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Correlation Coefficient by Karl Pearson:The Ultimate Guide with Formulas and Solved Examples

July 25, 2026 Statistics No Comments
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1 1.कार्ल पियर्सन विधि से सहसम्बन्ध गुणांक:चरम गाइड सूत्रों और साधित उदाहरण के साथ (Correlation Coefficient by Karl Pearson:The Ultimate Guide with Formulas and Solved Examples):
1.1 2.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक का परिचय (Introduction to Correlation Coefficient by Karl Pearson):
1.2 3.कार्ल पियर्सन विधि ही क्यों? (Karl Pearson Method hi Kyun?):
1.2.1 4.स्टेप-बाइ-स्टेट गणना संरचना (प्रत्यक्ष विधि) [Step-by-Step Calculation Structure (Direct Method)]:
1.2.2 5.कार्ल पियर्सन के गुणांक के प्रमुख गुणधर्म (Key Properties of Correlation Coefficient by Karl Pearson):
1.2.3 6.हल किया गया उदाहरण:डायरेक्ट मेथड से कैलकुलेशन कैसे करें? (Solved Exampke:Direct Method Se Calculation Kaise Karein?):
1.2.4 7.कार्ल पियर्सन से सहसम्बन्ध गुणांक डायरेक्ट व शाॅर्ट-कट मेथड से कैलकुलेशन कैसे करें?
1.2.5 8.छात्र-छात्राओं के लिए कार्ल-पियर्सन विधि से सहसम्बन्ध गुणांक के प्रैक्टिस क्वेश्चंस (Practice Question of Correlation Coefficient by Karl Pearson for Students):
1.2.6 9.कार्ल पियर्सन विधि से सहसम्बन्ध गुणांक:चरम गाइड सूत्रों और साधित उदाहरण के साथ (Frequently Asked Questions Related to Correlation Coefficient by Karl Pearson:The Ultimate Guide with Formulas and Solved Examples):
1.2.7 प्रश्न:1.सहविचरण की मात्रा पर टिप्पणी लिखो। (Write a Comment on the Quantity of Co-variance):
1.2.8 प्रश्न:2.कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन कैसे करते हैं? (How do you calculate the Karl Pearson Correlation Coefficient?):
1.2.9 प्रश्न:3.कार्ल पियर्सन गुणांक ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulas to find the Correlation Coefficient by Karl Pearson):
1.3 **छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न**

1.कार्ल पियर्सन विधि से सहसम्बन्ध गुणांक:चरम गाइड सूत्रों और साधित उदाहरण के साथ (Correlation Coefficient by Karl Pearson:The Ultimate Guide with Formulas and Solved Examples):

कार्ल पियर्सन विधि से सहसम्बन्ध गुणांक (Correlation Coefficient by Karl Pearson) क्यों सबसे भरोसेमंद माना जाता है? दो चरों के बीच रैखिक सम्बन्ध को समझने के लिए विस्तृत और सम्पूर्ण गाइड जानिए।

2.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक का परिचय (Introduction to Correlation Coefficient by Karl Pearson):

सांख्यिकी में जब हम दो अलग-अलग बदलाव (चर) के बीच का रिश्ता समझना चाहते हैं,तो हमारे सामने सबसे बड़ा सवाल होता है:”क्या एक के बढ़ने या घटने से दूसरे पर कोई असर पड़ रहा है?”
जैसे:क्या किसी शहर में गर्मी (तापमान) बढ़ने से वहां आइसक्रीम की बिक्री भी बढ़ती है? क्या पढाई के घंटे बढ़ाने से परीक्षा के अंक सुधरते हैं?
इसे विस्तृत रूप से उदाहरण द्वारा समझाने के लिए हमने “Karl Pearson Correlation Coefficient” लेख लिखा है।इसके बारे में पूरी जानकारी के लिए इस लेख को पढ़ें।
दो चरों (variables) के बीच में इसी गणितीय और तार्किक रिश्ते को हम सहसंबंध (सह-संबंध) कहते हैं।  और इस रिश्ते को सबसे सटीक और संख्या में नापने का काम करता है:कार्ल पियर्सन सहसंबंध गुणांक।

