्ग की भुजा=x
वर्ग का क्षेत्रफल= \text { ( भुजा ) }^2 \\ \Rightarrow x^{2}=484 \\ \Rightarrow x=\sqrt{ 484 } \\ \Rightarrow x=22 \text { मीटर }
वृत्त की परिधि=वर्ग का परिमाप
2 \pi r=4 \times x \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r =4 \times 22 \\ \Rightarrow r=\frac {4 \times 22 \times 7 }{2 \times 22} \\ \Rightarrow r=14 \text { मीटर }
वृत्त का क्षेत्रफल=\pi r^{2} \\  \frac{22}{7} \times 14 \times 14 
=616 वर्ग मीटर

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (Circumference and Area of the Circle,Circumference and area of circle) को समझ सकते हैं।
Example-7.एक वृत्ताकार खेत पर ₹24 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ₹5280 है।इस क्षेत्र की 0.50 रुपए प्रति वर्ग मीटर की दर से जुताई कराई जानी है।खेत की जुताई का व्यय ज्ञात कीजिए।
Solution-बाड़ की लंबाई=\frac { \text { पूरा व्यय } }{ \text { दर } } = \frac {5280 }{24} \\ =220
खेत की परिधि=220 मीटर
2 \pi r=220 \\ \Rightarrow  2 \times \frac{22}{7} \times r =220 \\  \Rightarrow r= \frac {220 \times 7}{2 \times 22 } \\ \Rightarrow r =35 \text { मीटर }
अतः वृत्ताकार खेत की त्रिज्या(r)=35 मीटर
खेत(वृत्त) का क्षेत्रफल=\pi r^{2} \\  \frac{22}{7} \times 35 \times 35
=3850 वर्ग मीटर
1 वर्ग मीटर खेत की जुताई का खर्चा रुपए=0.50 रु
3850 वर्ग मीटर जुताई का खर्चा=3850×0.50
=₹1925
Example-8.एक वृत्ताकार घास के मैदान की त्रिज्या 35 मीटर है।इसके चारों ओर 7 मीटर चौड़ा मार्ग बना हुआ है। मार्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution-

मैदान की त्रिज्या r_{1}=35 मीटर
मार्ग की चौड़ाई=7 मीटर
r_{2}=मैदान की त्रिज्या-मार्ग की त्रिज्या
=35-7=28 मीटर
मार्ग का क्षेत्रफल=\pi (r_{1}^{2}-r_{2}^{2}) \\ =\frac{22}{7} [(35)^{2}-(28)^{2}] \\ =\frac{22}{7} [1225-784] \\ =\frac{22}{7} \times 441 \\=22 \times 63
=1386 वर्ग मीटर
Example-9.दो संकेंद्रीय वृत्तों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल होगा।
Solution-संकेन्द्रीय वृत्तों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल=\pi (r_{1}^{2}-r_{2}^{2}) \\ \pi (R^{2}-r^{2}) \\ \pi (R-r)(R+r)
Example-10.एक वृत्ताकार साइकिल वैलोड्रम की त्रिज्या 500 मीटर है।ज्ञात कीजिए कि एक साइकिल सवार द्वारा 22 किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए कितने चक्कर लगाने पड़ेंगे।
Solution-साइकिल वेलोड्रम की त्रिज्या (r)=500 मीटर
साइकिल वेलोड्रम की परिधि=2 \pi r \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 500= \\=\frac {22000 }{7} \text { मीटर }
साइकिल वेलोड्रम द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी=\frac {22000 }{7} \text { मीटर }
साइकिल सवार द्वारा तय की गई दूरी किलोमीटर=22किमी =22000 मीटर
चक्करों की संख्या=\frac { \text { तय की गई दूरी } }{ \text { एक चक्कर में तय की गई दूरी } } \\ \frac {22000 }{\frac {22000 }{7}}
=7चक्कर
Example-11.70 सेमी व्यास के पहिए वाली बस पहिये के 150 चक्कर लगाने पर कितने किलोमीटर दूर जाएगी।
Solution-पहिए द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी=पहिए (वृत्त) की परिधि
r=\frac {70 } {2} =35 \text { सेमी } \\ \Rightarrow 2 \times \pi \times r =2 \times \frac{22}{7} \times 35
=220 सेमी
पहिए द्वारा 150 चक्कर लगाने में तय की गई दूरी=150×220 सेमी
=33000 सेमी
=\frac {33000}{100 \times 1000 } \text { किलोमीटर }
=0.33 किमी
Example-12 यदि एक वृत्त का परिमाप एक वर्ग के परिमाप बराबर है तो उनके क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution-माना वृत्त की त्रिज्या=r,वर्ग की भुजा=x
वृत्त की परिधि=वर्ग का परिमाप

\Rightarrow 2 \times \pi \times r= 4 \times x \\ \Rightarrow \frac {r}{x}=\frac {4}{2 \pi} \\ \Rightarrow \frac {r}{x}=\frac {2}{ \pi} \\  \frac { \text { वृत्त का क्षेत्रफल}} { \text { वर्ग का क्षेत्रफल }}=\frac { \pi r^{2} } { x^{2} } \\ =\pi (\frac {r}{x})^{2} \\ =\pi (\frac {2}{\pi})^{2} \\ =\pi \times \frac {4}{\pi^{2}} \\ =\frac {4}{\pi} \\ =\frac {4 \times 7}{22} \\ =\frac {14}{11}
अतःअनुपात=14:11

