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Coefficient of Variation in Statistics

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1 1.सांख्यिकी में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics),हिन्दी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in hindi):

1.सांख्यिकी में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics),हिन्दी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in hindi):

सांख्यिकी में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics) एक सापेक्ष माप (relative measures) है।इसका प्रतिपादन कार्ल पियर्सन (Karl Pearson) ने 1895 में किया था।अतः इसे कार्ल पियर्सन का विचरण गुणांक (Karl Pearson’s Coefficient of Variation) भी कहते हैं।कार्ल पियर्सन के अनुसार, “विचरण-गुणांक माध्य में होने वाला प्रतिशत विचरण है जबकि प्रमाप विचलन को माध्य में होने वाला सम्पूर्ण विचरण माना जाता है।” इसका प्रयोग दो समूहों की अस्थिरता (Variability),सजातीयता (Homogeneity),स्थिरता (Stability) तथा संगति (Consistency) की तुलना के लिए किया जाता है। जिस श्रेणी में विचरण गुणांक कम होता है वह श्रेणी उस श्रेणी से अधिक स्थिर (संगत) होती है जिसमें विचरण गुणांक अधिक होता है।

विचरण गुणांक(Coefficient of Variation)=\bar{X}=\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100
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2.सांख्यिकी में विचरण-गुणांक के साधित उदाहरण (Coefficient of Variation in Statistics Solved Examples):

Example:1.X तथा Y अंशों के मूल्य निम्नवत् हैं। इनके आधार पर यह बतलाइए कि कौन-से अंश के मूल्य में अधिक स्थिरता है:
(From the prices of shares X and Y given below, State which share is more stable in value):

MonthShare XShare Y
Jan55108
Feb54107
March52105
April53105
May56106
June58107
July52104
Aug50103
Sept51104
Oct49101

Solution:Calculation of Coefficient of Variation

MonthShare XDeviation(d) 
\bar{X}=53
d^{2}Share YDeviation(d) 
\bar{X}=105
d^{2}
   
Jan552410839
Feb541110724
March52-1110500
April530010500
May563910611
June5852510724
July52-11104-11
Aug50-39103-24
Sept51-24104-11
Oct49-416101-416
Total530 701050 40

Share X

\bar{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{530}{10}=53\\ \sigma = \sqrt{\frac{\Sigma d^{2}}{N}}\\ =\sqrt{\frac{70}{10}}\\ =\sqrt{7}\\ \sigma=2.6457\\ \sigma \approx 2.65 \\ \text{C.V.} =\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\\ =\frac{2.65}{53} \times 100 \Rightarrow \text{C.V.} =5 \%

Share Y

\bar{Y} =\frac{\Sigma Y}{N} \\ =\frac{1050}{10} \\ \Rightarrow \bar{Y} =105 \\ \sigma =\sqrt{\frac{\Sigma d^{2}}{N}} \\ =\sqrt{\frac{40}{10}} \\ =\sqrt{4} \\ \Rightarrow \sigma =2 \\ \text{C.V.}=\frac{\sigma}{\bar{Y}} \times 100 \\ =\frac{2}{105} \times 100 \\ =\frac{200}{105} \\ =1.9047 \% \\ \text{C.V.}=1.905 \%
Y is more stable in value
Example:2.A और B बल्लेबाजों द्वारा विभिन्न पारियों में बनाये गये रनों की संख्या निम्नवत् है,बतलाइए कि कौन-सा बल्लेबाज अधिक अच्छा है:
(The runs made by 2 batsmen A and B in different innings are given below, State which batsman is better):

AB
1247
11512
676
7342
74
1951
11937
3648
8413
290

Solution:Calculation of Coefficient of Variation

Runs made by ADeviation(d) 
\bar{X}=50
d^{2}Runs made by BDeviation(d) 
\bar{X}=33
d^{2}
  
12-3814444714196
11565422512-21441
6-44193676431849
732352942981
7-4318494-29841
19-319615118324
11969476137416
36-141964815225
8434115613-20400
29-214410-331089
Total=500 17498330 5462