3.कार्ल पियर्सन विधि ही क्यों? (Karl Pearson Method hi Kyun?):

ब्रिटिश गणितज्ञ कार्ल पियर्सन द्वारा विकसित की गई ये विधि दो चरों (variables) के बीच रैखिक सहसंबंध (linear relation) को नापने का सबसे शक्तिशाली और लोकप्रिय टूल है।इसे गणितीय रूप से ‘r’ से दर्शाया जाता है।इस पर हमने “Correlation by Karl Pearson Method” लेख लिखा है।उसमें बताया गया है कि रेखीय सम्बन्ध कितने प्रकार के होते हैं और उनकी व्याख्या की है (उदाहरणसहित)।पूरी जानकारी के लिए इसे पढ़ें।
इसका जवाब हमेशा -1.00 से +1.00 के बीच होता है।अगर आपका जवाब रेंज (range) से बाहर जा रहा है,तो समझ लीजिये कैलकुलेशन में कहीं गड़बड़ हुई है:+1 (perfect positive):एक चर बढ़ेगा,तो दूसरा भी उसी अनुरूप (अनुपात) में बढ़ेगा।
-1 (perfect negative): एक बढ़ेगा,तो दूसरा घटेगा (जैसी कार की स्पीड और मंजिल तक पहुंचने का समय)।
0 (कोई सहसंबंध नहीं):दोनों के बीच कोई रिश्ता नहीं है (जैसे आपके बालों की लम्बाई और आपका गणित का ज्ञान)।कार्ल पियर्सन के लक्षण और महत्त्व को हमने “KarlPearson Coefficient of Correlation” लेख में लघुविधि के उदाहरणों से समझाया है।विस्तृत जानकारी के लिए इस लेख को पढ़ें।
कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक की कुछ मान्यताएँ भी हैं और सम्भाव्य विभ्रम की थ्योरी को हमने लघुविधि से (short-cut method) उदाहरणों द्वारा “KarlPearson Correlation Coefficient” लेख में समझाया है।डिटेल जानकारी के लिए इस लेख को पढ़ें।
कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध क्या है? कार्ल पियर्सन के सभी सूत्र और उनकी व्युत्पत्ति की गहराई के लिए पढ़ें हमारा विस्तृत लेख “Coefficient of Correlation“

4.स्टेप-बाइ-स्टेट गणना संरचना (प्रत्यक्ष विधि) [Step-by-Step Calculation Structure (Direct Method)]:

स्टूडेंट्स को सांख्यिकी में सबसे ज्यादा परेशानियाँ टेबल बनाने और गणना के चरणों में होती है।आइये इसे एकदम सरल बनाते हैं। जब आप डायरेक्ट मेथड से कैलकुलेशन करते हैं,तो आपको 5 कॉलम की एक बेसिक टेबल बनानी होती है।
मान लीजिए हमारे पास दो वेरिएबल हैं:X और Y।
स्टेप 1:माध्य \overline{x} और \overline{y} निकालें।
सबसे पहले X और Y के सारे नंबरों को जोड़कर उनका माध्य निकालेंगे: \overline{x} = \frac{\sum x}{N} \text{ तथा } \overline{y} = \frac{\sum y}{N}
Step:2.विचलन (x और y) पता करें।
हर एक वैल्यू में से माध्य को घटाएं: x = X - \overline{x} \text{ और } y = Y - \overline{y} ।
Step:3.मानक तालिका बनाएं:
अपनी नोटबुक पर कैलकुलेशन के लिए इस प्रकार की तालिका संरचना का उपयोग करें:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & Y & \begin{array}{c} \text{Deviation} \\ x = X - \bar{x} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Deviation} \\ y = Y - \bar{y} \end{array} & x^2 & y^2 & \begin{array}{c} \text{product} \\ xy \end{array} \\ \hline X_1 & Y_1 & x_1 & y_1 & x_1^2 & y_1^2 & x_1y_1 \\X_2 & Y_2 & x_2 & y_2 & x_2^2 & y_2^2 & x_2y_2 \\\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \hline& & \Sigma x = 0 & \Sigma y = 0 & \Sigma x^2 & \Sigma y^2 & \Sigma xy \\ \hline \end{array}
स्टेप 4:फॉर्मूला में मान रखें
टेबल के आखिर में जो कुल \Sigma x^2 , \Sigma y^2 और \Sigma xy मिलेगा,वह मानक फॉर्मूला है में रख दें:
r = \frac{\sum xy}{\sqrt{\sum x^2 \cdot \sum y^2}}
सहसंबंध का गुणांक निकालने की पूरी विधि और शॉर्ट-कट तरीकों को व्यावहारिक उदारणों के साथ देखने के लिए पढ़ें “Correlation Statistics Solved Problems”

