1.परिरेखा समाकलन के उदाहरण का परिचय (Introduction to Illustrations of Contour Integration),परिरेखा समाकलन (Contour Integration):

Illustrations of Contour Integration

परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Illustrations of Contour Integration) के इस आर्टिकल में परिरेखा समाकलन के द्वारा सवालों को सिद्ध करेंगे और उनका अध्ययन करेंगे।
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2.परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Illustrations of Contour Integration):

Illustration:1.यदि a>0,सिद्ध करें कि (If a>0,Prove that)
\int_0^{\infty} \frac{d x}{\left(x^2+a^2\right)^2}=\frac{\pi}{4 a^3}
Solution: \int_c f(z) d z=\int_c \frac{dz}{\left(a^2+z^2\right)^2}
जहाँ C परिरेखा है जिसमें त्रिज्या R के एक बड़े अर्ध-वृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Illustrations of Contour Integration

z=ai,-ai द्वितीय क्रम के f(z) के अनन्तक हैं।
इनमें से केवल C के अन्दर स्थित हैं।
z=ai पर अवशेष हैः
\phi^{\prime}(a i)=\left[\frac{d}{d z}(z+a i)^{-2}\right]_{z=a i} \\ = \left[-2(z+a i)^{-3}\right]_{z=a i}=\frac{1}{4 a^3 i}
कोशी अवशेष प्रमेय द्वारा
\int_c f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{d x}{\left(a^2+x^2\right)^2}+\int_{\Gamma} \frac{d z}{\left(a^2 +z^2\right)^2}=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1) \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} z f(z)=\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{z}{\left(a^2+z^2\right)^2}=0 \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} \frac{d z}{\left(a^2+z^2\right)^2}=0
तथा \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R \frac{d x}{\left(a^2+x^2\right)^2}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{\left(a^2+x^2\right)^2}
इस प्रकार सम्बन्ध (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{\left(a^2+x^2\right)^2}=2 \int_0^{\infty} \frac{d x}{\left(a^2 +x^2\right)^2} \\ =2 \pi i \cdot \frac{1}{4 a^3 i}=\frac{\pi}{2 a^3} \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{d x}{\left(a^2+x^2\right)^2}=\frac{\pi}{4 a^3}
Illustration:2.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{\left(x^2+1\right)^3}=\frac{3 \pi}{8}
Solution:माना \int_C f(z) d z=\int_c \frac{d z}{\left(z^2+1\right)^3}
जहाँ C परिरेखा है जिसमें त्रिज्या R के एक बड़े अर्ध-वृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Illustrations of Contour Integration

कोशी अवशेष प्रमेय द्वारा
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R f(x) d x+\int_{\Gamma} f(z) d z=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} z f(z)=\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \frac{z}{\left(z^2+1\right)^3}=0
इसलिए R \rightarrow \infty \int_{\Gamma} f(z) d z=0
z =\pm i तीन कोटि का f(z) के अनन्तक हैं।केवल z=i,C के अन्दर स्थित है।
z=i पर अवशेष=\frac{1}{2 i} \phi^{\prime \prime}(i) जहाँ \phi(z)=\frac{1}{(z+i)^3} \\ =\left[\frac{1}{2 i} \cdot \frac{12}{(z+i)^5}\right]_{z=i} \\ =\frac{3}{16 i}
इस प्रकार सम्बन्ध (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{\left(1+x^2\right)^3}=2 \pi i \cdot \frac{3}{16 i}=\frac{3 \pi}{8}
Illustration:3.मान ज्ञात करें (Evaluate)
\int_0^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)} d x
Solution:समाकलन पर विचार करें
\int_C f(z) d z=\int_C \frac{z^2}{\left(1+z^2\right)^3} d z
जहाँ C परिरेखा है जिसमें त्रिज्या R के एक बड़े अर्ध-वृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Illustrations of Contour Integration

