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Trigonometric Identities Formula

1.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं सूत्र (Trigonometric Identities Formula),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities)-

  • त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं सूत्र (Trigonometric Identities Formula) तथा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) वह त्रिकोणमितीय सम्बन्ध होता है जो उनमें प्रयुक्त कोणों के उन सभी मानों के लिए सत्य हो जिन मानों पर प्रयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात परिभाषित है।
  • त्रिकोणमितीय अनुपातों में सभी सम्बन्ध त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) नहीं होती है जैसे \sin { \theta } =\cos { \theta } केवल एक त्रिकोणमितीय समीकरण है क्योंकि { \theta } यह के प्रत्येक मान के लिए सत्य नहीं है। निम्नलिखित तीन सर्वसमिकाएं ही मूलभूत सर्वसमिकाएं होती है।त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले व्यंजकों और अन्य दी गई सर्वसमिकाओं को सरल करने के लिए इनका उपयोग किया जाता है।
  • \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1\\ 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } \\ 1+\cot ^{ 2 }{ \theta } ={ cosec }^{ 2 }\theta
  • त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को सिद्ध करते समय निम्न बिन्दुओं को ध्यान में रखना चाहिए-
  • (1.) सर्वसमिका में जटिल पक्ष की तरफ से प्रारम्भ करते हैं तथा मूलभूत सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए दूसरा पक्ष ज्ञात करते हैं।
  • (2.)यदि सर्वसमिका में कई त्रिकोणमितीय अनुपात विद्यमान हों तो सभी अनुपातों को sine तथा cosine को व्यक्त करना सुविधाजनक होता है।
  • (3.)करणी चिन्ह (Redical sign) यदि कोई हो तो यथासम्भव हटाना चाहिए।
  • (4.)कुछ समस्याओं में परिमेयकरण का प्रयोग भी किया जा सकता है।
  • (5.)यदि सर्वसमिका के एक पक्ष को सुगमता से दूसरे पक्ष में रूपान्तरित नहीं किया जा सकता हो तो दोनों पक्षों को यथासम्भव सरल करके एक ही राशि अथवा पद के समानक सम (Identically Equal) सिद्ध कर देना चाहिए।
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2.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं सूत्र (Trigonometric Identities Formula),8 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं क्या हैं? (What are the 8 trigonometric identities?)-
मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Basic Trigonometric Identities Formula)-

  • (1.)व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Reciprocal Trigonometric Identities),6 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं क्या हैं? (What are the 6 trigonometric identities?)-

(1)\sin { \theta } =\frac { 1 }{ cosec\theta } \\ (2)cosec\theta =\frac { 1 }{ \sin { \theta } } \\ \sin { \theta } { cosec\theta } =1\\ (3)\cos { \theta } =\frac { 1 }{ \sec { \theta } } \\(4) \sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } }  \\ \cos { \theta } { \sec { \theta } }=1 \\ (5)\tan { \theta } =\frac { 1 }{ \cot { \theta } } \\(6) \cot { \theta } =\frac { 1 }{ \tan { \theta } } \\ \tan { \theta } { \cot { \theta } }=1

  • (2.)भागफल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Quotient Trigonometric Identities),त्रिकोणमितीय सर्वसमिका क्या है? (What is trigonometric identity?)-

 (1)tanθ=\frac { sinθ }{ cosθ } \\ (2)cotθ=\frac { cosθ }{ sinθ }

  • (3.) पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Pythagorean Trigonometric Identities),3 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं क्या हैं? (What are the 3 trigonometric identities?)-

(1)\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1\\ \cos ^{ 2 }{ \theta } =1-\sin ^{ 2 }{ \theta } \\ \sin ^{ 2 }{ \theta } =1-\cos ^{ 2 }{ \theta } \\ (2)1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } \\ \sec ^{ 2 }{ \theta } -\tan ^{ 2 }{ \theta } =1\\ \tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } -1\\ (3)1+\cot ^{ 2 }{ \theta } ={ cosec }^{ 2 }\theta \\ \cot ^{ 2 }{ \theta } ={ cosec }^{ 2 }\theta -1\\ { cosec }^{ 2 }\theta -\cot ^{ 2 }{ \theta } =1

