Circumference and Area of Circle 10th
1.वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल 10वीं (Circumference and Area of Circle 10th),वृत्त की परिधि एवम् क्षेत्रफल (Circumference and Area of Circle):
वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल 10वीं (Circumference and Area of Circle 10th) के इस आर्टिकल में वृत्त की परिधि,क्षेत्रफल ,त्रिज्यखण्ड एवं वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल,चाप की लम्बाई पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल 10वीं के उदाहरण (Circumference and Area of Circle 10th Examples):
Example:1.दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 4 सेमी व 3 सेमी है इन वृत्तों से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्न में से होगाः
Solution: r_1=4 सेमी, r_2=3 सेमी
संकेन्द्रीय वृत्तों से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल
=\pi\left(r_1^2-r_2^2\right) \\ =\frac{22}{7}\left(4^2-3^2\right)=\frac{22}{7}(16-9)=\frac{22}{7} \times 7
=22 वर्ग सेमी
Example:2.एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है तथा केन्द्र पर अन्तरित कोण 60° है।चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:r=7 सेमी , \theta=60^{\circ}
चाप की लम्बाई= \frac{\pi r \theta}{180} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{7 \times 60^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{22}{3} सेमी
=7.3 सेमी
Example:3.एक वृत्त की त्रिज्या 10.5 सेमी और त्रिज्यखण्ड का कोण 45° है।लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\pi=\frac{22}{7})
Solution:r=10.5 सेमी , \theta=45^{\circ}
लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{10.5 \times 10.5 \times 45^{\circ}}{360^{\circ}} \\ =\frac{109147.5}{2520}
=43.3125 वर्ग सेमी
Example:4.एक वृत्त के चाप की लम्बाई 12 सेमी और त्रिज्या 7 सेमी है।वृत्त के लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:L=12 सेमी,r=7 सेमी
लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} Lr \\ =\frac{1}{2} \times 12 \times 7
=42 वर्ग सेमी
Example:5.त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है।ज्ञात कीजिएः
(i)चाप की लम्बाई
(ii)चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
(iii)संगत जीवा द्वारा बनाए गये वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
Solution:(i)r=21 सेमी , \theta=60^{\circ}
चाप की लम्बाई (L)=\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{21 \times 60^{\circ}}{180^{\circ}}=22 सेमी
(ii)त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{83160}{360}
=231 वर्ग सेमी
(iii)संगत जीवा द्वारा वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
=\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}-\frac{r^2 \sin \theta}{2} =\frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}}-\frac{21 \times 21 \sin 60^{\circ}}{2} \\ =\frac{83160}{360}-\frac{441}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ =231-\frac{441}{4} \times 1.732
=231-441×0.433=231-190.953
=40.047
Example:6.एक घड़ी की मिनट की सुई 10.5 सेमी लम्बी है।मिनट की सुई द्वारा 10 मिनट में बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (\pi=\frac{22}{7})
Solution:r=10.5 सेमी
10 मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण \theta=10 \times 6=60^{\circ}
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{10.5 \times 10.5 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{145530}{2520}
=57.75 वर्ग सेमी
Example:7.3.5 सेमी त्रिज्या के वृत्त में जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण 90° है।इस जीवा द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (\pi=\frac{22}{7})
Solution:r=3.5 सेमी , \theta=90^{\circ}
लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360}-\frac{r^2}{2} \sin \theta \\=\frac{22}{7} \times \frac{3.5 \times 3.5 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}-\frac{3.5 \times 3.5}{2} \sin 90^{\circ} \\=\frac{24255}{2520}-\frac{12.25}{2} \times 1
=9.625-6.125
=3.5 वर्ग सेमी
Example:8.एक वृत्त के चतुर्थाश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 सेमी है।
Solution: 2 \pi r=22 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r=22 \\ \Rightarrow r=\frac{7}{2}=3.5
वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल=\frac{1}{4} \pi r^2 \\ =\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5=\frac{269.5}{28}
=9.625 वर्ग सेमी
Example:9.एक घड़ी के घण्टे की सुई 5 सेमी लम्बी है।7 मिनट में इस सुई द्वारा बनाए गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:r=5 सेमी
7 मिनट में घण्टे की सुई द्वारा बनाया गया कोण \theta=\frac{1}{2} \times 7=\frac{7}{2}^{\circ}
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{5 \times 5}{360} \times \frac{7^{\circ}}{2}=\frac{3850}{5040} \\ \approx 0.76388 \\ \approx 0.764 वर्ग सेमी
Example:10.यदि एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी हो तो वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:r=14 सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल=\pi r^2 \\ =\frac{22}{7} \times(14)^2 \\ =\frac{22}{7} \times 14 \times 14=\frac{4312}{7}
=616 वर्ग सेमी
Example:11.उस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए,जिसका क्षेत्रफल 20 सेमी और 48 सेमी व्यास वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
Solution: r_1=\frac{20}{2}=10 सेमी, r_2=\frac{48}{2}=24 सेमी
दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग
\pi r^2=\pi r_1^2+\pi r_2^2 \\ \Rightarrow r^2=r_1^2+r_2^2 \\ =10^2+24^2 \\ =100+576 \\ \Rightarrow r^2=676 \\ r^2=\sqrt{676}
=26 सेमी
