1.त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरी (Height and Distance in Trigonometry)-

त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरी (Height and Distance in Trigonometry) का अध्ययन करने के लिए त्रिकोणमिति सर्वसमिकाओं और कुछ विशेष कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों का अध्ययन आवश्यक है।
इस आर्टिकल में त्रिकोणमितीय परिणामों का प्रयोग कर ऊंचाई एवं दूरी पर आधारित सरल समस्याओं के बारे में अध्ययन करेंगे।हमारा उद्देश्य त्रिकोणमिति की सहायता से ऊंचाई एवं दूरी की वास्तविक माप के बिना दो बिन्दुओं के मध्य दूरी या किसी वस्तु,मीनार या किसी निर्धारित लक्ष्य की ऊंचाई ज्ञात करना है।
(1.) दृष्टि रेखा (Line of Sight)-
जब हम किसी वस्तु (Object) को देखते हैं तो हमारी आंख और वस्तु को जोड़ने वाली रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं।
चित्र में आंख बिन्दु O पर है और वस्तु की स्थिति P हैं अतः दृष्टि रेखा OP होगी।

(2.) उन्नयन कोण (Angle of Elevation)-
जब कोई वस्तु आंख से ऊपर हो तो दृष्टि रेखा,क्षैतिज के साथ जो कोण बनाती है उसे उन्नयन कोण या उन्नतांश कोण कहते हैं।
चित्र में आंख बिन्दु O पर है और वस्तु (Object) की स्थिति P है। अतः OP दृष्टि रेखा है जो क्षैतिज रेखा OX से कोण XOP बनाती है अतः उन्नयन कोण=\angle XOP

(3.)अवनमन कोण (Angle of Depression):
जब कोई वस्तु,आंख से नीचे हो तो दृष्टि रेखा,क्षैतिज के साथ जो कोण बनाती है उसे अवनमन या अवनति कोण कहते हैं। चित्र में आंख बिन्दु O पर और वस्तु (Object) की स्थिति P है अतः OP दृष्टि रेखा है जो क्षैतिज रेखा OX” से कोण X’OP बनाती है अतः
अवनमन कोण=\angle X'OP

ऊंचाई एवं दूरी की समस्याओं को हल करते समय निम्नलिखित बिन्दुओं को ध्यान में रखना चाहिए-
(i) सर्वप्रथम प्रश्न को ध्यानपूर्वक पढ़ने के पश्चात् चित्र बनाकर समकोण त्रिभुज का निर्माण करते हैं।
(ii) समकोण त्रिभुज में ज्ञात कोण का त्रिकोणमितीय अनुपातों (sin,cosine,tangent) आदि को ज्ञात भुजा के पदों में व्यक्त करते हैं।
(iii)चित्र में स्पष्ट है कि O का P के सापेक्ष उन्नयन कोण=P का O के सापेक्ष अवनमन कोण

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2.त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरी समस्याएं हल सहित (Height and Distance in Trigonometry Problems with Solutions),ऊंचाई और दूरी के सवाल हल सहित (Height and Distance Questions with Solutions),ऊंचाई और दूरी की हल सहित समस्याएं (Height and Distance Solved Problems)-

Example-1.एक मीनार क्षैतिज समतल पर उर्ध्वाधर खड़ी है।यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° हो और मीनार की छाया की लम्बाई 45 मीटर हो तो मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
Solution-माना AB मीनार है जिसकी ऊंचाई h मीटर है।छाया की लम्बाई BC=45 मीटर है।

समकोण \triangle ABC में

\tan \theta=\frac{ लम्ब }{ आधार } \\ \Rightarrow \tan 30°=\frac{ h }{ 45} \\ \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt 3 } =\frac{ h }{ 45}  \\ \Rightarrow h=\frac{ 45 }{ \sqrt 3} \\ \Rightarrow h=\frac{ 45 }{ \sqrt 3} \times \frac{ \sqrt 3 }{ \sqrt 3} \\  \Rightarrow h=\frac{ 45 \sqrt 3 }{ 3} \\ \Rightarrow h=15 \sqrt 3 मीटर 
 अतः मीनार की ऊंचाई 15 \sqrt 3 मीटर होगी।
Example-2.आंधी के कारण एक वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर क्षैतिज तल पर वृक्ष की जड़ से 10 मीटर की दूरी पर मिलता है।टूटने से पहले वृक्ष की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।(\sqrt 3=1.732)
Solution-माना ACB वृक्ष है जो बिन्दु C से टूटकर D पर क्षैतिज से छूता है,जो 60° कोण बनाता है।माना BC=h मीटर,CD=x मीटर,BD=10 मीटर