3.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं सूत्र के उदाहरण (Trigonometric Identities Formula Examples),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities),कक्षा 10 के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities for class 10)-

निम्न सर्वसमिकाओं को सिद्ध कीजिए:
(Prove the following identities:)
Example-1.(1-\sin ^{ 2 }{ \theta } )\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sin ^{ 2 }{ \theta }
Solution(1-\sin ^{ 2 }{ \theta } )\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sin ^{ 2 }{ \theta } \\ L.H.S=(1-\sin ^{ 2 }{ \theta } )\tan ^{ 2 }{ \theta } \\ =\cos ^{ 2 }{ \theta } .\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } }
[\because \cos ^{ 2 }{ \theta } =1-\sin ^{ 2 }{ \theta } ,\tan { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } सर्वसमिका से]

=\sin ^{ 2 }{ \theta } =R.H.S

Example-2.{ (\sin { \theta } +\cos { \theta } ) }^{ 2 }+{ (\sin { \theta } -\cos { \theta } ) }^{ 2 }=2
Solution{ (\sin { \theta } +\cos { \theta } ) }^{ 2 }+{ (\sin { \theta } -\cos { \theta } ) }^{ 2 }=2\\ L.H.S={ (\sin { \theta } +\cos { \theta } ) }^{ 2 }+{ (\sin { \theta } -\cos { \theta } ) }^{ 2 }\\ =\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } +2\sin { \theta } \cos { \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } -2\sin { \theta } \cos { \theta }
[ \because { (a+b) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2ab,{ (a-b) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-2ab सर्वसमिका से]
=2\sin ^{ 2 }{ \theta } +2\cos ^{ 2 }{ \theta } \\ =2(\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } )\\ =2(1)[ \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1 सर्वसमिका से]

=2=R.H.S

Example-3.{ cosec }^{ 6 }\theta -\cot ^{ 6 }{ \theta } =1+3{ cosec }^{ 2 }\theta \cot ^{ 2 }{ \theta }
Solution-{ cosec }^{ 6 }\theta -\cot ^{ 6 }{ \theta } =1+3{ cosec }^{ 2 }\theta \cot ^{ 2 }{ \theta } \\ L.H.S={ cosec }^{ 6 }\theta -\cot ^{ 6 }{ \theta } \\ ={ ({ cosec }^{ 2 }\theta ) }^{ 3 }-{ (\cot ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 3 }\\ =({ cosec }^{ 2 }\theta -\cot ^{ 2 }{ \theta } )[{ ({ cosec }^{ 2 }\theta ) }^{ 2 }+{ (\cot ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 2 }+{ cosec }^{ 2 }\theta \cot ^{ 2 }{ \theta } ]
[ { a }^{ 3 }-{ b }^{ 3 }=(a-b)({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+ab) सर्वसमिका से]

=(1)[{ ({ cosec }^{ 2 }\theta ) }^{ 2 }+{ (\cot ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 2 }-2{ cosec }^{ 2 }\theta \cot ^{ 2 }{ \theta } +3{ cosec }^{ 2 }\theta \cot ^{ 2 }{ \theta } ]
2{ cosec }^{ 2 }\theta \cot ^{ 2 }{ \theta }  जोड़ने एवं घटाने पर
[\because { cosec }^{ 2 }\theta -\cot ^{ 2 }{ \theta } =1 सर्वसमिका से]

=[{ ({ cosec }^{ 2 }\theta -\cot ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 2 }+3{ cosec }^{ 2 }\theta \cot ^{ 2 }{ \theta } ]

[ \because { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-2ab={ (a-b) }^{ 2 } सर्वसमिका से]