5.कार्ल पियर्सन के गुणांक के प्रमुख गुणधर्म (Key Properties of Correlation Coefficient by Karl Pearson):

परीक्षा के दृष्टिकोण से कार्ल पियर्सन का सहसंबंध गुणांक के गुण अत्यंत महत्त्वपूर्ण हैं।कई बार विश्वविद्यालय परीक्षाओं में छोटी टिप्पणी या सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं।आइये इनकी सबसे खास प्रॉपर्टीज को आसान शब्दों में समझते हैं:
शुद्ध संख्या (कोई इकाई नहीं होती):कार्ल पियर्सन का सहसंबंध गुणांक (r) एक शुद्ध संख्या है।इसका मतलब ये है कि अगर आप दो अलग-अलग इकाइयों वाले डेटा (जैसे ऊंचाई सेंटीमीटर में और वजन किलोग्राम में) का सहसंबंध निकाल रहे हैं,तो जवाब के आखिर में सेमी या किलो नहीं लिखा जाता।ये यूनिट-फ्री होता है।
मूलबिन्दु और पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र:ये इसकी सबसे बड़ी और जादुई गुणधर्म है।
मूलबिन्दु में परिवर्तन:अगर आप अपने पूरे कच्चे डेटा (X और Y) में कोई एक निश्चित संख्या जोड़ते हैं या घटाते हैं।
स्केल में बदलाव:अगर आप पूरे डेटा को किसी निश्चित संख्या से गुणा करते हैं या भाग (विभाजित) करते हैं।
दोनों ही स्थितियों में r का अंतिम उत्तर बिल्कुल नहीं बदलता।इसी कारण से बड़े डेटा को छोटा करने के लिए हम ‘शॉर्ट-कट’ या ‘स्टेप-डेविएशन’ विधि का उपयोग आसानी से कर पाते हैं।
सममित गुण (Symmetry Property):आप चाहें X का रिश्ता Y से निकालें या Y का रिश्ता X से,दोनों का परिणाम एकदम बराबर होता है।
सीमाएं (-1 से +1 के बीच):जैसा कि हमने शुरुआत में बताया,इसका गणितीय मूल्य हमेशा -1 से +1 तक होता है।
सभी गुणधर्मों के संपूर्ण सैद्धांतिक गणितीय प्रमाण देखने के लिए यहां क्लिक करें:”(Exam Special) Karl Pearson Correlation Method: Formula ,Properties aur Solved Examples“

6.हल किया गया उदाहरण:डायरेक्ट मेथड से कैलकुलेशन कैसे करें? (Solved Exampke:Direct Method Se Calculation Kaise Karein?):