समकोण \triangle CBD में
\tan \theta=\frac{ लम्ब }{ आधार } \\ \Rightarrow \tan 60°=\frac{ h }{ 10} \\ \Rightarrow \sqrt 3=\frac{ h }{ 10}  \\ \Rightarrow h=10 \sqrt 3 मीटर
पुनः \triangle CBD में
\cos \theta=\frac{ आधार }{ कर्ण } \\ \Rightarrow \cos 60°=\frac{ 10 }{ x } \\ \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{ 10 }{ x } \\ \Rightarrow x=10 \times 2 \\ \Rightarrow x=20 मीटर
अतः वृक्ष की टूटने से कुल ऊंचाई=h+x
=(10 \sqrt 3+20) मीटर
=10( \sqrt 3+2) मीटर
=10(1.732+2.000)मीटर
=37.32 मीटर
अतः वृक्ष की टूटने से पहले ऊंचाई=37.32 मीटर है।
Example-3.किसी अपूर्ण मीनार के आधार से 120 मीटर दूर किसी बिन्दु से शिखर का उन्नयन कोण 30° है।ज्ञात कीजिए कि मीनार को ओर कितना ऊंचा बनाया जाए जिससे उसी स्थान पर उसका उन्नयन कोण 60° हो जाए?
Solution-माना अपूर्ण मीनार BC है जिसकी ऊंचाई x मीटर है तथा कोण 30° है।इस कोण को 60° करने के लिए AB=y मीटर तक ऊंचा बनाना है।

समकोण \triangle BCD में
\tan \theta=\frac{ लम्ब }{ आधार } \\ \Rightarrow \tan 30°=\frac{ BC }{ CD } \\ \Rightarrow \tan 30°=\frac{ x }{ 120 } \\ \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt 3 } =\frac{ x }{ 120 }  \\ \Rightarrow x=\frac{ 120 }{ \sqrt 3} \times \frac{ \sqrt 3 }{ \sqrt 3} \\  \Rightarrow x=\frac{ 120 \sqrt 3 }{ 3} \\ \Rightarrow x=40 \sqrt 3 मीटर ……(1)
पुनः समकोण \triangle ACD में

\Rightarrow \tan 60°=\frac{ AC }{ CD } \\ \Rightarrow \tan 60°=\frac{ x+y }{ 120} \\ \Rightarrow \sqrt 3=\frac{ x+y }{ 120}  \\ \Rightarrow x+y=120 \sqrt 3 मीटर…..(2)
x का मान समीकरण (1) से (2) में रखने पर-
40 \sqrt 3+y=120 \sqrt 3 मीटर
\Rightarrow y=120 \sqrt 3-40 \sqrt 3 \\ \Rightarrow y=80 \sqrt 3 \text{ मीटर } \\ \Rightarrow y=80 \times 1.732( \sqrt 3=1.732) \\ \Rightarrow y=138.56 मीटर
अतः मीनार को 138.56 मीटर ओर ऊंचा बनाया जाए।
Example-4.एक मीनार के आधार से 100 मीटर दूरी पर स्थित बिन्दु से शिखर का उन्नयन कोण 30° है तो मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
Solution– माना AB मीनार है जिसके शिखर का बिन्दु C से उन्नयन कोण 30° है।
माना AB=h मीटर,BC=100 मीटर