[\because { cosec }^{ 2 }\theta -\cot ^{ 2 }{ \theta } =1]\\ =1+3{ cosec }^{ 2 }\theta \cot ^{ 2 }{ \theta } =R.H.S.
Example-4.\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos { \theta } +\tan { \theta } \sin { \theta } +\cos ^{ 3 }{ \theta } =\sec { \theta }
Solution\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos { \theta } +\tan { \theta } \sin { \theta } +\cos ^{ 3 }{ \theta } =\sec { \theta } \\ L.H.S=\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos { \theta } +\tan { \theta } \sin { \theta } +\cos ^{ 3 }{ \theta } \\ =\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos { \theta } +\cos ^{ 3 }{ \theta } +\tan { \theta } \sin { \theta } \\ =\cos { \theta } (\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } )+\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } \sin { \theta }
[\tan { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } सर्वसमिका से]

=\cos { \theta } (1)+\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } }
[\because \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1 सर्वसमिका से]

=\frac { \cos { \theta } }{ 1 } +\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } \\ =\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } \\ =\frac { 1 }{ \cos { \theta } }
[\because \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1 सर्वसमिका से]
=\sec { \theta } [\sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } }  सर्वसमिका से]

=R.H.S
Example-5.\frac { cosec\theta }{ cosec\theta -1 } +\frac { cosec\theta }{ cosec\theta +1 } =\sec { \theta }
Solution\frac { cosec\theta }{ cosec\theta -1 } +\frac { cosec\theta }{ cosec\theta +1 } =\sec { \theta } \\ L.H.S=\frac { cosec\theta }{ cosec\theta -1 } +\frac { cosec\theta }{ cosec\theta +1 } \\ =cosec\theta [\frac { 1 }{ cosec\theta -1 } +\frac { 1 }{ cosec\theta +1 } ]\\ =cosec\theta [\frac { cosec\theta +1+cosec\theta -1 }{ (cosec\theta -1)(cosec\theta +1) } ]\\ =cosec\theta [\frac { 2cosec\theta }{ (cosec\theta -1)(cosec\theta +1) } ]\\ =\frac { { 2cosec }^{ 2 }\theta }{ { cosec }^{ 2 }\theta -1 } \\ =\frac { \frac { 2 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } }{ \cot ^{ 2 }{ \theta } }
[cosec\theta =\frac { 1 }{ \sin { \theta } } ,1+\cot ^{ 2 }{ \theta } ={ cosec }^{ 2 }\theta  सर्वसमिका से]
=\frac { \frac { 2 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } }{ \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } } [\cot { \theta } =\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } }  सर्वसमिका से]
=\frac { 2 }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } } \\ =2\sec ^{ 2 }{ \theta } [\sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } }  सर्वसमिका से]

=R.H.S

Example-6.\frac { \sin { \theta } }{ 1+\cos { \theta } } +\frac { 1+\cos { \theta } }{ \sin { \theta } } =2cosec\theta
Solution\frac { \sin { \theta } }{ 1+\cos { \theta } } +\frac { 1+\cos { \theta } }{ \sin { \theta } } =2cosec\theta \\ L.H.S=\frac { \sin { \theta } }{ 1+\cos { \theta } } +\frac { 1+\cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \\ =\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } +{ (1+\cos { \theta } ) }^{ 2 } }{ \sin { \theta } (1+\cos { \theta } ) } \\ =\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } +1+2\cos { \theta } }{ \sin { \theta } (1+\cos { \theta } ) } \\ =\frac { 1+1+2\cos { \theta } }{ \sin { \theta } (1+\cos { \theta } ) } [\because \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1]\\ =\frac { 2+2\cos { \theta } }{ \sin { \theta } (1+\cos { \theta } ) } \\ =\frac { 2(1+\cos { \theta } ) }{ \sin { \theta } (1+\cos { \theta } ) } \\ =\frac { 2 }{ \sin { \theta } } \\ =2cosec\theta [\frac { 1 }{ \sin { \theta } } =cosec\theta सर्वसमिका से]