Batsman A

\bar{X} =\frac{\Sigma X}{N} \\ =\frac{500}{10} \\ \Rightarrow \bar{X} =50 \\ \sigma =\sqrt{\frac{\Sigma d^{2}}{N}} \\=\sqrt{\frac{17498}{10}} \\ =\sqrt{1749.8} \\ =41.8306 \\ \sigma \approx 41.831 \\ \text { C.V.}=\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \\ \text { C.V.}=\frac{41.831}{50} \times 100=\\ =83.662 \%

Batsman B

\bar{Y}=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{330}{10}=33\\ \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^{2}}{N}}\\ =\sqrt{\frac{5462}{10}}\\ =\sqrt{546.2}\\ =23.3709\\ \sigma \approx 23.371\\ \text{C.V.}=\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100\\ =\frac{23.37}{33} \times 100 =70.821 \\ \text{C.V.} \approx 70.82 \%
B batsman is better of two
Example:3.निम्न समंकों से विचरणता की तुलना कीजिए :
(Compare the variability from the following data):

YearAjmerJaipur
1911160228
1921175213
1931172173
1941172204
1951157198
1961184205
1971261263

Solution:Calculation of Coefficient of Variation

YearAjmer(X)deviations(dx)d^{2} xJaipurDeviations(dy)d^{2} y
  from A=172 from  A=204
1911160-1214422824576
192117539213981
193117200173981
19411720020400
1951157-15225198-636
19611841214420511
1971261897921263593481
 12817784431524964256

\bar{X}=\frac{\Sigma X}{N}\\ =\frac{1281}{7}\\ \Rightarrow \bar{X}=183\\ \sigma_{x}= \sqrt{\frac{\Sigma d^{2} x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^{2}}\\ =\sqrt{\frac{8443}{7}-\left(\frac{77}{7}\right)^{2}}\\ =\sqrt{1206.142857-\frac{5929}{49}} \\ =\sqrt{1206.142857-121} \\ =\sqrt{1085.142857} \\ =35.9415066\\ \Rightarrow \sigma \approx 32.94\\ \text{C.V.}=\frac{\sigma_{x}}{\bar{X}} \times 100\\ =\frac{32.94}{183} \times 100=18 \% \\ \bar{Y}=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{1524}{7} \\ \Rightarrow \bar{Y} =217.71\\ \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\Sigma d^{2} y}{N}-\left(\frac{\Sigma d y}{N}\right)^{2}}\\ =\sqrt{\frac{4256}{7} -\left(\frac{96}{7}\right)^{2}}\\ =\sqrt{608-\frac{9216}{49}}\\=\sqrt{608-188.08116327} \\= \sqrt{419.9188837}\\ \sigma_{y} \approx 20.49 \\ \text {C.V.} =\frac{\sigma_{y}}{\bar{Y}} \times 100 \\ =\frac{20.49}{217.71} \times 100 \\ =9.4116 \\ \Rightarrow \text {C.V.} \approx 9.41 \%
Ajmer is more variable

Example:4.निम्न दो श्रेणियों से प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।किस श्रेणी में विचरणता अधिक है, बताइए:
(From the following two series,calculate standard deviation and state which series has greater variation):

Series ASeries B
19283
28893
23693
228109
184124
260126
284126
291101
330102
243108

Solution:Calculation of Coefficient of Variation

Series ADeviation(dx)d^{2} xSeries BDeviation(dy)d^{2} y
 from A=260 from A=109
192-68462483-26676
2882878493-16256
236-2457693-16256
228-32102410900
184-76577612415225
2600012617289
2841241537612617289
29131961101-864
330704900102-749
243-17289108-11
263636343101065-252105

Series A

\bar{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{2636}{10}\\ \Rightarrow \bar{X}=263.6 \\ \sigma_{x}= \sqrt{\frac{\Sigma d^{2} x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^{2}}\\=\sqrt{\frac{34310}{10}-\left(\frac{36}{10}\right)^{2}}\\ =\sqrt{3431-12.96}\\ =\sqrt{3418.04}\\ =58.464\\ \sigma_{x} \approx 58.5\\ \text{C.V.}= \frac{\sigma_{x}}{\bar{X}} \times 100 \\ =\frac{58.5 \times 100}{263.6} \\ \text{C.V.}=2.19 \%