कोशी अवशेष प्रमेय द्वारा
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{ x^2}{\left(1+x^2\right)^3} d x+\int_{\Gamma} \frac{z^2 d z}{\left(1+z^2\right)^3}=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1) \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} z f(z)=\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} z \cdot \frac{z^2}{\left(1+z^2\right)^3}=0 \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} \frac{z^2}{\left(1+z^2\right)^3} d z=0
z =\pm i कोटि 3 का f(z) के अनन्तक हैं।इनमें से केवल z=i, C के अन्दर स्थित है।
z=i पर अवशेष=\frac{1}{2!} \phi^{\prime \prime}(i) \\ =\frac{1}{2!}\left[\frac{d^2}{d z^2} \frac{z^2}{(z+i)^3}\right]_{z=i} \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{32 i}=\frac{1}{16 i}
इस प्रकार सम्बन्ध (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^3} d x=2 \pi i \times \frac{1}{16 i} = \frac{\pi}{8} \\ 2 \int_0^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^3} d x=\frac{\pi}{8} \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^3} d x=\frac{\pi}{16}
Illustration:4.दर्शाइए कि (Show that)
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2 d x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)}=\frac{\pi}{3}
Solution: \int_C f(z) d z=\int_C \frac{z^2}{\left(z^2+1\right)\left(z^2+4\right)} d z
जहाँ C परिरेखा है जिसमें त्रिज्या R के एक बड़े अर्ध-वृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Illustrations of Contour Integration

कोशी अवशेष प्रमेय द्वारा
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{x^2}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)} d x+\int_{\Gamma} \frac{z^2}{\left(z^2+1\right)(z+4)} d z = 2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1) \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} z f(z)=\underset{Z \rightarrow \infty}{\lim} z \cdot \frac{z^2}{\left(z^2+1\right) \left(z^2+4\right)}=0
Z= \pm i, \pm 2 i , f(z) के साधारण अनन्तक हैं।इनमें से z=i,2i, C के अन्दर स्थित हैं।
z=i पर अवशेष
\underset{z \rightarrow i}{\lim} f(z)=\underset{z \rightarrow i}{\lim} \frac{z^2}{(z+i) \left(z^2+4\right)}=-\frac{1}{6 i}
z=2i पर अवशेष
\underset{z \rightarrow 2i}{\lim}(z-2 i) f(z)=\underset{z \rightarrow 2i}{\lim} \frac{z^2}{\left(z^2 +1\right)(z+2 i)} \\ =\frac{1}{3 i}
C के अन्दर अनन्तकों पर अवशेषों का योग=-\frac{1}{6 i}+\frac{1}{3 i}=\frac{1}{6 i}
इस प्रकार सम्बन्ध (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)} d x=2 \pi i \cdot \frac{1}{6 i} =\frac{\pi}{3}
Illustration:5.सिद्ध करो कि (Prove that)
\int_0^{\infty} \frac{d x}{x^4+1}=\frac{\pi \sqrt{2}}{4}
Solution:\int_C f(z) d z=\int_C \frac{d z}{z^4+1} समाकल पर विचार करें
जहाँ C परिरेखा है जिसमें त्रिज्या R के एक बड़े अर्ध-वृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Illustrations of Contour Integration