Example-7.\sqrt { \frac { 1-\sin { \theta } }{ 1+\sin { \theta } } } =\frac { 1-\sin { \theta } }{ \cos { \theta } }
Solution\sqrt { \frac { 1-\sin { \theta } }{ 1+\sin { \theta } } } =\frac { 1-\sin { \theta } }{ \cos { \theta } } \\ L.H.S=\sqrt { \frac { 1-\sin { \theta } }{ 1+\sin { \theta } } }

अंश व हर को 1-\sin { \theta } से गुणा करने पर-

\sqrt { \frac { 1-\sin { \theta } }{ 1+\sin { \theta } } \times \frac { 1-\sin { \theta } }{ 1-\sin { \theta } } } \\ =\sqrt { \frac { { (1-\sin { \theta } ) }^{ 2 } }{ 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } } } \\ =\frac { 1-\sin { \theta } }{ \sqrt { 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } } } \\ =\frac { 1-\sin { \theta } }{ \sqrt { \cos ^{ 2 }{ \theta } } } [\because 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } =\cos ^{ 2 }{ \theta } सर्वसमिका से]

=\frac { 1-\sin { \theta } }{ \cos { \theta } } =R.H.S
Example-8.\sqrt { \frac { \sec { \theta } +1 }{ \sec { \theta } -1 } } =\cot { \theta } +cosec\theta
Solution\sqrt { \frac { \sec { \theta } +1 }{ \sec { \theta } -1 } } =\cot { \theta } +cosec\theta \\ L.H.S=\sqrt { \frac { \sec { \theta } +1 }{ \sec { \theta } -1 } }
अंश व हर को \sec { \theta } +1 से गुणा करने पर-
=\sqrt { \frac { (\sec { \theta } +1) }{ (\sec { \theta } -1) } \times \frac { (\sec { \theta } +1) }{ (\sec { \theta } +1) } } \\ =\sqrt { \frac { { (\sec { \theta } +1) }^{ 2 } }{ \sec ^{ 2 }{ \theta } -1 } } \\ =\frac { \sec { \theta } +1 }{ \sqrt { \sec ^{ 2 }{ \theta } -1 } } \\ =\frac { \sec { \theta } +1 }{ \sqrt { \tan ^{ 2 }{ \theta } } } [\because \sec ^{ 2 }{ \theta } -1=\tan ^{ 2 }{ \theta }  सर्वसमिका से]
=\frac { \sec { \theta } +1 }{ \tan { \theta } } \\ =\frac { \frac { 1 }{ \cos { \theta } } +1 }{ \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } } [\because \sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } ,\tan { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } सर्वसमिका से]
=\frac { 1+\cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \\ =\frac { 1 }{ \sin { \theta } } +\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \\ =cosec\theta +\cot { \theta } [\because \frac { 1 }{ \sin { \theta } } =cosec\theta ,\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } =\cot { \theta }  सर्वसमिका से ]

=R.H.S
Example-9.(1+\cot { \theta } -cosec\theta )(1+\tan { \theta } +\sec { \theta } )=2
Solution(1+\cot { \theta } -cosec\theta )(1+\tan { \theta } +\sec { \theta } )=2\\ L.H.S=(1+\cot { \theta } -cosec\theta )(1+\tan { \theta } +\sec { \theta } )\\ =(1+\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } -\frac { 1 }{ \sin { \theta } } )(1+\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } +\frac { 1 }{ \cos { \theta } } )
[\cot { \theta } =\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } ,\tan { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } }  सर्वसमिका से]
=(\frac { \sin { \theta } +\cos { \theta } -1 }{ \sin { \theta } } )(\frac { \cos { \theta } +\sin { \theta } +1 }{ \cos { \theta } } )\\ =\frac { { (\sin { \theta } +\cos { \theta } ) }^{ 2 }-{ 1 }^{ 2 } }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } [(a+b)(a-b)={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } सर्वसमिका से]
=\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } +2\sin { \theta } \cos { \theta } -1 }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } [\because \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1 सर्वसमिका से]