समकोण \triangle ABC में
\tan \theta=\frac{ लम्ब }{ आधार } \\ \Rightarrow \tan 30°=\frac{ AB }{ BC } \\ \Rightarrow \tan 30°=\frac{ h }{ 100 } \\ \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt 3 } =\frac{ h }{ 100 }  \\ \Rightarrow h=\frac{ 100 }{ \sqrt 3} \times \frac{ \sqrt 3 }{ \sqrt 3} \\  \Rightarrow h=\frac{ 100 \sqrt 3 }{ 3} \\ \Rightarrow h=\frac{ 100 \times 1.732 }{ 3} \\  \Rightarrow h=57.33 मीटर 
अतः मीनार की ऊंचाई =57.73 मीटर होगी।
Example-5.किसी स्तंभ की चोटी का उन्नयन कोण समतल पर स्थित एक बिंदु से 15° है।स्तंभ की ओर 100 मीटर चलने पर उन्नयन कोण 30° हो जाता है तो स्तंभ की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।(जहां \tan 45°=2-\sqrt 3 है।)
Solution– माना स्तंभ है।माना स्तंभ की ऊंचाई AB=h मीटर है।स्तंभ की ओर D से 100 मीटर चलने C पर पहुंच जाते हैं।
अतः CD=100 मीटर,माना=x मीटर
अतःसमकोण \triangle ABC में

\tan \theta=\frac{ लम्ब }{ आधार } \\ \Rightarrow \tan 30°=\frac{ AB }{ BC } \\  \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt 3 } =\frac{ h }{ x }
वज्र गुणा करने पर

\Rightarrow x=\sqrt 3 h…….(1)
पुनः समकोण \triangle ABD[/katex] में

\Rightarrow \tan 15°=\frac{ AB }{ BD } \\  \Rightarrow \tan 15°=\frac{ h }{ x+100 }  \\ \Rightarrow 2-\sqrt 3 =\frac{ h }{ x+100} \\ \Rightarrow (2-\sqrt 3)(x+100) =h …….(2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर-
(2-\sqrt 3)(\sqrt 3 h+100)=h\\ \Rightarrow 2 \sqrt 3 h-3h+200-100 \sqrt 3=h \\ \Rightarrow 3h+h- 2 \sqrt 3 h=200-100 \sqrt 3 \\ \Rightarrow  4h- 2 \sqrt 3 h=200-100 \sqrt 3  \\ \Rightarrow 2(2-\sqrt 3)h=100(2-\sqrt 3) \\ 2h=100 \\ h=50 मीटर
अतः मीनार की ऊंचाई 50 मीटर होगी।
Example-6.एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लंबी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नतांश कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
Solution-माना मीनार AB की ऊंचाई h मीटर है।समतल पर बिंदु C पर उन्नतांश कोण 60° है।C से D तक 40मीटर चलने पर D पर पहुंच जाते हैं।
समकोण \triangle ABC में

\tan 60°=\frac{ AB }{ BC } \\ \Rightarrow \sqrt 3=\frac{ h }{ x}  \\ \Rightarrow \sqrt 3x=h….(1)
पुनः समकोण \triangle ABD में

\tan 30°=\frac{ AB }{ BD } \\  \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt 3 } =\frac{ h }{ x+40 }  \\ \Rightarrow x+40=\sqrt 3 h….(2)
समीकरण (1) से h का मान समीकरण (2) में रखने पर-

\Rightarrow x+40=\sqrt 3 \times \sqrt 3 x \\ \Rightarrow x+40=3x \\ \Rightarrow 2x=40 \\ \Rightarrow x=\frac{40}{2} \\ \Rightarrow x=20 मीटर

समीकरण (1) से h=\sqrt 3 x \\ \Rightarrow h=\sqrt 3 \times 20 \\ \Rightarrow h=1.732 \times 20 (\sqrt 3=1.732) \\ \Rightarrow h=34.64 मीटर
अतः मीनार की ऊंचाई 34.64 मीटर होगी।
Example-7.समुद्र तल से 60 मीटर ऊंचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30°व 45° हैं।
यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे के ठीक पीछे हो तो जहाजों के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution-माना मीनार AB=60 मीटर ऊंचा लाइट हाउस है।C व D पर जहाज है,जिनके अमनमन कोण क्रमशः 45° व 30°है।
माना BC=x मीटर तथा BD=y मीटर है।
अतः समकोण \triangle ABC में