कोशी अवशेष प्रमेय द्वारा
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{d x}{x^4+1}+\int_{\Gamma} \frac{d z}{z^4+1}=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} z f(z)=0 \\ \Rightarrow \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \frac{d z}{z^4+1}=0
अतः \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R \frac{d x}{x^4+1}=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^4+1}=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1)
f(z) के अनन्तक दिए जाते हैं: z^4+1=0 \\ \Rightarrow z=e^{(2 n+1) \frac{\pi i}{4}} जहाँ n=0,1,2,3
z=e^{\frac{i \pi}{4}}, e^{\frac{3 i \pi}{4}}, e^{\frac{5 i \pi}{4}}, e^{\frac{7 i \pi}{4}}, f(z) के साधारण अनन्तक हैं।
इनमें से z=e^{\frac{i \pi}{4}}, e^{\frac{i 3 \pi}{4}} ,C के अन्दर स्थित हैं।
यदि इनमें से किसी अनन्तक को दर्शाता है तो पर अवशेष है:
\underset{Z \rightarrow \infty}{\lim}(z-\alpha) f(z)=\underset{Z \rightarrow \infty}{\lim} \frac{z-\alpha}{z^4+1}\left[\frac{0}{0}\text { ( रूप) }\right] \\ =\underset{Z \rightarrow \alpha}{\lim} \frac{1}{4 z^3}=\frac{1}{4 \alpha^3}=\frac{\alpha}{4 \alpha^4}=-\frac{\alpha}{4}\left[\alpha^4=-1\right]
C के अन्दर अनन्तकों पर अवशेषों का योग
=-\frac{1}{4}\left[e^{\frac{i \pi}{4}}+e^{\frac{i 3 \pi}{4}}\right] \\ =-\frac{1}{4} \cdot \frac{2 i}{\sqrt{2}}=-\frac{i \sqrt{2}}{4}
इस प्रकार सम्बन्ध (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^4+1}=2 \pi i\left(-\frac{i \sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\pi \sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{d x}{x^4+1}=\frac{\pi \sqrt{2}}{4}
Illustration:6.यह सिद्ध करने के लिए परिरेखा समाकलन विधि का उपयोग करें
(Use the method of contour integration to the that)
\int_0^{\infty} \frac{x^6}{\left(x^4+4\right)^2} d x=\frac{3 \pi \sqrt{2}}{16 a}, a>0
Solution:समाकल पर विचार करें
\int_C f(z) d z=\int_C \frac{z^6}{\left(z^4+a^4\right)^2} d z
जहाँ C परिरेखा है जिसमें त्रिज्या R के एक बड़े अर्ध-वृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Illustrations of Contour Integration

कोशी अवशेष प्रमेय द्वारा
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{x^6}{\left(x^4+a^4\right)^2} d x+\int_{\Gamma} \frac{z^6}{\left(z^4+a^2\right)^2} d z=2 \pi i \Sigma R^{+}
अतः \underset{Z \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R \frac{x^6}{\left(x^4+a^4\right)^2} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^6}{\left(x^4+a^4\right)^2} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1)
f(z) के द्विक अनन्तक है जो दिए जाते हैं:
\left(z^4+a^4\right)^2=0 \\ \Rightarrow z=a(-1)^{\frac{1}{4}}=a e^{\frac{(2 n+1)i \pi }{4}}, n=0,1,2,3
इनमें से z=a e^{i \frac{\pi}{4}}, a e^{i \frac{3 \pi}{4}} द्विक अनन्तक C के अन्दर स्थित हैं।माना इनमें से इनमें से किसी भी अनन्तक को निरूपित करता है।
z=\alpha+t ,f(z) में रखकर और t की घातों में विस्तार करने पर:
f(\alpha+t)=\frac{(\alpha+t)^6}{\left[a^4+(\alpha+t)^4\right]^2} \\ =\frac{(\alpha+t)^6}{\left(a^4+\alpha^4+4 \alpha^3 t+6 \alpha^2 t^2+\cdots\right)^2} \\ =\frac{(\alpha+t)^6}{16 \alpha^6 t^2}\left[1+\frac{3 t}{2 \alpha } +\cdots\right]^{-2}[\because \alpha^4+a^4=0] \\ =\frac{\left(\alpha^6+6 \alpha^5 t+\cdots\right)(1-\frac{3t}{\alpha} +\cdots)}{16 \alpha^6 t^2}
अब z=\alpha पर अवशेष f(\alpha+t) में \frac{1}{t} का गुणांक है जो है
\frac{1}{16 \alpha^6}\left(6 \alpha^5-3 \alpha^5\right)=\frac{3}{16 \alpha}
C के अन्दर f(z) के द्विक अनन्तकों पर अवशेषों का योग
=\frac{3}{16 a}\left(e^{-\frac{i\pi}{4}}+e^{- \frac{i 3 \pi}{4}}\right) \\ =\frac{3}{16}\left(-2 i \sin \frac{\pi}{4}\right)=-\frac{3 i}{8 a \sqrt{2}}
इस प्रकार सम्बन्ध (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^6}{\left(x^4+a^4\right)^2} dx=2 \pi i\left(-\frac{3 i}{8 a \sqrt{2}}\right) \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{x^6}{\left(x^4+a^4\right)^2} d x=\frac{3 \pi \sqrt{2}}{16 a}
Illustration:7.दर्शाइए कि यदि m और n धनात्मक पूर्णांक हैं और m<n
(Show that if m and n are positive integers and m<n)
\int_0^{\infty} \frac{x^{2 m}}{x^{2 n}+1} d x=\frac{\pi}{2 n \sin \left(\frac{2 m+1}{2 n}\right) \pi}
Solution: \int_C f(z) d z=\int_C \frac{z^{2 m}}{z^{2 n}+1} d z पर विचार करें
जहाँ C परिरेखा है जिसमें त्रिज्या R के एक बड़े अर्ध-वृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Illustrations of Contour Integration