Series B

\bar{Y}=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{1065}{10}\\ \Rightarrow \bar{Y}=106.5\\ \sigma_{y}= \sqrt{\frac{\Sigma d^{2} y}{N}-\left(\frac{\Sigma d y}{N}\right)^{2}}\\ =\sqrt{\frac{2105}{10}-\left(\frac{-25}{10}\right)^{2}}\\ =\sqrt{210.5-\frac{625}{100}}\\ =\sqrt{210.5-6.25}\\ =\sqrt{204.25}\\ \Rightarrow \sigma_{y} \approx 14.29\\ \text{C.V.} =\frac{\sigma_{y}}{\bar{Y}} \times 100 \\ =\frac{14.29}{106.5} \times 100 \\ =13.417 \approx 13.42 \%

A is more variable
Example:5.एक फैक्ट्री के उत्पादन में से 5 इकाइयों का एक प्रतिदर्श लिया गया।उनकी लम्बाई तथा भार निम्नवत् था:
(A sample of 5 items was taken from the output of a factory the length and weight of which as follows):

Lengths(inches)Weight(ozs)
39
411
614
715
1016

इन दो विशेषताओं के विचरण गुणांक की तुलना करके बताइए कि किसमें विचरणता अधिक है?
(By comparing the coefficient of variation of two characteristics state which one is more variable):
Solution:Calculation of Coefficient of Variation

Lengths(inches)Deviation(d) from
\bar{X}=6
d^{2} Weight(ozs)Deviation(d) from
\bar{Y}=13
d^{2}
(X)Y
3-399-416
4-2411-24
6001411
7111524
104161639
30 3065 34

Lengths:

\bar{X}=\frac{\Sigma X}{N}\\ =\frac{30}{5}\\ \Rightarrow \bar{X}=6\\ \sigma_{x}=\sqrt{\frac{\Sigma d^{2}}{N}}\\ =\sqrt{\frac{30}{5}}\\ =\sqrt{6}\\ \sigma_{x}=2.4494\\ \sigma_{x} \approx 2.45\\ \text{C.V.} =\frac{\sigma_{x}}{\bar{X}} \\ =\frac{2.45 \times 100}{6}\\ \Rightarrow \text{C.V.}=40.83 \%

Weight

\bar{Y}=\frac{\Sigma Y}{N}\\ =\frac{65}{5}\\ \Rightarrow \bar{Y}=13 \\ \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\Sigma d^{2}}{N}} \\ =\sqrt{\frac{34}{5}}\\ =\sqrt{6.8}\\ =2.6076\\ \Rightarrow \sigma_{y} \approx 2.61\\ \text{C.V.}=\frac{\sigma_{y}}{\bar{Y}} \times 100\\ =\frac{2.61}{13} \times 100=20.076\\ \Rightarrow \text{C.V.} \approx 20.08 \%

Length is more variable
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics),हिन्दी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in hindi) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में विचरण-गुणांक पर आधारित सवाल (Questions Based on Coefficient of Variation in Statistics):

(1.)निम्नलिखित श्रेणियों द्वारा प्रमाप विचलन गुणांक निकालिए और उसके आधार पर टिप्पणी कीजिए कि इन श्रेणियों में किसमें अधिक विचरण है:
(From the following data find the coefficient of standard deviation and on that basis state which of the two series is more variable):

Series ASeries B
19580
28088
23895
239110
185125
265128
340125
290100
235105
250108

(2.)दो विद्यार्थियों जिन्होंने समान विषय लिया था, निम्नलिखित अंक प्राप्त करते हैं।ज्ञात कीजिए कि उनमें कौन अधिक संगत है?
(Two students offering the same course obtain following marks.Find who is more consistent):