\tan 45°=\frac{ AB }{ BC } \\  \Rightarrow 1 =\frac{ 60 }{ x }  \\ \Rightarrow x=60 मीटर….(1)
पुनः \triangle ABD में
\tan 30°=\frac{ AB }{ BD } \\  \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt 3 } =\frac{ 60 }{ y }  \\ \Rightarrow y=60 \sqrt 3 मीटर….(2)
अतः जहाजों के बीच दूरी CD=BD-BC
=60 \sqrt 3-60 \\ =60( \sqrt 3-1) \\ =60( 1.732-1) [ \sqrt 3=1.732 ] \\ 60 \times 0.732 \\ = 43.92 मीटर
जहाजों के बीच दूरी 43.92 मीटर होगी।
Example-8.1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊंचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है।जब वह ऊंचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आंख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है।बताइए कि वह भवन की और कितनी दूरी तक चलकर गया है?
Solution– माना कि ED=30 मीटर भवन की ऊंचाई है और EC=1.5 मीटर लड़के की ऊंचाई है।विभिन्न स्थितियों में उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं और यहां पर DC=DE-EC=30-1.5=28.5 मीटर
समकोण \triangle ACD में

\frac{ DC }{ BC }=\tan 30° \\ \Rightarrow \frac{ 28.5 }{ x+y }=\frac{ 1 }{ \sqrt 3 } \\ \Rightarrow x+y=28.5 \sqrt 3…….(1)
अब समीकरण \triangle BCD में

\frac{ DC }{ BC }=\tan 60° \\ \Rightarrow \frac{ 28.5 }{ Y} = \sqrt 3 \\ \Rightarrow y=\frac{ 28.5 }{ \sqrt 3 }
अंश तथा हर को \sqrt 3 से गुणा करने पर-

\Rightarrow y=\frac{ 28.5 }{ \sqrt 3 } \times \frac{ \sqrt 3 }{ \sqrt 3}  \\ \Rightarrow y=\frac{ 28.5 \sqrt 3 }{ 3} \\  \Rightarrow y=9.5 \sqrt 3 …..(2)
भवन की ओर चली गई दूरी=AB=AC-BC
=(x+y)-y

= 28.5 \sqrt 3-9.5 \sqrt 3
[ समीकरण (1) व (2) से]
=19 \sqrt 3 मीटर
अतः लड़के द्वारा की भवन की ओर चली गई दूरी=19 \sqrt 3 मीटर
Example-9.7 मीटर ऊंचे भवन के एक टाॅवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसके पाद का अवनमन कोण 45° है।टाॅवर की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
Solution-माना कि BD=h मीटर केवल टाॅवर की ऊंचाई है और AE=7 मीटर भवन की ऊंचाई है।केवल टाॅवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° और 45° है।
अर्थात् \angle DEC=60°
और \angle CEB =45° \\ BA \parallel EC ,EA \parallel BC
EA=BC=7 मीटर
समकोण \triangle BAE  में

\frac {AB }{AE}= \cot 45° \\ \Rightarrow \frac {AB }{7}=1 \\ \Rightarrow AB=7 मीटर…..(1)
तथा समकोण \triangle DCE में

\frac {EC }{DC}= \cot 60° \\ \Rightarrow \frac {EC }{h-7}=\frac{ 1 }{ \sqrt 3 } \\ \Rightarrow EC=\frac{ h-7 }{ \sqrt 3 }…….(2)  परंतु (AB=EC) (दिया है)

7=\frac{ h-7 }{ \sqrt 3 }
(समीकरण (1) व (2) के प्रयोग से)

\Rightarrow 7 \sqrt 3=h-7 \\ \Rightarrow h=7 \sqrt 3+7 \\ \Rightarrow h=7(\sqrt 3 +1)
अतः केवल टाॅवर की ऊंचाई = 7(\sqrt 3 +1) मीटर
\Rightarrow h =7(1.732+1) \\ \Rightarrow h =7 \times 2.732 \\ \Rightarrow h =19.124 \\ \Rightarrow h =19.124 मीटर
अतः केवल टाॅवर की ऊंचाई=19.124 मीटर
Example-10.एक पर्वत के शिखर से पूर्व की ओर से स्थित दो बिन्दुओं से शिखर के अवनमन कोण 30° व 45° है।यदि बिंदुओं के बीच की दूरी 1किमी हो तो पर्वत की ऊंचाई ज्ञात करो।
Solution-माना कि AB पर्वत है,जिसके शिखर A से बिंदु C व D के अवनमन कोण 30° व 45°है।C व D की दूरी=CD=1 किमी
माना AB=h किमी,BC=x किमी
CD=1 किमी,BD=x+1 किमी
समकोण \triangle ABC में

