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Mean By Shortcut Method

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1 1.लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method),समूहित डेटा के लिए माध्य कैसे गणना करें? (How to Calculate Mean for Grouped Data):

1.लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method),समूहित डेटा के लिए माध्य कैसे गणना करें? (How to Calculate Mean for Grouped Data):

लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method) ज्ञात करना इस आर्टिकल में सीखेंगे।वर्गीकृत आँकड़ों में प्रत्येक वर्ग अन्तराल के लिए हमें एक ऐसे बिन्दु (मान) की आवश्यकता है जो पूरे अन्तराल का प्रतिनिधित्व करे।यह मान लिया जाता है कि प्रत्येक वर्ग,वर्ग अन्तराल की बारम्बारता उसके मध्य-बिन्दु के चारों ओर केन्द्रित होती है।अतः प्रत्येक वर्ग के मध्य-बिन्दु (Mid-Point) [या वर्ग चिन्ह (Class Mark)] को उस वर्ग में आनेवाले सभी प्रेक्षणों का प्रतिनिधित्व (Representative) माना जा सकता है।एक वर्ग अन्तराल का मध्य-बिन्दु (या वर्ग चिन्ह) उसकी उपरि और निचली सीमाओं का औसत निकालकर ज्ञात करते हैं।अर्थात्
मध्य-बिन्दु या वर्ग चिन्ह=\frac{\text{उपरि वर्ग सीमा+निचली वर्ग सीमा}}{2} 
समान्तर माध्य ज्ञात करने की निम्न रीतियाँ हैं:
(1.)प्रत्यक्ष रीति (Direct Method)
(2.)अप्रत्यक्ष रीति (Indirect Method) या कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) या लघुरीति (Shortcut Method)
(3.)पद विचलन विधि (Step Deviation Method)
प्रत्यक्ष विधि सूत्र (Direct Method Formula):

समान्तर माध्य \overline{X}=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}} 
अप्रत्यक्ष रीति सूत्र (Indirect Method Formula) या कल्पित माध्य विधि सूत्र (Assumed Mean Method Formula) या लघुरीति सूत्र (Shortcut Method Formula)

समान्तर माध्य \overline{X}=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} 
पद विचलन विधि सूत्र (Step Deviation Method Formula)

समान्तर माध्य \overline{X}=a+\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right) \times h 
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2.लघुरीति से समान्तर माध्य के उदाहरण (Mean By Shortcut Method Examples):

Example:1.विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़ें एकत्रित किए।प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

पौधों की संख्याघरों की संख्या
0-21
2-42
4-61
6-85
8-106
10-122
12-143

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?
Solution:माना a=7,h=2 तब d_{i}=x_{i}-7

पौधों की संख्याx_{i}

घरों की संख्या(f_{i})

d_{i}=x_{i}-7f_{i}d_{i} 
0-2111-7=-6-6-16
2-4323-7=-4-8
4-6515-7=-2-2
6-8757-7=00 
8-10969-7=21238
10-1211211-7=48
12-1413313-7=618
Total 20 22 

समान्तर माध्य \overline{X} =a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =7+\frac{22}{20} \\ \overline{X}=7+1.1 \\ \overline{X}=8.1
हमने अप्रत्यक्ष रीति का प्रयोग किया है क्योंकि इससे गणना सरल हो गई है।

Example:2.किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए:

दैनिक मजदूरी(रुपयों में)श्रमिकों की संख्या
100-12012
120-14014
140-1608
160-1806
180-20010

Solution:

मजदूरी(रुपयों में)श्रमिकों की संख्याf_{i}x_{i}d_{i}=x_{i} -150f_{i} d_{i}u_{i}=\frac{x_{i} -150}{20}f_{i}u_{i}
100-12012110110-150=-40-480-2-24
120-14014130130-150=-20-280-1-14
140-1608150150-150=0000
160-1806170170-150=2012016
180-20010190190-150=40400220
Total50  -240 -12

