1.परिरेखा समाकलन विधि के लिए टिप्स (Tips for Method of Contour Integration),परिरेखा समाकलन विधि के अनुप्रयोग (Use Method of Contour Integration):

Tips for Method of Contour Integration

परिरेखा समाकलन विधि के लिए टिप्स (Tips for Method of Contour Integration) के इस आर्टिकल में समाकलन के सवालों को परिरेखा पर समाकलन विधि से हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Illustrations of Contour Integration

2.परिरेखा समाकलन विधि के लिए टिप्स के साधित उदाहरण (Tips for Method of Contour Integration Solved Examples):

Example:1.परिरेखा समाकलन द्वारा सिद्ध करो कि (Prove by contour integration that)
\int_0^{\infty} \frac{x^3 \sin m x}{x^4+a^4} d x=\frac{\pi}{2} e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \cos \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}\right)
Solution: \int_c \frac{z^3 e^{i m z}}{z^4+a^4} d x=\int_c f(z) d z पर विचार करें,जहाँ C परिरेखा है जिसमें R त्रिज्या के एक बड़े अर्धवृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Tips for Method of Contour Integration

कोशी अवशेष प्रमेय से:
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R f(x) d x+\int_{\Gamma} f(z) d z=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \underset{z \rightarrow \infty}{\lim} \frac{z^3}{z^4+d^4}=0
अतः जोरदाँ उपप्रमेय से:
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} f(z) d z=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R f(x) d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1)
f(z) के साधारण अनन्तक z=a e^{\frac{i \pi}{4}} , a e^{\frac{i 3 \pi}{4}} जो C के अन्दर स्थित हैं।माना इनमें से किसी एक को \alpha से प्रदर्शित करते हैं तो
z= \alpha पर अवशेष =\left[\frac{z^3 e^{i m z}}{D\left(a^4+z^4\right)}\right]_{z=\alpha} \\ =\frac{\alpha^3 e^{i m \alpha}}{4 \alpha^3}=\frac{e^{i m \alpha}}{4}
C के अन्दर अवशेषों का योग
=\frac{1}{4}\left[e^{i m a e^{\frac{i \pi}{4}}}+e^{i m a e^{\frac{i 3 \pi}{4}}}\right] \\ =\frac{1}{4} \left[ e^{\frac{i m a(1+i)}{\sqrt{2}}}+e^{\frac{i m a(-1+i)}{\sqrt{2}}}\right] \\=\frac{e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}}}{4}\left[e^{\frac{i m a}{\sqrt{2}}}+e^{-\frac{i m a}{\sqrt{2}}}\right] \\=e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \cos \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}\right)
(1) से:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^3 e^{i m x}}{x^4+a^4} d x=\pi i e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \cos \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}\right)
दोनों पक्षों के काल्पनिक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^3 \sin m x}{x^4+a^4} d x=\pi e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \cos \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}\right) \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{x^3 \sin m x}{x^4+a^4} d x=\frac{\pi}{2} e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \cos \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}\right)

Example:2.यदि (If) a \geq 4 ,सिद्ध करो कि (prove that)
\int_0^{\infty} \frac{\left(1+x^2\right) \cos a x}{1+x^2+x^4} d x=\frac{\pi}{\sqrt{3}} e^{-a\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cos \left(\frac{a}{2}\right)}
Solution: \int_c f(z) d z=\int_c \frac{\left(1+z^2\right) e^{i a z}}{1+z^2+z^4} d z पर विचार करें,जहाँ C परिरेखा है जिसमें R त्रिज्या के एक बड़े अर्धवृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Tips for Method of Contour Integration

अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R f(x) d x+\int_{\Gamma} f(z) d z=2 \pi i \Sigma R^{+}
अतः जोरदाँ उपप्रमेय से:
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} f(z)=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R f(x) d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1)
अनन्तक दिए जाते हैं z^4+z^2+1=0 \\ \\ \Rightarrow\left(z^2-1\right)\left(z^4+z^2+1\right)=0 \\ \Rightarrow z^6-1=0 \\ \Rightarrow z=(1)^{\frac{1}{6}}=e^{\frac{2 r \pi i}{6}}, r=0,1, \cdots ,5
इनमें से z=e^{\frac{i \pi }{3}}=\alpha, z=e^{\frac{i 2 \pi }{3}}=\alpha^2
f(z) के साधारण अनन्तक हैं जो C के अन्दर स्थित हैं।
z=\alpha पर अवशेष=\underset{R \rightarrow \alpha}{\lim} \frac{\left(1+z^2\right) e^{i a z}}{D\left(1+z^2+z^4\right)} \\ =\frac{\left(1+\alpha^2\right) e^{i a \alpha}}{2 \alpha+4 \alpha^3}
C के अन्दर अनन्तकों पर अवशेषों का योग
=\frac{\left(1+\alpha^2\right) e^{i a \alpha}}{2 \alpha\left(1+2 \alpha^2\right)}+\frac{\left(1+ \alpha^4 \right) e^{i a \alpha^2}}{2 \alpha^2\left(1+2 \alpha^4\right)} \\ =\frac{\left(-\alpha^4\right) e^{i a \alpha}}{2 \alpha\left(1+2 \alpha^2\right)}+\frac{\left(-\alpha^2\right) e^{i a \alpha^2}}{2 \alpha^2\left(1-2-2 \alpha^2\right)} \\ \left[1+z^2+z^4=0 \Rightarrow 1+\alpha^2+\alpha^4=0 \text { तथा } \alpha^3=-1\right] \\ =\frac{e^{i a \alpha}}{2\left(1+2 \alpha^2 \right)} +\frac{e^{i a \alpha^2}}{2\left(1+2 \alpha^2\right)} \\=\frac{e^{\frac{i a(1+i \sqrt{3})}{2}}+ e^{\frac{i a(-1+i \sqrt{3})}{2}}}{2\left[1+2 \left(\frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\right)\right]} \\ =\frac{e^{-\frac{a \sqrt{3}}{2}}\left(e^{\frac{i a}{2}}+e^{-\frac{i a}{2}}\right)}{i 2 \sqrt{3}} \\=\frac{e^{-\frac{a \sqrt{3}}{2}} 2 \cos \left(\frac{a}{2}\right)}{2 i \sqrt{3}} \\ =\frac{1}{i \sqrt{3}} e^{-\frac{a \sqrt{3}}{2}} \cos \left(\frac{a}{2}\right)
(1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left(1+x^2\right) e^{i a x}}{1+x^2+x^4} d x=\frac{2 \pi}{\sqrt{3}} e^{-\frac{a \sqrt{3}}{2}} \cos \left(\frac{a}{2}\right)
दोनों पक्षों के वास्तविक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left(1+x^2\right) \cos x}{1+x^2+x^4} d x=\frac{2 \pi}{\sqrt{3}} e^{-\frac{a \sqrt{3}}{2}} \cos \left(\frac{a}{2}\right) \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{\left(1+x^2\right) \cos a x}{1+x^2+x^4} d x=\frac{\pi}{\sqrt{3}} e^{-\frac{a \sqrt{3}}{2}} \cos \left(\frac{a}{2}\right)

Example:3.यदि (If) a \geq 4 ,सिद्ध करो कि (prove that)
\int_0^{\infty} \frac{x \sin x}{1+x^2+x^4} d x=\frac{\pi}{\sqrt{3}} e^{-a\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \sin \left(\frac{a}{2}\right)
Solution:माना \int_C f(z) d z=\int_C \frac{z e^{i a z}}{1+z^2+z^4} dz ,जहाँ C परिरेखा है जिसमें R त्रिज्या के एक बड़े अर्धवृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।
अनन्तक दिए जाते हैं 1+z^2+z^4=0 \\ \Rightarrow\left(z^2-1\right)\left(z^4+z^2+1\right)=0 \Rightarrow z^6-1=0 \\ \Rightarrow z=(1)^{\frac{1}{6}}=e^{\frac{2 r \pi i}{6}}, r=0,1,2,\cdots, 5
इनमें से z=e^{\frac{i \pi}{3}}=\alpha, z=e^{\frac{i 2 \pi}{3}}=\alpha^2
f(z) के साधारण अनन्तक हैं जो C के अन्दर स्थित हैं।