\tan 45°=\frac{ AB }{ BC } \\  \Rightarrow 1 =\frac{ h }{ x }  \\ \Rightarrow h=x….(1)
पुनः समकोण \triangle ABD में

\tan 30°=\frac{ AB }{ BD } \\  \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt 3 } =\frac{ h }{ x+1 }  \\ \Rightarrow x+1= \sqrt 3 h……(2)
समीकरण (1) से मान (2) में रखने पर-

\Rightarrow \sqrt 3 h=h+1 \\  \Rightarrow \sqrt 3 h-h=1 \\ \Rightarrow h(\sqrt 3 -1)=1 \\  \Rightarrow h=\frac{1}{\sqrt 3 -1} \\ \Rightarrow h=\frac{1}{\sqrt 3 -1}  \times \frac{\sqrt 3 +1}{\sqrt 3 +1} 

(परिमेयकरण करने पर)

\Rightarrow h =\frac{\sqrt 3 +1}{ 3 -1}  \\ \Rightarrow h =\frac{1.732 +1}{ 2} (\sqrt 3=1.732) \\ \Rightarrow h=\frac{ 2.732 }{ 2 } \\ \Rightarrow h=1.366 किमी
अतः पर्वत की ऊंचाई 1.366 किमी होगी।
Example-11.एक नदी के पुल के एक बिंदु से सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° है।यदि पुल किनारों से 4 मीटर की ऊंचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Solution-माना आकृति में A और B नदी के सम्मुख किनारों के बिंदुओं को प्रकट करते हैं जिससे की AB नदी की चौड़ाई है।4 मीटर ऊंचाई पर बने पुल पर एक बिंदु P है अर्थात् DP=4 मीटर है।हम नदी की चौड़ाई ज्ञात करना चाहते हैं जो कि \triangle APB की भुजा की लंबाई है।
अब AB=AD+DB
समकोण \triangle APD में , \angle A=30°

\tan 45°=\frac{ PD }{ BD } \\  \Rightarrow 1 =\frac{ PD }{ BD }
अतः \tan 30°=\frac{ PD }{ AD } \\  \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt 3 } =\frac{ PD }{ AD }  \\ \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt 3 } =\frac{ 4 }{ AD } \\ \Rightarrow AD=4 \sqrt 3
अतः समकोण \triangle PBD में , \angle B=45° है।
\tan 45°=\frac{ PD }{ BD } \\  \Rightarrow 1 =\frac{ PD }{ BD } \\   \Rightarrow BD=PD=4 मीटर
AB=BD+AD=4+4 \sqrt 3 \text{ मीटर } \\ =4(1+\sqrt 3) \text{ मीटर } 
अतः नदी की चौड़ाई =4(1+\sqrt 3) \text{ मीटर }  \\ =4(1+1.732) \text{ मीटर }  \\ =4(2.732) \\ =10.928 \text{ मीटर }
Example-12.एक झील में पानी के तल से 20 मीटर ऊंचे बिंदु A से एक बादल का उन्नयन कोण 30° है।यदि झील में बादल के प्रतिबिम्ब का बिंदु A से अवनमन कोण 60° हो तो बिंदु A से बादल की दूरी ज्ञात करो।
Solution– माना झील में बादल का प्रतिबिंब D है।B से A की ऊंचाई 20 मीटर है।CD पर लम्ब AE खींचा।
अतः चित्रानुसार
AB=DE=20 मीटर
माना BD=AE= x मीटर
AC=y मीटर
समकोण \triangle ABD में

\Rightarrow \tan 60°=\frac{ AB }{ BD } \\ \Rightarrow \tan 60°=\frac{ 20 }{ x} \\ \Rightarrow \sqrt 3=\frac{ 20 }{ x}  \\ \Rightarrow x=\frac{ 20 }{ \sqrt 3}
पुनः समकोण \triangle AEC में