व्यास=26×2=52 सेमी
Example:12.एक तार को मोड़कर 28 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त बनाया जा सकता है।यदि इसी तरह समान तार को एक वर्ग के आकार में मोड़ा जाए,तो वर्ग की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:r=28 सेमी,माना वर्ग की भुजा=x
वृत्त की परिधि=वर्ग का परिमाप
\Rightarrow 2 \pi r=4 x \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times 28=4 x \\ \Rightarrow x=\frac{2 \times 22 \times 4}{4}
=44 सेमी
Example:13. 5.2 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्यखण्ड का परिमाप 16.4 सेमी है।त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:r=5.2 सेमी
त्रिज्यखण्ड का परिमाप=चाप की लम्बाई+2 r
\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}+2 r=16.4 \\ \Rightarrow \frac{22}{7} \times \frac{5.2 \times \theta}{180^{\circ}}+2 \times 5.2=16.4 \\ \Rightarrow \frac{28.6 \theta}{315}=16.4-10.4 \\ \Rightarrow \frac{28.6 \theta}{315}=6 \\ \Rightarrow \theta=\frac{6 \times 315}{28.6}=\frac{1890}{28.6}
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{5.2 \times 5.2 \times 1890}{360 \times 28.6} \\ =\frac{1124323.2}{72072}=15.6 वर्ग सेमी
Example:14. 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 60° है साथ ही संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।(\pi=3.14)
Solution: r=4 सेमी, \theta=60^{\circ}
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}} \\ =\frac{3.14 \times 4 \times 4 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{3014.4}{360^{\circ}} \\ \approx 8.373 \approx 8.37 वर्ग सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल=\pi r^2 \\ =3.14 \times 4^2=50.24
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=50.24-8.37
=41.87 वर्ग सेमी
Example:15.त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है,तो संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:r=21 सेमी , \theta=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 300^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{2910600}{2520}
=1155 वर्ग सेमी
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल 10वीं (Circumference and Area of Circle 10th),वृत्त की परिधि एवम् क्षेत्रफल (Circumference and Area of Circle) को समझ सकते हैं।
3.वृत्त से सम्बन्धित क्षेत्रफल की महत्त्वपूर्ण बातें (Important Facts of Area Related to Circle):
(1.)किसी पहिए द्वारा एक बार घूमने में तय की गई दूरी उसकी परिधि या परिमाप के बराबर होती है।
(2.)पहिए द्वारा एक मिनट में लगाए गए चक्करों की संख्या=\frac{\text{एक मिनट में तय की गई दूरी}}{\text{परिधि}}
(3.)घड़ी के मिनट की सुई 1 मिनट में 6° के कोण से घूमती है।
(4.)एक घण्टे में घण्टे की सुई द्वारा घूमा गया कोण =\frac{360}{12}=30°
(5.)एक मिनट में घण्टे की सुई द्वारा घूमा गया कोण=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}^{\circ}
(6.)एक वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा (परिबद्ध) हो,उस वृत्त का एक त्रिज्यखण्ड कहलाता है तथा वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो एक जीवा और संगत चाप के बीच में परिबद्ध हो एक वृत्तखण्ड कहलाता है।
उपर्युक्त तथ्यों के द्वारा वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल 10वीं (Circumference and Area of Circle 10th),वृत्त की परिधि एवम् क्षेत्रफल (Circumference and Area of Circle) के बारे में अतिरिक्त बातें जान सकते हैं।
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4.वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल 10वीं पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Circumference and Area of Circle 10th):
(1.)यदि वृत्त के त्रिज्यखण्ड,वृत्त के क्षेत्रफल का \frac{1}{12} वाँ भाग है।त्रिज्यखण्ड का कोण ज्ञात कीजिए।
(2.)एक वृत्त का चाप केन्द्र पर 45° का कोण अन्तरित करता है यदि इसके लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 77 वर्ग सेमी है वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.)\theta=30° (2.)r=14 सेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल 10वीं (Circumference and Area of Circle 10th),वृत्त की परिधि एवम् क्षेत्रफल (Circumference and Area of Circle) को ठीक से समझ सकते हैं।
5.वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल 10वीं (Frequently Asked Questions Related to Circumference and Area of Circle 10th),वृत्त की परिधि एवम् क्षेत्रफल (Circumference and Area of Circle) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र लिखो। (Write the Formulas for the Area of Circle):
उत्तर:(1.)वृत्त का क्षेत्रफल=\pi r^2
(2.)अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \pi r^2
(3.)दो संकेन्द्रीय वृत्तों से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल=\pi(r_1^2-r_2^2)
प्रश्न:2.वृत्त की परिधि किसे कहते हैं? (What is the Circumference of the Circle?):
उत्तर:किसी वृत्त का एक चक्कर लगाने पर चलित दूरी वृत्त की परिधि कहलाती है।
वृत्त की परिधि=2 \pi r या \pi d (d=व्यास)
\pi=\frac{\text{परिधि}}{\text{व्यास}}
प्रश्न:3.त्रिज्यखण्ड एवं वृत्तखण्ड के क्षेत्रफल के सूत्र लिखो। (Write the Formulas of Area of Sector and Segment):
उत्तर:(1.)त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360°}
(2.)वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360°}-\frac{r^2}{2} \sin \theta
(3.)त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} Lr
(4.)त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई=\frac{\pi r \theta}{180°}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल 10वीं (Circumference and Area of Circle 10th),वृत्त की परिधि एवम् क्षेत्रफल (Circumference and Area of Circle) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