=\frac { 2\sin { \theta } \cos { \theta } }{ \sin { \theta } \cos { \theta } } \\ =2=R.H.S
Example-10.\cos ^{ 4 }{ \theta } -\sin ^{ 4 }{ \theta } =1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } 
Solution\cos ^{ 4 }{ \theta } -\sin ^{ 4 }{ \theta } =1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } \\ L.H.S=\cos ^{ 4 }{ \theta } -\sin ^{ 4 }{ \theta } \\ ={ (\cos ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 2 }-{ (\sin ^{ 2 }{ \theta } ) }^{ 2 }\\ =(\cos ^{ 2 }{ \theta } -\sin ^{ 2 }{ \theta } )(\cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } )
[\because { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }=(a+b)(a-b) सर्वसमिका से]
=\cos ^{ 2 }{ \theta } -\sin ^{ 2 }{ \theta } \\ =1-\sin ^{ 2 }{ \theta } -\sin ^{ 2 }{ \theta } [\cos ^{ 2 }{ \theta } =1-\sin ^{ 2 }{ \theta }  सर्वसमिका से]

=1-2\sin ^{ 2 }{ \theta } \\ =R.H.S
Example-11.\sec ^{ 2 }{ \theta } -{ cosec }^{ 2 }\theta =\tan ^{ 2 }{ \theta } -\cot ^{ 2 }{ \theta }
Solution\sec ^{ 2 }{ \theta } -{ cosec }^{ 2 }\theta =\tan ^{ 2 }{ \theta } -\cot ^{ 2 }{ \theta } \\ L.H.S=\sec ^{ 2 }{ \theta } -{ cosec }^{ 2 }\theta 
[1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } ,1+\cot ^{ 2 }{ \theta } ={ cosec }^{ 2 }\theta  सर्वसमिका से]

=1+\tan ^{ 2 }{ \theta } -1-\cot ^{ 2 }{ \theta } \\ =\tan ^{ 2 }{ \theta } -\cot ^{ 2 }{ \theta } =R.H.S

Example-12.\frac { \sin { A } -\sin { B } }{ \cos { A } +\cos { B } } +\frac { \cos { A } -\cos { B } }{ \sin { A } +\sin { B } } =0
Solution\frac { \sin { A } -\sin { B } }{ \cos { A } +\cos { B } } +\frac { \cos { A } -\cos { B } }{ \sin { A } +\sin { B } } =0\\ L.H.S=\frac { \sin { A } -\sin { B } }{ \cos { A } +\cos { B } } +\frac { \cos { A } -\cos { B } }{ \sin { A } +\sin { B } } \\ =\frac { (\sin { A } -\sin { B } )(\sin { A } +\sin { B } )+(\cos { A } -\cos { B } )(\cos { A } +\cos { B } ) }{ (\cos { A } +\cos { B } )(\sin { A } +\sin { B } ) } \\ =\frac { \sin ^{ 2 }{ A } -\sin ^{ 2 }{ B } +\cos ^{ 2 }{ A } -\cos ^{ 2 }{ B } }{ (\cos { A } +\cos { B } )(\sin { A } +\sin { B } ) }
[(a+b)(a-b)={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } सर्वसमिका से]
=\frac { \sin ^{ 2 }{ A } +\cos ^{ 2 }{ A } -(\sin ^{ 2 }{ B } +\cos ^{ 2 }{ B } ) }{ (\cos { A } +\cos { B } )(\sin { A } +\sin { B } ) } \\ =\frac { 1-1 }{ (\cos { A } +\cos { B } )(\sin { A } +\sin { B } ) } [\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1 सर्वसमिका से]