\Rightarrow \cos 30°=\frac{ AE }{ AC } \\ \Rightarrow \frac{ \sqrt 3 }{ 2}=\frac{ x }{ y} \\ \Rightarrow y=x \times \frac{ 2 }{ \sqrt 3}  ……(2)
समीकरण (1) से x का मान रखने पर-
\Rightarrow y=\frac{ 20 }{ \sqrt 3}  \times \frac{ 2 }{ \sqrt 3} \\ \Rightarrow y=\frac{ 40 }{ 3}   मीटर
Example-13.एक व्यक्ति एक जहाज के डेक जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊंचा है,पर खड़ा है।यदि वह पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के आधार का अवनमन कोण 30° देखता है जहाज से पहाड़ी की दूरी तथा पहाड़ी की ऊंचाई ज्ञात करो।
Solution– माना A जहाज का डेक है।BC पानी का तल है।CD पहाड़ी है।
माना AB=10 मीटर=CE,BC=AE=x मीटर
DE=h मीटर
समकोण \triangle ABC में
\tan 30°=\frac{ AB }{ BC } \\  \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt 3 } =\frac{ 10 }{ x }  \\ \Rightarrow x=10 \sqrt 3 मीटर……(1)
पुनः समकोण \triangle AED में

\tan 60°=\frac{ DE }{ AE } \\ \Rightarrow \sqrt 3=\frac{ h }{ x}  \\ \Rightarrow h= \sqrt 3 x
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर-
h=\sqrt 3 \times 10 \sqrt 3  \text { मीटर } \\ \Rightarrow h=30 मीटर
पहाड़ी की ऊंचाई=CE+DE=10+30=40 मीटर
पहाड़ी की दूरी= 10 \sqrt 3 मीटर
Example-14.एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है।मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है।6 सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया है।इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुंचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
Solution-माना कि CD=h मीटर मीनार की ऊंचाई है तथा A कार की प्रारंभिक स्थिति है और 6 सेकंड के बाद कार B पर पहुंच जाती है।A और B पर कार के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं।

पुनः माना की कार का वेग v मीटर प्रति सेकंड है।दूरी= चाल×समय
AB=AB द्वारा 6 सेकंड में तय की गई दूरी
AB=6v मीटर
तथा कार द्वारा मीनार तक पहुंचने में लिया गया समय n सेकंड है।
BC=nv मीटर
समकोण \triangle ACD में

\frac{CD }{AC}=\tan 30° \\ \Rightarrow \frac{h }{6v+nv}=\frac{ 1 }{ \sqrt 3 } \\ \Rightarrow h= \frac{6v+nv}{ \sqrt 3} ….(1)
तथा समकोण \triangle BCD में

\frac{CD }{BC}=\tan 60° \\ \Rightarrow \frac{h }{nv}=\sqrt 3  \\ \Rightarrow h= nv \sqrt 3 …….(2)
समीकरण (1) व‌ (2) से

\frac{6v+nv}{ \sqrt 3}=nv \sqrt 3 \\ \Rightarrow 6v+nv=3nv \\ \Rightarrow 6v=2nv \\ \Rightarrow n=\frac{6v }{2v} \\ \Rightarrow  n=3 सेकंड
अतः मीनार के पाद तक पहुंचने में कार द्वारा लिया गया समय= 3 सेकंड
अतः मीनार के पाद तक पहुंचने में कार द्वारा लिया गया समय=3 सेकण्ड
Example-15 सड़क के एक ओर मीनार तथा दूसरी ओर मकान है।मीनार के शिखर से मकान की छत और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हैं।यदि मकान की ऊंचाई 12 मीटर हो तो मीनार की ऊंचाई ज्ञात करो।( \sqrt 3=1.732)
Solution-माना AB मीनार है तथा CD मकान है।CD=12 मीटर,BE=12 मीटर,BC=ED=x मीटर,AE=h मीटर
समकोण \triangle AED में

\tan 45°=\frac{AE}{ED} \\ \Rightarrow 1=\frac{h}{x} \\ \Rightarrow h=x मीटर
पुनः समकोण \triangle ABC में

\tan 60°=\frac{AB}{BC} \\ \Rightarrow \sqrt 3 =\frac{12+h}{x} \\ \Rightarrow \sqrt 3 x=12+h …..(2)
समीकरण (1) व (2) से-