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (Circumference and Area of the Circle,Circumference and area of circle) को समझ सकते हैं।
Example-13.किसी वृत्त की परिधि व त्रिज्या का अंतर 74 सेमी है।उस वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।उस वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution-वृत्त की परिधि-त्रिज्या=74
\Rightarrow  2 \pi r -r=74 \\ \Rightarrow  r(2 \pi-1) =74 \\ \Rightarrow  r(2 \times \frac {22}{7}-1) =74 \\ \Rightarrow r(\frac {44-7}{7})=74 \\ \Rightarrow r(\frac {37}{7})=74 \\ \Rightarrow r=\frac {74 \times 7}{37} \\ \Rightarrow r= 14 \text { सेमी }
Example-14.दी गई आकृति में AMPC त्रिज्या 14सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है।छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution-वृत्त की त्रिज्या (r)=14 सेमी

चतुर्थांश ABMC का क्षेत्रफल=\frac {1}{4} \pi r^{2} \\ =\frac {1}{4} \times  \frac {22}{7} \times 14^{2} \\ =\frac {1}{4} \times  \frac {22}{7} \times 14  \times 14
=154 वर्ग सेमी
समकोण त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल=\frac {1}{2} \times AC \times AB \\ [ \because  AB=AC=r=14 ] \\ \frac {1}{2} \times 14 \times 14
=98 वर्ग सेमी
समकोण त्रिभुज ABC में
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} \\ (14)^{2}+(14)^{2} \\ 196+196 \\ BC^{2}=392 \\ \Rightarrow BC=\sqrt{ 392} \\ \Rightarrow BC=14 \sqrt{ 2} \text { वर्ग सेमी }
अर्द्धवृत्त का व्यास=14 \sqrt{ 2} सेमी
अर्द्धवृत्त की त्रिज्या (R)= \frac { 14 \sqrt{ 2} }{2} \\ 7 \sqrt{ 2} \text { सेमी }
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल=\frac {1}{2} \pi r^{2} \\= \frac {1}{2} \times \frac {22}{7} \times7 \sqrt{ 2} \times 7 \sqrt{ 2} \\ \frac {22 \times 14 }{2}
=154 वर्ग सेमी
छायांकित भाग का क्षेत्रफल=अर्द्धावृत्त का क्षेत्रफल-चतुर्थांश ABMC का क्षेत्रफल + \triangle ABC का क्षेत्रफल
=154-154+98
=98 वर्ग सेमी
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (Circumference and Area of the Circle,Circumference and area of circle) को समझ सकते हैं।

3.वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल की समस्याएं (Circumference and Area of the Circle Problems)-

(1.)14 सेमी भुजा के वर्ग में बने अन्त: वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए।
( 2.)एक वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 3.5 मीटर है।पार्क के चारों ओर 1.4 मीटर चौड़ा फुटपाथ बना हुआ है। फुटपाथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(3.) त्रिज्या 8 सेमी वाले एक वृत्त के अंतर्गत खींचे जा सकने वाले वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(4.)दी गई आकृति में AB वृत्त का व्यास है ।AC=6 सेमी और BC=8 सेमी हो तो छांयाकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(5.)एक वाहन के पहिए की बाहरी त्रिज्या 42 सेमी है।पहिए के 15 चक्कर लगाने पर वह कितनी दूरी तय करेगा।
(6.)एक वृत्ताकार मैदान के छ: चक्कर लगाने पर एक धावक 1320 मीटर की दौड़ पूरी करता है। वृत्ताकार मैदान का व्यास ज्ञात कीजिए।
(7.)चित्र में अर्द्धवृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है।अर्द्धवृत्त में बने वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर (Answers):(1.)44 सेमी (2.)39.96 वर्ग मीटर (3.)128 वर्ग सेमी (4.)54.57 वर्ग सेमी (5.)3960 सेमी (6.)70 मीटर (7.)38.70 कोरोना वर्ग सेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (Circumference and Area of the Circle,Circumference and area of circle) को ठीक से समझा जा सकता है।

4.आप एक वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the area and circumference of a circle?),आप किसी वृत्त के क्षेत्रफल की गणना कैसे करते हैं? (How do you calculate area of a circle?),एक वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि कैसे ज्ञात करें? (How to find the area and circumference of a circle?)-

किसी वृत्त की परिधि की गणना करने के लिए, वृत्त के व्यास को π (pi) से गुणा करें।परिधि की गणना π (14 = 3.14) के साथ 2 × त्रिज्या को गुणा करके भी की जा सकती है।
वृत्त की परिधि (Circumference of Circle): 2πr
अर्ध-वृत्त का क्षेत्रफल(Area of semi-circle): \frac {1}{2} \pi r^{2}
सर्कल का क्षेत्रफल (Area of circle) : \pi r^{2}
अर्ध-वृत्त की परिधि (Perimeter of semi-circle) : πr+2r

5. मैं किसी वृत्त की परिधि कैसे खोजूं? (How do I find circumference of a circle?),वृत्त की परिधि (Circumference of circle),परिधि सूत्र (Circumference formula)-

किसी वृत्त की परिधि की गणना करने के लिए, वृत्त के व्यास को π (pi) से गुणा करें।परिधि की गणना π (14 = 3.14) के साथ 2 × त्रिज्या को गुणा करके भी की जा सकती है।
वृत्त की परिधि (Circumference of Circle): 2πr

6.व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?
How to find the area of a circle with diameter?)-

Area of Circle= \pi \frac{ D^{2}}{4}
उपर्युक्त उदाहरणों, सवालों को हल करके तथा प्रश्नों के उत्तर द्वारा वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (Circumference and Area of the Circle,Circumference and area of circle) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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