कोशी अवशेष प्रमेय द्वारा
\int_C f(z) dz=\int_{-R}^R \frac{x^{2 m}}{x^{2 n}+1} d x+\int_{\Gamma} \frac{z^{2 m}}{z^{2 n}+1} d z=2 \pi i \Sigma R^{+}
चूँकि m और n धनात्मक पूर्णांक हैं और m < n इसलिए 2m < 2n अर्थात् 2m,2n से कम से कम 2 कम है ताकि
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} z f(z)=0, \underset{R \rightarrow \infty}{\lim}\int_{\Gamma} \frac{z^{2 m}}{z^{2 n}+1} d z=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R \frac{x^{2^m}}{x^{2 n}+1} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2 m}}{x^{2 n}+1} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1)
z^{2 n}+1=0 हल करने परः
z=e^{ \frac{(2 r+1) \pi i}{2 n}} जहाँ r=0,1,2,3….., 2n-1
इस प्रकार z=e^{\frac{(2 \gamma+1) \pi i}{2 n}}, r=0,1,2, \cdots , 2 n-1
f(z) के 2n साधारण अनन्तक है
इनमें C प्रथम n अनन्तक स्थित हैं:
माना इन n अनन्तकों में से कोई एक \alpha को प्रदर्शित करता है।
z=\alpha पर अवशेष:
\left[\frac{z^{2 m}}{D\left(z^{2 n}+1\right)}\right]_{z=\alpha} =\frac{\alpha^{2 m}}{2 n\left(2^{2 n-1}\right)} \\ =\frac{\alpha^{2 m+1}}{2 \alpha 2^{2 n}} \\ =-\frac{\alpha^{2 m+1}}{2 n} जहाँ \alpha^{2 n}=-1
C के अन्दर अनन्तकों पर अवशेषों का योग
=-\frac{1}{2 n}\left(\alpha_1^{2 m+1}+\alpha_2^{2 m+2}+\cdots+\alpha^{2 m+n}\right) \\ =-\frac{1}{2 n}\left[e^{i \theta}+e^{3 i \theta}+\cdots+e^{(2 n-1) i \theta}\right] जहाँ \theta=\frac{2 m+1}{2 n} \pi \\ =-\frac{1}{2 n} e^{i \theta} \cdot \frac{1-e^{2 n i \theta}}{1-e^{2 i \theta}} [ sum of G.P.]
=-\frac{1}{2 n} \cdot \frac{e^{i \theta}\left(1-e^{2 n i \theta}\right)\left(1-e^{-2 i \theta}\right)}{\left(1-e^{2 i \theta}\right)\left(1-e^{-2 i \theta}\right)} \\ =-\frac{1}{2 n} \cdot \frac{e^{i \theta}-e^{(2 n+1) i \theta}-e^{-i \theta}+e^{(2 n-1)\theta} }{2-2 \cos 2 \theta} \\ =-\frac{1}{2 n} \cdot \frac{2 i \sin \theta-e^{2 n i \theta} 2 i \sin \theta}{4 \sin ^2 \theta} \\ =-\frac{1}{2 n} \cdot \frac{i(1-\cos 2 n \theta-i \sin 2 n \theta)}{2 \sin \theta} \\ =-\frac{1}{4 n \sin \theta} \cdot i\left(2 \sin ^2 n \theta-2 i \sin n \theta \cos n \theta \right) \\ =-\frac{1}{2 n} \cdot \frac{\sin n \theta}{\sin \theta} \left( \cos n \theta+i \sin n \theta\right) \\ =-\frac{i}{2 n} \cdot \frac{\sin^2 n \theta}{\sin \theta} \left[\cos n \theta=\cos \left(\frac{2 n+1}{2 n}\right) n \pi=0\right] \\ =-\frac{i}{2 n \sin \theta}\left[\sin ^2 n \theta=\left(\sin \frac{2 m+1}{2} \pi\right)^2=\left[(-1)^m\right]^2=1\right]
इस प्रकार सम्बन्ध (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2 m}}{1+x^{2 n}} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2 m}}{1+x^{2 n}} d x=2 \pi i\left(-\frac{i}{2 n \sin \theta}\right) \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{x^{2 m}}{1+x^{2 n}} d x=\frac{\pi}{2 n \sin \left(\frac{2 m+1}{2 n}\right) \pi}
Illustration:8.परिरेखा समाकलन द्वारा सिद्ध करें कि
(Prove by contour integration that)
\int_0^{\infty} \frac{d x}{\left(a+b x^2\right)^n}=\frac{1}{2^n b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots(2 n-1)} \cdot \frac{1}{a^{\frac{n-1}{2}}}
Solution: \int_c \frac{d z}{\left(a+b z^2\right)^n}=\int_C f(z) d z समाकल पर विचार करें
जहाँ C परिरेखा है जिसमें त्रिज्या R के एक बड़े अर्ध-वृत्त \Gamma के साथ -R से R तक वास्तविक अक्ष है।