माना a=150,h=20 तब d_{i}=x_{i}-150 
लघुरीति (Shortcut Method):
समान्तर माध्य \overline{X} =a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =150+\frac{(-240)}{50} \\ =150-\frac{240}{50} \\ =150-4.8 \\ \overline{X} =145.2 
पद विचलन विधि (Step Deviation Method):
समान्तर माध्य \overline{X}=a+\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right) \times h \\ =150+\left(\frac{-12}{50}\right) \times 20 \\ =150-0.24 \times 20 \\ =150-4.8 \\ \overline{X} =145.20  
Example:3.निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है।माध्य जेबखर्च 18 रु. है।लुप्त बारम्बारता f ज्ञात कीजिए:

दैनिक जेब भत्ता(रुपयों में)बच्चों की संख्या
11-137
13-156
15-179
17-1913
19-21f
21-235
23-254

Solution:

दैनिक जेब भत्ता(रुपयों में)x_{i}बच्चों की संख्याf_{i}f_{i}x_{i}
11-1312784
13-1514684
15-17169144
17-191813234
19-2120f20f
21-23225110
23-2524496
Total 44+f752+20f

प्रत्यक्ष रीति (Direct Method):
समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}} \\ 18=\frac{752+20 f}{44+f} \\ \Rightarrow 18(44+f)=752+20 f \\ \Rightarrow 792+18 f=752+20 f \\ \Rightarrow 18f-20 f=752-792 \\ \Rightarrow -2 f=-40 \\ \Rightarrow f=-\frac{40}{2} \\ \Rightarrow f=20 
Example:4.किसी अस्पताल में एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई।एक उपयुक्त विधि चुनते हुए,इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए:

हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्यामहिलाओं की संख्या
65-682
68-714
71-743
74-778
77-807
80-834
83-862

Solution:

हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्याx_{i}महिलाओं की संख्याf_{i}d_{i}=x_{i}-75.5f_{i}d_{i}
65-6866.5266.5-75.5=-9-18
68-7169.5469.5-75.5=-6-24
71-7472.5372.5-75.5=-3-9
74-7775.5875.5-75.5=00
77-8078.5778.5-75.5=321
80-8381.5481.5-75.5=624
83-8684.5284.5-75.5=918
Total 30 12

लघुरीति (Shortcut Method):
माना a=75.5,तब d_{i}=x_{i}-75.5
समान्तर माध्य (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =75.5+\frac{12}{30} \\ =75.5+0.4 \\ \Rightarrow (\overline{X})=75.9
Example:5.किसी फुटकर बाजार में फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे।इन पेटियों में आमों की संख्याएं भिन्न-भिन्न थी।पेटियों की संख्या के अनुसार आमों का बंटन निम्नलिखित था:

आमों की संख्यापेटियों की संख्या
50-5215
53-55110
56-58135
59-61115
62-6425

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।आपने माध्य ज्ञात करने की कौनसी विधि का प्रयोग किया है?
Solution:

आमों की संख्याx_{i}पेटियों की संख्याf_{i}f_{i}x_{i}
50-525115765
53-55541105940
56-58571357695
59-61601156900
62-6463251575
Total 40022875

प्रत्यक्ष रीति (Direct Method):
समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}} \\ =\frac{22875}{400} \\ =57.1875 \\ (\overline{X})=57.19 

Example:6.निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:

दैनिक व्यय(रुपयों में)परिवारों की संख्या
100-1504
150-2005
200-25012
250-3002
300-3502

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य ज्ञात कीजिए।
Solution:-

दैनिक व्यय(रुपयों में)x_{i}परिवारों की संख्याf_{i}d_{i}=x_{i}-225f_{i}d_{i}
100-1501254125-225=-100-400
150-2001755175-225=-50-250
200-25022512225-225=00
250-3002752275-225=50100
300-3503252325-225=100200
Total 25 -350

लघुरीति (Shortcut Method):
माना a=225,तब d_{i}=x_{i}-225  
समान्तर माध्य (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =225-\frac{350}{25} \\ =225-14 \\ (\overline{X})=211 
Example:7.वायु में सल्फर डाई ऑक्साइड की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए,एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़ें एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है:

SO_{2} की सान्द्रताबारम्बारता
0.00-0.044
0.04-0.089
0.08-0.129
0.12-0.162
0.16-0.204
0.20-0.242

वायु में की सान्द्रता ज्ञात कीजिए।
Solution:

SO_{2} की सान्द्रताx_{i}बारम्बारताf_{i}d_{i}=x_{i}-0.10f_{i}d_{i}
0.00-0.040.0240.02-0.10=-0.08-0.32
0.04-0.080.0690.06-0.10=-0.04-0.36
0.08-0.120.1090.10-0.10=00
0.12-0.160.1420.14-0.10=0.040.08
0.16-0.200.1840.18-0.10=0.080.32
0.20-0.240.2220.22-0.10=0.120.24
  30 -0.04

लघुरीति (Shortcut Method):
माना a=0.10,तब d_{i}=x_{i}-0.10 
समान्तर माध्य (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =0.10+\frac{(-0.04)}{30} \\ =0.10-0.0013 \\ \Rightarrow (\overline{X})=0.0987 \\ \Rightarrow (\overline{X}) =0.099 लगभग
Example:8.किसी कक्षा में अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकाॅर्ड (Record) की।एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए:

दिनों की संख्याविद्यार्थियों की संख्या
0-611
6-1010
10-147
14-204
20-284
28-383
38-401

Solution:

दिनों की संख्याx_{i}विद्यार्थियों की संख्याf_{i}d_{i}=x_{i}-17f_{i}d_{i}
0-63113-17=-14-154
6-108108-17=-9-90
10-1412712-17=-5-35
14-2017417-17=00
20-2824424-17=728
28-3833333-17=1648
38-4039139-17=2222
Total 40 -181

लघुरीति (Shortcut Method):
माना a=17,तब d_{i}=x_{i}-17
समान्तर माध्य (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i}d_{i}}{\sum f_{i}} \\ =17+\frac{(-181)}{40}\\ =17-4.525\\ =12.475\\(\overline{X})=12.48 लगभग
Example:9.निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत) में, दर्शाती है।माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए:

साक्षरता(% में)नगरों की संख्या
45-553
55-6510
65-7511
75-858
85-953

Solution:

साक्षरता(% में)x_{i}नगरों की संख्या f_{i}d_{i}=x_{i}- 70u_{i}=\frac{x_{i} -150}{20}x_{i} u_{i}
45-5550350-70=-20-2-6
55-65601060-70=-10-1-10
65-75701170-70=000
75-8580880-70=1018
85-9590390-70=2026
Total 35  -2

पद विचलन विधि (Step Deviation Method):
a=70,h=10,u_{i}=\frac{x_{i}-70}{10} 
समान्तर माध्य (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}} \times h \\ =70+\left(\frac{-2}{35}\right) \times 10 \\ =70-\frac{20}{35} \\ =70-0.571 \\ \Rightarrow (\overline{X})=69.429 \approx 69.43 \%
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method),समूहित डेटा के लिए माध्य कैसे गणना करें? (How to Calculate Mean for Grouped Data) को समझ सकते हैं।

3.लघुरीति से समान्तर माध्य की समस्याएं (Mean By Shortcut Method Problems):

(1.)नीचे दी गई सारणी भारत के विभिन्न राज्यों एवं संघीय क्षेत्रों (union territories) के ग्रामीण क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में,महिला शिक्षकों के प्रतिशत बंटन को दर्शाती है।महिला शिक्षकों का माध्य ज्ञात कीजिए।

महिला शिक्षकों का प्रतिशतराज्यों/संघीय क्षेत्रों की संख्या
15-256
25-3511
35-457
45-554
55-654
65-752
75-851

(2.)नीचे दिया हुआ बंटन ,एकदिवसीय क्रिकेट मैचों में, गेंदबाजों द्वारा लिए गए विकिटों की संख्या दर्शाता है।विधि चुनते हुए, लिए गए विकिटों का माध्य ज्ञात कीजिए।यह माध्य क्या सूचित करता है?