आइए एक व्यावहारिक उदाहरण से समझें कि परीक्षा में जब डेटा दिया हो,तो डायरेक्ट मेथड का उपयोग करके टेबल कैसे बनाएं और सहसंबंध कैसे कैलकुलेट करें।
प्रश्न:नीचे दिए गए X और Y सीरीज के डेटा के बीच कार्ल पियर्सन कोरिलेशन का गुणांक ज्ञान दीजिए।
\begin{array}{|c|c|c|c|c||} \hline X \text{ series : } 6 & 8 & 10 & 12 & 14 \\Y \text{ series : } 9 & 11 & 10 & 15 & 15 \\ \hline \end{array}
(Niche diye gaye X aur Y series ke data ke beech Correlation Coefficient by Karl Pearson gyat kijiye.)
X series: 6,8,10,12,14
Y series: 9,11,10,15,15
Solution:Step-by-Step
Step:1.सबसे पहले माध्य \overline{x} \text{ और} \\ \overline{y} \text{ पता करें। हमारा } \overline{x} = \frac{50}{5} = 10 \\ \text{और } \overline{y} = \frac{60}{5} = 12 आया है।
स्टेप:2.Deviation aur Calculation Table
x= (X-10) और y= (Y-12) निकलेंगे और उनका स्क्वायर और प्रोडक्ट करेंगे।
स्टेप:3. Table
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & Y & \begin{array}{c} \text{Deviation} \\ x = X - 10 \end{array} & \begin{array}{c} \text{Deviation} \\ y = Y - 12 \end{array} & x^2 & y^2 & \begin{array}{c} \text{Product} \\ xy \end{array} \\ \hline6 & 9 & 6 - 10 = -4 & 9 - 12 = -3 & 16 & 9 & 12 \\8 & 11 & 8 - 10 = -2 & 11 - 12 = -1 & 4 & 1 & 2 \\10 & 10 & 10 - 10 = 0 & 10 - 12 = -2 & 0 & 4 & 0 \\12 & 15 & 12 - 10 = 2 & 15 - 12 = 3 & 4 & 9 & 6 \\14 & 15 & 14 - 10 = 4 & 15 - 12 = 3 & 16 & 9 & 12 \\ \hline\sum X = 50 & \sum Y = 60 & \sum x = 0 & \sum y = 0 & \sum x^2 = 40 & \sum y^2 = 32 & \sum xy = 32 \\ \hline\end{array}
Step :4 r = \frac{\sum xy}{\sqrt{\Sigma x^2 \cdot \Sigma y^2}} \\ = \frac{32}{\sqrt{40 \times 32}} = \sqrt{\frac{32}{40}} \\ \Rightarrow r = \sqrt{\frac{4}{5}} = +0.894 \\ \Rightarrow r \approx +0.894
ये दर्शाता है कि x और y के बीच एक उच्च धनात्मक सह-संबंध है।यानी जब X बढ़ेगा,तो Y भी बढ़ेगा।
अलग-अलग विधियों और परीक्षा विशेष प्रश्न अभ्यास:
अगर आप परीक्षा के लिए इस विषय को 100% पक्का करना चाहते हैं,तो अलग-अलग डेटा विविधताओं के साथ हमारे लेखों में जरूर हल करें:
अप्रत्यक्ष डेटा और आसान श्रृंखला के हल किए गए उदाहरणों के लिए:”Correlation Examples with Solution in Statistics“
विश्वविद्यालय परीक्षा में पिछले सालों में पूछे गये कुछ सवालों के समाधान के लिए:”University Exam Correlation Questions with Solution“

7.कार्ल पियर्सन से सहसम्बन्ध गुणांक डायरेक्ट व शाॅर्ट-कट मेथड से कैलकुलेशन कैसे करें?

Example:3.दो पद-मालाओं (X और X) के माध्यों से निकाले गए विचलन क्रमशः निम्न प्रकार हैं।आप कार्ल पियर्सन का सह-सम्बन्ध गुणांक निकालिए और अपने परिणाम का विवेचन कीजिए:
(The deviations taken from the means of two series X and Y are as follows.Calculate Kari Pearson’s coefficient of correlation and comment upon the result):
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X : -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\Y : 3 & -3 & -4 & 0 & 4 & 1 & 2 & -2 & -1 \\ \hline \end{array}
[M. Com.,Vikram,1969]
Solution:Calculation Table of Correlation Coefficient by Karl Pearson
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & Y & X^2 & Y^2 & \text{Product of Deviation} \\ \hline-4 & 3 & 16 & 9 & -12 \\-3 & -3 & 9 & 9 & 9 \\-2 & -4 & 4 & 16 & 8 \\-1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0 & 16 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\2 & 2 & 4 & 4 & 4 \\3 & -2 & 9 & 4 & -6 \\4 & -1 & 16 & 1 & -4 \\ \hline\sum X = 0 & \sum Y = 0 & \sum X^2 = 60 & \sum Y^2 = 60 & \sum XY = 0 \\ \hline \end{array}
Correlation Coefficient by Karl Pearson (Direct Method)
r = \frac{\sum XY}{\sqrt{\sum X^2 \sum Y^2}} = \frac{0}{\sqrt{60 \times 60}} \\ \Rightarrow r=0
X y सह-सम्बन्ध
Example:3.निम्न सारणी आयु और अन्धापन में सह-सम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following table,find correlation coefficient between age and blindness):

