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Quadratic Equation Class 10

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1.द्विघात समीकरण (Quadratic Equation Class 10),द्विघात समीकरण हिन्दी में (Quadratic Equation in hindi):

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation Class 10) में द्विघात का शाब्दिक अर्थ है वर्ग (Square) तथा द्विघातीय शब्द का आशय वर्ग के समान से है।अतः वह समीकरण जिसमें अज्ञात राशियों (चर) की उच्चतम घात (Index) 2 हो, द्विघात अथवा वर्ग समीकरण कहलाती है।
जब हम बहुपद को शून्य के तुल्य कर देते हैं तो हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त हो जाती है।वास्तविक जीवन से सम्बन्धित कई समस्याओं को हल करने में हम द्विघात समीकरणों का प्रयोग करते हैं।जैसे: a x^{2}+b x+c=0,a \neq 0
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2.द्विघात समीकरण के साधित उदाहरण (Quadratic Equation Class 10 Solved Examples):

Example:1.जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i)(x+1)^{2}=2(x-3)
Solution: (x+1)^{2}=2(x-3) \\ \Rightarrow x^{2}+2 x+1=2 x-6 \\ \Rightarrow x^{2}+7=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
(ii)x^{2}-2 x=(-2)(3-x)
Solution:x^{2}-2 x=(-2)(3-x) \\ \Rightarrow x^{2}-2 x=-6+2 x \\ \Rightarrow x^{2}-4 x+6=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
(iii)(x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)
Solution:(x-2)(x+1)=(x-1)(x+3) \\ \Rightarrow x^{2}+x-2 x-2=x^{2}+3 x-x-3 \\ \Rightarrow-x-2 x-2+3=0 \\ \Rightarrow-3 x+1=0 \\ \Rightarrow 3 x-1=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(iv)(x-3)(2x+1)=x(x+5)
Solution:(x-3)(2x+1)=x(x+5)

2 x^{2}+x-6 x-3=x^{2}+5 x \\ \Rightarrow 2 x^{2}-x^{2}-5 x-5 x-3=0 \\ \Rightarrow x^{2}-10 x-3=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
(v)(2x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)
Solution:(2 x-1)(x-3)=(x+5)(x-1) \\ \Rightarrow 2 x^{2}-6 x-x+3=x^{2}-x+5 x-5 \\ \Rightarrow 2 x^{2}-x^{2}-6 x-x+x-5 x+3+5=0 \\ \Rightarrow x^{2}-11 x+8=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
(vi)x^{2}+3 x+1=(x-2)^{2}
Solution:x^{2}+3 x+1=(x-2)^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+3 x+1=x^{2}-4 x+4 \\ \Rightarrow x^{2}-x^{2}+3 x+4 x+1-4=0 \\ \Rightarrow 7 x-3=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(vii)(x+2)^{3}-2 x\left(x^{2}-1\right)
Solution:(x+2)^{3}=2 x\left(x^{2}-1\right) \\ \Rightarrow x^{3}+6 x^{2}+12 x+8=2 x^{3}-2 x \\ \Rightarrow x^{3}+6 x^{2}+12 x+8-2 x^{3}+2 x=0 \\ \Rightarrow-x^{3}+6 x^{2}+14 x+8=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(viii) x^{3}-4 x^{2}-x+1=(x-2)^{3}
Solution:x^{3}-4 x^{2}-x+1=(x-2)^{3} \\ x^{3}-4 x^{2}-x+1=(x-2)^{3} \\ \Rightarrow x^{3}-4 x^{2}-x+1=x^{3}-6 x^{2}+12 x-8 \\ \Rightarrow x^{3}-x^{3}-4 x^{2}+6 x^{2}-x-12 x+1+8=0 \\ \Rightarrow 2 x^{2}-13 x+9=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
(ix)x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=2
Solution:x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=2 \\ \Rightarrow \frac{x^{4}+1}{x^{2}}=2 \\ \Rightarrow x^{4}+1=2 x^{2} \\ \Rightarrow x^{4}-2 x^{2}+1=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(x)x+\frac{3}{x}=x^{2}
Solution:x+\frac{3}{x}=x^{2} \\ \Rightarrow \frac{x^{2}+3}{x}=x^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+3=x^{3} \\ \Rightarrow x^{3}-x^{2}-3=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(xi)x^{2}+2 \sqrt{x}-3=0
Solution:x^{2}+2 \sqrt{x}-3=0
यह a x^{2}+b x+c के प्रकार का नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

Example:2.निम्न स्थितियों में द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए:
(i)एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 वर्गमीटर है।क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है।हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
Solution:माना कि भूखण्ड की चौड़ाई=x
भूखण्ड की लम्बाई =2x+1
भूखण्ड का क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई

\Rightarrow(2 x+1) x=528 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+x=528 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+x-528=0
यह अभीष्ट द्विघात समीकरण है।
(ii)दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है।हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
Solution:माना दो धनात्मक पूर्णांक=x,x+1
पूर्णांकों का गुणनफल=x(x+1)=306

\Rightarrow x^{2}+x=306 \\ \Rightarrow x^{2}+x-306=0
यह अभीष्ट द्विघात समीकरण है।
(iii)रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है।उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी।हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
Solution:माना रोहन की वर्तमान आयु=x
रोहन की माँ की वर्तमान आयु=x+26
तीन वर्ष पश्चात् आयु:
रोहन की आयु=x+3
रोहन की माँ की आयु=x+26+3=x+29
तीन वर्ष पश्चात रोहन और उसकी माँ की आयु का गुणनफल=(x+3)(x+29)