Illustrations of Contour Integration

कोशी अवशेष प्रमेय द्वारा
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{d x}{\left(a+b x^2\right)^n}+\int_{\Gamma} \frac{d z}{(a+b z)^n}=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} z f(z)=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} \frac{d z}{\left(a+b z^2\right)^n}=0 \\ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R \frac{d x}{\left(a+b x^2\right)^n}=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{\left(a+b x^2\right)^n}=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1)
z= \pm i \sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)} , n कोटि के f(z) के अनन्तक हैं।
z=\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right) i}, C के अन्दर स्थित हैं।
z=i \sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)} पर अवशेष
=\frac{1}{(n-1)!}\left[D^{n-1} \frac{1}{b^n\left[z+i \cdot \sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)}\right]^n} \right]_{z=\sqrt{\frac{a}{b}} i} \\ =\frac{1}{(n-1)!} \cdot \frac{1}{b^n}\left[\frac{(-n)(-n-1) \cdots-[-n-(n-1)+1]}{\left[z+i \sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)}\right]}\right]_{z=i \sqrt{\frac{a}{b}}} \\ =\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!b^n} \cdot \frac{n(n+1) \cdots(2 n-2)}{\left[2 i \cdot \sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)}\right]^{2 n-1}} \\ =\frac{(-1)^{n-1} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots(n-1) \cdot n(n-1) \cdots(2 n-2)}{2^{2 n-1} \cdot \left[ \sqrt{\frac{a}{b}}\right]^{2 n-1} i^{2 n-1} b^n \cdot (n-1)! (n-1)!} \\ =-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-3) \cdot 2^{n-1} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)}{2^{2 n-1} \cdot a^{n-\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} \cdot (n-1)! \cdot (n-1)!} \\ =-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2 n-3) i}{2^n a^{n-\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)}
इस प्रकार सम्बन्ध (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{\left(a+b x^2\right)^n}=\frac{\pi}{2^n a^{\frac{n-1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Illustrations of Contour Integration),परिरेखा समाकलन (Contour Integration) को समझ सकते हैं।

3.परिरेखा समाकलन के उदाहरण के सवाल (Illustrations of Contour Integration Question):

Illustrations of Contour Integration

प्रदर्शित करो कि (Show that)
\int_0^{\infty} \frac{x^6}{\left(x^4+1\right)^2} d x=\frac{3 \pi \sqrt{2}}{16}
उपर्युक्त सवाल को हल करने पर परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Illustrations of Contour Integration),परिरेखा समाकलन (Contour Integration) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Illustrations of Contour Integration),परिरेखा समाकलन (Contour Integration) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Illustrations of Contour Integration) के इस
आर्टिकल में परिरेखा समाकलन के द्वारा सवालों को सिद्ध करेंगे और उनका अध्ययन करेंगे।