विकिटों की संख्यागेंदबाजों की संख्या
20-607
60-1005
100-15016
150-25012
250-3502
350-4503

उत्तर (Answers):(1.)39.71 (2.)152.89
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method),समूहित डेटा के लिए माध्य कैसे गणना करें? (How to Calculate Mean for Grouped Data) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method),समूहित डेटा के लिए माध्य कैसे गणना करें? (How to Calculate Mean for Grouped Data) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.कल्पित माध्य विधि से माध्य कैसे ज्ञात किया जाता है? (How is mean determined by the assumed mean method?):

उत्तर:प्रथम चरण:प्राप्त किए गए सभी x_{i} में से किसी x_{i} को कल्पित माध्य (Assumed Mean) के रूप में चुन लें तथा इसे a से व्यक्त करें।साथ ही गणना कार्य को ओर अधिक सरल करने के लिए हम a को ऐसा x_{i} ले सकते हैं जो x_{1}, x_{2},x_{3} \ldots x_{n} के लगभग मध्य में हो।
द्वितीय चरण:a और प्रत्येक x_{i} के बीच का अंतर d_{i} ज्ञात किया जाए अर्थात् प्रत्येक x_{i} ,a से विचलन ज्ञात किया जाए अर्थात् d_{i} =x_{i}-a
तृतीय चरण:प्रत्येक d_{i} और उसके संगत f_{i} का गुणनफल ज्ञात करके सभी f_{i} d_{i} का योग ज्ञात किया जाए।
चतुर्थ चरण:अब (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}} में मान रखकर समांतर माध्य ज्ञात किया जाए।

प्रश्न:2.पद विचलन विधि से माध्य ज्ञात करने के महत्व पूर्ण बिन्दु लिखें।(Write important points of determining the mean by step deviation method):

उत्तर:(1.)पद विचलन विधि तभी सुविधाजनक होगी जबकि सभी d_{i} में कोई सार्वगुणनखंड है।
(2.)कल्पित माध्य विधि और पद विचलन विधि प्रत्यक्ष विधि के सरलीकृत रूप हैंं।
(3.)प्रत्यक्ष रीति,लघु रीति तथा पद विचलन विधि तीनों विधियों से प्राप्त माध्य समान प्राप्त होता है।

प्रश्न:3.समांतर माध्य ज्ञात करने की विधियों के सूत्र लिखिए। (Write the formulas for the methods of determining the arithmetic mean.):

उत्तर:समांतर माध्य ज्ञात करने की सामान्य पर तीन विधियां निम्नलिखित है
(1.)प्रत्यक्ष रीति (Direct Method)
(2.)अप्रत्यक्ष रीति (Indirect Method) या कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) या लघुरीति (Shortcut Method)
(3.)पद विचलन विधि (Step Deviation Method)
प्रत्यक्ष विधि सूत्र (Direct Method Formula): (\overline{X})=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}
अप्रत्यक्ष रीति सूत्र (Indirect Method Formula) या कल्पित माध्य विधि सूत्र (Assumed Mean Method Formula) या लघुरीति सूत्र (Shortcut Method Formula) (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}
पद विचलन विधि सूत्र (Step Deviation Method Formula) (\overline{X})=a+\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}} \times h
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method),समूहित डेटा के लिए माध्य कैसे गणना करें? (How to Calculate Mean for Grouped Data) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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लघुरीति से समान्तर माध्य
(Mean By Shortcut Method)

Mean By Shortcut Method

लघुरीति से समान्तर माध्य (Mean By Shortcut Method) ज्ञात करना इस आर्टिकल में सीखेंगे।वर्गीकृत
आँकड़ों में प्रत्येक वर्ग अन्तराल के लिए हमें एक ऐसे बिन्दु (मान) की आवश्यकता है जो पूरे अन्तराल
का प्रतिनिधित्व करे।

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