\Rightarrow(x+3)(x+29)=360 \\ \Rightarrow x^{2}+29 x+3 x+87=360 \\ \Rightarrow x^{2}+32 x+87-360=0 \\ \Rightarrow x^{2}+32x-273=0
यह अभीष्ट द्विघात समीकरण है।
(iv)एक रेलगाड़ी 480km की दूरी समान चाल से तय करती है।यदि इसकी चाल 8km/h कम होती तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती।हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
Solution:माना रेलगाड़ी की चाल=x किमी/घण्टा
दूरी=480km
रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय=\frac{\text{तय की गई दूरी}}{\text{चाल}}\\=\frac{480}{x} घण्टे
रेलगाड़ी की चाल 8km/h कम होने पर परिवर्तित चाल=x-8 किमी/घण्टा
रेलगाड़ी द्वारा परिवर्तित चाल से लिया गया समय=\frac{480}{x-8}
प्रश्नानुसार: \frac{480}{x-8}-\frac{480}{x} =3\\ \Rightarrow \frac{480 x-480(x-8)}{x(x-8)}=3 \\ \Rightarrow \frac{480 x-480 x+3840}{x^{2}-8 x}=3 \\ \Rightarrow 3840=3\left(x^{2}-8 x\right) \\ \Rightarrow \frac{3840}{3}=x^{2}-8x \\ \Rightarrow 1280=x^{2}-8 x \\ \Rightarrow x^{2}-8 x-1280=0
यह अभीष्ट द्विघात समीकरण है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात समीकरण (Quadratic Equation Class 10),द्विघात समीकरण हिन्दी में (Quadratic Equation in hindi) को समझ सकते हैं।

3.द्विघात समीकरण की समस्याएँ (Quadratic Equation Class 10 Problems):

(1.)जाँच कीजिए की निम्न द्विघात समीकरण हैं या नहीं:
(i) (x-2)^{3}+1=2 x-3 \\ (ii) x(2 x+3)=x^{2}+1 \\ (iii) x(x+1)+8=(x+2)(x-2) \\ (iv) (x+2)^{3}=x^{3}-4
उत्तर (Answers):1(i)द्विघात समीकरण है।
(1.)(ii)द्विघात समीकरण है।
(1.)(iii)द्विघात समीकरण नहीं है।
(1.)(iv)द्विघात समीकरण है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघात समीकरण (Quadratic Equation Class 10),द्विघात समीकरण हिन्दी में (Quadratic Equation in hindi) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्विघात समीकरण (Quadratic Equation Class 10),द्विघात समीकरण हिन्दी में (Quadratic Equation in hindi) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.द्विघात समीकरण की खोज किसने की? (Who discovered the quadratic equation?):

उत्तर:अधिकांश लोग विश्वास करते हैं कि बेबीलोनवासियों ने ही सर्वप्रथम द्विघात समीकरणों को हल किया था।उदाहरण के लिए वे जानते थे कि कैसे दो संख्याओं को ज्ञात किया जा सकता है, जिनका योग और गुणनफल दिया हो।यह समस्या x^{2}-p x+q=0 के प्रकार के समीकरण को हल करने के तुल्य है।यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने लम्बाईयाँ ज्ञात करने की एक ज्यामितीय विधि विकसित की जिसको हम वर्तमान शब्दावली में द्विघात समीकरण के हल कहते हैं।व्यापक रूप में,द्विघात समीकरणों को हल करने का श्रेय बहुधा प्राचीन भारतीय गणितज्ञों को जाता है।वास्तव में,ब्रह्मगुप्त (ईस्वी5 598-665) ने a x^{2}+b x=c के रूप के द्विघात समीकरण को हल करने का एक स्पष्ट सूत्र दिया था।बाद में,श्रीधराचार्य (ईस्वी 1025) ने एक सूत्र प्रतिपादित किया जिसे अब द्विघाती सूत्र के रूप में जाना जाता है,जो पूर्ण वर्ग विधि से द्विघात समीकरण को हल करने पर प्राप्त हुआ (जैसा भास्कर द्वितीय ने लिखा)।एक अरब गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी (लगभग ईस्वी 800) ने भी विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया।अब्राहम बार हिय्या हा-नासी यूरो ने 1145 में छपी अपनी पुस्तक ‘लिबर इंबाडोरम’ में विभिन्न द्विघात समीकरणों के पूर्ण हल दिए।

प्रश्न:2.द्विघात समीकरण क्या हैं? (What are the quadratic equations?):

उत्तर:चर x में,एक द्विघात समीकरण a x^{2}+b x+c=0 के प्रकार की होती है,जहाँ a,b,c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा है।

प्रश्न:3.द्विघात समीकरण के मानक रूप के बारे में लिखो।(Write about the standard form of the quadratic equation):

उत्तर:वास्तव में कोई भी समीकरण p(x)=0,जहाँ p(x),घात 2 का एक बहुपद है,एक द्विघात समीकरण कहलाती है।परन्तु जब हम p(x) के पद घातों के घटते क्रम में लिखते हैं,तो हमें समीकरण का मानक रूप प्राप्त होता है।अर्थात् a x^{2}+b x+c=0, a\neq 0द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है।

प्रश्न:4.द्विघात समीकरण की परिभाषा दो।(Define the quadratic equation):

उत्तर:दो घात की बहुपदीय समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं।व्यापक रूप में इसे निम्न प्रकार से व्यक्त किया जाता है a x^{2}+b x+c=0 जहाँ a,b,c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a \neq 0
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विघात समीकरण (Quadratic Equation Class 10),द्विघात समीकरण हिन्दी में (Quadratic Equation in hindi) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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(Quadratic Equation Class 10)

Quadratic Equation Class 10

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation Class 10) में द्विघात का शाब्दिक अर्थ है
वर्ग (Square) तथा द्विघातीय शब्द का आशय वर्ग के समान से है।

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