=\frac { 0 }{ (\cos { A } +\cos { B } )(\sin { A } +\sin { B } ) } \\ =0=R.H.S
Example-13.\sin { \theta } =\frac { \tan { \theta } }{ \sqrt { 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } } }
Solution\sin { \theta } =\frac { \tan { \theta } }{ \sqrt { 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } } } \\ R.H.S=\frac { \tan { \theta } }{ \sqrt { 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } } } \\ =\frac { \tan { \theta } }{ \sqrt { \sec ^{ 2 }{ \theta } } } 
[\because 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta }  सर्वसमिका से]
=\frac { \tan { \theta } }{ \sec { \theta } } \\ =\frac { \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } }{ \frac { 1 }{ \cos { \theta } } } [\because \tan { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } ,\sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } }  सर्वसमिका से]

=\sin { \theta } =L.H.S
Example-14.\frac { 1+\sec { \theta } }{ \sec { \theta } } =\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 1-\cos { \theta } }
Solution\frac { 1+\sec { \theta } }{ \sec { \theta } } =\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 1-\cos { \theta } } \\ L.H.S=\frac { 1+\sec { \theta } }{ \sec { \theta } } \\ =\frac { 1+\frac { 1 }{ \cos { \theta } } }{ \frac { 1 }{ \cos { \theta } } }
[\sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } सर्वसमिका से]

=\frac { \frac { 1+\cos { \theta } }{ \cos { \theta } } }{ \frac { 1 }{ \cos { \theta } } } \\ =\frac { 1+\cos { \theta } }{ 1 }
अंश व हर को 1-\cos { \theta }  से गुणा करने पर-

=\frac { (1+\cos { \theta } )(1-\cos { \theta } ) }{ 1-\cos { \theta } } \\ =\frac { 1-\cos ^{ 2 }{ \theta } }{ 1-\cos { \theta } }
[ (a+b)(a-b)={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } सर्वसमिका से]
=\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 1-\cos { \theta } } [1-\cos ^{ 2 }{ \theta } =\sin ^{ 2 }{ \theta } सर्वसमिका से]

=R.H.S.

  • उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं सूत्र (Trigonometric Identities Formula),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को समझ सकते हैं।

4.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं सूत्र की समस्याएं (Trigonometric Identities Formula Problems),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कक्षा 10 (Trigonometric Identities class 10)-

निम्न सर्वसमिकाओं को सिद्ध कीजिए:
(Prove the following identities:)

(1)\cos { \theta } \tan { \theta } =\sin { \theta } \\ (2)\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } +\sin { \theta } =cosec\theta \\ (3)\frac { \cos { \theta } }{ 1-\tan { \theta } } +\frac { \sin { \theta } }{ 1-\cot { \theta } } =\sin { \theta } +\cos { \theta } \\ (4)\frac { \sin { \theta } }{ 1-\cos { \theta } } =\frac { 1+\cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \\ (5)\frac { \sqrt { { cosec }^{ 2 }\theta -1 } }{ cosec\theta } =\cos { \theta } \\ (6)\sqrt { \sec ^{ 2 }{ A } +{ cosec }^{ 2 }A } =\tan { A } +\cot { A } \\ (7)\frac { \tan { A } +\sec { A } -1 }{ \tan { A } -\sec { A } +1 } =\tan { A } +\sec { A } \\ (8)\frac { \tan { A } +\tan { B } }{ \cot { A } +\cot { B } } =\tan { A } \tan { B } \\ (9){ (\sin { A } +cosecA) }^{ 2 }+{ (\cos { A } +\sec { A } ) }^{ 2 }=\tan ^{ 2 }{ A } +\cot ^{ 2 }{ A } +7\\ (10)\frac { \tan { A } +\sec { A } -1 }{ \tan { A } -\sec { A } +1 } =\frac { 1+\sin { A } }{ \cos { A } }

  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं सूत्र (Trigonometric Identities Formula),त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं (Trigonometric Identities) को ठीक से समझ सकते हैं।

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