\sqrt 3 h=12+h \\  \Rightarrow \sqrt 3 h-h=12 \\ \Rightarrow h(\sqrt 3-1)=12 \\ \Rightarrow h=\frac{12}{\sqrt 3 -1} \\ \Rightarrow h=\frac{12}{\sqrt 3 -1}  \times \frac{\sqrt 3 +1}{\sqrt 3 +1} \\ \Rightarrow h =\frac{12 (\sqrt 3 +1)}{ 3 -1}  \\ \Rightarrow h =\frac{12(1.732 +1)}{ 2}(\sqrt 3=1.732) \\ \Rightarrow h=6 \times 2.732 =16.392 मीटर

मीनार की ऊंचाई=BE+AB=12+16.392=28.392 मीटर
 उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरी (Height and Distance in Trigonometry) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरी की समस्याएं (Height and Distance in Trigonometry Problems),ऊंचाई और दूरी के प्रश्न और उत्तर कक्षा 10 (Height and Distance Questions and Answers Class 10)-

(1.)एक उर्ध्वाधर खम्भे की परछाई,खम्भे की ऊंचाई के बराबर है तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा।
(2.)यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100 मीटर की दूरी से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है तो मीनार की ऊंचाई है।
(3.)15 मीटर लंबी एक सीढ़ी एक उर्ध्वाधर दीवार के शिखर तक पहुंचती है यदि यह सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है तो दीवार की ऊंचाई है।
(4.)10 मीटर ऊंची मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिंदु का अवनमन कोण 30°है।बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी है।
(5.)एक नदी के ऊपर एक पुुल एक नदी के तट के साथ 45° का कोण बनाता है।यदि नदी के ऊपर पुल की लम्बाई 150 हो तो नदी की चौड़ाई होगी।
(6.)दो खम्भों के शीर्ष जिनकी ऊंचाई 20 मीटर तथा 14 मीटर है,एक तार से जुड़े हुए हैं।यदि तार क्षैतिज रेखा के साथ 30°का कोण बनाता है तो तार की लम्बाई होगी।
उत्तर (Answers):
(1.)45° (2) 100 \sqrt 3\text { मीटर }  (3) \frac {15}{2} \text { मीटर } (4)10 \sqrt 3 \text { मीटर } (4) 75 \sqrt 2 \text { मीटर }
(6.)12 मीटर
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरी (Height and Distance in Trigonometry) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.ऊंचाई और दूरी का सूत्र क्या है? (What is the formula of height and distance?)-

जैसा कि यह आंकड़ा से दिखाई देता है,ऑब्जेक्ट से ऊर्ध्वाधर क्षैतिज के साथ एक समकोण बनाता है।इसलिए यदि हम वस्तु की ऊंचाई और रैखिक दूरी को जानते हैं, तो हम आसानी से त्रिकोणमितीय सूत्र द्वारा कोण का पता लगा सकते हैं।यह \tan \theta= \frac{ऊँचाई}{आधार} से दिया जाता है।

5.त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरी क्या हैं? (What are Heights and Distances in Trigonometry?)-

ऊँचाई और दूरी: त्रिकोणमिति के मुख्य अनुप्रयोग में से एक दो या दो से अधिक स्थानों के बीच की दूरी का पता लगाना है या किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी वस्तु द्वारा प्राप्त वस्तु या ऊँचाई को खोजने के लिए वास्तव में दूरी या ऊँचाई या कोण को मापने के बिना है।

6.एक कोण और एक पर्यवेक्षक के बीच की दूरी क्या है अगर उन्नयन कोण? (What is the distance between a tower and an observer if the angle of elevation?)-

प्रेक्षक टॉवर से 30√ (3) मी की दूरी पर है। यदि पर्यवेक्षक का नेत्र स्तर जमीनी स्तर से 1.5 मीटर ऊपर है, तो टॉवर की ऊँचाई का पता लगाएं।

7.आप कोण और दूरी के साथ ऊंचाई कैसे ज्ञात करते हैं ?(How do you find height with angle and distance?)-

किसी वस्तु की ऊँचाई की गणना वस्तु से दूरी और वस्तु के शीर्ष की ऊँचाई के कोण को मापकर की जाती है। कोण की स्पर्शज्या (tangent) वस्तु से दूरी द्वारा विभाजित वस्तु की ऊंचाई है।इस प्रकार, ऊँचाई पाई जाती है।

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