\begin{array}{|c|c|c|} \hline\text{Age} & \text{No. of Persons (in thousands)} & \text{No. of Blind} \\ \hline0-10 & 100 & 55 \\10-20 & 60 & 40 \\20-30 & 40 & 40 \\30-40 & 36 & 40 \\40-50 & 24 & 36 \\50-60 & 11 & 22 \\60-70 & 6 & 18 \\70-80 & 3 & 15 \\ \hline\end{array}
[B. Com.,Punjab,1969, 66;M. A., Raj.,1972; Lucknow,1965]
Solution:Calculation Table of Correlation Coefficient by Karl Pearson
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{No. of persons} & \text{No. of blind} & \text{Percentage of blinds} \\ \hline100 & 55 & \frac{55}{100} \times 100 = 55 \\60 & 40 & \frac{40}{60} \times 100 \approx 67 \\40 & 40 & \frac{40}{40} \times 100 = 100 \\36 & 40 & \frac{40}{36} \times 100 \approx 111 \\24 & 36 & \frac{36}{24} \times 100 = 150 \\11 & 22 & \frac{22}{11} \times 100 = 200 \\6 & 18 & \frac{18}{6} \times 100 = 300 \\3 & 15 & \frac{15}{3} \times 100 = 500 \\ \hline \end{array}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Age } X & \text{M.V. } x & \begin{array}{c} \text{deviation} \\ dx = A - X \end{array} & d^2x & \begin{array}{c} \text{Percentage} \\ \text{of blinds } Y \end{array} & \begin{array}{c} \text{deviation} \\ dy = Y - 150 \end{array} & d^2y & \begin{array}{c} \text{product of} \\ \text{deviation } dxdy \end{array} \\ \hline0-10 & 5 & -40 & 1600 & 55 & -95 & 9025 & 3800 \\10-20 & 15 & -30 & 900 & 67 & -83 & 6889 & 2490 \\20-30 & 25 & -20 & 400 & 100 & -50 & 2500 & 1000 \\30-40 & 35 & -10 & 100 & 111 & -39 & 1521 & 390 \\40-50 & 45 & 0 & 0 & 150 & 0 & 0 & 0 \\50-60 & 55 & 10 & 100 & 200 & 50 & 2500 & 500 \\60-70 & 65 & 20 & 400 & 300 & 150 & 22500 & 3000 \\70-80 & 75 & 30 & 900 & 500 & 350 & 122500 & 10500 \\ \hline& & \sum dx = -40 & \sum d^2x = 4400 & & \sum dy = 283 & \sum d^2y = 165185 & \sum dxdy = 21680 \\ \hline \end{array}
Karl Pearson coefficient correlation (Short-cut method)
r = \frac{N \sum dxdy - (\sum dx \times \sum dy)}{\sqrt{[N \sum d^2x - (\sum dx)^2][N \sum d^2y - (\sum dy)^2]}} \\ = \frac{8 \times 21680 - (-40 \times 283)}{\sqrt{[8 \times 4400 - (-40)^2][8 \times 165185 - (283)^2]}} \\ = \frac{173440 + 11320}{\sqrt{(35200 - 1600)(1321480 - 80089)}} \\ = \frac{184760}{\sqrt{33600 \times 1241391}} \\ = \frac{184760}{\sqrt{4171037600}} \approx \frac{184760}{204232.068} \\ \Rightarrow r \approx +0.904
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कार्ल पियर्सन विधि से सहसम्बन्ध गुणांक:चरम गाइड सूत्रों और साधित उदाहरण के साथ (Correlation Coefficient by Karl Pearson:The Ultimate Guide with Formulas and Solved Examples) को समझ सकते हैं।

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8.छात्र-छात्राओं के लिए कार्ल-पियर्सन विधि से सहसम्बन्ध गुणांक के प्रैक्टिस क्वेश्चंस (Practice Question of Correlation Coefficient by Karl Pearson for Students):