Tips for Method of Contour Integration

z=\alpha पर अवशेष=\underset{R \rightarrow \alpha}{\lim} \frac{z e^{i a z}}{D\left(1 +z^2+z^4\right)} \\ =\frac{\alpha e^{i a \alpha}}{2 \alpha+4 \alpha^3}
C के अन्दर अनन्तकों पर अवशेषों का योग
=\frac{\alpha e^{i a \alpha}}{2 \alpha+4 \alpha^3}+\frac{\alpha^2 e^{i a \alpha^2}}{2 \alpha^2+4 \alpha^6} \\ =\frac{e^{i a \alpha}}{2\left(1+2 \alpha^2\right)}+\frac{e^{i a \alpha^2}}{2\left(1+2 \alpha^4 \right)} \\ =\frac{e^{i a \alpha}}{2\left(1+2 \alpha^2\right)}+\frac{e^{i a \alpha^2}}{2\left(1-2-2 \alpha^2 \right)} \\ \left[\because 1+z^2+z^4=0 \Rightarrow 1+\alpha^2+\alpha^4=0\right] \\ =\frac{e^{i a \alpha}-e^{i a \alpha^2}}{2\left(1+2 \alpha^2\right)} \\ =\frac{e^{i a\left(\frac{1+i \sqrt{3}}{2}\right)}-e^{i a\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right)}}{2(1-1+i \sqrt{3})} \\=\frac{e^{-\frac{a \sqrt{3}}{2}}\left(e^{\frac{ia}{2}}-e^{-\frac{i a}{2}} \right)}{2 i \sqrt{3}} \\=\frac{e^{-a} \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} \sin \left(\frac{a}{2}\right)
अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R f(x) d x+\int_{\Gamma} f(z) d z=2 \pi i \Sigma R^{+}
जोरदाँ उपप्रमेय सेः
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} f(z) d z=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R f(x) d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x e^{i a x}}{1+x^2+x^4} d x=2 \pi i \frac{e^{-\frac{\sqrt{3} a}{2}} \sin \left(\frac{a}{2}\right)}{\sqrt{3}}
दोनों पक्षों के काल्पनिक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin a x}{1+x^2+x^4} d x=\frac{2 \pi}{\sqrt{3}} e^{-\frac{a \sqrt{3}}{2}} \sin \left(\frac{a}{2}\right) \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{x \sin a x}{1+x^2+x^4} d x=\frac{\pi}{\sqrt{3}} e^{-\frac{a \sqrt{3}}{2}} \sin \left(\frac{a}{2}\right)
Example:4.सिद्ध करो कि (Prove that)
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{\left(1-x+x^2\right)^2} d x=\frac{2 \pi(\sqrt{3}+2)}{3 \sqrt{3}} e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \sin \left(\frac{1}{2}\right)
Solution:माना \int_C f(z) d z=\int_C \frac{e^{i z}}{\left(1-z+z^2\right)^2} d z ,जहाँ C परिरेखा है जिसमें R त्रिज्या के एक बड़े अर्धवृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Tips for Method of Contour Integration

अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R f(x) d x+\int_{\Gamma} f(z) d z=2 \pi i \Sigma R^{+}
जोरदाँ उपप्रमेय सेः
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} f(z) d z=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R f(x) d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1) \\ z=\frac{(1 \pm i \sqrt{3})}{2} ,f(z) के द्विक अनन्तक हैं।C के अन्दर केवल \left(\frac{1+i \sqrt{3}}{2}\right)=\alpha अनन्तक है।
z=\alpha+t, f(z) में रखने परः
f(\alpha+t)=\frac{e^{i(\alpha+t)}}{\left[t^2+(2 \alpha-1) t+\alpha^2-\alpha+1\right]^2} \\ =\frac{e^{i(\alpha+t)}}{\left[t^2+(2 \alpha-1) t\right]^2} जबकि \alpha^2-\alpha+1=0 \\ =\frac{e^{i(\alpha+t)}}{(2 \alpha-1) t^2}\left[1+\frac{t}{2 \alpha-1}\right]^{-2} \\ =\frac{e^{i \alpha}}{(2 \alpha-1)^2 t^2}(1+i t+\cdots)\left(1-\frac{2 t}{2 \alpha-1}+\cdots\right)
z=\alpha पर अवशेष f(\alpha+t) के विस्तार में \left( \frac{1}{t} \right) का गुणांक है:
f(\alpha+t)=e^{i \alpha}\left[\frac{i}{(2 \alpha-1)^2}-\frac{2}{(2 \alpha-1)^3}\right] \\ = e^{i \alpha}\left[\frac{i(2 \alpha-1)-2}{(2 \alpha-1)^3}\right] \\ =e^{\frac{i(1+i \sqrt{3})}{2}}\left[\frac{i(1+i \sqrt{3}-1)-2}{(i \sqrt{3})^3}\right] \\=\frac{e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}} e^{\frac{i}{2}}(\sqrt{3}+2)}{i 3 \sqrt{3}}
(1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x}}{\left(x^2-x+1\right)^2} d x=\frac{2 \pi e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}}{3 \sqrt{3}}(\sqrt{3}+2) e^{\frac{i}{2}}
दोनों पक्षों के काल्पनिक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{\left(x^2-x+1\right)^2} d x=\frac{2 \pi e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}}{3 \sqrt{3}}(\sqrt{3}+2) \sin \left(\frac{1}{2}\right)
Example:5.सिद्ध करो कि (Prove that)
\int_0^{\infty} \frac{\cos x^2+\sin x^2-1}{x^2} d x=0
Solution:माना \int_C f(z) d z=\int_c \frac{e^{i z^2}-1}{z^2} d z ,जहाँ C परिरेखा है जिसमें R त्रिज्या के एक बड़े अर्धवृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Tips for Method of Contour Integration

f(z) के ऊपरी अर्धतल में कोई अनन्तक नहीं है अतः कोशी अवशेष प्रमेय सेः
\int_{\Gamma} f(z) d z=\int_{-R}^R f(x) d x+\int_{\Gamma} f(z) d z=0 \\ \int_{\Gamma} f(z) d z=\int_0^\pi \frac{\exp \left(i R^2 e^{i(2 \theta)}\right)}{R^2 e^{i 2 \theta}} R i e^{i \theta} d \theta
[ z=R e^{i \theta} रखने पर]
=\frac{i}{R} \int_0^\pi e^{-i \theta}\left[\exp \left(i R^2(\cos 2 \theta+i \sin 2 \theta)\right)-1\right] d \theta \\ =\int_0^\pi \frac{i}{R} e^{-i \theta}\left[\exp \left(-R^2 \sin 2 \theta\right) \exp \left(i R^2 \cos 2 \theta\right)-1\right] d \theta \\ \left|\int_{\Gamma} f(z) d z\right| \leq \frac{1}{R} \int_0^\pi\left|i e^{-i \theta}\right|\left[\exp \left(-R^2 \sin 2 \theta\right) \mid \exp \left(i R^2 \cdot \cos 2 \theta\right)\mid +1-1 \right] d \theta \\ \leq \frac{1}{R} \int_0^\pi\left[\exp \cdot\left(-R^2 \sin 2 \theta \right)+1\right] d \theta
जो कि 0 की ओर अग्रसर होता है जब R \rightarrow \infty\\ \therefore \int_{\Gamma} f(z) d z=0 जब R \rightarrow \infty
जब R \rightarrow \infty तब (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=0 \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x^2}-1}{x^2} d x=0 \\ \Rightarrow 2 \int_0^{\infty} \frac{e^{i x^2}-1}{x^2} d x=0
दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने परः
\int_0^{\infty} \frac{\cos x^2-1}{x^2} d x=0 तथा \int_0^{\infty} \frac{\sin x^2}{x^2} d x=0
दोनों सम्बन्धों को जोड़ने परः
\int_0^{\infty} \frac{\cos x^2+\sin x^2-1}{x^2} d x=0
Example:6.यदि (If) 0 < \alpha < \left( \frac{\pi}{2} \right) ,परिरेखा समाकलन द्वारा सिद्ध करो कि (prove by contour integration)
\int_0^{\infty} \frac{\tan ^{-1} x}{x^2-2 x \sin \alpha+1} d x=\frac{\pi \alpha}{2 \cos \alpha}
जहाँ (where) f(z)=\frac{\log (1-i z)}{z^2-2 z \sin \alpha+1}
Solution:माना \int_C f(z) d z=\int_c \frac{\log (1-i z)}{z^2-2 z \sin \alpha+1} d z ,जहाँ C परिरेखा है जिसमें R त्रिज्या के एक बड़े अर्धवृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Tips for Method of Contour Integration

अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R f(x) d x+\int_{\Gamma}^R f(z) d z=2 \pi \Sigma R^{+} \cdots(1) \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} z f(z)=\left[\underset{R \rightarrow \infty}{\lim}\left(\frac{\log (i z-1)}{i z-1}+\frac{\log (-1)}{i z-1}\right)\right] \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \frac{i z^2-z}{z^2-2 z \sin \alpha+1}=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} f(z) d z=0
जब R \rightarrow \infty , तब (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(2)
f(z) के अनन्तक दिए जाते हैं z^2-2 z \sin \alpha+1=0 \\ \therefore z=\sin \alpha \pm i \cos \alpha, f(z) के साधारण अनन्तक हैं जिनमें से केवल z=\sin \alpha+ i \cos \alpha=p ,C के अन्दर स्थित हैं।
z=p पर अवशेष
\underset{R \rightarrow p}{\lim} (z-p) f(z) \\=\underset{R \rightarrow p}{\lim} \frac{\log (1-i z)}{z-q} [जहाँ q=\sin \alpha-i \cos \alpha ]
=\frac{\log (1-i p)}{p-q} \\ =\frac{\log (1+\cos \alpha-i \sin \alpha)}{2 i \cos \alpha}
(2) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\log (1-i x)}{x^2-2 x \sin \alpha+1} d x=\frac{\pi}{\cos \alpha} \log (1+\cos \alpha-i \sin \alpha)
दोनों पक्षों के काल्पनिक भाग की तुलना करने पर,हमे प्राप्त होता है:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\tan ^{-1} x}{x^2-2 x \sin \alpha+1} d x=\frac{\pi}{\cos \alpha} \tan ^{-1} \left(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}\right) \\ =\frac{\pi}{\cos \alpha} \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\alpha}{2}\right) \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\tan ^{-1} x}{x^2-2 x \sin \alpha+1} d x=\frac{\pi \alpha}{2 \cos \alpha}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिरेखा समाकलन विधि के लिए टिप्स (Tips for Method of Contour Integration),परिरेखा समाकलन विधि के अनुप्रयोग (Use Method of Contour Integration) को समझ सकते हैं।

Tips for Method of Contour Integration

Also Read This Article:- Evaluation of Contour Integration

3.परिरेखा समाकलन विधि के लिए टिप्स (Frequently Asked Questions Related to Tips for Method of Contour Integration),परिरेखा समाकलन विधि के अनुप्रयोग (Use Method of Contour Integration) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

परिरेखा समाकलन विधि के लिए टिप्स (Tips for Method of Contour Integration) के इस
आर्टिकल में समाकलन के सवालों को परिरेखा पर समाकलन विधि से हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।