AB
5856
5987
6089
6546
6693
5265
7544
3154
4678
4868

उत्तर (Answers):(1.) C. of \sigma A=171,B=45 A is more variable
(2.)C.V. of A=29.9%,B=25.2% B is more consistent
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics),हिन्दी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in hindi) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Standard Deviation by Short-cut Method

4.सांख्यिकी में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics),हिन्दी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in hindi) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अपकिरण की निरपेक्ष और सापेक्ष माप में क्या अन्तर है? (What is the difference between absolute and relative measures of dispersion?):

उत्तर:निरपेक्ष माप (Absolute Measure):
यह माप अपकिरण की मात्रा को बतलाता है और उसी इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसमें मूल समंक व्यक्त किये गये हैं यथा रूपए,मीटर,लीटर,किग्रा,वर्ष आदि। निरपेक्ष माप दो श्रेणियों की तुलना करने हेतु प्रयोग नहीं किया जा सकता है।
सापेक्ष माप (Relative Measures):
सापेक्ष अपकिरण कुल अपकिरण का किसी प्रमाप मूल्य से विभाजन करने से प्राप्त होता है और अनुपात या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है (दो या दो से अधिक श्रेणियों की तुलना करने हेतु सापेक्ष माप का प्रयोग किया जाता है।

प्रश्न:2.अपकिरण की विभिन्न माप कौन-कौनसी हैं? (What are the various measures of dispersion?):

उत्तर:अपकिरण की विभिन्न माप (Different Measures of Dispersion)
अपकिरण ज्ञात करने की विभिन्न रीतियाँ निम्नलिखित चार्ट में प्रस्तुत है:
\begin{array}{|l|l|l} \hline \text { सीमा रीतियाँ (Methods of Limits) } & \text { विचलन माध्य रीतियाँ (Methods of Averaging Deviation) } \\ \hline \text { (1.)विस्तार (Range) } & \text { (1.)माध्य विचलन (Mean Deviation) } \\ \hline \text { (2.)अन्तर-चतुर्थक विस्तार (Inter-Quartile Range) } & \text { (2.)प्रमाप विचलन (Standard Deviation) } \\ \hline \text { (3.)शतमक विस्तार (Percentile Range) } & \text { (3.)अन्य माप (Other Measures) } \\ \hline \text { (4.)चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation) } & \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|l|} \hline \quad \quad \quad \downarrow \downarrow \\ \text { बिन्दु रेखीय रीति (Graphic Method): }\\ \text { (1.)लाॅरेन्ज वक्र (Lorenz Curve) } \\ \hline \end{array}

प्रश्न:3.संक्षिप्त टिप्पणियाँ लिखिए (Write short notes on):

(1.)विचरण गुणांक (Coefficient of Variation)
(2.)प्रसरण (Variance)
उत्तर:(1.)विचरण गुणांक (Coefficient of Variation):
दो या दो से अधिक श्रेणियों में अपकिरण की मात्रा की तुलना करने के लिए विचरण-गुणांक का प्रयोग किया जाता है।विचरण-गुणांक ज्ञात करने हेतु प्रमाप विचलन के गुणांक को 100 से गुणा कर देते हैं तो यह विचरण-गुणांक कहलाता है।
सूत्रानुसार C.V.=\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100
(2.)प्रसरण (Variance):
किसी श्रेणी के माध्य से विचलनों के वर्गों का समान्तर माध्य द्वितीय अपकिरण माध्य (Second Moment of Dispersion) अथवा प्रसरण (Variance) कहलाता है।प्रमाप विचलन इसी मूल्य का वर्गमूल है।
प्रसरण का सूत्र=\sigma^{2}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics),हिन्दी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in hindi) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Coefficient of Variation in Statistics

सांख्यिकी में विचरण-गुणांक
(Coefficient of Variation in Statistics)

Coefficient of Variation in Statistics

सांख्यिकी में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics) एक सापेक्ष माप
(relative measures) है।इसका प्रतिपादन कार्ल पियर्सन (Karl Pearson) ने 1895 में किया था।

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