(1.)निम्न सारणी में भारत में निर्यात किये कच्चे कपास के मूल्य तथा भारत में आयात किये निर्मित माल के मूल्य में (करोड़ रुपये में) प्रस्तुत है:
(The following table gives the value of exports of raw cotton from India and the value of the import of manufactured cotton goods into India (in crores of Rs.):
वर्ष (year) निर्यात (Exports)Rs. आयात (Imports) Rs.
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Years (वर्ष)} & \text{Exports (निर्यात)} & \text{Imports (आयात)} \\ \hline 1970-71 & 42 & 56 \\ 1975-76 & 44 & 49 \\ 1980-81 & 58 & 53 \\ 1985-86 & 55 & 58 \\ 1990-91 & 89 & 65 \\ 1995-96 & 98 & 76 \\ 2000-01 & 66 & 58 \\ \hline \end{array}
निर्यात किए कच्चे कपास के मूल्य तथा आयात किये निर्मित माल के मूल्य में सहसम्बन्ध गुणांक की परिगणना कीजिए।
(Calculate the coefficient of correlation between the value of the exports of raw cotton and the value of imports of cotton manufactured goods.
(2.)निम्नलिखित सूचनाओं के आधार पर ज्ञात कीजिए कि क्या आयु तथा अशिक्षा में सहसम्बन्ध है:
(Find out if there is any correlation between age & illiteracy from the following information):
Age group Population (in thousand) Illiterates (in hundred)
\begin{array}{|c|c|c|} \hline\text{Age group} & \text{Population (in thousands)} & \text{Illiterates (in hundred)} \\ \hline10-20 & 120 & 100 \\20-30 & 100 & 75 \\30-40 & 80 & 60 \\40-50 & 50 & 30 \\50-60 & 25 & 20 \\60-70 & 15 & 10 \\70-80 & 5 & 5 \\ \hline\end{array}
उत्तर (Answers):(1.)r=+0.904 दोनों मदों के मूल्यों में उच्च स्तर का धनात्मक सहसम्बन्ध है। (3.)0.242 It means there is a low degree of Correlation between age and illiteracy
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आप कार्ल पियर्सन विधि से सहसम्बन्ध गुणांक:चरम गाइड सूत्रों और साधित उदाहरण के साथ (Correlation Coefficient by Karl Pearson:The Ultimate Guide with Formulas and Solved Examples) को अच्छी तरह से समझ सकते हैं क्योंकि स्वयं प्रैक्टिकल रूप से हल करने पर कांसेप्ट अच्छी तरह समझ में आती है।
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*पूरा आर्टिकल पढ़ने के लिए आपका वेलकम है!*

9.कार्ल पियर्सन विधि से सहसम्बन्ध गुणांक:चरम गाइड सूत्रों और साधित उदाहरण के साथ (Frequently Asked Questions Related to Correlation Coefficient by Karl Pearson:The Ultimate Guide with Formulas and Solved Examples):

प्रश्न:1.सहविचरण की मात्रा पर टिप्पणी लिखो। (Write a Comment on the Quantity of Co-variance):

उत्तर:इस गुणांक को ज्ञात करने के लिए प्रत्येक समंकमाला में समान्तर माध्य से विचलनों की मात्रा ज्ञात करनी पड़ती है।फिर दोनों मालाओं के तत्संबंधी विचलनों की गुणा करके गुणनफलों के जोड़ को मूल्यों की संख्या से भाग दिया जाता है।
Co-Variance =\frac{\Sigma dxdy}{N}

प्रश्न:2.कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन कैसे करते हैं? (How do you calculate the Karl Pearson Correlation Coefficient?):

उत्तर:कार्ल पियर्सन का सह-सम्बन्ध गुणांक निकालने के लिए पहले सह-विचरण का माप (Co-variance) ज्ञात किया जाता है,फिर इस निरपेक्ष माप को गुणांक में परिवर्तित करने के लिए दोनों श्रेणियों के प्रमाप-विचलनों (Standard deviation) के गुणनफल से भाग दे दिया जाता है।इस प्रकार उपलब्ध अनुपात ही कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक कहलाता है (Correlation Coefficient by Karl Pearson)।
r=\frac{\frac{\Sigma dx dy}{N}}{\sigma_x \sigma_y} or r=\frac{\Sigma dxdy}{ N \sigma_x \sigma_y}
यह पियर्सन के सहसम्बन्ध गुणांक का मूल सूत्र (Original Formula of Correlation Coefficient by Karl Pearson) है।

प्रश्न:3.कार्ल पियर्सन गुणांक ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulas to find the Correlation Coefficient by Karl Pearson):

उत्तर:(1.)प्रत्यक्ष रीति (Direct Method)
r=\frac{\Sigma dxdy}{ \sqrt{\Sigma d^2 x \times \Sigma d^2 y }}
(2.)अप्रत्यक्ष रीति (Short-cut Method)
r=\frac{N \sum dxdy - (\sum dx \times \sum dy)}{\sqrt{[N \Sigma d^2 x-(\Sigma dx)^2][N \Sigma d^2 y-(\Sigma dy)^2]}}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कार्ल पियर्सन विधि से सहसम्बन्ध गुणांक:चरम गाइड सूत्रों और साधित उदाहरण के साथ (Correlation Coefficient by Karl Pearson:The Ultimate Guide with Formulas and Solved Examples) की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जान सकते हैं।

**छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न**

*”एक स्कूल रैली में लड़कियों से लड़कों की संख्या का अनुपात 3.5:4.5 है,अगर लड़कियों की संख्या 1540 है तो रैली में कितने भागीदार हैं? (लड़के और लड़कियां मिलाकर)।”*
**Today’s Question to Students**
*”The ratio of the number of girls to boys in a school rally is 3.5 : 4.5, if the number of girls is 1540 then how many participants are there in the rally? (Boys and girls combined).”*
*पिछली प्रश्नोत्तरी का उत्तर*
320\sqrt{5} + 460 \text{ का } ? \% = 1270 - 44 \times \frac{1}{4} - 44 \times 4 \\ \Rightarrow 320 \times 2.236 + 460 \times \frac{?}{100} = 1270 - 11 - 176 \\ \Rightarrow 715.52 + 460 \times \frac{?}{100} = 1083 \\ \Rightarrow 350 \times \frac{?}{100} = 367.48 \\ \Rightarrow ? = 80\% \text{ (लगभग)}
*Previous Quiz Solution*
320\sqrt{5} + 460 \text{ of } ?\% = 1270 - 40 \times \frac{1}{4} - 44 \times 4 \\ \Rightarrow 320\sqrt{5} + 460 \times \frac{?}{100} = 1270 - 1 - 176 \\ \Rightarrow 715.52 + 460 \times \frac{?}{100} = 1083 \\ \Rightarrow 350 \times \frac{?}{100} = 367.48 \\ \Rightarrow ? = 80\% \text{ (Approx.)}
*”यह आर्टिकल **Satyam Mathematics** ब्लॉग पर **Satyam Coaching Centre** के द्वारा तैयार किया गया है।”*

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Sanjay Kumawat

(1.)**Satyam Narain Kumawat** **Website Name:Satyam Mathematics** *Owner:satyamcoachingcentre.in* *Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)* **Teaching Mathematics aur Anya Anubhav** ***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan ***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav ***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan* ****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.A dedicated math expert with 23+ years of teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.After guiding thousands of students through Satyam Coaching Center,now share Mathematics,Trigonometry (Upto M.sc) and Educational Strategies in simple language on this blog from December 2018.* (2.)**(Technical Expert & Co-Admin):** ***Name:Sanjay Kumawat* *Qualification:Graduate in Mechanical Engineering (B.Tec) in 2013* *Profession:Physics Lecturer* *Teaching Experience:15 Years and Teaching to NEET,JEE Students* *Technical Experience:5 Years Coding and Article Editing,Classic Photo Editing by Laptop in Satyam Coaching Centre Blog* *A school lecturer and digital content strategist.On this blog,he handles all the responsibility of coding,image editing,SEO, and technical management,so that the mathematical content reaches the readers in a very accurate and beautiful form.* Updated on 15.06.2026

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